融合网络理论和信用风险技术的动态方法

假设t=1年，Bi（t）=Bi=Ai（0）-Ei（0）和σias常数，并进一步假设ui=0，我们可以写出：P Di（t+t） =1-Φln（Ai（t）- Ii（t））- ln Bi公司- 0.5σitσi√t型（6） 我们还设置了P Di（t+t） =1如果Ii（t）≥ Ei，即影响大于资本的银行违约。在给定P Di（0）的时间t=0时，可通过反式（6）获得参数σi。u和σ的其他选择也是可能的。例如，常数σ的假设并不完全令人满意，因为当公司接近违约时，预期波动性增加是合理的。可以设计更复杂的模型实现，包括σ（t）和u（t）的动力学。线性更新：默顿更新是更新违约概率的财务“正确”方法。然而，我们发现引入P Di（t+t） 其中，inP DII的增加与影响Ii（t）成正比。当波动率σ非常大时，这可以被认为是默顿更新的代理版本（见图2）。P Di（t+t） =最小值1，P Di（t）+（1- P Di（t））Ii（t）Ei（t）（7） 带P Di（t+t） 当冲击II（t）大于或等于Ei（t）时，上限为1。图2：节点违约概率P D作为影响I的函数，表示为资本E的分数。当比率I/E等于或大于1时，我们将P D=1，因为金融机构破产，它将在下一个时间段违约。连续线表示线性更新，而点表示梅顿更新，资产波动率σ的不同值。损失分布的计算：如与信贷风险法相关的段落所述，金融机构i在时间t的违约对应于抽样中随机变量xi的提取值xiof（X=X，X=X，…，XN=XN）小于Φ-1（P Di（t））。

如果在时间t至少有一个节点已默认，我们将在下一次t+t如等式所示。（5） 。然后删除默认节点及其各自的边。相反，如果没有节点在时间t出现默认值，我们将继续执行以下时间步，并使用相同的网络和随机过程参数进行新采样。然后，对M个时间迭代继续进行模拟。整个网络在时间t时的损失L（t）计算为：L（t）=XjAj（t）LGDj（t）δj（t）（8），而总损失L是通过将不同时间段的损失计算值相加得出的：Ltot（M）=MXt=1L（t）D（t）（9），其中D（t）是相对于时间t的贴现因子。下面我们用符号表示损失分布的平均值。风险度量：PDImpact和PDRankIn在我们的框架中，节点的特征是初始违约概率PD（t）≡（P D，P D，…，P DN）在时间t=0时。因此，即使在没有任何外部冲击的情况下，系统也可以在所考虑的M个时间段的时间框架内，在模拟过程中承受损失。由此获得的损失分布，尤其是预期损失Ltot（PD）可作为基线，用于与存在应力时的损失进行比较。由于网络故障被描述为一组节点违约概率的增加，δPD，我们可以将所谓的违约影响概率（PDImpact），表示为C（δPD），将应力扰动δPD引入违约概率的初始值：C（δPD）=Ltot（PD+δPD）- Ltot（PD）（10），其中右侧的两项分别是存在和存在附加应力δPD时网络的平均损失。类似地，我们还可以引入一个节点中心度（node centralitymeasure），我们将其命名为违约概率排名（或称PDRank），用于评估每个金融机构的相对重要性。

节点i的PDRank是将节点i的违约概率乘以网络由于节点i的违约而经历的额外平均损失：P DRanki=P Di·Ltot（PDDi）- Ltot（PDIi）（11） 其中，Pddi是初始概率向量，其中与节点i相对应的概率被设置为1 att=0，而Pdii是初始概率向量，其中与节点i相对应的概率被设置为0，并且在每次t≥ 0（模拟期间节点无法默认）。因此，数量Ltot（PDDi）和Ltot（PDIi）分别代表模拟期间的平均损失，当节点i在时间1默认时，以及当节点i无法默认时（无论节点i如何，网络都将支持的平均损失）。在实践中，P DRankiof nodei衡量节点i“应付”的预期损失。作为已知的债务等级，它表示为货币价值，可用于根据节点的“系统性风险”对节点进行评级。引入PDRank和PDImpact，我们保持了DebtRank的特点：节点“中心性度量”的货币价值，以及在没有实际违约的情况下对网络灾难的敏感性。通过量化系统对所有初始违约概率百分比增加的敏感性，可以获得网络的进一步特征，即P DBeta。假设PDImpact C（δPD）之间存在近似线性关系*) 针对违约概率δPD的增加而获得*≡ PD·x/100和增加的百分比x，我们可以将P DBeta定义为：P DBeta=C（δPD*)x（12）以这种方式，P DBeta表示违约概率的单一百分比变化的PDImpact变化。图3：具有两个节点的网络用于显示不同模型的特征。

