随机波动率中的波动率推断与收益相关性

（2.6）读数SST+τ- St=u（vt）Stτ+f（vt）St√τvt+τ- vt=β（vt）τ+γ（vt）√τ，其中ε和ε是1维和n维标准正态分布s.t.E[ε]=（ρ，…，ρn），相关系数ρiof等式（2.6）。定义rt+τ=St+τ-结果是一个独立的返回过程，其中每个rt+τ与平均u（vt）τ和标准偏差f（vt）呈正态分布√τ、 也就是说，rt+τ=u（vt）τ+f（vt）√τεvt+τ- vt=β（vt）τ+γ（vt）√τ。（3.1）因此，（rt+τ，vt+τ）由vt共同生成，该过程是马尔可夫过程。例如，过去的轨迹{r，v}t-mτ=（rt-mτ，vt-mτ），（rt-τ、 vt公司-τ） ，和未来的{r，v}t+nτ=（rt+τ，vt+τ），（rt+nτ，vt+nτ）提供了vt形式的马尔可夫链为2.1{r，v}t-mτ→ vt公司→ {r，v}t+nτ。注意，如果过程VT不是近似值，则这仍然是正确的。因此，欧拉近似回归过程是一个隐马尔可夫过程，其中观测值rt+τ依赖于vt，并且由于杠杆效应vt+τ。图（1）示出了应用程序的结果。利用这些条件独立密度，我们可以近似地得到信息r（n-1） τrnτr（n+1）τ。v（n-2） τv（n-1） τvnτv（n+1）τ。图1:SDE公式（2.6）的Euler近似值。I（f（vt）√τ：rtt-nτ）历史返回SRTT-nτ=rt-nτ，rt（3.2）提供关于波动率f（vt）的信息√τ命题3.2。I（f（vt）√τ：rtt-nτ）≤ I（vt：vt-τ） +I（vt:rt | vt-τ） 证明。从互信息的标度不变性方程。

（2.5）followsI（f（vt）√τ：rtt-nτ）=I（f（vt）：rtt-nτ）。注意这一点-nτ→ vt公司→ f（vt）是马尔可夫链，数据处理等于2.1 yieldsI（f（vt）：rtt-nτ）≤ I（vt：rtt-nτ）。此外，I（vt:rtt-nτ）≤ I（vt：vt-τrtt-nτ）=I（vt:vt-τ） +I（vt:rtt-nτ| vt-τ） =I（vt:vt-τ） +I（vt:rt-τt-nτ| vt-τ） |{z}=0+I（vt：rt | vt-τ、 rt公司-τt-nτ）=I（vt:vt-τ） +I（vt:rt | vt-τ） 按条件独立vt⊥⊥ rt公司-τt-nτ| vt-τ和（vt，rt）⊥⊥ rt公司-τt-nτ| vt-τ。一个类似的论证和计算也会产生过去的回溯所提供的关于未来回溯的信息的上界。提案3.3。I（rt+τ：rtt-nτ）≤ I（rt+τ：vt）证明。I（rt+τ：rtt-nτ）≤ I（rt+τ：rtt-nτ，vt）=I（rt+τ：vt）+I（rt+τ：rtt-nτ| vt）=I（rt+τ：vt）。因此，为了计算互信息I（vt：rtt）的上界-nτ）和I（rt+τ：rtt-nτ）需要计算（vτ：v）I（vτ：rτ| v）I（rτ：v）（3.3），其中我们在前两种情况下设置了w.l.o.g.t=τ，在最后一种情况下设置了t=0。因为对于连续随机变量，可以获得很多信息（实际上，公式（3.3）中的前两项偏离到∞ ifτ→ 0），评估是否从回报观察中获得了大量信息需要基准。信息增益可能被解释为不确定性降低。我们的初始不确定性是指未来收益率rτ或波动率f（vτ）√τ由其熵量化。在进行任何观察之前，我们认为rτ大致呈标准偏差正态分布√τZf dρ≡√τσfi。e、 v 7的期望值→ f（v）w.r.t平稳分布ρ次√τ。因此，根据示例2.1，随机变量rτreadsh（rτ）=log（2πeσfτ）的熵。由于vτ是从熵为h（vτ）的平稳分布ρ中得出的，因此挥发度yf（vτ）√τ随熵h（f（vτ）平稳分布√τ） 。

