Levy过程的指数泛函与可变年金

尾部概率P（L>0.2）、P（L>0.4）、P（L>0.6）分别由GMDB净负债分别超过阈值0.2、0.4、0.6的样本路径数除以样本路径总数N进行估计。在表2中，我们报告了分析公式和蒙特卡罗模拟估计的尾部概率结果。计算时间以秒为单位报告。所有基于蒙特卡罗方法的算法均在ATLAB（版本20 16a）中实现，而分析公式的结果则在Maple（版本2016.1）中获得。此外，每个蒙特卡罗结果是20个独立实验估计值的平均值，括号中引用了相应的样本标准偏差。请注意，蒙特卡罗模拟要达到小数点后三位的精度非常耗时。因此，在进行上述分析时，开发分析公式是值得的，因为它们通常比蒙特卡罗模拟更有效、更准确。由于本文推导的解析公式，尾部概率的计算算法非常高效，使我们能够绘制尾部概率函数。尾部概率的可视化使我们能够理解保险公司能力的整体风险性受到的冲击。例如，我们在GBM模型和Kou模型下绘制了GMDB骑手的尾部概率函数。在图3中，蓝线表示GBM模型下的tail概率函数，而红线和绿线分别表示参数集为A和B的Kou模型下的尾部概率函数。横轴以初始购买付款的百分比表示净负债水平，纵轴测量相应的尾部概率。

图3（a）似乎表明，具有跳跃的模型往往会导致较小的损失概率（正向责任），这可能违反直觉。这可能是因为，与GBM模型相比，Kou模型的参数集A和B引入的白噪声波动性较小，而GBM模型中的白噪声波动性较小，这意味着较大的概率质量集中在负净负债周围（t heinsurer的概率）。如图3（b）所示，跳跃的存在似乎在产生巨大负债方面发挥了作用。以绿线表示的具有大j umps的Kou模型中的尾部概率比以蓝线表示的GBM模型中的尾部概率更粗。用红线表示的跳跃较小的Koumodel模型中的尾部概率也有一个较短的尾部，尽管其延伸程度小于跳跃较大的Kou模型。这并不奇怪，因为有跳跃的Kou模型的股票指数下降速度可能比GBM更快，从而导致承保人在极端情况下遭受严重损失0.85VaR0.9VaR0.95VaR0.9999参数集A 0.069344 0.187615 0.349984 0.868025参数集B 0.038537 0.132969 0.266704 0.967712CTE0.85CTE0.9CTE0.95CTE0.9999参数集A 0.295863 0.380809 0.498331 0.890319参数集B 0.226736 0.298245 0.401757 0.983389表3：GMS的风险措施D B净负债情况。该实验表明，与实践中使用的标准GBM模型相比，Kou模型倾向于在最右端对保险人的净负债进行更保守的估计。接下来，我们将说明GMDB净负债风险度量的计算。CTE0.9riskmeasure通常用于确定美国可变年金担保产品的风险资本。

首先，我们使用（36）中的表达式来确定不同级别的GMDB净负债的尾部概率，然后使用对分根搜索算法来确定精确的分位数。当搜索间隔缩小到宽度小于10时，该算法终止-然后将表3中的所有结果精确到小数点后六位。然后，将VaR结果输入到基于表达式（37）确定CTE的算法中。请注意，在表3中，参数集为A的模型在置信水平p=0.85、0.9、0.95时的分位数和特征量均大于参数集为B的模型，这与图3（A）中的观察结果一致，即参数集为A（红线）的模型的尾部概率往往主导参数集为B（绿线）的模型的尾部概率。然而，如果我们移到最右尾部，参数集为A的模型在p=0.9999时的分位数和CTE风险度量将小于参数集为B的模型的分位数和CTE风险度量，这由图3（B）中的反向优势所证实。风险度量的比较再次表明，很少发生大跳跃只会增加极高负债水平下的尾部概率，而频繁发生小跳跃可能会显著增加较低负债水平下的尾部概率，这通常是保险申请感兴趣的。承认A.Kuznetsov的研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会的支持。参考文献【1】N.Cai和S.Kou。在超指数跳跃扩散模型下的亚洲期权定价。操作。第60（1）号决议：第64–772012年。[2] P.Carmona、F.Petit和M.Yor。关于L'evy过程指数函数的分布和渐近结果。在与布朗运动相关的指数泛函和主值中，Bibl。修订版。小地毯

