具有期望约束的鲁棒优化的对偶结果

对于我们的pur poses，它主要用于保护支付中的崩溃风险，而不专门对X的价值设置上限。在实践中，这种修改也有助于分散交易和表达对波动性偏斜的看法。有关更多ongamma掉期，请参见[28]。对于本文的目的，我们需要对上述定义做进一步的修改。支付函数（4）不受上述函数的限制，因此不可能仅使用看涨期权和看跌期权进行超级套期保值。我们稍微修改了付款，以满足d esir ed属性，将其更改为xk=1（XTk∧ XTk公司-1） 日志XTk/XTk-1..然后，我们将模型无套利上界写成以下形式：supQ∈量化宽松nPk=1（XTk∧ XTk公司-1） 日志（Xk/Xk-（1）s、 t.Bidk，l≤ 均衡器（XTk- 罢工，l)+≤ Askk，l对于每个l ∈ {1，…，pk}和每个k∈ {1，…，n}，其中Bidk，l还有Askk，l表示到期和罢工的看涨期权的市场买卖价差，l. 我们预计，在实践中，大多数k的pk=0∈ {1，…，n}。我们取C：=（0，∞ ) 在此计算中。通过取d=1，fk（yk，yk），这转化为（1）的框架-1） =（yk∧yk公司-1） 日志（yk/yk-1） ，和GK（yk，yk-1） :=（yk）- 罢工，1）+- Bidk，1 SKK，1- （yk）- 罢工，1）+。。。（yk）- 罢工，pk）+- Bidk，pkAskk，pk- （yk）- 罢工，pk）+对于每个k∈ {1，…，n}。当然，我们也可以通过取▄fn：=-fn。我们让感兴趣的读者来检查（x∧ y） 日志（x/y）≤ 4e-2（x+y）表示所有x，y∈ （0，∞).期望约束鲁棒优化的对偶结果7在下文中，我们考虑（3）给出的相应有限维近似的数值实现结果。这里，每k取x=100美元，n=100，Tk=k/240∈ {1，…，100}。

这是为了在每天监测的情况下，大约五个月的伽马SWAPW，我们取pk=0 f或除k以外的所有k∈ {40100}，其中pk=7。我们对每k取Strikek={70美元，…，130美元}∈ {40100}并根据Black-Scholes定价公式生成买卖价差，σ=20%。最后，在这些结果中，我们取∧：={1美元，10美元，20美元，60美元，70美元，71美元，129美元，130美元，140美元，190美元，200美元，10000美元}。在表5中，我们说明了与上界的超级复制策略相对应的最终静态对冲头寸。与持续监控的方差掉期一样，大多数静态对冲头寸都是5个月看涨期权。我们注意到，接近货币对冲的头寸与按100缩放的方差掉期的头寸接近。伽马掉期价格的最终无套利上限为1.9389美元。类似地，在表6中，我们说明了与下限的子复制策略相对应的最终静态对冲头寸。伽马掉期价格的无套利下限为1.2443新元。罢工70美元80美元90美元100美元110美元120美元130λ3.8765 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0010λ1.2818 0.2468 0.2196 0.1979 0.1800 0.1651 1.1993表5：在T=1/6和T=5/12到期的看涨期权的静态头寸，对应于离散监控伽马掉期的超级对冲。相应的超级复制值为1.9389美元。罢工70美元80美元90美元100美元110美元120美元130λ-15.7755-0.0005 0.0111 0.0069-0.0206-0.0234 0.0238λ-0.9658 0.1504 0.1478 0.1947 0.1555 0.0686-0.4911表6：在T=1/6和T=5/12到期的看涨期权的静态头寸，对应于离散监控的伽马掉期的子套期。相应的子复制值为$1.2443.3主要结果的证明在本节中，我们考虑一系列用于证明定理1的结果。

