中的长期债券、长期远期测度和长期因子分解

以下估计值适用于任何函数h∈ 高宽比：Z∞T | h（x）| dx≤ C（T）khk'w，其中C（T）=K（T-/2∧ 1） 对于某些K>0和>0。证据自w（x）起≥ 1，所有h∈ H？wwe可以写入H（x）|=Z∞xh′（s）ds≤ khk？wZ∞xds？w（s）1/2≤ khk？wZ∞xK（s）-（3+）∧ 1） ds公司1/2≤ khk？wK（x-（1+2）∧ 1） ，其中常数K可以从s阶跃变为阶跃。因此，R∞T | h（x）| dx≤ khk？wK（T-/2∧ 1） 。引理A.1确保向量σ的每个元素∞锡（3.9）定义良好。下一个引理确定σ∞t型∈ l（15）的RHS定义良好。引理A.2。Rtkσ∞sk公司lds公司≤ C（0）tD。证据引理A.1，R∞|σjs（u）| du≤ C（0）kσjsk'w。这意味着ztkσ∞sk公司lds公司≤ZtXj公司∈NZ∞|σjs（u）| duds公司≤ZtXj公司∈NC（0）kσjsk？wds=C（0）ZtkσskL（H？w）ds≤ C（0）tD，（27），其中Dis为等式（7）中的波动率界限。通过上述引理，很好地定义了（15）中的最后一个积分。随机积分rσ∞由于It^o的等距，s·dWPsis得到了很好的定义。第一个积分以zt为界kγskl+ kσ∞sk公司lds公司≤ZtΓ（s）ds+C（0）tD，（28），这可以通过以下事实得到很好的定义：∈ L（R+）。因此，（15）的右侧定义良好。现在我们来验证等式（26）。我们首先重写PTt/PTand B∞根据Q-布朗运动WQt，由式（15）确定的tde:PTtPT=Atexp-ZtσTs·dWQs-ZtkσTsklds公司, （29）B∞t=Atexp-Ztσ∞s·dWQs-Ztkσ∞sk公司lds公司. （30）固定电流t≥ 我们注意到，条件（26）可以在与任何估值过程V:limT相关的任何局部等价概率测度qvas下写入→∞等式[| BTt/Vt- B∞t/Vt |]=0。（31）我们可以利用此自由选择适合手头设置的度量。在这里，我们选择在Q下进行验证，即limT→∞均衡器PTtPTAt公司-B∞tAt公司= 0。（32）我们首先介绍一些符号。为了v∈ [0，t]和t∈ [t，∞] 确定数量jtv：=ZvσTs·dWQs，kTv：=ZvkσTsklds，（33）(R)σTv：=σ∞v- σTv=Z∞T-vσv（u）du，zTv：=Zvk'σTsklds，YTv：=e-（jTv-j∞五）-zTv。