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[25]了解更多详细信息。超几何函数定义为aspFq一apb，bq公司z:=Xk公司≥0（a）k。（ap）k（b）k。（bq）k×zkk！，（A.6）其中（A）k:=Γ（A+k）/Γ（A）是波克哈默符号。我们还将使用正则化超热学函数pΦq一apb，bq公司z= Γha，apb，bqipFq一apb，bq公司z. （A.7）我们在这里记录了Meijer G-函数的一些性质，这些性质在本文件的其他地方使用过。Gradshteyn和Ryzhik[11]中可以找到Meijer G函数的这些性质和许多其他结果。在Prudnikov等人[25]的第8.4章中，我们可以找到一个广泛的公式集合，这些公式表示Meijer G函数项中的各种特殊函数。（i） xcGmnpqab公司x个= Gmnpq公司a+cb+cx个. （A.8）（ii）Gmnpqab公司x个= Gnmqp1.- b1级- 一x个-1.. （A.9）（iii）对于任何大于0Gmnpq的ab公司x个=（O（xb-），如x→ 0+，O（x'a-1+），如x→ +∞.（A.10）（iv）假设bj- 黑色/∈ Z代表1≤ j<k≤ m、 如果p<q或p=q且| x |<1，则有gmnpqab公司x个=mXk=1Q1≤j≤mj6=kΓ（bj- bk）nQj=1Γ（1+bk- aj）qQj=m+1Γ（1+bk- bj）pQj=n+1Γ（aj- bk）（A.11）×xbkpFq-1.1+黑色- 一1+黑色- ap1+黑色- b*, . . . , 1+黑色- bq公司(-1） p-m级-nx公司,其中，函数PFQ中的星号-1删除第k个参数。如果p>qor p=q且| x |>1，则Meijer G函数在Qfp方面的对应表示-1可使用（A.9）和（A.11）获得功能。（v） 如果其中一个参数aj（对于j=1，2，····，n）与其中一个参数bj（对于j=m+1，m+2，····，q）重合，则G函数的阶数降低。例如GMNPQa、 ····，apb，····，bq-1，ax个= Gm，n-1便士-1，q-1.a、 ····，apb，····，bq-1.x个. （A.12）当其中一个参数bj（对于j=1，2，····，m）与其中一个参数aj（对于j=n+1，····，p）重合时，会出现类似关系。

在这种情况下，递减一个单位的是m而不是n。Gmnpq公司a、 ···，apap，b···，bqx个= 克-1np-1，q-1.a、 ···，美联社-1b、··、bq-1.x个. （A.13）（vi）Z∞xα-1Gmnpqab公司zx公司dx=Gm+1，np+1，q+1a、 1个- α-α、 b类z. （A.14）（vii）对于p≤ q和Re（α）>0，Zxα-1pFq一apb，bq公司zx公司dx=α-1×p+1Fq+1α、 a，apα+1，b，bq公司z. （A.15）附录B身份证明（26）我们记得x>0，q>0，数字{-^ζ，-^ζ、ζ、ζ}和{-ρ，ρ}是函数ψ（z）的根和极- 已知它们满足交错特性-^ζ<-^ρ<-^ζ<0<ζ<ρ<ζ。注意函数ψ（z）- q可以分解为φ（z）-q=A（z- ζ） （z）- ζ） （z+^ζ）（z+^ζ）（z- ρ） （z+ρ）。（B.16）其中A：=σ/2。这一事实（以及结果ψ（0）=0）意味着q=Aζζ^ζρρ，（B.17）和ψ′（ζ）=A（ζ- ζ） （ζ+^ζ）（ζ+^ζ）（ζ- ρ） （ζ+^ρ），（B.18）ψ′（ζ）=A（ζ- ζ） （ζ+^ζ）（ζ+^ζ）（ζ- ρ） （ζ+^ρ）。（B.19）最后，我们回顾，我们在以下假设ζ下工作- ζ/∈ N、 ^ζ-^ζ/∈ N、 0个∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1。我们的目标是实现身份（26），为了方便起见，我们在这里复制身份：I（s）+I（s）- Mx，q（s）=0。（B.20）我们提醒您，我们表示di（s）=nqA-^ζxs-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx×G4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，s+1s，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζAxo（B.21）+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式，andI（s）=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）xs-1.-ζ1+ζ- 旧金山1+ζ- s、 1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ2+ζ- s、 1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-Axo（B.22）+n与ζ和ζ互换相同的表达式，我们计算了早期的mx，q（s）=qA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+si（B.23）×G3,34,51.- s、 1、，-ρ、 ^ρ1- s、 ^ζ，^ζ，-ζ，-ζAx.我们的主要工具是公式（A.11），它将Meijer G函数表示为超几何函数之和。

