Levy过程的指数泛函与可变年金

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英文标题：
《Exponential functionals of Levy processes and variable annuity
  guaranteed benefits》
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作者：
Runhuan Feng, Alexey Kuznetsov, Fenghao Yang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Exponential functionals of Brownian motion have been extensively studied in financial and insurance mathematics due to their broad applications, for example, in the pricing of Asian options. The Black-Scholes model is appealing because of mathematical tractability, yet empirical evidence shows that geometric Brownian motion does not adequately capture features of market equity returns. One popular alternative for modeling equity returns consists in replacing the geometric Brownian motion by an exponential of a Levy process. In this paper we use this latter model to study variable annuity guaranteed benefits and to compute explicitly the distribution of certain exponential functionals.
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中文摘要：
布朗运动的指数泛函在金融和保险数学中有着广泛的应用，例如在亚式期权定价中。布莱克-斯科尔斯模型因其数学可处理性而具有吸引力，但经验证据表明，几何布朗运动并不能充分捕捉市场股票收益的特征。一种流行的股票收益建模方法是用利维过程的指数代替几何布朗运动。在本文中，我们使用后一种模型来研究可变年金保证收益，并显式计算某些指数函数的分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Levy Applications Differential distribution Quantitative

L'evy过程的指数泛函和可变年保证收益Runhuan Feng*, Alexey Kuznetsov+和Fenghao Yang2016年10月4日布朗运动的抽象指数函数在金融和保险数学中得到了广泛的研究，因为它们在亚洲期权定价等方面有着广泛的应用。Black-Scholes模型因其数学可处理性而具有吸引力，但经验证据表明，几何布朗运动并不能充分捕捉市场股票收益的特征。股票收益建模的一种流行的替代方法是用一个指数的L’evy过程来代替几何布朗运动。在本文中，我们使用后一种模型来研究可变年金保证收益，并明确计算某些指数函数的分布。关键词：指数泛函、L'evy过程、Ornstein-Uhlenbeck过程、Mellin变换、Bar-nesG函数、可变年金保障收益2010数学主题分类：初级：60G51，第二部分：91B3 0.1简介布朗运动指数泛函的研究已在金融文献中通过应用于金融市场中的亚洲期权定价而普及。亚洲期权是一种特殊类型的期权合同，其支付取决于合同期内标的资产/股权/商品的平均价格。在Black-Scholes模型中，公平价值的演化由年龄计量布朗运动{St=SeXt，t≥ 0}其中X是一个具有漂移的布朗运动，其初始权益值为。具有固定行使价格的持续监控的亚洲看涨期权支付的金额（从期初到到期T）超过了行使价格K。

换句话说，回报是ZTStdt公司- K+= （SJT- K） +，其中表示（x）+=最大值（x，0）和jt:=ZteXsds，（1）*美国伊利诺伊大学香槟分校数学系。电子邮件：rfeng@illinois.edu+加拿大约克大学数学与统计系。电子邮件：kuznetsov@mathstat.yorku.ca加拿大约克大学数学与统计系。电子邮件：fenghao@mathstat.yorku.cais过程s X的指数函数。由于BlackScholes模型中亚洲期权的无套利价格是由其在风险中性概率测度下的预期支付现值确定的，因此计算亚洲期权价格的关键是指数函数lJT的分布。有大量的文献致力于JT的发行。约尔（Yor）[28]使用了兰帕提变换，将几何布朗运动和经验一元泛函与贝塞尔过程联系起来。Linetsky[1 7]以distributionJtd=Ut:=eXtZte中的标识开始-Xsds，后者是一个扩散过程，然后应用特征函数展开技术确定Ut的分布。Vecer【27】应用测度的变化，得出了一个由亚式期权价格满足的偏微分方程。上述清单并不全面。在Carmona等人【2】和Matsumoto及Yor【19，20】中可以找到布朗运动指数泛函和参考文献的更多应用。在几项实证研究中（见Cont【4】、Madan和Seneta【18】、Carr等人【3】、Kou【12】），证明了几何布朗运动不能充分解释经验股票回报的许多程式化事实，例如不对称的轻量级对数回报和波动率微笑。这个问题的一个普遍解决方案是使用L'evy过程来建模日志返回。

