Levy过程的指数泛函与可变年金

让我们检查条件（ii）：我们使用（10）并检查f（s+1）=Γ（s+1）Γ（w- s） M0，q（w- s） =平方英尺- ψ（w- s） Γ（s）Γ（w）- s+1）M0，q（w- s+1）=sq- ψY（s）f（s）。为了检验条件（iii），我们使用众所周知的渐近结果|Γ（a+ib）|=√2πexp(-π| b |/2+（a- 1/2）ln（| b |）+O（1）），b→ ∞,在R的紧致子集上一致成立，并检查一层（s）=M0，q（1+w- s） Γ（s）Γ（1+w）- s）≤ M0，q（1+w- Re（s））×O（e3π| Im（s）|/2）。因此，这三个条件都是满足的，我们已经证明了（13）。定理证明1：我们记得Ix，q与Ue（q）=eXe（q）（x+^Je（q））具有相同的分布，其中^jt由（12）定义。假设q>0，w∈ （最大值(-1，Φ-（q） ，0），因此q-ψ（w）>0。根据命题1，Mx，q（1+w）<∞ 我们可以写emx，q（1+w）=EhewXe（q）（x+^Je（q））wi=Z∞量化宽松-qtEhewXt（x+^Jt）宽度。（14） 接下来，定义（11）中的测量值Q，并表示▄Q=Q- ψ（w）。从m（14）我们发现mx，q（1+w）=Z∞量化宽松-qtEhewXt（x+^Jt）widt（15）=Z∞量化宽松-（q）-ψ（w））tEQh（x+^Jt）widt=qqEQh（x+^Je（q））wi。接下来，我们拿z∈ （0，-w） ，使用（15）和computeZ∞xz公司-1Mx，q（1+w）dx=qqZ∞xz公司-1EQh（x+^Je（￠q））widx=qqEQZ∞xz公司-1（x+^Je（￠q））wdx=qqEQ^Je（q）z+wZ∞yz公司-1（y+1）wdy=qqEQ^Je（q）z+w×Γ（z）Γ(-w- z） Γ(-w） 。（16） =qqM0，q（w）Γ（w）×Γ（1+z+w）Γ(-z） M0，q(-z） ×Γ（z）Γ(-w- z） Γ(-w） ，其中，我们在第二步中使用了富比尼定理，在第三步中使用了变量x=Je（~q）y的变化，在第四步中使用了众所周知的贝塔函数积分，在第五步中使用了引理2。最后，从（10）中，我们发现qM0，q（w）Γ（w）=q- ψ（w）M0，q（w）Γ（w）=M0，q（1+w）Γ（1+w）。我们还使用伽马函数的反射公式，并在formZ中重写（16∞xz公司-1Mx，q（1+w）dx=-πq sin（πw）M0，q（1+w）z sin（πz）M0，q(-z） sin（π（w+z）），其中公式（9）后面是梅林逆变换。

3案例研究：Kou过程在本节中，我们演示了如何使用Theorem1明确计算Kou跳跃扩散过程的经验一元函数Ix、Qf的密度。la t ter定义如下：Xt=ut+σWt+NtXj=1ξi，（17），其中σ>0，u∈ R、 NTI是一个泊松过程，强度为λ，ξ为i.i.d.随机变量，概率密度函数pξ（x）=pρe-ρx{x>0}+（1- p） ρeρx{x<0}，对于某些p∈ （0，1）和ρ，^ρ>0。很容易看出L a空间表达式等于ψ（z）=uz+σz+λpzρ- z- λ（1- p） z^ρ+z。当q>0时，有理函数ψ（z）=q有四个零{-^ζ，-^ζ、ζ、ζ}和两极{-^ρ，ρ}满足交错特性-^ζ<-^ρ<-^ζ<0<ζ<ρ<ζ。Mellin变换M0，q（s）在Cai和Kou[1]中计算（另见[13]），由M0，q（s）=A1给出-sΓ（s）G（s）G（1），（18），其中A=σ/2，G（s）：=Γh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+si。在上述公式（以及本文的其他地方）中，我们使用符号Γha，apb，bqi：=Qpi=1Γ（ai）Qqj=1Γ（bj）。（19） 本节的第一个主要结果是梅林变换Mx，q（s）的显式表达式。提案2。对于0∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1Mx，q（s）=qA-sΓh1+ζ- s、 1+ζ- s、 ^ρ+s1- s、 1+ρ- s、 ^ζ+s，^ζ+siG3,34,51.- s、 1、，-ρ、 ^ρ1- s、 ^ζ，^ζ，-ζ，-ζAx, （20） 其中，G是附录A证明（A.5）中定义的Meijer G函数。