如果f是一维过程vτ的变形坐标变化，则波动率的熵ish（f（vτ）√τ） =h（vτ）+Zlog | f′（v）√τ| dρ（v）。与示例2.2类似，我们可以计算需要多少信息才能知道rτ和f（vτ）√τ达到一定精度。我们认为rτ以百分比表示，每天的精度为0.01，而f（vτ）√τ与标准普尔500指数波动率指数VIX一样被引用。波动率指数以百分比点为单位，精度高达0.01，并大致换算为标准普尔500指数在未来30天内的预期波动（假设68%的可能性，即一个标准差），然后进行年度化。这符合以下OUR设置。假设我们有SDE等式（2.6）的年度时间刻度，并读取每日回报（我们在第4.1小节中遇到的情况）。然后τ=1/252（一年有252个交易日），欧拉近似下的每日收益波动率为f（vτ）√τ。然而，由于波动率是每年报价的，我们对随机变量f（vτ）而不是f（vτ）更感兴趣√τ。根据示例2.2，我们必须计算差值sg≡ h（rτ）-日志2πeσM= 日志σf√τσMGf（v）≡ h（f（vτ））-日志2πeσM（3.4）其中σM=-4因为我们希望精度达到0.01%。如果我们在一维环境中，有一个微分函数f，那么第二个恒等式读数为sgf（v）=h（vτ）+Zlog | f′dρ-日志2πeσM.然而，如果SDE公式（2.6）的参数是根据每日时间标度引用的，则τ=1，我们必须将波动率f（vτ）重新标度为f（vτ），现在是每日的波动率f（vτ）√252，以使结果与波动率指数相比较。因此，我们得到了方程gr≡ h（rτ）-日志2πeσM= 日志σfσMGf（v）≡ h（f（vτ））+对数（252）-日志2πeσM（3.5）σM=-4.3.2一般解我们推导出地层相互作用方程的上界和代理。

（3.3）在随后的理论中。定义3.1。我们定义了互信息proxyI（vτ，v）=h（v）-兹洛格nπne检测γ（v）γT（v）τndρ（v），其中h（v）=-Zlogρ（v）dρ（v）表示平稳分布的熵。定理3.4。在欧拉近似方案图（1）中，我们得到I（vτ：v）=I（vτ，v）+O（τ）和I（rτ：vτ| v）=-lognnXi=11- ρi！对于i=1，n其中ρi=dwitdwtar是SDE公式（2.6）中的相关性。证据我们引入了福克-普朗克算子f P（v）=-β（v）+nXi，j=1我jγ（v）。然后，从Eu-ler近似得到的正态分布也可以重写为asp（vτ| v）=eτLF P（v）δvτ-五=1+τLF P（v）+O（τ）δvτ-vwhereδxdenotes x处的δ分布。考虑到两侧的特征函数，这很容易遵循形式，但也可参见[22]第4章的证明。实际跃迁概率q（vτ| v）的Kramer-Moyal前向展开，即初始条件vf为τ=0的福克-普朗克方程（2.7）的解也是q（vτ| v）=1+τLF P（v）+O（τ）δvτ-v、 Hencep（vτ| v）ρ（v）=（p（vτ| v）- q（vτ| v））ρ（v）+q（vτ| v）ρ（v）=O（τ）δvτ-vρ（v）+q（vτ| v）ρ（v）=O（τ）ρ（vτ）+q（vτ| v）ρ（v）。由于福克-普朗克方程方程式（2.7）是线性的，所以解的任何叠加都是很好的解。因此，q（vτ）=Zq（vτ| v）dρ（v）是初始条件为ρ的解，即方程（2.7）的定常解，也就是造林，我们得到p（vτ）=Zp（vτ| v）dρ（v）=ZO（τ）ρ（vτ）+q（vτ| v）dρ（v）=1+O（τ）ρ（vτ）。因此，转换规则Eq。