当研究L'evy过程的指数函数时，更容易研究指数函数的分布形式：=Je（q）=Ze（q）eXsds，（2）其中e（q）是平均值为1/q的指数随机变量，与过程X无关。与指数函数IQ相关的FirstExplicit结果由Cai和Kou[1]获得，用于超指数L'evy过程。这些结果后来被推广到有理变换跳跃过程[13]和亚纯L'evy过程[14]。到目前为止，关于经验函数IQ背后的分析理论已经相当清楚，参见帕蒂和萨沃夫[23,24]的论文。在本文中，我们感兴趣的是研究形式jx，t：=xeXt+ZteXsds，x的更一般指数函数的分布≥ 0，（3）及其“指数到期”交易对手，q：=Jx，e（q）。（4） 接下来，我们将解释研究这些对象的动机：它来自股票挂钩保险中的某些嵌入期权，称为可变年金保障福利。股票挂钩保险产品允许投保人将保费投资于股票市场。换言之，溢价投资的每日回报与特定的股票指数（如标准普尔500指数）或投保人选择的特定股票基金直接相关。在选择时，保险公司会将保费转移给第三方基金经理。为了说明数学结构，我们考虑一个简化的示例。设{Ft，t≥ 0}表示保单持有人投资账户的演变{St，t≥ 0}表示股票指数。那么，股权挂钩机制决定了FT=FStSe-mt，t≥ 0，（5）其中m是每时间单位的基于账户价值的管理和费用（m＆E）费率。

在各种各样的产品中，可变年金尤其令人感兴趣，因为它们为投资者提供了一系列投资选择，通常还提供了额外的担保，以保护投保人免受其投资的严重损失。这些额外的好处往往可以被视为保险业在金融市场中期权合同的对应物。例如，最低保证死亡福利（GMDB）将保证投保人死亡后，apolicyholder的福利会收到当时的经常账户价值和最低保证金额中的较大者。例如，担保，用{Gt，t表示≥ 0}，是指投保人至少用无风险利率（即Gt=Fert）的应计利息补偿其初始投资，其中r是支持GMDB负债的保险人资产的每时间单位收益率。用tx表示当前年龄为x的投保人的未来寿命。实践中通常认为，抵押模型独立于权益回报，即Txis独立于{St，t≥ 0}。因此，GMDB的付款由（GTx）给出- FTx）+，类似于金融市场中的看跌期权。然而，请记住，如果没有任何保证收益，保险公司只会将保费转移给第三方基金管理人。与其他担保福利一样，GMD B在技术上是基础合同的附加条款，以额外成本向投保人提供额外福利，保险人承担额外责任。因此，GMD B经常被称为s a附加条款。

尽管如此，由于非货币法规，GMDB附加条款通常适用于所有可变年金合同。虽然金融衍生品和保险产品中的嵌入期权有许多共同特征，但一个关键区别在于，金融衍生品通常是短期的，保险范围持续几十年。由于市场上缺乏长期期权，股票挂钩保险的风险管理比衍生品交易复杂得多，对保险业务的成功起着至关重要的作用。在这项工作中，我们考虑了一个简化模型，该模型捕获了vanilla GMDB中与pla签订的可变年金合同的风险管理问题的结构。与许多交易所电子交易的金融衍生品不同，这些金融衍生品只需要n笔预付费，与股票挂钩的保险产品中的嵌入期权通常由一连串的费用收入来补偿。例如，基金经理通常对每个投保人的账户按每美元每时间单位收取固定百分比的m，并将部分费用（如md）回扣给保险公司，以补偿GMDBrider。在这里，我们考虑的是直到投保人死亡之前持续收取的费用收入的现值，ZT∧Txe公司-rsmdFsds，其中r是支持GMDB责任的保险公司债券的收益率。正如在大多数情况下，费用超过了GMDB的责任，保险人对保险人净责任的现值感兴趣（总负债减去费用收入）L：=e-rTx（GTx- FTx）+-ZTxe公司-RSMDFSD。风险管理建模的一项关键任务是量化和评估正净负债的可能性和严重性，这将导致保险公司蒙受损失。从业者通常将某些风险度量应用于蒙特卡罗模拟得出的净负债的经验分布。