该系统由总资产为a、大写字母为E、且给定违约LGD和违约概率为P D的节点构成。节点之间的相关性为ρ，而阳极对另一个节点违约的风险敞口分别为a和a.IV。结果说明了我们的模型是如何工作的及其与标准方法的差异，我们将研究只有两个节点的网络的情况，这很容易用马尔可夫链方法来处理。然后，我们将给出欧洲全球系统性重要银行网络的PD模型的数值模拟结果。在主要发现中，我们将展示当节点之间的平均相关性较低时，系统呈现“强传染”效应的情况，其特征是风险增加。这种行为是违反直觉的，因为相关性越低，违约倾向越低，就会引发巨大损失。这确实是在只考虑一个时间周期的标准信用风险模型中发生的情况。在PD模型中，分析多个时间段后，传染效应开始发挥作用，在适当的情况下，它们支配着动态。当这种情况发生时，较低的相关性会增加第一阶段中单节点默认的概率。然后，网络中剩余节点的违约概率增加，随后的时间步长中会出现严重损失。这两个银行案例让我们考虑图3所示的具有两个节点的网络。

网络由节点1到节点2的曝光aof、节点2到节点1的曝光aof以及两个节点之间的相关性ρ来描述。此外，我们有以下与节点相关的数量：资本EAN和E，总资产A和A，以及违约概率P和D。网络理论接近我们认为的第一个网络理论方法，即所谓的Fur-fine模型[31]，这是基于adomino效应机制，当且仅当阳极应力严重到足以消除相邻节点的全部资本时，阳极应力才会传播。这个过程从对节点1施加外部冲击（损失）开始，但如果S≤ E、 相反，如果S>E，则节点1默认为损失a·LGD。当且仅当a·LGD>E时，节点2将依次默认，并有额外的损失a·LGD。这种模式的问题是它没有感受到网络上的压力。例如，即使S刚好低于E，当资本能够吸收压力时，也不会发生任何事情，同样，如果影响a·LGDis刚好低于E。为了克服这一限制，可以使用广义DebtRank模型代替。在该模型中，应用于节点i的应力由连续变量hi（t）=1描述-Ei（t）/Ei代表迭代t时的资本损失百分比，hi=1对应于违约【33】。在我们有两个节点的网络中，节点变量在每次迭代时更新为：h（t+1）=min[1，h（t）+^aE（h（t）- h（t- 1） ）]h（t+1）=min[1，h（t）+^aE（h（t）- h（t- 1） ）]（13）其中我们引入了数量^aij=aij·LGDj。在迭代t=0时，通过向节点1施加初始应力0<S<1，再次开始该过程。因此，我们设置h（0）=S，h（0）=0，其中h(-1） =小时(-1） =0。

迭代该算法，直到节点上的应力接近FhandFh值，损失计算为：损失=fhE+fhE（14）。该算法提出了与最终模型相反的问题，因为它可能对外部冲击非常敏感。例如，在^aE>1和^aE>1的情况下，每次碰撞都会放大冲击，直到两个节点中至少有一个出现默认值。无论最初的损失有多小，都会出现这种不切实际的结果。在实际的金融系统中，银行的资本通常比其他银行的风险敞口更大，但正如Bardocia等人（2017）[16]所述，上述不稳定性在金融网络中不会出现。标准信用风险方法。有两个节点的例子特别方便，因为不需要蒙特卡罗模拟，系统可以用四态马尔可夫链来描述[48]。为了进一步简化处理，我们研究了节点对称的情况。特别地，我们假设它们对于参数A、P D和LGD具有相同的数值。马尔可夫链的四个状态根据默认节点命名：{0}没有节点默认，{1}节点1默认，{2}节点2默认，{12}两个节点都默认。从处于状态{0}的系统开始，在接下来的时间步中，它将以概率p0移动到状态{1}→1，以概率p0表示{2}→2andto状态{12}，概率p0→12、查看图4很明显，信贷风险经理执行的标准信贷风险计算无法探测整个链，因为他们只使用单个时间步。例如，给定节点1的默认值，节点2的默认概率表示为p1→12，将仅从第二个时间步开始扮演角色。

马尔可夫链的转移概率可以从高斯潜变量模型的参数中获得，如下所示：p0→12=Φ（Φ-1（P D），Φ-1（P D），ρ）（15）p0→1=p0→2=P D- p0→12（16）p0→0=1- p0→1.- p0→2.- p0→12（17）调用π（t），π（t），π（t），π（t），π（t）分别是在时间t处于状态{0}，{1}，{2}和{12}的概率，我们可以从图5a中看到π（t=1）≡ p0→12I是ρ的递增函数，根据公式（15），它只取决于ρ和P D，而不取决于其他网络参数。这正是银行风险管理者所期望的，因为他们的信用风险模型通常只考虑一个时间步。为了计算时间t的损失分布，这是任何模型评估信用风险的目标，我们需要考虑与马尔可夫链四种状态中的每一种相关的损失：L=0，L=L=a·LGD，L=2A·LGD及其相应的概率π（t），π（t），π（t）和π（t）。所需置信水平下的平均损失和分位数可根据损失分布计算，并可用于评估系统风险。例如，在t=1的标准信贷风险模型中，平均损失由等式LTOT（t=1）=Ps={0}，。。。{12} Lsπs（t=1）。在上述分析中，我们忽略了从时间t到时间0的折扣系数。PD模型。在用PD模型分析系统时，我们扩展了我们考虑的参数，并保持两个节点的对称性，我们还设置了E=E=E，a=a=a和^a=a·LGD。为了计算损失分布，我们使用马尔可夫链，如图4所示，具有多个时间步长M。M是分析的输入，取决于我们要调查的总时间长度。

