具有期望约束的鲁棒优化的对偶结果

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英文标题：
《A Duality Result for Robust Optimization with Expectation Constraints》
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作者：
Christopher W. Miller
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper demonstrates a practical method for computing the solution of an expectation-constrained robust maximization problem with immediate applications to model-free no-arbitrage bounds and super-replication values for many financial derivatives. While the previous literature has connected super-replication values to a convex minimization problem whose objective function is related to a sequence of iterated concave envelopes, we show how this whole process can be encoded in a single convex minimization problem. The natural finite-dimensional approximation of this minimization problem results in an easily-implementable sparse linear program. We highlight this technique by obtaining no-arbitrage bounds on the prices of forward-starting options, continuously-monitored variance swaps, and discretely-monitored gamma swaps, each subject to observed bid-ask spreads of finitely-many vanilla options.
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中文摘要：
本文展示了一种计算期望约束鲁棒最大化问题解的实用方法，并立即应用于许多金融衍生品的无套利边界和超复制值建模。虽然之前的文献将超复制值与目标函数与迭代凹包络序列相关的凸极小化问题联系起来，但我们展示了如何将整个过程编码到单个凸极小化问题中。该极小化问题的自然有限维近似得到了一个易于实现的稀疏线性规划。我们通过对远期启动期权、连续监控的方差掉期和离散监控的伽马掉期的价格获得无套利边界来强调这一技术，每个掉期都受到有限多个普通期权的买卖价差的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-25 17:58:14 上传

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关键词：Minimization Applications Optimization Mathematical Differential

具有期望约束的鲁棒优化的对偶结果christopher W.Miller*摘要本文展示了一种实用的方法，用于计算期望约束鲁棒最大化问题的解，并立即应用于许多金融衍生品的无模型无轨边界和超级复制值。虽然之前的文献已经将超重复值与目标函数与迭代凹包络序列相关的凸极小化问题联系起来，但我们展示了如何将整个过程编码到单个凸极小化问题中。这个最小化问题的自然有限维近似导致了一个可实现的稀疏线性规划。我们通过获得远期启动期权价格的无风险边界、持续监控方差WAP和离散监控红色ga mma掉期，来强化这项技术，每个都受到观察到的许多普通期权的k价差的影响。关键词。稳健优化、期望约束、模型自由边界、超级复制、强对偶。AMS科目分类。93E20、91G80、90C05.1简介这篇短文通过转换为允许自然有限维近似的有限维线性程序，展示了一种具体计算期望约束鲁棒最大化问题解的实用方法。这个问题的动机在很大程度上是金融方面的，因为它代表了给定衍生工具价值的无模型无套利上界，受许多其他衍生工具的已知价格界限的限制。我们考虑的特殊问题是以下期望约束鲁棒优化问题：p：=supQ∈量化宽松nPk=1fk（XTk，···，XTk-d）s、 t.等式gk（XTk，…，XTk-d）≥ 每k 0∈ {1。

，n}。（1） 我们选择fk:Rd+1→ R和gk：Rd+1→ RPK为每个HK指定连续函数∈ {1，…，n}。我们取T1-d<···<T=0<T<··<T作为固定时间离散化。We fix一个凸集C R和值x，x1-d∈ C、 然后，我们让Q表示所有概率测度Q的集合，其中{XTk}k∈{1-dn} 是满足XT=x，…，的C值鞅，XT1型-d=x1-毫无疑问。为了简单起见，我们假设fk和gkc的每个分量可以由每个k的（可能不同的）a ffne函数从上方限定∈ {1，…，n}。为了以后的方便，我们将p表示为：=Pnk=1pk。*加州大学伯克利分校数学系(miller@math.berkeley.edu)。NSF GRFP以DGE 1106400号拨款支持inpart。该假设排除了案例P=+∞ 和简单分析。这可以通过检查证据中显示u p的位置来放松，但代价是大量的工作。这一假设在实践中通常是可以满足的，无论是从限制某些金融衍生工具的收益，还是假设X的值。期望约束下稳健优化的对偶结果2我们的金融动机来自于解释函数f，F某些衍生工具的收益将被超级应用，而函数g，对可能用于对冲的其他衍生品集合的支付和已知买卖价差进行编码。这将在第2节中通过几个具体示例更加明确。本文的核心是研究期望约束鲁棒最大化问题（1）与下列最小化问题之间的对偶关系：d：=inf（λ，φ，h）∈Aφ（x，x，…，x1-d） 对于每个k，s.t.hk=fk+λk·gk∈ {1，…，n}φn≥ hnφk（yk，…，yk-d）≥ 香港（yk，…，yk-d） +φk+1（yk，yk，…，xy-d+1）每k∈ {1，…，n- 1} 和所有（yk。