然后，风险措施将被用于形成风险管理决策的基础，如设立准备金和资本，以抵御不利经济条件下的损失。北美保险业中最常用的风险度量是条件尾部预测，CTEp（L）=E[L | L>VaRp（L）]，其中风险值由VaRp（L）：=inf{y：P[L]确定≤ y]≥ p} 。由于风险管理的目的是分析正损失比负损失（pro-fit）更严重的程度，因此我们对风险度量CTEpand VaRpfor p>ξ：=p（L≤ 0）。为了计算上述风险度量，我们需要计算V>VaRξ，P（L>V | Tx=t）=Pe-rtFt+中兴通讯-rsmdFsds<F- 五、.很明显，股票挂钩保险中这种相当独特的融资机制产生了（3）中定义的指数函数的一般形式。虽然在金融衍生品建模过程中对经验数据的关注可能会转移到与股票挂钩的保险中，但还有一个问题是，此类模型对于长期预测的有效性。尽管如此，在过去二十年中，保险业采用了许多金融业众所周知的股票回报模型，如几何布朗运动、区域切换几何布朗运动等。有关股票回报模型选择的详细信息，请参见美国精算师学会出版物【9】、【16】和【10】。基于布朗运动指数泛函的变量周向保证收益的风险度量计算可在Fengand Volkmer【7，8】中找到。

在本文中，我们对指数L'evy过程感兴趣，主要有两个原因：（i）此类模型已被证明可以解释经验数据的各种类型化事实，以及（ii）它们通常导致解析解，而不仅仅是金融文献中充分研究的奇异期权定价问题，但也适用于股票挂钩保险产品中极端负债的风险度量，从而为资本要求和其他风险管理目的所需的计算提供快速算法。本文的其余部分按以下方式组织。在第2节中，我们研究了指数泛函Ix，qforgeneral L'evy过程，并导出了Ix，q的梅林变换的积分表示。在第3节中，我们考虑了K ou过程的情况，并根据MeijerG函数计算了Ix，Qe的梅林变换，然后确定了Ix的密度，q（它也用Meijer G-泛函和超几何函数显式给出）。在第4节中，我们将这些结果应用于计算GMDB的各种风险度量问题，并将我们的半分析方法的效率和准确性与蒙特卡罗方法进行比较。2主要结果首先，我们介绍必要的符号和定义。我们考虑一个L'evy过程X，从零开始，具有拉普拉斯指数ψ（z）：=ln E[exp（zX）]，z∈ iR。L’evy-Khintchine公式告诉我们ψ（z）=σz/2+uz+ZRezx公司- 1.- zx1{| x |<1}π（dx），z∈ iR，其中σ≥ 0，u∈ R和L'evy度量∏（dx）满足esRR1∧ x∏（dx）<∞. 我们用e（q）表示经验一元随机变量，平均值为1/q，与X无关，我们还记得我们对指数函数X的定义，q：=xeXe（q）+Ze（q）eXsds，X≥ 0、备注1。使用时间反转很容易显示Ix，qd=Ue（q），其中UTI是广义的OrnsteinUhlenbeck过程UT=xeXt+eXtZte-Xsds。