（2.1）对于熵产率-Zlog p（vτ）dp（vτ）=-Zlogρ（vτ）dρ（vτ）+Zlog1+O（τ）dρ（vτ）=h（v）+O（τ），因此，从示例2.1和p（vτ| v）正态分布的事实中，我们得到了协方差矩阵γ（v）γT（v）τi（vτ：v）=h（vτ）- h（vτ| v）=h（v）+O（τ）+Zp（vτ| v）log p（vτ| v）dvτdρ（v）=h（v）+O（τ）-兹洛格nπne检测γ（v）γT（v）τndρ（v）=I（vτ，v）+O（τ）第二互信息读数si（rτ：vτ| v）=h（rτ| v）- h（rτ| vτ，v）。在公式（3.1）的规则近似方案中，rτ随方差f（v）τ正态分布。Henceh（rτ| v）=Zlog2πef（v）τdρ（v）。由于存在平稳解，边界0是反射的，因此我们几乎肯定| v |>0，并且由于等式（2.7）的一致椭圆性，矩阵γ（v）是可逆的，我们得到ε=√τγ（v）-1（vτ- β（v）τ）由于式（3.1）中的E[εε]=（ρ，…，ρn）=ρ，返回读数srτ=u（v）τ+f（v）√τε=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1ε=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1ρiεi+q1- ρizi=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1q1- ρizi+f（v）√τnhρ，εi=u（v）τ+f（v）√τnnXi=1q1- ρizi+f（v）nhρ，γ（v）-1（vτ- β（v）τ）i其中zi是相互独立的标准正态随机变量，也与ε无关。h·，·i表示标准标量积。因此，rτ提供了vτ和粘正态分布的平均u（v）τ+f（v）nhρ，γ（v）-1（vτ- β（v）τ）i和方差f（v）τnnXi=11- ρi因此（rτ| vτ，v）=Zlog2πef（v）τnnXi=11- ρi！dρ（v）。因此，I（rτ：vτ| v）=Zlog2πef（v）τdρ（v）-Zlog2πef（v）τnnXi=11- ρi！dρ（v）=-ZlognnXi=11- ρi！dρ（v）=-lognnXi=11- ρi！备注3.1。互信息I（vτ：v）上的代理I（vτ，v）取决于向量vτ的参数化。2.

如果波动过程的维数n是一维的，而f是一个差同态，则由于互信息和条件互信息的变化，我们可以分别替换定理3.4中的vτ和vby f（vτ）和f（v）。在该小节的剩余部分，我们假设平稳分布ρful满足对数Sobolev不等式等式（2.12），参数λ>0。此外，我们引入了Fisher信息矩阵xi（rτ；v）ij=Zvilog p（rt | v）vjlog p（rτ| v）p（rτ| v）drτ，i，j=1，n对于条件密度p（rτ| v）和Fisher信息i（rτ；f（v））=Zddylog p（rτ| y）y=f（v）！p（rτ| f（v））条件密度p（rτ| f（v））的drτ。Fisher信息可以分别解释为关于vand f（v）的信息，该信息存在于返回rτ中。有关特性的详细讨论和Fisher信息的解释，请参见[9]。定理3.5。设ρfull fill公式（2.12），λ>0。ThenI（rτ：v）≤2λZTr（I（rτ；v））dρ（v）。（3.6）如果有一个因子，即平滑函数|u：R→ R s.t.~uo f（v）=u（v），thenTr（I（rt；v））=I（rτ；f（v））|f（v）|（3.7）=（°u′）o f（v））τ+2|日志f（v）|证明。如果我们在公式（2.12）中设置g=pp（rτ| v），我们得到i（rτ：v）=H（rτ）- H（rτ| v）=-Zp（rτ）log p（rτ）drτ+Zp（rτ，v）log p（rτ| v）dvdrτ=-Z Zp（rτ| v）dρ（v）对数Zp（rτ| v）dρ（v）+Zp（rτ| v）log p（rτ| v）dρ（v）drτ≤λZ|pp（rτ| v）| dρ（v）drτ=2λZnXi=1vip（rτ| v）p（rτ| v）dρ（v）drτ=2λZnXi=1vilog p（rτ| v）p（rτ| v）dρ（v）drτ=2λZnXi=1I（rτ；v）iidρ（v）=2λZTr（I（rτ；v））dρ（v），如果u（v）=uo f（v）第二个恒等式来自p（rτ| v）=p（rτ| f（v）），即条件分布仅依赖于f（v），链规则vilog p（rτ| v）=vif（v）ddylog p（rτ| y）y=f（v），对于i=1，n