（34）对于p≥ 1和一个随机变量X表示kxkp：=公式[| X | p]1/p，只要预期明确。那么等式（32）可以重写为limt→∞ke公司-jTt公司-kTt公司- e-j∞t型-k∞tk=0。（35）根据H¨older不等式，limT→∞ke公司-jTt公司-kTt公司- e-j∞t型-k∞tk公司≤限制→∞ke公司-j∞t型-k∞tkke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k。（36）下面的引理A.3和A.4表明ke-j∞t型-k∞tkis定义和限制→∞ke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k=0。引理A.3。对于每个t>0，都存在这样的C，即SUPV≤tkYTvk公司≤ C<∞ 和ke-j∞t型-k∞tk公司≤ C<∞. （37）证明。我们首先考虑过程（YTv）=e-（2jTv-2j∞五）-4zTv+2ZTF用于t∈ [0，T]。根据It^o\'sformula，e-（2jTv-2j∞五）-4zTvis局部鞅。因为它也是正的，所以它是一个超鞅（实际上，根据引理a.2和Novikov标准，它是一个真鞅）。因此，对于所有v≤ t、 等式[e-（2jTv-2j∞五）-4zTv]≤ 1.（38）类似于引理A.2，| zTv |≤C（T- v） vD。因此，kYTvk=等式[e-（2jTv-2j∞五）-4zTv+2zTv]≤eC（0）vD。这意味着SUPV≤tkYTvk公司≤ eC（0）tD。（39）类似地，（e-j∞t型-k∞t） =e-2j∞t型-4k∞t+2k∞t、 过程e-2j∞t型-4k∞这是一个超级马丁格尔，k∞t型≤C（0）tD（引理A.2）。因此，ke-j∞t型-k∞tk公司≤ eC（0）tD。引理A.4。限制→∞ke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k=0。（40）证明。我们需要以下两个中间引理。引理A.5。对于T≥ t、 supv公司≤t | kTv- k∞v |≤ C（0）C（T- t） tD。证据supv公司≤t | kTv- k∞v |=supv≤t型Xj公司∈新西兰元ZT公司-s+Z∞σjs（u）duZ∞T-sσjs（u）duds公司≤Xj公司∈新西兰元Z∞|σjs（u）| duZ∞T-s |σjs（u）| duds公司≤Xj公司∈NZtC（0）kσjsk'wC（T- s） kσjsk？wds=C（0）C（T- t） ZtXj公司∈Nkσjsk？wds=C（0）C（T- t） ZtkσskL（H'w）ds≤ C（0）C（T- t） tD。（41）引理A.6。限制→∞基特- 1k=0。（42）证明。根据It^o公式，YTt=1+ZtYTv'σTv·dWQv。（43）根据It^o等距，我们得到了Kytt- 1k=等式ZtkYTv‘∑Tvkldv. （44）引理A.1，|σT，jv |≤ C（T- v） kσjvk'w。

苏斯基特- 1公里≤ 均衡器Xj公司∈NZt | YTv | C（T- v） kσjvk？wdv≤ C（T- t）等式Zt | YTv | Xj∈Nkσjvk？wdv= C（T- t）等式Zt | YTv | kσvkL（H'w）dv≤ C（T- t）等式Zt | YTv | Ddv≤ C（T- t）DZtEQ（| YTv |）dv≤ C（T- t）DZtCdv（引理A.3）=C（t- t）DCt。（45）自限制→∞C（T- t） =0，等式（42）已验证。现在我们返回引理A.4的证明。ke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k=kYTtezTt-（kTt）-k∞t）- 1公里≤ k（年初至今）- 1） ezTt公司-（kTt）-k∞t） k+kezTt-（kTt）-k∞t）- 1k。（46）回想引理A.5，| kTt- k∞t |≤ C（0）C（T- t） tD。使用与Lemma相同的方法。2，我们可以证明| zTt |≤C（T- t） tD。因此，我们有-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1公里≤ 基特- 1摄氏度（T-t） tD+C（0）C（t-t） tD+eC（t-t） tD+C（0）C（t-t） tD公司- 1.（47）最后，利用引理A.6和limT→∞C（T- t） =0。参考文献f。阿尔瓦雷斯和U.J.杰曼。使用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977–2016，2005。D、 巴科斯、N.博亚琴科和M.切尔诺夫。资产价格和回报的期限结构。可用SSRN，http://ssrn.com/abstract=2762069，2015年。G、 Bakshi和F.Chabi Yo。随机贴现因子的永久性和暂时性分量的方差界。《金融经济学杂志》，105（1）：191–208，2012年。G、 Bakshi、F.Chab i-Yo和X.Gao。我们可以信任的复苏？推导和检验恢复定理的限制。技术报告，工作文件，2015年。T、 比约克和B·J·克里斯滕斯。利率动态和一致的远期利率曲线。数学金融，9（4）：323–3481999。T、 比约克和A.贡巴尼。利率模型的最小实现。《金融与随机》，3（4）：413–4321999。T、 比约克和L.斯文森。关于非线性前向速率模型有限维实现的存在性。《数学金融》，11（2）：205–2432001年。J、 Boroviˇcka、L.P.Hansen、M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3–65，2011年。J

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