公式（18）和定理1告诉我们f或-（1）∧^ζ）<w<-c<0我们有mx，q（1+w）=q sin（πw）A-wΓh1+w，ζ- w、 ζ- w、 ^ρ+1+wρ- w、 ^ζ+1+w，^ζ+1+wi×-12iZc+iRΓh1+ρ+z，^ζ- z、 ^ζ- z-z、 1+ζ+z，1+ζ+z，^ρ- 齐亚-1.-zx公司-zdzz-sin（πz）sin（π（w+z））。使用伽马函数的反射公式，我们将上述公式改写为mx，q（1+w）=qA-1.-wΓhζ- w、 ζ- w、 ^ρ+1+w-w、 ρ- w、 ^ζ+1+w，^ζ+1+wi×2πiZc+iRΓh1+w+z，z，1+ρ+z，-w- z、 ^ζ- z、 ^ζ- z^ρ- z、 1+ζ+z，1+ζ+zi（Ax）-zdz。应用公式（A.5），我们得出结论，对于所有-（1）∧^ζ）<w<0Mx，q（1+w）=qA-1.-wΓhζ- w、 ζ- w、 ^ρ+1+w-w、 ρ- w、 ^ζ+1+w，^ζ+1+wi（21）×G3,35,41+w，1-^ζ，1-^ζ，1+ζ，1+ζ1+w，0，1+ρ，1- ^ρAx.请注意，条件（A.3）和（A.4）都满足，因为在我们的例子中，A=max（1+w，1-^ζ，1-^ζ）=最大值（1+w，1-^ζ）∈ （0，1），b=最小值（0，1+w，1+ρ）=0。和c∈ (-b、 1个- a） 。通过改变变量w=s，从（21）中获得所需结果（20- 1并应用公式（A.9）。对于本节的其余部分，我们将在以下假设1下工作：ζ- ζ/∈ N和^ζ-^ζ/∈ N、 定义2。我们将函数fx，q（y）定义如下：对于y>xfx，q（y）：=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）y-1.-ζF1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-是的o（22）+n与ζ和ζ互换的表达式相同，对于0<y<xfx，q（y）：=nq（Ax）-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx（23）×G3,13,41.- ^ρ，1，1+ρ1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζ是的o+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。在上述公式中，Φ表示正则化超几何函数，如附录A（A.7）所述。定理2。Ix，qis fx，q（y）的概率密度函数。证据