最后，我们计算DYLOG p（rτ| y）=ddylog√2πτye-（rτ-u（y）τ）2yτ=ddy-对数y-（rτ- u（y）τ）2yτ= -y-2τ-2（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy- 2y（rτ- u（y）τ）y=-y-τ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- ^1u（y）τ）y其屈服强度SZτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y-y√2πτye-（十）-u（y）τ）2yτdrτ=Zτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y+-yτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y+y√2πτye-（十）-u（y）τ）2yτdrτ=Zτ（（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τ）y+τ2（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+τ（rτ）- u（y）τ）y+-yτ（rτ- Иu（y）τ）~u′（y）τy+（rτ）- u（y）τ）y+y√2πτye-（十）-u（y）τ）2yτdrτ=￠u′（y）τy+y-y+y=△u′（y）τy+yHence，如果我们用f（v）代替y，我们得到i（rτ；f（v））=（△u′o f（v））τf（v）+f（v），因此（rτ；f（v））|f（v）|=（°u′）o f（v））τf（v）+f（v）|f（v）|=（°u′）o f（v））τ+2|日志f（v）|备注3.2。如果有一个常数因子|u，则上界不再依赖于τ。因此，previous返回rtt-nτ不能提供比定理3.5中导出的τ独立上界所建议的更多关于未来收益率rt+τ的信息，即使τ→ 0和n→ ∞.等式（3.6）和恒等式（3.7）一般适用，即对于任何光滑条件密度p（rτ| v）。等式（3.6）的不等式有一个很好的解释：互信息I（rτ：v）由加权Fisher信息I（rτ；v）限定，每个收益在特定的波动率v上产生，权重为ρ（v）。互信息的上限公式（3.6）取决于v的参数化，其中互信息I（rτ：v）本身是不变的。5、召回，定理3.4 yieldsp（vτ）=Zp（vτ| v）dρ（v）=ρ（vτ），其中p（vτ| v）是初始条件δv下福克-普朗克方程（2.7）的解。根据方程（2.3），互信息I（vτ：v）readsI（vτ：v）=d（p（vτ，v）| p（vτ）p（vτ）p（v））=Zp（vτ，v）logp（vτ，v）p（v）p（vτ）dvτdv=Zp（vτ| v）logp（vτ| v）ρ（vτ）dvτdρ（v）=ZD（ρτ|ρ）dρ，其中ρτ=p（vτ| v）是福克-普朗克方程。

（2.7）初始条件ρ=δv。形式为ally D（δv | |ρ）=∞. 在形式上，人们可以说，波动率并不精确，我们用平均值和小方差s.t.D（ρv | |ρ）的初始分布ρvw来近似狄拉克分布δvb∞. 在平稳分布满足对数Sobolev不等式等式（2.12）的情况下，我们从等式（2.14）I（vτ：v）中获得≤ e-2λτZD（ρv | |ρ）dρ因此，假设不等式右侧的积分是有限的，我们有一个正式的论点，即互信息I（vτ：v）在一段时间内呈指数递减。6、如备注3.1所示，如果波动率向量为一维且f不同构，则定理3.5.4随机波动率模型中的I（rτ，f（v））可替换为I（rτ，f（v））。我们计算各种随机波动率模型的相互影响式（3.3）。4.1均值回复单因素模型我们遵循[8]，并考虑六种随机波动率模型，形式为DST=rStdt+√vtStdWtdvt=γvat（θ- vt）dt+κvbtdwt，其中dWtdWt=ρdt，其中a∈ {0，1}和b∈ {1/2，1，3/2}。Jones[15]证明了当a=0且b>1时，存在唯一的平稳解。在b=1的情况下，类似的参数产生平稳解（因此，根据引理2.2，也是唯一的）；a=0、1和b=1/2；a=0。在这些情况下，我们计算平稳分布和互信息方程（3.3）的上界或代理。如果b=1/2，a=1，我们可以证明存在非平稳解。我们从引理4.1开始。如果v存在平稳分布ρ，则我们有i（vτ，v）=h（v）-对数（2eπκτ）- bZlog vdρ（v）I（rτ：vτ| v）=-日志（1- ρ） 证明。根据定理3.4，我们有i（vτ，v）=h（v）-兹洛格2πeκv2bτdρ（v）=h（v）-日志2πeκτ- bZlog vdρ（v）。第二个等式直接跟在n=1后面。为了明确计算各种模型的平稳解，我们将VT的SDE转换为梯度流方程。

