随机波动率中的波动率推断与收益相关性

根据引理4.2，我们有σ=vκ，因此有2σg′（v）=-vκ。这就得到了vρ（v）=Z′的平稳分布(-σ） e类-α′型vκ-β′α′型-1σv=Z′ve-α（1/v-1/θ）和α=α′κ=γθκ推论4.5。假设b=3/2，a=1。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）v-一-1e级-β/vI（vτ，v）=α+对数Γ（α）β-α-ψ（α）-log（2eπκτ），其中Γ是γ函数，ψ是Digamma函数，α=2γκ+2β=2γθκ。证据V′（σ）=√(-γκθ-σκ√--σκ√-1.-√σ） =γκθσκ-σκ-σ=2β′σ-（2α- 1） σ，α=2γκ+2β′=γθ。这意味着V′（σ）=2β′+（2α- 1） σ>2β′≡ λ表示所有σV（σ）=β′σ- （2α- 1） 日志(-σ） 因此，平稳分布ρful定义了对数Sobolev不等式等式（2.12），并读取ρ（σ）=Z(-σ） 2α-1e级-β′σ。因此，σ是以形状eα和速率β′分布的γ，我们认识到分区函数z=Γ（α）2β′α。使用Gamma fun ActionΓ。引理4.3证明了互信息i（rτ：v）的不等式。最后，我们有σ=g（v）=κvand，因此方差v具有平稳分布ρ（v）=2β′αΓ（α）κvα-1/2e-β′κv√κv3/2=β′καΓ（α）v-α+1/2v-3/2e-β′κv=βαΓ（α）v-一-1e级-β/v，即速率α和形状β=8β′κ=2γθκ的反γ分布，我们得到（v）=α+对数（βΓ（α））- （1+α）ψ（α）Zlog v dρ（v）=logβ- ψ（α），其中ψ表示Digamma函数。引理4.1给出了代理I（vτ，v）的表达式。推论4.6。假设b=1，a=0。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）v-α-1e级-β/vI（vτ，v）=α（1- ψ（α））+logΓ（a）-用伽马函数Γ、Digamma函数ψ和α=2γκ+1β=2γθκ证明对数（2eπκτ）。V′（σ）=√n-γκθe-κ√σ- 1.+κo=-βκ√e-κ√σ+κ√2γκ+1= -βκ√e-κ√σ+ακ√α=2γκ+1β=2γθκ，因此′（σ）=βκe-κ√σV（σ）=βe-κ√σ+ακ√σ。可以看出，V′不是一致有界的远离零，e-Vis可积。如果我们定义σ′=√v=e-κ√σ然后是平稳分布ρEq。