应用公式（A.10），我们检查对于任何大于0的小enoughfx，q（y）=O（y^ρ-），如y→ 0，（24）fx，q（y）=O（y-1.-ζ） ，作为y→ +∞, （25）所以函数ys-1fx，q（y）可积为0∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1。对于该条带中的s，我们定义为：=Zxfx，q（y）ys-1dy，I（s）=Z∞xfx，q（y）ys-1dy，现在我们的目标是检查I（s）+I（s）=Mx，q（s）（其中右侧由（20）给出）。首先，我们使用公式（A.14）和公式（s）=nqA-^ζxs-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx×G4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，s+1s，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζAxo+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。类似地，使用公式（A.15），我们发现（s）=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）xs-1.-ζ1+ζ- 旧金山1+ζ- s、 1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ2+ζ- s、 1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-Axo+n与ζ和ζ互换的表达式相同。让我们概述一下证明身份I（s）+I（s）的计划- Mx，q（s）=0，对于条带0中的所有s∨ （1）-^ζ）<Re（s）<1。（26）首先，我们使用公式（A.11）并用超几何函数表示（26）中出现的所有Meijer G函数。这将给出一个包含两个超几何函数乘积的表达式。简化此表达式后，我们将获得以下等式xi=1（ai- ρ） （ai＋ρ）Q1≤j≤5j6=i（ai- aj）×F1+人工智能- ρ、 1+ai+ρ，1+ai，1+ai- s1+ai- 一*, . . . , 1+人工智能- 一-Ax（27）×F1+ρ- ai，1- ^ρ-ai，-ai，s- ai1+a- ai，*, . . . , 1+a- 人工智能Ax= 0，x∈ R \\{0}，其中[a，a，a，a，a]=[ζ，ζ，-^ζ，-^ζ，s- 1] 星号表示t项1+ai- 已提交。已知等式（27）为真：这是Feng等人[6]中定理1的特例。上述证明步骤虽然概念上很简单，但需要很长的计算时间。因此，我们在此省略所有这些细节，并在附录B中列出。备注2。

Theorem2证明的最后一步所需的代数操作（其中weestablish恒等式（26））相当繁琐（如附录B所示）。同时，通过数值实验很容易证实这个恒等式的有效性：只需通过（a.11）计算Eijer G函数，通过级数展开（a.6）计算超几何函数，并检查（26）是否适用于任意参数选择。在下一个结果中，我们计算了Ix，q的分布函数。对于y≥ xP（Ix，q>y）=nqxζ+ζMx，q（ζ）ζψ′（ζ）y-ζF1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ，ζ1+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ-是的o（28）+n与ζ和ζ互换的相同表达式，0<y<xP（Ix，q<y）=nqA（Ax）-^ζsin（π（ρ-^ζ）sin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx（29）×G3,13,4-ρ，ρ，1ζ，ζ，-^ζ，-^ζ是的o+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。证据公式（28）可以很容易地从（22）和（A.15）中得到。类似地，公式（29）来自（23）、（A.14）、（A.12）和（A.8）。推论2。假设ζ>1。那么对于y≥ xE[Ix，q{Ix，q>y}]=nqxζ+ζMx，q（ζ）ψ′（ζ）（ζ- 1）y1-ζF1+ζ，1+ζ- ρ、 1+ζ+^ρ，ζ- 11+ζ- ζ、 1+ζ+^ζ，1+ζ+^ζ，ζ-是的o（30）+n与ζ和ζ互换的表达式相同，对于0<y<xE[Ix，q{Ix，q<y}]=nqysin（π（ρ-^ζ）（Ax）^ζsin（π（^ζ-^ζ）Φ^ζ，1+^ζ+ρ，1+^ζ- ^ρ1+^ζ-^ζ，1+^ζ+ζ，1+^ζ+ζAx（31）×G4,14,51.- ^ρ，1，1+ρ，32，1+ζ，1+ζ，1-^ζ，1-^ζ是的o+n与^ζ和^ζ互换相同的表达式。证据与推论1的证明步骤相同。备注3。跳跃扩散过程（17）包括漂移Xt=ut+σw的布朗运动，当λ=0时为特例。在这种情况下，可以简化推论1中的表达式。