本节主要有三个主要观点：1。通过标准的拉格朗日对偶理论，期望约束的机器人最大化问题可以与无约束的鲁棒最大化问题相关联。无约束鲁棒最大化问题的解可以具体地用迭代凹包络表示，和3。迭代凹包络的计算可以表示为单个最小化问题。第二个和第三个想法包含在无约束鲁棒最大化问题的对偶分析中，而第一个想法将用于证明定理1。在这里，我们简化假设每个月有20个等距的工作日，以避免处理实际的天数计数惯例和交易假日日历，尽管这些复杂的情况很容易添加到实际应用中。期望约束鲁棒优化的对偶结果83.1无约束鲁棒最大化问题的弱对偶我们首先考虑（1）中鲁棒最大化问题的无约束版本。对于固定连续函数h，hn：Rd+1→ R、 我们定义:= supQ公司∈QEQ“nXk=1hkXTk，XTk公司-d#. （5） 在约束最大化问题（1）的设置中，我们假设每个h，Hn可以由a ffne函数从上方限定。本节的目标是将p对于以下最小化问题：d:= infφ∈C（Cd+1，R）nφ（x，x，…，x1-d） s.t.φn≥ hnφk（yk，…，yk-d）≥ 香港（yk，…，yk-d） +φk+1（yk，yk，…，yk-d+1）对于所有k∈ {1，…，n- 1} 和（yk，…，yk-d）∈ Cd+1φkis每个k的第一个入口为凹面∈ {1，…，n}。（6） 这里的直觉是（6）对迭代凹面包络序列的计算进行编码。我们的目标是最终证明强大的二元性是成立的。

也就是说，p= d.我们首先展示了和d是有限的。提案1。B其他p, d< +∞.证据假设每个h，hnis由一个函数从上面导出。存在α∈ Rnandβ∈ Rn×（d+1）使HK（yk，…，yk-d）≤ αk+dXl=0βk，lyk公司-l对于每个k∈ {1，…，n}。让Q∈ Q是X的任何马丁盖尔测度。然后我们可以直接计算Q“nXk=1hkXTk，XTk公司-d#≤ 公式“nXk=1”αk+dXl=0βk，lXTk公司-l##=nXk=1“αk+dXl=0βk，lx（k-l)∧0#。这个上界d与Q的选择无关，因此我们得出结论≤nXk=1“αk+dXl=0βk，lx（k-l)∧0#<+∞.接下来，定义φ，φn:Rd+1→ R递归如下：设φn（yn，…，yn-d） ：=αn+Pdl=0βn，lyn公司-l. 对于每个k∈ {1，…，n- 1} ，设φk（yk，…，yk-d） ：=αk+dXl=0βk，lyk公司-l+ φk+1（yk，yk，…，yk-d+1）。通过构造，每个φ，φnis a ffine（因此在第一个坐标中为凹形）并满足（6）的约束条件。然后φ，φnis是一个可容许的函数选择，所以我们得出结论< +∞.具有期望约束的鲁棒优化的对偶结果9命题2。B其他p, d> -∞.证据第一个不等式采用Q∈ Q是所有k的平凡鞅测度，其中XTk=xf∈ {1，…，n}。然后我们立即计算≥ EQ“nXk=1hkXTk，XTk公司-d#=nXk=1hkxk公司∧0，x（k-（1）∧0，x（k-d）∧0> -∞.对于第二个不等式，假设φ，φn：Rd→ R是满足（6）中约束的任何函数集。那么我们声称φlx个l∧0，x(l-（1）∧0，x个(l-d）∧0≥nXk公司=l香港xk公司∧0，x（k-（1）∧0，x（k-d）∧0对于每个l ∈ {1，…，n}。案件l = n紧跟在φn之后≥ hn。那么假设l ∈ {1，…，n- 1} ，我们知道φl+1.x个(l+（1）∧0，xl∧0，x个(l-d+1）∧0≥nXk公司=l+1香港xk公司∧0，x（k-（1）∧0，x（k-d）∧0.回想一下φl（y）l, . . . , yl-d）≥ h类l（y）l, . . . , yl-d） +φl+1（yl, yl, . . . , yl-d+1）表示所有（yl, . . . , yl-d）∈Rd+1。

