随机波动率中的波动率推断与收益相关性

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英文标题：
《Volatility Inference and Return Dependencies in Stochastic Volatility
  Models》
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作者：
Oliver Pfante and Nils Bertschinger
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Stochastic volatility models describe stock returns $r_t$ as driven by an unobserved process capturing the random dynamics of volatility $v_t$. The present paper quantifies how much information about volatility $v_t$ and future stock returns can be inferred from past returns in stochastic volatility models in terms of Shannon\'s mutual information.
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中文摘要：
随机波动率模型将股票收益率$r\\t$描述为由捕捉波动率$v\\t$随机动态的未观察过程驱动的。本文根据香农的互信息，量化了随机波动率模型中，从过去的收益中可以推断出多少关于波动率v\\t$和未来股票收益的信息。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Volatility_Inference_and_Return_Dependencies_in_Stochastic_Volatility_Models.pdf (264.95 KB)

2022-5-25 17:30:05 上传

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关键词：波动率 相关性 Mathematical Quantitative mathematica

随机波动率模型中的波动率推断和收益相关性Soliver Pfante*1和Nils Bertschinger+1法兰克福高等研究所系统风险小组11月17日，2018年抽象随机波动率模型描述了由未观察到的过程驱动的股票回报率RTA，捕捉波动率vt的随机动态。本文量化了随机波动率模型中根据香农互信息从过去回报推断出的波动率vt和未来股票回报的信息量。1引言许多喝彩被恰当地用来描述Black和Scholes对期权定价理论的贡献。然而，特别是在1987年崩盘之后，几何布朗运动模型和布莱克-斯科尔斯公式无法再现真实市场的期权价格数据。这并不奇怪，因为Black-Scholes模型作出了一个强有力的假设，即股票的对数收益率独立地正态分布，波动率不仅已知，而且随时间的推移保持不变。这两种假设都是错误的：首先，回报之间存在长期依赖关系；其次，波动率是一个隐藏的p参数，需要分别从股票和期权数据中推断出来，它根本不是常数，而是一个剧烈波动的时间过程。在这些波动性随机过程最相关的统计特性中，波动性似乎对股票收益率中的ob SERVICED聚类起到了作用。也就是说，大回报之后通常是其他大回报，小回报也是如此。另一个特点是，与表现出可忽略自相关的股票回报率、实质上是波动性的平方股票回报率形成鲜明对比的是，对于超过一年的时滞，自相关仍然是显著的【21、20、7、18、10、17】。

此外，还存在所谓的杠杆效应，即当前股票收益率与未来波动率之间的负相互关系更短（几周）[6、7、4、5]。受这些观察结果的启发，人们开发了随机波动率模型，该模型描述了随时间变化的波动率以及股票收益之间的依赖关系。在这里，我们构建了一系列在[8]中进行实证研究的通用随机波动率模型和指数奥尔斯坦-乌伦贝克模型。随机波动率模型将波动率本身描述为一个随机过程。然后，这一过程与股票价格过程相结合，从而尝试获取股票回报、时间聚类、杠杆、波动率自相关以及期权价格中观察到的波动率微笑的许多显著统计特性。目前*pfante@FIAS。法兰克福大学。de+bertschinger@fias。法兰克福大学。我们对随机波动率模型提出了两个问题：第一，从可观察的股票回报数据推断隐藏波动率的可靠性如何；其次，这些模型中的su B序列变化有多大的依赖性？由于在随机波动率模型中，股票价格和时变波动率都被建模为随机变量，香农的信息理论[24]提供了一个理想的框架，使这个问题更加精确。特别是，在本文中，我们补充了观察到的股票收益提供了多少关于隐藏波动性和未来收益的信息的问题。为此，我们首先在第2.1节介绍了基本信息理论。特别是，我们重新定义了互信息的定义，互信息是统计相关性的一般度量，并在波动率估计的背景下提供了直观的解释。在su B序列子集中，我们回顾了关于福克-普朗克方程平稳解的存在性和唯一性的基本知识。

