中的长期债券、长期远期测度和长期因子分解

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英文标题：
《The Long Bond, Long Forward Measure and Long-Term Factorization in
  Heath-Jarrow-Morton Models》
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作者：
Likuan Qin and Vadim Linetsky
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper proves existence of the long bond, long forward measure and long-term factorization of the stochastic discount factor (SDF) of Alvarez and Jermann (2005) and Hansen and Scheinkman (2009) in Heath-Jarrow-Morton (HJM) models in the function space framework of Filipovic (2001). A sufficient condition on the weight in the Hilbert space of forward rate volatility curves is given that ensures existence of the long bond volatility process, the long bond process and the long-term factorization of the SDF into discounting at the rate of return on the long bond and a martingale component defining the long forward measure, the long-term limit of T-forward measures.
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中文摘要：
本文在Filipovic（2001）的函数空间框架下，证明了Heath-Jarrow-Morton（HJM）模型中Alvarez和Jermann（2005）以及Hansen和Scheinkman（2009）的随机贴现因子（SDF）的长期债券、长期远期测度和长期因子分解的存在性。给出了远期利率波动曲线在希尔伯特空间中权重的一个充分条件，以确保长期债券波动过程、长期债券过程和SDF的长期因子分解以长期债券的收益率进行贴现，以及定义长期远期测度（T-远期测度的长期极限）的鞅分量的存在。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Long_Bond,_Long_Forward_Measure_and_Long-Term_Factorization_in_Heath-Jarrow-.pdf (272.07 KB)

2022-5-25 17:45:51 上传

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关键词：长期债券 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

Heath-Jarrow-Morton模型中的长期债券、长期远期计量和长期因子分解*和Vadim Linetsky+西北大学工业工程与管理科学系McCormick工程与应用科学学院摘要本文证明了长期债券的存在，Filipovi\'c（2001）函数空间框架中Heath Jarrow Morton（HJM）模型中Alvar ez和Jermann（2005）以及Hansen和Scheinkman（2009）的随机贴现因子（SDF）的长期远期测度和长期因子分解。给出了远期利率波动率曲线希尔伯特空间中权重的有效条件，以确保长期债券波动过程、长期债券过程和SDF的长期因子分解以长期债券收益率贴现，以及*likuanqin2012@u.northwestern.edu+linetsky@iems.northwestern.edua鞅分量定义了长期向前测度，即T-向前测度的长期极限。1简介随机贴现因子（SDF）将当前价格分配给备选投资期的风险未来收益。它通过同时贴现未来和调整风险来实现这一点。SDF的一个常见表示是将因子分解为短期无风险利率下的因子贴现和调整风险的鞅分量。该鞅实现了从数据生成（物理）度量到风险中性度量Q的概率变化。最近，Alvarez和Jermann（2005）、Hansen等人（2008）、Hansen和Scheinkman（2009）、Hansen（2012）以及Qin和Linetsky（2017）研究了SDF的替代长期因子分解。

长期因子分解分解了无套利资产定价模型ST=e中的定价核（PK）过程-λtπtM∞按长期贴现率λ（长期债券的收益率，一种到期时间较长的零息票债券），一个描述长期债券净长期贴现率的总持有期回报的过程πt，以及一个正鞅M∞t确定长期前瞻性措施L.过程B∞t=eλtπt从时间零点到时间t追踪长期债券的总收益。然后，从时间t+τ到时间t的S DF取形式St+τSt=R∞t、 t+τM∞t+τM∞t、 其中∞t、 t+τ=B∞tB∞t+τ=e-λτπtπt+τ是指在t和t+τ之间以持有长期债券获得的回报率进行贴现的贴现系数，以及系数M∞t+τ/米∞十码风险调整。Alvarez和Jermann（2005）最初在离散时间遍历经济中引入了长期因子分解。Hansen和Scheinkman（2009）介绍并研究了连续时间马尔可夫经济中的长期因式分解，并将其表示为定价算子的Perron-Frobenius主特征函数。最近，Qin和Linetsky（2017）将长期因子分解扩展到一般半鞅经济体。他们的长期冰特征化鞅方法不需要马尔可夫规范，而是基于一个限制程序，构建由鞅M定义的长期向前测量∞tas随着到期日的增加，T-到期日远期限额衡量数学金融中熟悉的数量（Jarrow（1987）、Jamshidian（1989）、Geman等人（1995））。