然后，我们特别计算φl（十）l∧0，x(l-（1）∧0，x个(l-d）∧0）≥ h类l（十）l∧0，x个(l-d）∧0）+φl+1（xl∧0，xl∧0，x个(l-d+1）∧0）=hl（十）l∧0，x个(l-d）∧0）+φl+1（x(l+（1）∧0，xl∧0，x个(l-d+1）∧0）≥nXk公司=l香港xk公司∧0，x（k-（1）∧0，x（k-d）∧0,等式如下，因为l ∈ {1，…，n- 1} 小鬼谎言l ∧ 0=(l + （1）∧ 0=0。然后通过反向感应打开l, 一般主张成立。特别是l = 1表示φ（x，x，…，x1）处的th-d）≥nXk=1hkxk公司∧0，x（k-（1）∧0，x（k-d）∧0.但因为下界与φ的选择无关，φn，我们得出结论≥nXk=1hkxk公司∧0，x（k-（1）∧0，x（k-d）∧0> -∞.现在，我们证明了p和d.引理1。p≤ d.证据我们知道-∞ < d< +∞, 因此，对于任何>0的函数，都存在φ，φn：Rd→ R允许（6）且满足+ ≥ φ（x，x，…，x1-d） 。期望约束为10Let Q的鲁棒优化的对偶结果∈ Q是X的任意martin gale度量。我们首先声明eq“nXk=l香港XTk，XTk-1.XTk公司-d#≤ 均衡器φlXT公司l-1，XTl-1.XT公司l-d对于每个l ∈ {1，…，n}。案件l = n紧随其后，因为φn≥ hnandφ在其第一个入口为凹面。那我们就可以hn公司XTn，XTn-1.XTn公司-d≤ 均衡器φnXTn，XTn-1.XTn公司-d≤ 等式φn均衡器XTn | FTn-1., XTn公司-1.XTn公司-di=等式φnXTn公司-1，XTn-1.XTn公司-d.在第二个不等式中，我们应用了Jensen不等式，在下面的等式中，我们应用了X在Q下的鞅性质l ∈ {1，…，n- 1} 我们知道nXk=l+1香港XTk，XTk-1.XTk公司-d#≤ 均衡器φl+1.XT公司l+1，XTl+1.XT公司l+1.-d.回想一下φl第一个入口为凹面，且φl（y）l, yl-1.yl-d）≥ h类l（y）l, yl-1.yl-d） +φl+1（yl, yl, . . . , yl-d+1）表示所有（yl, . . . , yl-d）∈ Rd+1。然后应用与之前相同的逻辑，我们可以计算q“nXk=l香港XTk，XTk-1.

，XTk-d#≤ 均衡器h类l（XT）l, XT公司l-1.XT公司l-d） +φl+1.XT公司l+1，XTl+1.XT公司l+1.-d≤ 均衡器φlXT公司l, XT公司l-1.XT公司l-d≤ EQhφl均衡器XT公司l| 英尺l-1., XT公司l-1.XT公司l-di=等式φlXT公司l-1，XTl-1.XT公司l-d.然后，通过向后归纳，一般的陈述成立l.使用l = 1例，我们得出“nXk=1hk”XTk，XTk-1.XTk公司-d#≤ 均衡器φXT，XT，XT1型-d= φ（x，x，…，x1-d）≤ d+ 。然而，由于Q是任意的，且上界d与Q无关，我们得出了ep≤ d- 。因为>0是任意的，所以引理如下。3.2一个无约束鲁棒最大化问题的强对偶现在我们致力于p和d. 我们还想弄清楚d之间的关系以及迭代凹包络的计算。为此，我们定义了函数φ的序列, . . . , φn： Rd+1→ R通过以下内容：期望约束鲁棒优化的对偶结果11o映射yn7→ φn（yn，yn-1.yn公司-d） 是yn7的凹面信封→ hn（yn，yn-1.yn公司-d） ，o每k∈ {1，…，n- 1} ，地图yk7→ φk（yk，yk-1.yk公司-d） 是yk7的凹面信封→ 香港（yk，yk-1.yk公司-d） +φk+1（yk，yk，…，yk-d+1）。这些函数在原则上可能是有限值的，但我们注意到，假设每个HK都有一个a ffine函数的边界，这足以保证每个HK都有有限值。在说明所需引理之前，我们首先回顾关于凹面信封的以下重要结果：引理2。固定φ：R→ R和let^φ：R→ R表示φ的凹面环境。对于任何y∈ r使^φ（y）<+∞ 任何>0，都存在p∈ [0，1]和z，z∈ R使得y=p z+（1- p） zsuch that^φ（y）- ≤ pφ（z）+（1- p） φ（z）。证据参见【37】中的推论17.1.5。这个结果将用于构造与函数φ相关的近似鞅测度, . . . , φn