此外，我们还引入了在本文中广泛应用的对数Sobolev不等式。在最近的数学中，该不等式在估计福克-普朗克方程任意含时解向平稳解（如果存在）的收敛速度方面发挥了重要作用【19】。在第3节中，我们解释了如何量化随机波动率模型中获得的大量信息，并在第4节中推导出了一类广泛的单因子随机波动率模型的分析上限。使用文献中提供的现实参数值，我们发现股票收益率通常只提供关于波动性的有限信息，并且在任何时间尺度的随机波动模型中都是相当独立的。我们的计算表明，这不是一个数据问题，而是由于非常基本的信息理论原因而产生的。这不仅意味着股票数据的波动率估计值本质上是不精确的，而且正如我们所认为的那样，也对波动率预测产生了严重的影响，并对基于预测误差比较模型的标准实践提出了质疑【14】。随机波动率模型无法施加强大的回报依赖性，这表明其较不复杂的单因素跳跃差异模型[12]和L'evy模型[23]分别提供了合理的替代方案。尽管这些模型中的收益率是独立的，但它们考虑到了较大的尾部，并导致了分析上易于处理的期权定价模型，这些模型可以产生隐含的波动率微笑。最后，我们对多因素随机波动率模型进行了简要评述。2前提本节介绍信息论的基本要素和福克-普朗克方程的结果。2.1信息论元组X的微分熵=（X，X。

联合密度f（x）=f（x，x，…，Xn）的随机变量定义为[9]h（x）=-Zf日志F可能是-∞. 在这里，以及在续集中，我们通常在integralsw中删除dx符号。r、 t.Lebesgue度量，只要不发生混淆，如果我们积分，则应写入dp。r、 t.测量值p.示例2.1。设X为n维，正态分布，平均u和协方差矩阵a。我们计算h（X）=-Zpnπndet（A）e-（十）-u）TA-1（x-u）logpnπndet（A）e-（十）-u）TA-1（x-u）=log（2nπndet（A））+Z（x- u）TA-1（x- u）pnπndet（A）e-（十）-u）TA-1（x-u）=log（2nπndet（A））+=log（2nπne det（A））。如示例2.1所示，对于非常小的det（A），差异性指数可能变为负值。尽管它可能变为负值，但作为离散随机变量的熵，差异熵可以解释为随机变量平均不确定性的度量。如【9】所示，熵对应于典型结果体积的对数，即，一个随机变量的熵越小，其集中度越高。微分熵在微分坐标变化φ：SX下表现良好→r关于随机变量x=（x，x，…，xn）的支持SX={x=（x，x，…，xn）：f（x）>0}。我们得到h（φ（X））=h（X）+Zf log | det Jφ|（2.1），其中Jφ是φ的雅可比矩阵。如果随机变量X，Y分别具有联合密度函数f（X，Y）和条件密度函数g（X | Y），我们可以定义条件倾向性h（X | Y）ash（X | Y）=-Zf日志g。因为在一般情况下，f（x | y）=f（x，y）/f（y），我们也可以写eh（x | y）=h（x，y）- h（Y）。但是，如果任何不同的熵是有限的，我们必须小心。

h（X | Y）是在已知另一个随机变量Y的情况下，随机变量X的平均不确定度的度量。两个D密度f和g之间的相对熵（或Kullback-Leibler散度）D（f | | g）由D（f | | g）=Zf logfg定义。（2.2）注意，只有当f的支持集{x:f（x）>0}包含在g的支持中时，D（f | | g）才是有限的（受连续性的激励，我们设置0 log（0/0）=0）。虽然D（f | | g）通常是非对称的，但它通常被认为是f和g之间的一种距离。这主要是由于其在D（f | | g）处的性质≥ 当且仅当f=g时，等于0。两个随机dom变量X和Y之间的互信息I（X：Y）与联合密度f（X，Y）以及各自的边缘密度g（X）和k（Y）定义为I（X：Y）=h（X）- h（X | Y）=h（Y）-h（Y | X）=h（X）+h（Y）- h（X，Y）=Zf logfgk=D（f | | gk）。（2.3）同样，如果任何差异熵是有限的，并且在这种情况下，相互信息可能会或可能不会分歧，我们必须小心。从定义来看，很明显，相互影响是对称的（X:Y）=I（Y:X），非负的（X:Y）≥ 0且等于0，当且仅当X独立于Y时。因此，互信息可以被视为统计相关性的一般度量，因为它可以检测到独立性的任何偏差。注意，在独立的情况下，对X的了解不会导致我们对Y的不确定性，即X没有提供关于Y的信息，反之亦然。与互信息一样，三个随机变量X、Y和Z之间的条件互信息I（X:Y | Z）可以用条件熵asI（X:Y | Z）=h（X | Z）来表示-h（X | Y，Z）假设存在差异熵。