（6） 注意，UTI是一个从x开始的强马尔可夫过程，生成元L（U）f（x）=L（x）φ（ln（x））+f′（x），其中φ（x）：=f（ex），L（x）是L'evy过程x的马尔可夫生成元。这一结果来源于[15，命题2.3]。我们定义了Ix，qMx，q（s）=E的梅林变换（九、q）s-1.. （7） 最初，Mx，q（s）在垂直线Re（s）=1上定义得很好，之后我们将通过分析将此函数扩展到某个垂直条带。在本节中，我们将在以下条件下工作：测度∏（dx）具有经验单位衰减尾。换句话说szr\\(-1,1）eθ| x |∏（dx）<∞, 对于某些θ>0。（8） 上述条件意味着La place指数ψ（z）在条带| Re（z）|<θ中是解析的，并且在实区间z上是凸的∈ (-θ、 θ）。定义1。对于q>0，我们定义Φ+（q）=sup{z>0：ψ（z）<q}和Φ-（q） =inf{z<0：ψ（z）<q}。注：条件（8）意味着每q>0，我们就有Φ+（q）>0和Φ-（q） <0。提案1。对于所有q>0，x≥ 0和s∈ （0，1+Φ+（q））我们有Mx，q（s）<∞.证据让我们表示ξ=x exp（Xe（q））和η=I0，q，因此Ix，q=ξ+η。注意e[ξw]=q/（q- ψ（w））<∞, w∈ （Φ-（q） ，Φ+（q））和E[ηw]<∞ 对于所有w∈ (-1，Φ+（q））（见Rivero[26，引理2]）。当0<w<min（Φ+（q），1）时，我们使用Jensen不等式和obtainE[（ξ+η）w]≤ E[ξw]+E[ηw]<∞.如果Φ+（q）>1，则对于1≤ w<Φ+（q）我们使用Minkowski不等式e[（ξ+η）w]1/w≤ E[ξw]1/w+E[ηw]1/w<∞.最后，当-我们使用函数x∈ （0，∞) 7.→ xwis减小，并达到[（ξ+η）w]<E[ηw]<∞.因此，我们证明了E[（Ix，q）w]=E[（ξ+η）w]<∞ 对于所有w∈ (-1，Φ+（q），相当于命题1的陈述。下面的定理是我们在本节中的主要结果。定理1。

对于q>0和w∈ （最大值(-1，Φ-（q） ，0）Mx，q（1+w）=q sin（πw）M0，q（1+w）×-2iZc+iRz sin（πz）M0，q(-z） ×x个-zdzsin（π（w+z））, （9） 其中c∈ （0，-w） 。在证明定理1之前，我们需要建立几个辅助结果。引理1。当q>0时，函数F（s）=M0，q（s）/Γ（s）是解析函数，在垂直条Φ中为零-（q） <Re（s）<1+Φ+（q），并且它是一个tis fiesf（s+1）=q- ψ（s）F（s），Φ-（q） <Re（s）<Φ+（q）。（10） 证明。函数方程来自Maulik和Zwart【21，引理2.1】（另见Carr et a l【2，命题3.1】）。F（s）是零自由的事实源自广义Weierstrass ProductRepresentation（见Patie和Savov[23，定理2.1]）。让我们确定q>0，w∈ （Φ-（q） ，0），并定义一个新的量度QdQdPFt=ewXt-tψ（w）。（11） 在新测度Q下，过程X是拉普拉斯指数ψQ（z）=ψ（z+w）的L'evy过程- ψ（w）。让我们定义指数函数^Jt=中兴通讯-Xsds。（12） 引理2。对于w∈ （Φ-（q） ，0）我们表示q：=q- ψ（w）。然后对于0<Re（s）<1+w- Φ-（q） 方程（^Je（￠q））s-1i=M0，q（w）Γ（w）×Γ（s）Γ（1+w）- s） M0，q（1+w- s） 。（13） 证明。让我们表示Yt=-Xt：在测度Q下，这是一个L'evy过程，Lapla-ce指数ψY（z）=ψ（w- z）- ψ（w）。让我们用lso表示θ：=w- Φ-（q） （13）右侧的函数乘以f（s）。根据[13]中的命题2，为了建立引理2，我们需要检查以下三个条件（i）f（s）是解析的且在条带Re（s）中为零∈ （0，1+θ），（ii）f（1）=1，f（s+1）=sf（s）/（℃q- ψY（s））对于所有s∈ （0，θ），（iii）| f（s）|-1=o（exp（2π| Im（s）|）），作为Im（s）→ ∞ , Re（s）∈ （0，1+θ）。条件（i）来自引理1。