让我们表示ν：=2uσ，η：=p8q/σ+ν，κ：=1- ν。那么对于y≥ x、 P（Ix，q>y）=qΓ（η- κ+1/2）xκy1-κΓ（1+2η）（η+κ- 1/2）e（1/x-1年）/σWκ，ησxMκ-1，ησy,而对于0<y<x，P（Ix，q<y）=qΓ（η- κ+1/2）xκy1-κΓ（1+2η）e（1/x-1/y）/σMκ，ησxWκ-1，ησy.此处M和W表示Whittaker函数，其定义和基本性质可在inOlver等人【22】中找到。同样，推论2中的表达式也可以简化：对于y≥ x、 E[Ix，q{Ix，q>y}]=qΓ（η- κ+1/2）xκy2-κΓ（1+2η）（η+κ- 1/2）e（1/x-1年）/σWκ，ησx“Mκ-2，ησyη+κ-3/2+Mκ-1，ησy#,对于0<y<x，E[Ix，q{Ix，q<y}]=qΓ（η- κ+1/2）xκy2-κΓ（1+2η）e（1/x-1/y）/σMκ，ησxWκ-1，ησy- Wκ-2，ησy.这些表达式是在Feng a和Volkmer【8，命题3.4】中使用光谱方法获得的。4应用程序我们在引言中讨论过，指数函数自然出现在分析保险人对可变年金担保福利的负债时，这是由于管理费持续收取，作为投保人账户价值的固定百分比。在本节中，我们应用了之前获得的理论结果，并计算了保证最低死亡福利（GMDB）的各种风险度量，GMDB是市场上最常见的投资担保类型之一。假设股票指数{St，t≥ 0}由指数L'evy processSt建模：=SeXt，t≥ 0，其中X是Kou过程，如（17）所述。此外，假设投保人的投资账户由（5）中的股权挂钩机制驱动。回想一下，GMDB从保险人的视角得出的净负债为byL：=e-rTx（FerTx- FTx）+-ZTxe公司-RSMDFSD。（32）由于死亡率风险和权益风险的独立性，我们得到了V≥ VaRξ>0，P（L>V）=Z∞P（t，K）f（t）dt，（33），其中f是Tx的概率密度函数，K：=（f- V）/（mdF）和P（t，K）：=PxeX公司*t+ZteX*sds<Kx=1/md。

基础L'evy流程X*与（17）中的工艺X相同，但用u替换为u*:= u- r- m、 P相对于t的拉普拉斯变换由▄P（q，K）：=Z给出∞e-qtP（t，K）dt=qP（Ix，q<K）。类似地，我们可以证明CTEP（L）=F-mdF1-pZ公司∞Z（t，K）f（t）dt，（34），其中Z（t，K）：=ExeX公司*t+ZteX*十二烷基硫酸钠{xeX*t+RteX*sds<K}.其关于t到t的拉普拉斯变换由▄Z（q，K）：=Z给出∞e-qtZ（t，K）dt=qEIx，q{Ix，q<K}.文献中关于人类死亡的一个常见模型是所谓的Gompertz-Makeham摩尔定律，该定律假设死亡老鼠euxis是常数A（用于解释意外死亡）和成分Bcx（用于解释老化）之和：ux=A+Bcx，A>0，B>0，c>1。（a） 基数（b）权重图1：近似指数总和其概率密度函数f由f（t）=（a+Bcx+t）exp给出-在-Bcx（ct- 1）ln c. （35）如Feng和Jing【5】所示，我们总是可以使用Hankel矩阵的分解，通过具有复分量和复权重的指数函数f（t）的组合来近似EF≈MXi=1wie-坐R（si）>0。在文献中有许多已知的近似方法，其中大多数仅利用实分量和实权重。然而，汉克尔矩阵方法的优点是使用了相对较小的t项数。那么，对于足够大的M，P（L>V）≈MXi=1wiP（si，K）。（36）同样，我们可以通过CTEP（L）近似计算CTE风险度量≈ F-mdF1-pMXi=1wiZ（si，K）。（37）让我们用一个数值例子来说明对GMDB的应用。（i） 生存模型。假设考虑中的可变年金合同发给65岁儿童，其生存模型由Gompertz-Makeham死亡率定律确定，概率密度见（35），其中x=65，A=0.0 007，B=0.00005，c=100.04。