这可以重写以显示其与交互信息I（X:Y | Z）=I（X:Y，Z）的关系- I（X:Z）通常按照互信息链规则重新排列[9]I（X:Y，Z）=I（X:Y | Z）+I（X:Z）。（2.4）定义2.1。假设X、Y和Z是三个随机变量。我们呼叫X→ Y→ Za Markov链也编写了asX⊥⊥ Z | YifI（X：Z | Y）=0，即随机变量X与给定Y的Z无关。从链式规则公式（2.4）中，我们得到了数据处理不等式公式2.1。如果X→ Y→ Z是马尔可夫链，thenI（Z:X）≤ 具有恒等式的I（Y:X）当且仅当X→ Z→ Y与微分熵相反，互信息和条件互信息是标度不变的，即对于三个d i f同胚映射φx，φy，φz，我们有[16]i（φx（x）：φy（y））=i（x:y）i（φx（x）：φy（y）|φz（z））=i（x:y | z）。（2.5）示例2.2。设X和Y为点正态分布，平均u、边际方差σX、σ和协方差σXY。我们计算i（X:Y）=h（X）+h（Y）- h（X，Y）=对数2πeσX+日志2πeσY-对数（2πe）+对数σXσX- σXY=日志σXσY-日志σXσX（1- ρXY）= -日志1.- ρXY式中，ρXY=σXYσXσyde表示X和Y之间的相关系数。类似地，我们可以询问需要多少信息来估计随机量Xup到某种精度。形式上，假设X具有方差σ的正态分布。现在，在获得测量值后，剩余方差，即测量误差，被减少到σM。然后，通过以下问题提供基准：我们需要多少信息。

我们有信心知道X到m个小数？为此，在目前的情况下，我们要求σM≈-M受X将分布在测量值^X w周围，95%置信区间的事实激励≈ [^x- 2σM，^x+2σM]。相应地，所需信息由H（X）给出- h（Xmeasured）=对数2πeσ-日志2πeσM= 日志σσM因此，在正态分布的情况下，所需信息是所需不确定性减少的非线性函数，通过标准偏差σM=4·10mσ的比率测量。2.2福克-普朗克方程我们从n+1维随机微分方程（SDE）开始，dSt=u（vt）Stdt+f（vt）StdWtdvt=β（vt）dt+γ（vt）dWt（2.6）st表示时间t的股票价格，vt是推动股票下跌的波动过程。因为我们不想处理正则性问题β、γ和f是光滑的。此外，我们假设均匀椭圆度，这意味着γ（vt）对于所有| vt |>0都是可逆的。Wt和Wt=（Wt，…，Wnt）分别是一维和n维标准维纳过程，可以进行耦合，也就是说，我们允许dWtdWt=（ρ，…，ρn）dt，对于i=1，…，ρi6=0，n、 式（2.6）的第二个SDE对应于线性福克-普朗克方程tpt（v）=-（β（v）pt（v））+nXi，j=1我jγ（v）γT（v）ijpt（五）（2.7）对于概率密度，其中i=d/d和 = (, . . . , n） 。我们称一个解为ptof theFokker-Planck方程的平稳解，如果tpt（v）=0，也就是说，pt不再依赖于t，我们写下pt=ρ。如果SDE读取SDVT，则我们将n维挥发性过程称为s强度为1的噪声引起的梯度流=√2dWt- V（vt）dt（2.8），具有平滑电势V。式（2.8）对应于线性福克-普朗克方程tp=· (p+pV）。（2.9）不可能计算任意电势的时间相关解。