有了这个，我们考虑如下：引理3。d≤ p.证据我们分三步进行。1、修复任意>0。然后我们可以构造一个鞅测度Q∈ Qunder哪个φ（x，x，…，x1-d）≤ EQ“nXk=1hkXTk，XTk公司-d#+ n。假设我们可以构建这样一个度量。那么这就意味着≤ φ（x，x，…，x1-d）≤ p+ n，因为>0是任意的，所以引理会随之而来。我们现在通过一系列转移测度来构造这样一个测度。首先，我们指定（XT，…，XT1）的联合度量-d） 是以（x，…，x1）为中心的狄拉克度量-d） 。然后，我们递归定义Q如下：对于每个k∈ {1，…，n- 1} ，我们定义了FTk上的XTK条件的度量-1以zand z为中心的两个Dirac测度的总和，具有可预测性和前瞻性，使得pz+pz=XTk-1和φkXTk公司-1，XTk-1.XTk公司-d+1≤ +Xi=1pi香港zi，XTk-1.XTk公司-d+1+ φk+1zi，zi，XTk公司-d+1.最后，我们定义了FTn上的XTnconditional度量-1以概率和前瞻性为中心，以zand z为中心的两个Diracmeasures之和，即pz+pz=XTn-1A期望约束为12和φ的鲁棒优化的对偶结果nXTn公司-1，XTn-1.XTn公司-d+1≤ +Xi=1pihnzi，XTn-1.XTn公司-d+1.这对于固定（XTk）是有意义的-1.XT+1-d） 使用引理2，但乍一看，可能需要可测量的选择参数才能很好地定义最终的度量值Q。我们声称情况并非如此，但首先让我们考虑一下为什么这样一个度量Q会满足期望的不平等。该过程通过定义asEQ定义X的鞅测度XTk | FTk-1.= pz+pz=XTk-1、我们下一步要求φlXT公司l-1，XTl-1.XT公司l-d+1≤ （n）- l + 1） +EQ“nXk=l香港XTk，XTk公司-d| 英尺l-几乎可以肯定的是，每个l ∈ {1，…，n}。案件l = n字面上来自于Q的定义。

那么假设对于一些l ∈ {1，…，n- 1} 我们知道EQφl+1.XT公司l, XT公司l, . . . , XT公司l-d+2≤ （n）- l)+EQ“nXk=l+1香港XTk，XTk公司-d| 英尺l#,几乎可以肯定。利用这一点和Q的定义，我们计算φlXT公司l-1，XTl-1.XT公司l-d+1≤ +EQh类lXT公司l, . . . , XT公司l-d| 英尺l-1.+均衡器φl+1.XT公司l, XT公司l, . . . , XT公司l-d+1| 英尺l-1.≤ （n）- l + 1） +EQ“nXk=l香港XTk，XTk公司-d| 英尺l-1#。然后，一般的说法是从向后归纳开始的l. 案件l = 1然后从第一步演示所需的不等式。3、最后，我们声称Q的构造可以在不调用可测量选择的情况下进行。特别是，我们声称，在该过程的任何阶段XTk，XTk-1.XT1型-d是若干狄拉克度量的总和。然后，我们只在每个阶段多次调用引理2，不需要可测量的选择。k=0的情况直接来自于Q的定义。那么，如果XTk，XTk-1.XT1型-d是m个Dirac测度之和，那么通过定义，XTk+1的条件测度等于两个Dirac测度之和。然后联合测量XTk+1，XTk，XT1型-d是最多（2m）Dirac度量的总和。然后，通过对k的归纳，一般结果立即成立。当然，我们有一个直接的推论，p= d.期望约束鲁棒优化的对偶结果133.3定理1的证明最后，我们利用前一节的对偶结果以及标准拉格朗日对偶理论的结果提供了定理1的简短证明。定理1的证明。我们首先声明以下不等式成立：p≤ infλ≥0D（λ）：=infλ≥0supQ∈QEQ“nXk=1fkXTk，XTk公司-d+ λk·gkXTk，XTk公司-d#. （7） 这是将标准拉格朗日对偶理论应用于（1）的结果（见[37，11]）。