（2.10）对于σ′，读数ρ（σ′）=Ze-V（σ）eκ√σ=Ze-βσ′2e-ακ√σeκ√σ=Ze-κ√σ（2α-1） e类-βσ′2=Zσ′2α-1e级-βσ′2。即σ′2is伽马分布，形状为α，速率为β。引理4.3 yieldsZ=Γ（α）2βαI（rτ：σ′）≤2（α- 1） 与b=3/2、a=1的情况一样，我们检查库存过程的方差v是否与s hapeα和rateβ呈反向分布。推论4.7。假设b=a=1和2γθκ- 1>1。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）vα-1e级-βvI（vτ，v）=α（1- ψ（α））+对数Γ（α）-对数（2eπκτ），γ函数Γ，Digamma函数ψ，α=2γθκ- 1β=2γκ证明。V′（σ）=√n-γκθ- eκ√σ+κo=2γκκ√eκ√σ+κ√1.-2γθκ= βκ√eκ√σ- ακ√α=2γθκ- 1β=2γκ，因此v′（σ）=βκeκ√σV（σ）=βeκ√σ-ακ√σ。V不受正实数和e的限制-如果α>0，则Vis on ly可积。在这种情况下，我们引入σ′=√v=eκ√σ和平稳分布w.r.t.σ′读取ρ（σ′）=Ze-V（σ）eκ√σ=Ze-βσ′2e-ακ√σeκ√σ=Ze-κ√σ（2α-1） e类-βσ′2=Zσ′2α-1e级-βσ′2。也就是说，方差v=σ′2is Gamma分布在形状α和速率β上。原点反映为α>1。对于形状为α、速率为β的伽马分布方差v，我们得到h（v）=α- 对数β+对数Γ（α）+（1- α） ψ（α）Zlog v dρ（v）=ψ（α）- logβ代理I（vτ，v）的表达式遵循引理4.1。推论4.8。假设b=1/2，a=0，2γθκ>1。ThenI（rτ：v）≤2（α- 1） ρ（v）=βαΓ（α）vα-1e级-βvI（vτ，v）=α-对数β+对数Γ（α）+- αψ（α）-用伽马函数Γ、Digamma函数ψ和α=2γθκβ=2γκ证明记录（2eπκτ）。V′（σ）=√(-γκθσκ√-1.-σκ√!+√σ） =γσ-4θγκσ+σ=2β′σ+（1- 2α）σ，α=2γθκβ′=γ。因此，V′（σ）=2β′- （1）- 2α）σV（σ）=β′σ+（1- 2α）对数σ。e-Vis可积函数α>1/2。σ是γ分布，形状为α，速率为β′，即ρ（σ）=2β′αΓ（α）σ2α-1e级-β′σ，原点反映i fα>1。方差v为γ分布，速率α和形状β=κβ′=2γκ。其他一切都遵循引理4.3和引理4.1。推论4.9。假设b=1/2，a=1。

然后，福克-普朗克方程tp=-v（γv（θ- v） p）+vv型κvp没有固定溶液。证据V′（σ）=√(-γκθσκ√-σκ√!+√σ） =-γκθσκ-σκ√!+σ=-γθσ+γκσ+σ，其中yieldsV（σ）=-γθσ+γκσ+对数σ及其他-V（σ）=σe-γκσ+γθσ不是（0，∞). 引理4.2中的坐标变化g是可微的且严格单调的。因此，存在稳定解ρ当且仅当ρ（σ）=ρg级-1（σ）g′g级-1（σ）,σ=g（v）时，是梯度流方程（2.9）的平稳解。假设存在等式的平稳解ρ。（2.9）边界为xminan和xmax。如果xmaxis有限，则V（xmax）=±∞ – 有关这一点，请参见[22]中的第5章。xmin也是如此。因此，唯一可能的边界是xmin=0和xmax=∞. 因此，由于引理2.2，吉布斯分布方程（2.10）定义为（0，∞) 和e-对于（0，∞) – 矛盾。备注4.2。据作者所知，这是第一次证明在b=1/2和a=1的情况下不存在平稳解。关于这个iss ue的简短讨论，另请参见[8]。我们已经收集了所有成分，用于实际计算相互信息。（3.3）对于具有（可能）平稳分布的五个模型。

模型的参数根据标准普尔500a bγθκλρ0 1/2 3.1146 0.0523 0.5826 9.00e的选项进行拟合- 5.-0.6520±1.50e- 3±3.13e-5±1.27e- 4±2.16e- 3±2.41e- 40 1 2.4730 0.0272 1.1884 4.37e- 3.-0.7116±1.12e- 3±6.84e-6±3.20e- 4±1.17e- 3±2.06e- 41 1 64.4378 0.0367 1.1214 1.93e- 3.-0.6749±3.95e- 2±1.91e-5±4.36e- 4±4.94e- 2±2.50e- 40 3/2 1.5384 0.0336 7.9501 7.91e- 4.-0.7169±2.22e- 3±3.65- 5±2.94e- 3±2.15e- 3±2.10e- 41 3/2 50.9140 0.0388 6.2593 3.36e- 4.-0.6854±4.08e- 2±2.86e-5±2.41e- 3±5.13e- 2±2.35e- 4由于标准误差相对较小，我们将在后继中忽略它们，仅计算信息值w.r.t.参数的平均值。此外，风险溢价λ不能与0显著区分。因此，我们省略它。回想一下，我们对交互信息很感兴趣(√vtτ：rtt-nτ）I（rt:rt-nτ）波动率之间√vtτ和以前的返回SRTT-nτ=rt-nτ，rt-（n）-1） τ，rt和以前的返回及其后续返回。在第3.1节中，我们推导了互信息I的建议3.2和3.3上界uf(√vtτ：rtt-nτ）和Uforthe互信息I（rt:rt-nτ），分别为。我们在定理3.4和3.5中根据SDE等式（2.6）的参数和波动过程的平稳分布计算了上边界D。由于[8]中的p参数γ、θ和κ是年度时间分辨率的参数，我们必须选择τ=（4.4），因为我们处理的是每日收益。前面的推论提供了上界uan和uw的显式公式，在存在平稳分布的情况下，可以很容易地计算出上界uan和uw。检查前一个表中的参数值，在a=0的情况下是否存在静态分布；b=3/2，a=1；b=1，但不适用于赫斯顿模型A=0和b=1/2。