然而，e-Vis a普通微分方程的解0=· (p+pV）如果e-Vis可积我们可以确定吉布斯分布ρ（x）=Ze-V（2.10），其中归一化常数Z是分区fu nc tionZ=Ze-五、 一般来说，e的可积性-Vdoes不能保证稳定解的存在。我们仔细研究了一维情形下这种平稳解的存在性和唯一性。我们确定概率电流=-副总裁- pVv表示式（2.9）的解p。对于平稳解ρ，概率流必须是恒定的。因此，如果它在某个点v消失，则任何v都必须为零。如果是这种情况，我们可以立即对概率流的表达式进行积分，从而得到表达式Q。（2.10）。对于等式（2.9）的时间相关解p，概率电流可写成=-e-五、v执行副总裁在平稳的情况下，其中S是常数，因此对于任意的Sρ=Ze-五、-Se公司-积分常数的VZeVOne由归一化zρ=1确定。另一个常数必须根据边界条件确定，因此问题是必须使用哪些边界条件。Feller[11]将所有边界条件分类为一维。用xmin和xmax表示平稳分布ρ域的边界点（也包括xmin=-∞ 和xmax=∞). 这种平稳解的存在迫使概率流S在xmin和xmax处消失，因此在任何点上都为0，也就是说，xmin和xmax需要是反射边界。这就产生了自然边界条件p（xmin）=p（xmax）=0，其中p表示梯度流方程（2.9）的解。在这种情况下，任何与时间相关的解都会收敛到平稳解方程（2.10），这证明了唯一性。更多详细信息，请参阅【22】中的第5章。我们总结了EMMA 2.2中的这些见解。

如果等式（2.9）有一个固定解ρthen1。S≡ 02.e-Vis可积3。ρ为u ni que，符合吉布斯分布方程（2.10）4。ρ（xmin）=ρ（xmax）=0。我们回到n维情形。如果五、≥ λIn×nv∈ Rnandλ>0，（2.11）也就是说，V的Hessian由正r ealλ一致地从零开始，从[2]可以得出ρ=e-五、-log（Z）ful定义了对数S-obolev不等式。也就是说，对于任何情绪∈ L（Rn，ρ）（平方可积函数空间w.r.t.测度ρ）Zglog gdρ-Zgdρ测井Zgρdρ≤λZ|g | dρ（2.12）保持不变。I f gis归一化，公式。（2.12）可重写asD（g | |ρ）≤2λI（g | |ρ）（2.13），其中Kullback-Leibler散度D等式（2.2）和相对鱼类信息I（g | |ρ）=Z对数ρg、 对数Sobolev不等式推广了S-tam-Gross不等式[25，13]，其中ρ被假定为正态分布。对数Sobolev不等式公式（2.12）适用于任何分布ρ，无论它是否是公式（2.9）的平稳解，只要Hessian-logρful定义了界限等式（2.11）。如果ρ是福克-普朗克方程方程（2.9）的解，初始分布ρs.t.D（ρ| |ρ）<∞, 我们有ddtd（ρt | |ρ）=-ZI（ρt | |ρ），与公式（2.13）和Gronwall不等式d（ρt | |ρ）结合产生≤ e-2λtD（ρ| |ρ）（2.14），表示方程式（2.9）的任何溶液朝着平衡mρ呈指数级快速趋势。更多细节和证据见【19】及其参考文献。3推断波动性我们根据动力学公式（2.6）定义并计算股票波动性的回报信息内容。在续集中，我们假设假设3.1。福克-普朗克方程方程式（2.7）具有唯一的稳态解ρ。3.1随机波动率模型中的信息计算SDE方程的Euler近似。