长期贴现率λ和过程π与Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius特征值和特征函数相对应，因为在马尔可夫经济体中，过程πT导致马尔可夫态函数π（Xt），其中π（x）是具有特征值e的定价算子的Perron-Frobeniuseigenfunction-Hansen和Scheinkman（2009）中的λtas（参见Qin和Linetsky（2016）了解马尔可夫模型的更多详细信息）。SDF的长期因式分解可方便地应用于长寿命资产的定价以及风险回报交易基金期限结构的理论和实证研究。除上述参考文献外，关于长期因子分解及其应用的不断增长的文献包括Hansen和Scheinkman（2012）、Hansen和Scheinkman（2017）、Boroviˇcka et al.（2016）、Boroviˇcka et al.（2011）、Boroviˇcka和Hansen（2016）、Bakshi和Chabi Yo（2012）、Bakshi et al.（2015）、Christensen（2017）、Christensen（2016）、Qin和Linetsky（2016）、Qin et al.（2016），Backus等人（2015）、Filipovi\'c等人（2017）、Filipovi\'c等人（2016）、Lustig等人（2016）。本文的实证研究表明，鞅M∞它具有很高的挥发性和经济重要性。Bakshi和Chabi-Yo（2012）提供了鞅分量波动性的理论和经验边界。Christensen（2017）估计了与宏观经济基本面相关的结构性资产定价模型中的长期因素分解。Qin等人（2016）在动态期限结构模型（DTSM）中估计了长期因素分解，并展示了长期因素分解中的鞅成分如何控制债券市场风险回报交易的期限结构。

特别是，他们直接估计了马丁格尔M的波动率∞在一个参数DTSM中，我们展示了这个鞅如何引起债券夏普比率的向下倾斜的期限结构。L ustig等人（2016年）将长期因素分解应用于外汇市场研究。虽然Qin和Linetsky（2017）提供了一般半鞅模型中长期因子分解存在的理论基础和抽象有效条件，但没有马尔可夫假设，迄今为止，文献中只研究了马尔可夫模型规范。本文的目的是构造Heath-Jarrowmoton期限结构模型的长期因子分解，从而说明长期因子分解在非马尔可夫模型中的作用。我们采用菲利波维奇（2001）、卡莫纳（Carmona）和特兰奇（Tehranchi）（2007）以及比约克（Bjork）的观点，并将正向曲线视为适当特定函数空间的元素。特别是，我们遵循菲利波维奇（2001）的规定。在第2节中，在回顾了菲利波维奇（2001）设定的HJM模型框架后，我们给出了远期利率波动的共有性的充分条件，从而确保HJM模型中存在长期债券过程、长期远期测度和长期因子分解。从利率建模的角度来看，这种有效条件是很自然的，并且会产生长期债券的波动过程。定理2总结了我们的理论结果，构成了本文的主要结果。附录中给出了证明。

在第3节中，我们以高斯HJM模型（通常为n个马尔可夫模型）为例说明了我们的结果，在这些模型中，我们的假设及其含义可以以一种简洁的方式看到。与Hansen和Scheinkman（2009）的原始理论相比，本文中长期因子分解的显式构造提供了长期因子分解如何产生的另一种机制。他们最初的长期因子分解公式是基于马尔可夫过程理论，有效条件依赖于遍历性假设，这些假设提供了与长期行为密切相关的pr icing半群的主特征值和IGenfunction。Qin和Linetsky（2017）给出了一般半鞅模型中长期极限存在的一般充分条件，并说明了当信息过滤是马尔可夫过程且定价核是生成过滤的马尔可夫过程的乘法函数时，Hansen Scheinkman的结果是如何产生的。与这些参考文献相比，本文中的显式结构通过对远期曲线波动性的渐近行为施加条件，阐明了非马尔可夫HJM模型中长期因子分解产生的机制。该条件是完全明确的，证明表明在此条件下，HJM模型验证了Qin和Linetsky（2017）在一般半鞅模型中的抽象充分条件。此外，我们的高斯例子显示了在具有常数参数的高斯模型的特殊情况下，如何从关于前向曲线波动率渐近行为的假设中恢复长期因子分解的Hansen-Scheinkman主特征函数构造。对于美国国债数据的长期因子分解的实证分析，我们参考了Qin等人。

（2016年）。2 Heath-Jarrow-Morton模型中的长期因子分解经典Heath et al.（1992）框架假设零息票债券过程{（PTt）t∈[0，T]，T≥ 0}在成熟度p参数T上是非常平滑的，因此存在一系列等价的远期利率过程{（f（T，T））T∈[0，T]，T≥ 0}使得PTt=e-RTtf（t，s）ds，对于每个到期日t，远期利率假设在n维布朗运动驱动的时间间隔[0，t]上遵循It^o过程。解释JM模型的另一种观点是，将FTA视为一个在定义良好的正向曲线的适当功能空间中取值的快速过程。为此，Musiela（1993）的正向曲线参数化ft（x）：=f（t，t+x）很方便。这里x表示到期的剩余时间，所以t+x是到期日。这一观点还允许波动率函数依赖于整体前进曲线。在这种方法中，我们使用p进程（ft）t≥0在R+（状态fti是成熟时间x的函数，ft（x），x∈ R+。在函数空间中取值的随机过程的数学基础可以在inPrato和Zabczyk（2014）中找到，这种观点在利率建模中的发展可以在Bj¨ork和Christensen（1999）、Bj¨ork和Gomb an i（1999）、Bj¨ork和Svensson（2001）、Carmona和Tehranchi（2007）以及Filipovi（2001）中找到。在本文中，我们遵循菲利波维奇（2001）的处理方法。HJM正向曲线动力学读数为：dft=（dft+ut）dt+σt·dWPt。（1） 有限维标准布朗运动WP={（WP，jt）t≥0，j=1，2，…}是一系列独立的标准布朗运动，适用于基础参考过滤（Ft）t≥概率空间上的0(Ohm, F，P）。此处σt·dWPt=Pj∈NσjtdWP，jt。