我们列出了各种模型的上限U和U的值，包括Grand G的值√第3.1节末尾的vin公式（3.4）。a bαβUUGrG√v0 1/2 0.9598 18.35-- -- -- --0 1 4.502 0.09526 0.1428 2.230 12.67 7.3181 1 2.761 102.5 0.2839 2.506 16.14 7.5520 3/2 8.511e- 4.-- 0.1167 1.910 11.53 7.3431 3/2 4.599 0.1008 0.1389 2.190 11.54 7.323可以看出，过去的收益率从未积累足够的波动性信息。在所有情况下，过去和未来回报之间的依赖性都很弱。尽管我们已经在标记3.2中观察到，减少后续收益读取时间τ不会影响过去和未来收益之间互信息的上限，但过去收益和当前波动率之间互信息的上限会随着收益观察频率的增加而增加。因此，下表列出了必要的年收益率，即1/τ，以从收益率中获得足够的关于波动性的信息，而不是断言每日收益率没有产生足够的关于其波动性的信息。a、 b 0、1 1、1 0、3/2 1、3/21/τ6.62 e6 6.08 e6 1.32 e7 7.24 e6在所有情况下，我们都需要每两秒或三秒引用一次的返回数据。4.2指数Ornstein-Uhlenbeck过程4.2.1一个因素模型另一个流行的均值回复模型是[21]dSt=STMEVTDWTDDVT=-γvtdt+κdWt。该过程是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。初始条件为visp（vτ| v）=s2γ2πκ（1）的相应fokkerplank方程的解- e-2γτ）e-γκ（vτ-ve公司-γτ）1- e-2γτ，（4.5），即平均值为ve的正态分布-γτ和方差κ2γ1.- e-2γτ.Ornstein-Uhlenbeck过程具有平稳分布ρ（v）=rγπκe-γv/κ，即均值为0，方差为κ2γ的正态分布。（4.6）推论4.10。我们有i（vτ：v）=-日志1.- e-2γτI（rτ：v）≤2γκ证明。因为我们知道解析表达式Eq。