应选择足够大的值，以使处于特定状态的概率沿链充分分布，但足够小，以使处于吸收状态的概率（所有节点都已默认）不会太大。我们将使用M=7个周期每年一次。我们将考虑capitalE的不同值和由invertingEq获得的σ的相应值。（6） 。使用PD模型和Merton更新，如“合并两种方法：PD模型框架”一节所述，可以获得p1→12和P2→12根据网络参数a、节点特征a和E以及波动率σ：p1更新方程→12=p2→12=1- Φln（A-^aA-E）- 0.5σσ！（18） 考虑到{12}是吸收态，因此可以获得马尔可夫链的附加跃迁概率p12→12=1，从一个状态到一个时间步可以达到的所有状态的跃迁概率之和必须等于1这一事实来看。例如p1→1可在asp1获得→1=1- p1级→12、与共同直觉不符的结果出现在PD模型中，在该模型中，我们发现出现了一种我们称之为强传染机制的情况，在这种情况下，随着两家银行之间相关性的增加，支持最大损失（双重违约）的可能性降低。这如图5b所示，其中我们绘制了t=7个时间段后双违约概率π（t）与ρ的关系，并探索了初始资本E的不同值。我们注意到，对于E的三个最大值，概率π（t=7）随相关性ρ的增加而增加。这种行为与图5a中报告的单周期模拟中发现的行为没有区别。相反，对于E的三个最小值，概率π（t=7）是ρ的递减函数。

发生这种情况的原因是概率p1→12和p2→12对于较小的E值和“传染”路径，值较大[p0→1，p1→12] 和【p0】→2，p2→12] 与直接路线相比，成为主导路线[p0→12] 。当这种情况发生时，我们有一个很强的传染机制，其中概率π（t=7）随着相关性ρ的增加而降低，因为系统在第一次迭代期间移动到状态{1}或{2}的可能性较小，因此它不能“利用”高转移概率链接p1→12和p2→损失分布可以类似于标准信用风险法，将每个状态与相对损失相关联。特别是，图5b可以解释为表明，对应于双重违约状态{12}，Ltot=2A·LGD的经验损失概率是ρ的递减函数，对于非常小的资本E。图4：对应于两银行网络的马尔可夫链。链有四种状态：{0}没有默认的节点，{1}节点1已默认，{2}节点2已默认，{12}两个节点均已默认。箭头表示状态之间可能的转换及其相关的转换概率。与标准信贷风险模型一样，连续的黑色箭头将在单个时间步内从状态{0}可以达到的状态连接起来，而灰色箭头表示仅由PD模型考虑的过渡。欧洲全球系统重要性银行网络我们应用我们的模型分析了欧洲银行管理局（EBA）收集的与欧洲全球系统重要性银行（GSIB）相关的数据。由于这是该调查领域的标准，因此无法获得与暴露矩阵{aij}相关的完整数据集，因为它是敏感信息，通常甚至监管机构都没有。

我们遵循了研究界普遍接受的做法【16、28、29】，即使用我们现有的数据推断双边风险敞口网络，即对于每个节点i，总风险敞口的组成部分和与其他金融机构的总负债。我们使用了Methods中描述的一种新算法来创建一组十个双边网络，并使用集合的平均值来执行我们的分析。违约概率的初始值是从有关银行信用评级的公共信息和theFitch网站上可用的统计数据中获得的（见方法），而银行的其他特征，如资本E和总资产A，则可从欧洲银行业管理局的数据集获得。在【43】之后，我们将对correlationmatrix的每个非对角线条目使用一个单独的成对相关系数ρ值，如果没有其他规定，我们将假设ρ=0.5，这可以解释为银行之间的平均相关性。为了完成这组参数，我们为每个金融机构分配了LGD=0.6。为所有GSIB银行设置相同的LGD是aFIG。5： 在标准信贷风险方法和PD模型中，双违约概率与ρ的关系。我们考虑一个对称的两节点网络，参数a=2000亿欧元，P D=P D=0.001，^a=10亿欧元。（a） 在标准信用风险方法中，一个时间步后处于状态{12}的概率π随两个节点之间的相关性ρ单调增加。（b） 在7个时间段各为一年的PD模型中，处于状态{12}的概率π是ρ的增函数或减函数，取决于初始资本E。