使用Hankelmatrix方法，我们通过组合M=15项指数（a）死亡率密度（b）近似误差图2：死亡率密度函数的近似值来近似死亡率密度。图1显示了15项指数和的基数和权重。在图2中，我们显示了原始密度函数的曲线图以及15项近似经验和的误差。从图s可以清楚地看出，最大误差得到控制，supt∈[0100]f（t）-MXi=1wie-坐< 1 0-6.（ii）权益模型。假设可变年金合同投资于一只股票基金，该基金由以下两种模式驱动1。几何布朗运动（GBM）：在这里，我们使用一个标准模型，从1955年12月至2003年12月（包括1955年12月），从保险业校准到每月标准普尔500指数总回报数据。众所周知，该模型还通过了美国汽车协会（c.f.AAA报告[9，p.35]）设定的股票回报模型校准标准。u=0。064161，σ=0。16.2。

具有双边指数跳跃的指数L'evy过程（Kou）：我们使用两组参数与GBM模型进行比较。（参数集A）u=0.119161，σ=0.100499，λ=1，p=0.3，ρ=20，^ρ=10；（参数集B）u=0.064186，σ=0.144395，λ=0.00005，p=0.3，ρ=0.1，^ρ=0.2。选择参数时，应确保GBM模型和Kou模型的前两个Xare矩保持不变，即u=u+λpρ-λ（1- p） ρ，σ=σ+2λpρ+2λ（1- p） ^ρ。第一组参数导致小跳跃的发生相对频繁，而第二组参数的选择是为了显示相对罕见的大跳跃。λ=1λ=0.01λ=0.0001λ=0.000001 GBM（λ=0）P（L>0.2）0.4794368114 0.0954727742 0.0927572184 0.0927 302874 0.092 7300396P（L>0.4）0.3313624187 0.03327 852158 0.03185715421 0。03184312600 0.03184298681P（L>0.6）0.1787553560 0.06201 911742 0.005797295345 0.005793340382 0。005793300500表1:GMDB净负债的尾部概率蒙特卡罗蒙特卡罗分析蒙特卡罗（N=1000）（N=100，000）P（L>0.2）0.4794368114 0.4787000000 0.4796620000（0.015495 6700）（0.0015 078343）时间11.097 68.422203 7107.196853P（L>0.4）0.33136241870.334200000 0 00 0 0.3321305000（0.0143218640）（0.0013 534030）时间10.912- -P（L>0.6）0.1787553560 0.1780 0 0.1794875000（0.010548 1353）（0.0011 432358）时间10.463- -表2:GMDB净负债的尾部概率，λ=1（iii）费用表。初始购买付款假设为F=1。担保水平从G=1开始，支持GMDB负债的保险人资产收益率为byr=0.02。货币和费用（M＆E）费用按每时间单位每美元保单持有人投资账户的M=0.01收取。假设GMDB附加费费率为机电费率的35%，即。

md=0。回想一下，GBM模型实际上是Kou模型的特例。因此，我们应首先使用GBM模型下GMDB网络可用性的tailprobability作为基准，根据该基准可以测试Kou模型下相应结果的准确性。在表1中，尾概率的最后一行由公式（36）计算，其中P（s，K）由备注3中的公式确定。表的其余部分由公式（36）确定，其中P（s，K）由花冠y 1中的公式确定。为了便于与GBM模型进行直接比较，我们将Kou模型u设置为0。064161，σ=0。16，p=0.3，ρ=20，ρ=10。正如预期的那样，表1表明，随着跳跃强度率λ趋近于零，Kou模型下GMDB净负债的尾部概率逐点收敛于GBM模型下的相应结果。我们还可以使用蒙特卡罗方法测试GMDB净负债尾部概率结果的准确性。以λ=1的情况为例，见表2。对于蒙特卡罗方法，我们首次采用接受-拒绝方法，根据Gompertiz-Makeham死亡率定律（35）生成投保人的剩余寿命。在每个实验中，我们根据指数Levy模型模拟股票指数从开始到股东死亡时间的N个样本路径。在每个样本路径下，我们通过步长为0.01的Rieman Sum（对应于（32））来确定GMDB的网络能力。假设GMD B付款应在（a）所有正负债（B）特大负债外支付。图3：GMDB净负债的尾部概率死亡时间步长结束时。