（4.5）对于转移概率，我们可以通过示例2.1在没有代理3.1的情况下精确计算互信息I（vτ：v）。I（vτ：v）=h（vτ）- h（vτ| v）=对数πeκγ-πe1.- e-2γτκγ= -日志1.- e-2γτ此外，如果我们设置ρ（v）=e-对于某些常数Z，我们得到V（V）=γκV+zf，因此V′（V）=2γκ。因此，平稳分布满足λ=2γκ的对数Sobolev不等式，我们从定理3.5I（rτ：v）得到≤2λZddvlog mevdρ（v）=κ2γ。从[21]中，我们获得了τ=1天时p参数值γ=1.82 e的平均值- 3天-1κ=1.4 e- 2天-1ρ=-0.4 m=1.5 e- 3天-其中ρdt=dWtdWt。推论4.10和定理3.4和3.5分别为yieldI（mevτ：rττ-nτ）≤ I（vτ：v）+I（rτ：vτ| v）=-日志1.- e-2γτ-日志（1- ρ） =2.9andI（rτ：rττ-nτ）≤ I（rτ：v）≤2γκ=3.85。互信息I（rτ：v）的界很弱。因此，我们对互信息进行了数值计算。我们从示例2.1I（rτ：v）=h（rτ）- h（rτ| v）（4.7）=h（rτ）+Zp（rτ| v）log p（rτ| v）drτdρ（v）=h（rτ）-兹洛格2πeme2vdρ（v）=h（rτ）-log（2πem）=0.86，其中熵h（rτ）通过数值计算得出，rτisp（rτ）=Zp（rτ| v）ρ（v）dv=Z√2πme2ve-rτ2me2vrγπκe-γv/κdv。（4.8）由于我们处理的是每日收益，因此我们计算出引用收益和波动率所需的必要信息Grand Gmev，精度高达0.01%，如公式（3.5）所示，并获得Gr=logσfσM= 日志meκ4γσM= 6.0和GMEV=h（v）+Zlog（mev）dρ（v）+log（252）-日志2πeσM=日志2πeκ2γ+ 对数（m）+对数（252）-日志2πeσM= 日志κ√2γσM+ 对数（m）+对数（252）=7.5，σm=-我们在下表中总结了我们的结果。

如前所述，ude注意到互信息I的上界（mevτ：rττ-nτ）和u对于交互信息I（rτ：rττ-nτ）。UUGrGmev2.9 0.86 6.0 7.5与之前的模型一样，从股票数据估计指数Ornstein-Uhlenbeck设置的波动性几乎是不可能的。同样，在该模型中，收益仅弱相关。为了获得所需的波动率精度，我们每天需要至少9995个回报，即，我们需要n个早期第二报价回报。4.2.2双因素模型正如我们现在所示，在多因素模型的情况下，情况不会改善。在【1】中，上述模型的双因素版本，即dSt=Stmev1，t+v2，tdWtdv1，t=-γv1，tdt+κdWtdv2，t=-定义γv2、tdt+κdwt，并与上述单因素模型进行比较。本文假设所有布朗运动都是独立的，为了简单起见，我们也采用了独立的布朗运动。关于信息计算，在考虑多因素模型时，会出现两种复杂情况：o近似vt=（v1，t，v2，t）和rtt之间的信息-nτbyI（vt：rtt-nτ）≤ I（vt：vt-τ） +I（vt:rt | vt-τ） 与道具相同。3.2会夸大实际信息，因为回报不直接取决于v1和v2，而仅通过v1和t+v2之和，从而导致信息丢失虽然二维过程vt是马尔可夫过程，但波动过程σt=mev1，t+v2，t不再是这种情况。因此，我们需要从Pr op中求出t的界。3.2为了在I上获得更紧的界（σt:rtt-nτ）这是我们的主要兴趣。幸运的是，指数Ornstein-Uhlenbeck模型是完全可处理的，即使wt=v1，t+v2，它不是马尔可夫的，它仍然是一个高斯过程，具有平稳方差σw=κ2γ+κ2γ和协方差cw，n=κ2γe-γnτ+κ2γe-γnτ介于wt和wt+nτ之间。