（2.8）表格。引理4.2。定义（v）=√κ（1- b） v1-bif b 6=1g（v）=√如果b=1且σ=g（v），则为κlog v。Thendσt=√2dWt+V′（σt）dtwithV′（σ）=√(-γκθσκ（1- b）√一-b1级-b-σκ（1- b）√一-b+11-b+b（1- b）√σ） 如果b 6=1V′（σ）=√-γκθe（a-1） κ√σ- eaκ√σ+κ如果b=1屋顶。对于b 6=1，我们有g′（v）=√κvbg′（v）=-b√κv1+bv=σκ（1- b）√1.-带It^o公式屈服强度σ=g′（vt）dvt+g′（vt）dvtdvt=√κvbtγvat（θ- vt）dt+κvbtdWt-bκ√v1+btκvbtdt公司=√2dWt+√2γκva-b（θ- vt）dt-bκ√vb-1吨=√2dWt+√（γκσκ（1- b）√一-b1级-bθ-σκ（1- b）√1.-b-b√2（1- b） σ）dt=√2dWt+√（γκθσκ（1- b）√一-b1级-b-σκ（1- b）√一-b+11-b-b√2（1- b） σ）dt。对于b=1，我们有g′（v）=√κvg′（v）=-√κvv=eκσ/√It^o的公式yieldsdσ=g′（vt）dvt+g′（vt）dvtdvt=√κvtγvat（θ- vt）dt+κvtdWt-κ√vt（κvt）dt=√2dWt+√2γκva-1t（θ- vt）dt-κ√dt公司=√2dWt+√γκθe（a-1） κ√σ-eaκ√σ-κ为了应用定理3.5，下列引理证明是有用的。引理4.3。函数ρ（σ）=2βαΓ（α）σ2α-1e级-βσ定义了所有α、β>0的概率密度。σ是γ分布，形状为α，速率为β。密度ρful表示λ=2β的对数Sobolev不等式等式（2.12）。此外，假设过程vt具有平稳分布ρ（v），v=g（σ），g（σ）=ησbb∈ {-2，2}，η>0和α>1，thenI（rτ：v）≤2（α- 1） 。证据我们首先检查u=h（σ）=σ是否为γ分布，形状为α，速率为β。概率密度的转换规则产生ρ（u）=ρh类-1（u）h′（h-1（u））=ρ(√u）√u=2βαΓ（α）uα-1/2e-βu√u=βαΓ（α）uα-1e级-βu是形状为α、速率为β的伽马分布。因此，ρ（σ）也是一个密度。此外，如果我们写ρ（σ）=e-V（σ）我们得到V（σ）=βσ- （2α- 1） 对于常数Z，logσ+Z。HenceV′（σ）=2β从下方以2β>0为界，ρful定义了对数Sobolev不等式。

由于互信息是标度不变性的，所以σ=g-1（v）I（rτ：v）=I（rτ：σ）。我们应用定理3.5，得到λ=2βf（σ）=pg（g-1（v））=qησb=√ησb/2；b∈ {-2，2}（4.1）~u′=0，其中最后一个恒等式来自漂移项恒定的事实。因此，我们得到i（rτ：σ）≤4βZddσlog f（σ）dρ（σ）=2βZσdρ（σ）=2βZσ2βαΓ（α）σ2α-1e级-βσdσ=Z2βα-1Γ（α）σ2（α-1） e类-βσdσ=Γ（α- 1） 2Γ（α）=2（α- 1） 其中，第二个恒等式来自等式。（4.1）。备注4.1。在b=1/2和b=3/2的情况下，我们得到引理4.2v=σκ（1-b）√1.-b、 也就是说，我们有引理4.3中要求的转换规则。此外，对于b=3/2，我们处理σ<0，如果涉及σ的对数或根，则在后续计算中需要小心。推论4.4。假设b=3/2，a=0。If3κsθγ>1。（4.2）thenI（rτ：v）≤√α′型- 4β′Z-∞σdρ（σ）ρ（σ）=Z(-σ） e类-α′（σ-β′/α′）ρ（v）=Z′ve-α（1/v-1/θ）I（vτ，v）=h（v）-对数（2eπκτ）-Zlog vdρ（v），α′=γκθβ′=γ。α=γθκ证明。V′（σ）=√(-γκθ-σκ√--σκ√!-√σ） =γ√κθσκ√-σκ√!-σ=γθκσ- σ-σ=4（α′σ- β′σ）-σ表示α′=γκθβ′=γ。这意味着V′（σ）=4（3α′σ- β′）+σV（σ）=α′σ- 2β′σ- 3日志(-σ） =α′σ-β′α′型-β′2α′- 3日志(-σ） 你可以读到e-Vis可积，在这种情况下，Gibbs分布方程（2.10）读取ρ（σ）=Z(-σ） e类-α′（σ-β′/α′）。Z需要用数值计算。我们通过计算三阶导数来检查等式（2.11）。0=V′′（σ′）=24α′σ′-σ′3<=> σ′2=r4α′，产生λ≡ V′（σ′）=4（3α′σ′2- β′）+σ′2=6√α′型- 4β′+6√α′=12√α′型- 4β′（4.3），大于零i ff3√α′>β′，即3κsθγ>1。如果该条件成立，平稳分布的对数Sobolev不等式与λ保持一致，如等式（4.3）所示，我们可以应用定理3.5。由于与lemma4.3中相同的原因，我们得到了I（rτ：v）=I（rτ：σ），并且通过与lemma4.3中的证明类似的计算，我们得到了I（rτ：σ）≤√α′型- 4β′Zσdρ（σ）。我们计算方差v本身的平稳性。