（A.11）的以下变体也将经常使用：Gmnpqab公司x个= πm+n-p-1mXk=1pQj=n+1sin（π（aj- bk））Q1≤j≤mj6=ksin（π（bj- bk））（B.24）×xbkpΦq-1.1+黑色- 一1+黑色- ap1+黑色- b*, . . . , 1+黑色- bq公司(-1） p-m级-nx公司,我们假设bj-黑色/∈ Z代表1≤ j<k≤ m和p<q。使用伽马函数的反射公式，可以很容易地从（A.11）推导出该公式：Γ（z）Γ（1- z） =πsin（πz）。（B.25）身份证明（B.20）。由于证明将是相当技术性的，并且将涉及许多繁琐的计算，让我们解释一下证明背后的主要步骤和想法。第一步是通过（A.11）或（B.24）用超几何函数表示（B.21）、（B.22）和（B.23）中出现的所有Meijer G函数。在第二步中，我们将使用第一步的结果，并将（B.20）中的表达式重写为两个超几何函数的乘积之和。在第三步中，我们的目标是简化第二步中的表达式。在第四步中，我们将证明得到的（简化的）恒等式是正确的，因为它是更一般结果的特例【6，定理1】。让我们来处理第一步——用超几何函数表示Meijer G函数。步骤1a。我们定义：=Φ1，1- s、 2+ρ- s、 2- ^ρ- s2级- s-^ζ，2- s-^ζ，2- s+ζ，2- s+ζAx,f： =Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx,f： =Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx,安达：=-πqA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+sisin（π（ρ+s））sin（π（ζ+s））sin（π（ζ+s））（Ax）s-1，a：=πqA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+sisin（π（ρ-^ζ）sin（π（s+^ζ））sin（π（^ζ-^ζ）（Ax）-^ζ，a：=πqA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+sisin（π（ρ-^ζ）sin（π（s+^ζ））sin（π（^ζ-^ζ）（Ax）-^ζ。然后公式（B.23）和（B.24）给出usMx，q（s）=af+af+af.（B.26）步骤1b。

我们定义f：=fs=ζ，f：=fs=ζ，即isf：=Φ1，1- ζ、 2+ρ- ζ、 2- ^ρ- ζ2，2- ζ-^ζ，2- ζ-^ζ，2- ζ+ζAxf： =Φ1，1- ζ、 2+ρ- ζ、 2- ^ρ- ζ2，2- ζ-^ζ，2- ζ-^ζ，2- ζ+ζAx.同样，我们定义b：=as=ζ，b：=as=ζ，b：=as=ζ，c：=as=ζ，c：=as=ζ，c：=as=ζ。然后（B.26）给出usMx，q（ζ）=bf+bf+bf，（B.27）Mx，q（ζ）=cf+cf+cf。步骤1c。我们定义：=Φ1+ζ+^ρ，1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ- s、 2+ζ- s、 1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-Ax,f： =Φ1+ζ+^ρ，1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ- s2+ζ- s、 1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-Ax,f： =Φ1+^ρ-^ζ，1-^ζ，1- ρ-^ζ，1- s-^ζ2-^ζ- s、 1个-^ζ- ζ、 1个-^ζ- ζ、 1+^ζ-^ζ-Ax,andd：=-sin（πζ）sin（π（ρ- ζ） ）sin（π（ζ）- ζ） ）sin（π（^ζ+ζ））（Ax）-ζ-1，d：=-sin（πζ）sin（π（ρ- ζ） ）sin（π（ζ）- ζ） ）sin（π（^ζ+ζ））（Ax）-ζ-1，d：=-sin（π^ζ）sin（π（ρ+^ζ））sin（π（ζ+^ζ））sin（π（ζ+^ζ））（Ax）^ζ-1，d：=Γh1+ζ- s、 1+ζ- s、 1个-^ζ- s、 s＋ρs＋ζ，1- s、 1+ρ- si（Ax）-s、 然后公式（A.11）和（B.24）给出了usG4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，s+1s，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζAx= df+df+df+d.（B.28）步骤1d。我们定义：=Φ1+^ρ-^ζ，1-^ζ，1- ρ-^ζ，1- s-^ζ2-^ζ- s、 1个-^ζ- ζ、 1个-^ζ- ζ、 1+^ζ-^ζ-Ax,ande：=-sin（πζ）sin（π（ρ- ζ） ）sin（π（ζ）- ζ） ）sin（π（^ζ+ζ））（Ax）-ζ-1，e：=-sin（πζ）sin（π（ρ- ζ） ）sin（π（ζ）- ζ） ）sin（π（^ζ+ζ））（Ax）-ζ-1，e:=-sin（π^ζ）sin（π（ρ+^ζ））sin（π（ζ+^ζ））sin（π（ζ+^ζ））（Ax）^ζ-1，e：=Γh1+ζ- s、 1+ζ- s、 1个-^ζ- s、 s＋ρs＋ζ，1- s、 1+ρ- si（Ax）-s、 然后公式（A.11）和（B.24）给出了usG4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，s+1s，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζAx= 我们的下一个目标是收集所有这些公式，并将函数I（s）和I（s）表示为乘积fifj之和。步骤2a。我们定义=qA-^ζxs-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ），h=qA-^ζxs-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-根据公式（B.21），（B.28）和（B.29），我们得到（s）=（hd）f+（he）f+（hd）ff+（hd）ff（B.30）+（hd）ff+（he）ff+（he）ff。步骤2b。