只需设置σjt，即可产生有限维情况≡ 0表示所有j>n表示部分n。前向曲线（ft）t≥0是一个在希尔伯特空间hw中取值的过程，我们将很快定义它。漂移ut=u（t，ω，ft）和波动率σjt=σj（t，ω，ft）在相同的希尔伯特空间h中取值，并取决于ω和ft（注意w和ω的差异；前者是希尔伯特空间定义中的权重函数，而后者是样本空间的一个元素Ohm). 为了简化符号，我们通常不显式地显示系数对ω和f的依赖性。公式（1）中漂移的附加项Dft来自Musiela的参数化，其中操作符D被解释为相对于到期时间的第一个导数，Dft（x）=xft（x），下面更确切地定义为希尔伯特空间Hw中的一个操作符。继Filipovi\'c（2001）之后，我们接下来定义了希尔伯特空间Hwof远期曲线，并给出了波动率和漂移的条件，以确保HJM演化方程的解为。（1） 存在于适当的意义上（以便远期曲线在时间演化时保持在其规定的函数空间），并规定了无套利期限结构。让w：R+→ [1，∞)是一个非递减的C函数，使Z∞w-1/3（x）dx<∞. （2） 我们认为：={h∈ Llo c（R+）h′∈ Llo c（R+）和khkw<∞}, （3） 式中，khkw：=| h（0）|+ZR+| h′（x）| w（x）dx，h′（x）是弱导数。也就是说，hw定义为R+上局部可积函数的s步，具有局部可积弱导数，以及有限范数khkw。软件等价类的元素。回想一下，如果h∈ Llo c（R+）具有弱导数h′∈ 那么等价类h存在一个绝对连续的表示，使得h（x）- h（y）=Rxyh′（z）dz。因此，HW的元素具有绝对连续的代表。

用绝对连续的代表性来确定所有感兴趣的金融量，如远期曲线。通过一些符号，在下面的内容中，我们不区分作为等价类的HW元素和它们的绝对连续代表。Hw范数的不确定性对函数（正向曲线）的导数h′施加了相对于成熟时间的尾部衰减，因此当成熟时间趋于足够快时，它衰减为零，因此导数可与权函数w平方积，而权函数w的增长速度足够快，因此R∞w-1/3（x）dx<∞. 根据H¨older不等式，很容易看出RR+| H′（x）| dx<∞ 对于所有h∈ 硬件。因此，绝对连续代表h（x）收敛到极限h(∞) ∈ R为x→ ∞, 这可以解释为长期远期利率。换言之，Hw中的所有正向曲线在渐进长期到期时都会非常快。因此，我们得到以下结果。提案2.1。如果初始正向曲线f∈ Hw，则存在一个常数λ，使得→∞PT公司-t/PT=eλt，（4），其中λ=f(∞) 是远期利率。回想一下，我们总是用Hw元素的绝对连续代表来识别正向曲线。表示绝对连续正向曲线f的极限值(∞) = λ。然后，根据债券价格和远期利率之间的关系，方程式（4）紧随其后，PTt=e-RTtft（u）du。我们注意到，Qin和Linetsky（2017）假设初始远期曲线满足等式（4），以推导半鞅定价核的长期因子分解，其中长期债券因子为表B∞t=eλtπt。在HJM模型的上下文中，命题1只是前向曲线假定的希尔伯特空间结构的即时序列。

从财务角度来看，属性（4）是自然的，只要求初始正向曲线达到渐近长成熟度。虽然在经验数据中，我们没有观察到渐进长期到期的远期曲线，但我们通常会观察到期限结构在20年和30年之间发生变化。我们强调，初始远期曲线的这种行为不会对期限结构动态施加任何限制，例如，与掉期市场模型文献中常见的“低方差鞅”（LVM）假设相反（参见Gaspar和Pimentel（2016））。配备KHKW的空间HW是一个可分离的Hilber t空间（Filipovi\'c（2001）中的第5.1.1条）。定义Hwby（Ttf）（x）=f（t+x）上的翻译算子半群。根据Filipovi\'c（2001）定理5.1.1，它在Hw中是强连续的，我们表示它的最小生成器byD。这是由于Mus iela重新参数化而出现在等式（1）漂移中的运算符th。接下来，我们根据HJM动力学给出了远期曲线保持在Hwasit中的漂移和波动率的条件。首先，我们需要引入一些额外的符号。定义子空间Hw Hwby Hw={f∈ HW使f(∞) = 0}。对于R+上的任何连续函数f，定义一个连续函数Sf:R+→ R乘以（Sf）（x）：=f（x）Zxf（η）dη，x∈ R+。该算子用于方便地表示著名的HJM无套利漂移条件。根据菲利波维奇（2001）定理5.1.1，存在一个常数K su ch，kShkw≤ KKHKWF全部∈ 硬件。Filipovi\'c（2001）推论5.1.2证明了S的局部Lipschitz性质，该推论用于确保HJM方程解的存在性和唯一性。