特别是，我们可以根据wt计算wt的条件分布-τt-nτ和相互信息I（wt:wt-τt-nτ）=I（σt：σt-τt-nτ）。提案4.11。I（σt:rtt-nτ）≤ I（重量：重量-τt-nτ）证明。我们可以将信息绑定如下：I（σt:rtt-nτ）=I（wt:rtt-nτ）≤ I（重量：重量-τt-nτ，rtt-nτ）=I（wt:wt-τt-nτ）+I（wt:rtt-nτ| wt-τt-nτ）=I（wt:wt-τt-nτ）+I（重量：rt-τt-nτ| wt-τt-nτ）+I（wt:rt | wt-τt-nτ，rt-τt-nτ）=I（wt:wt-τt-nτ）+I（wt:rt | wt-τt-nτ）其中我们使用了wt⊥⊥ rt公司-τt-nτ| wt-τt-nτ，即当整个历史wt-τt-nτ可用。注意，由于我们假设没有杠杆效应，即ρ=ρ=0，最后一项消失。因此，我们只剩下基于高斯过程信息结构的界。表1包含信息I的数值（wt:wt-τt-nτ）使用[1]中的参数：m=2.32 e- 3天-γ=2.02 e- 2天-1κ=4.13 e- 3天-1γ=1.43天-1κ=4.14 e- 2天-1根据每年257个交易日的惯例，所有参数已转换为每日单位。为了便于说明，我们选择了加拿大美元汇率上的参数值，因为这些参数值会产生最大的信息值。历史长度n1 2 3 4 5 10 100I（σt:rtt-nτ）0.778 0.819 0.835 0.842 0.845 0.847 0.847表1:observingreturns rtt时关于波动性的互信息上限（在NAT中）-nτ。最后，当我们计算等式（4.7）中单因子模式的互信息I（rτ：v）时，我们在samemanner中计算互信息I（rτ：w），w=v1,0+v2,0，即数值。我们继续用vby和方差κ2γ乘以κ2γ+κ2γ信息公式（4.8），得到值i（rτ：w）=0.093。如前所述，我们计算公式中所需的信息Grand Gmewas。

（3.5），再次使用带有日单位的参数，并获得GR=logσfσM= 日志meκ4γ+κ4γσM= 4.6和gmew=h（w）+Zlog（mew）dρ（w）+log（252）-日志2πeσM=日志κ2γ+κ2γσM+ log（m）+log（252）=6.2其中σm=-这里，与单因素模型相比，当观察到长期历史时，信息的界限会增加。然而，与上述单因素模型相比，与所需信息相关的信息值要小得多，信息在大约10天后基本饱和。如【1】中所述，双因素模型通过利用过程v1、v2和t的两个非常不同的时间尺度改进了单因素模型。特别是，其中一个过程捕获挥发性的快速和瞬时变化，而另一个模型捕获长期依赖性。特别是瞬态过程大大降低了波动过程的时间依赖性。因此，如果对双因素模型性质的研究总体上成立，即跨资产类别，那么如果它们提供的关于隐藏波动过程的信息比其潜在错误的单因素相关信息更少，我们也不会感到惊讶。5结论我们建立了一个一般信息理论框架，用以估计随机波动率模型中，当从股票数据推断时，h idden波动率的不确定性。该框架还允许量化这些模型中子序列收益之间的依赖关系。在单因素模型中，报价波动率高达0.01%通常需要至少二次报价回报时间序列。即使如此，只有我们为过去收益率和当前波动率之间的相互信息所确定的上界，才能弥合等式（3.4）中计算的信息差距，而不一定是实际的相互信息本身。考虑双因素模型时，情况并未改善。

相反，正如我们在一个双因素组合的Ornstein-Uhlenbeck模型中所显示的那样，从回报数据中可以恢复的潜在波动性信息甚至更少。原因是实际波动率是一个高度变化的过程，更灵活的双因素模型可以更好地捕捉到这一点。因此，瞬时波动率的估计不能超过十天的回报数据。我们注意到，这些结果也适用于预测波动性，即大约十天后，最好的预测仅基于平稳分布。波动性估计的高内在不确定性使人们对基于预测性能比较波动性模型的标准实践产生了怀疑。至少，要获得关于不同模型相对性能的可靠且重要的声明，需要非常小心。据我们所知，这一点在文献中没有讨论过，更不用说以严格和定量的方式进行研究了。在此，我们证明，我们的信息理论框架非常适合解决这一问题，并得出精确的数据要求，例如，在第二分辨率下返回s，以获得可靠的波动率估计。从技术角度来看，值得注意的是，我们在定理3.5中通过对数Sobolevinequality推导出的过去收益和未来收益之间交互信息的上界。推导这样一个不等式本身就很有趣，因为通常很难推导出互信息的上界，因为它捕获了两个随机变量之间的所有依赖关系，因此比相关性更难处理。