此外，我们声称如果存在Q∈ Q使得EQgk公司XTk，XTk公司-d≥ 0组件式foreach k∈ {1，…，n}，那么我们有上面的等式。这是在有限约束的特殊情况下的斯莱特条件，可以在之前的参考文献中找到，也可以在【41，18】中找到有限维情况下的具体情况。对于任意fix edλ∈ Rp×···×Rpn，定义hλ，hλn:Rd+1→ R灰分λk（yk，…，yk-d） ：=fk（yk，…，yk-d） +λk·gk（yk，…，yk-d） 对于每个k∈ {1，…，n}。如果f，fn和g，gnare从上到下以a ffne函数为界，那么h，hn。然后通过引理1和引理3，我们得到d（λ）=supQEQnPk=1hλkXTk，XTk公司-d= infφ∈C（Cd+1，R）nφ（x，x，…，x1-d） s.t.φn≥ hλnφk（yk，…，yk-d）≥ hλk（yk，…，yk-d） +φk+1（yk，yk，…，yk-d+1）对于所有k∈ {1，…，n- 1} 和（yk，…，yk-d）∈ Cd+1φkis每个k的第一个入口为凹面∈ {1，…，n}。（8） 将（7）和d（8）放在一起，并引入hλ，hλnas辅助变量在最小化中为了便于记法，我们得到了所述的结果。4讨论与结论本文的主要贡献在于展示了如何以对偶极小化形式重新编写一个期望约束的最大化问题，该问题直观地编码了迭代凹包络的计算。一个直接的应用是获得几种奇异金融衍生品价格的无模型无套利界限，但我们注意到，这些想法可能有更广泛的应用。关于约束随机控制有着广泛的文献。一种常见的方法是引入与约束相对应的额外状态变量，并直接解决状态约束最优控制问题【10、38、26】，尽管严格证明动态规划结果可能会带来技术困难。

我们在考虑鞅测度上的最大化时引入了一些特殊的技术难题，如[5，19]所示。另一种方法是将原始问题重写为相关的多级优化问题，如[31，3，4]，但这在很大程度上取决于问题的结构。最后，许多学者采用拉格朗日方法，将约束最大化问题转化为凸极大极小问题[22、30、29]，尽管如[32]所示，在计算次梯度时确实存在理论问题。本文的内容是对后一种方法的补充，并建议当附加强对偶结果成立时如何转化为凸极小化问题。具有期望约束的鲁棒优化的对偶结果14本文的方法最初可能与有关超级复制的许多文献不同，后者通常将该问题视为最优控制问题[20、13、9、39、8]或最优鞅运输问题[7、17、15]。相反，我们将超级复制视为一个受约束的线性规划的ap方法，本着[1，36，6]的精神。然而，我们注意到，粘度方法与我们的方法之间有着直观的联系，因为最小化问题类似于伯龙方法中所有粘度超解的最小化[23，14]。我们预计，在未来的研究中，这一更一般的概念可能会被用于创建最小化s模式，以计算各种类型的奇异衍生品的无套利价格界限，这些衍生品的路径依赖性支付效应需要引入额外的状态变量。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本，数学金融，（2013）。[2] 安徒生和K.D。