，yk-d）∈ Cd+1φkis每个k的第一个入口为凹面∈ {1，…，n}λk≥ 每个k的RPK中有0个组件∈ {1，…，n}，（2）式中：=Rp×···×Rpn×C（Cd+1，R）2n。虽然（1）涉及服从期望约束的鞅测度集合的最大化，（2）涉及服从凹约束的连续函数的最小化。这本质上是对迭代凹面包络的计算进行编码，这一点在第3节中已明确。本文的主要结果是：定理1。p≤ d、 此外，如果存在Q∈ Q使得EQgk公司XTk，XTk公司-d≥ 0每个k的组件∈ {1，…，n}，然后p=d。我们可以将定理1解释为描述两个问题之间的对偶关系，以及强对偶的充分条件。如果强二元性关系不起作用，那么D可以解释为超级复制价格。将无模型或稳健无套利价格边界与内维线性规划问题联系起来的想法并不新鲜。许多作者已经研究了无套利价格界限和半静态超级对冲组合之间的对偶关系（见[34，1，35，36，16]）。然而，我们强调，本文的方法适用于许多常见的衍生品，很容易通过有限维近似实现，并直接返回每个套期保值组合和最坏情况下的价格动态。本文的主要技术是将鞅测度上的极大值问题改写为一个极小化问题。直觉上，我们认为这类似于将粘度解视为最小粘度超解，在这种情况下，它对应于计算凹包络。

这本质上是Kahal\'e在最近的论文[24]中展示的观点的另一种观点，在该论文中，作者将几种常见奇异导数的每次复制转换为一个凸优化问题，其目标函数涉及迭代凹包络的计算。我们没有将该问题视为需要专门数值路径的多阶段优化，而是演示了如何在单个最小化问题中编码相同的方法。（2）的自然有限维近似值可以通过常用的线性程序软件包（如Mosek、Matlab、GLPK等）立即求解。特别地，如果我们让∧：={y，…，ym}为C×m网格点的网格选择，这些网格点的凸包包含{x，…，x1-d} 然后，我们得到了期望约束为3of（2）asd∧：=inf（λ，φ，h）的鲁棒优化的自然有限维近似对偶结果∈A∧mPi，。。。，id=1γi···id·φi···id。t、 hki···id=fk（yi，…，yid）+λk·gk（yi，…，yid），每个k∈ {1，…，n}和所有1≤ i、 ，id号≤ mφni···id≥ hni···IDF所有1≤ i、 ，id号≤ mφki···id≥ hki···id+φk+1ii···id-1对于每个k∈ {1，…，n- 1} 和所有1≤ i、 ，id号≤ m（易-1.- yi）φk（i+1）i···id+（yi+1- 易-1） φkii···id+（yi- yi+1）φk（i-1） i··id≥ 0对于所有k∈ {1，…，n}，全部2≤ 我≤ m级- 1和所有1≤ i、 ，id号≤ mλk≥ 每个k的RPK中有0个组件∈ {1，…，n}，（3）其中γ∈ Rm×···········································································································································-1） 对应网格∧和∧的选择：=Rp×····×Rp·Rm×···×m2n个 Rp+2n×md+1。尽管极小化问题（3）非常复杂，但它是一个易于实现的线性规划p+n×md+1未知数和不等式约束。

然后，对于任何一个变量，都可以使用标准算法在多项式时间内解决n、m和p的问题【27、25、33】。此外，它是一个具有Op×n×md+1非零元素，因此有性能更快的专用算法[40，2]。我们将d∧到d的收敛性的完整分析留给感兴趣的研究人员，而选择关注定理1和实际应用。2一些具体示例在本节中，我们提供了三个具体示例，说明如何应用本文的结果来获得奇异衍生品的无模型无套利上界。这篇论文的结果不足以涵盖许多路径依赖型衍生工具，但通常适用于那些其支付效果取决于基础的当前价值以及基础的许多先前价值的人。虽然以下章节中的想法可以很容易地应用于类似的衍生工具，但我们选择包括货币看涨期权、持续监控的方差掉期和离散监控的伽马掉期的远期上界计算。2.1前向启动呼叫选项我们从一个简单的第一个示例开始。我们考虑从货币看涨期权开始的远期价格的无模型无套利界限，考虑到在两个终止日期到期的大量看涨期权的买卖价差。在之前的文献中，在许多不同的情况下，如[21，24]，均未获得远期启动期权的套利价格界限。为简单起见，在本例中，我们将无风险利率设为零，因此X表示基础价格过程。

非零确定性无风险利率的情况可以通过将X重新解释为基础的贴现价格过程并相应地修改所有支付来立即涵盖。我们不一定声称获得了优于[24]中规定的算法。我们的方法的主要卖点是使用在实践中运行“足够快”的标准包进行替代概念化和易于实现。期望约束鲁棒优化的对偶结果4我们用以下形式写出无模型无套利上界：supQ∈量化宽松（XT）- XT）+s、 t.Bid1，l≤ 均衡器（XT）- 删除1，l)+≤ Ask1，l对于每个l ∈ {1，…，p}Bid2，l≤ 均衡器（XT）- 删除2，l)+≤ Ask2，l对于每个l ∈ {1，…，p}，其中Bidk，l还有Askk，l代表到期和罢工的看涨期权的市场买卖价差，l对于每个k∈ {1，2}和l ∈ {1，…，pk}。我们取C：=[0，∞) 在此计算中。通过取d=1，n=2，f（y，y）：=0，f（y，y）：=（y），这立即转化为（1）的框架- y） +，和GK（yk，yk-1） :=（yk）- 罢工，1）+- Bidk，1 SKK，1- （yk）- 罢工，1）+。。。（yk）- 罢工，pk）+- Bidk，pkAskk，pk- （yk）- 罢工，pk）+对于每个k∈ {1，2}。当然，我们也可以通过取▄fk：=-fk。在下文中，我们考虑（3）给出的相应有限维近似的数值实现结果。这里，我们取x=100美元，T=1/6，T=5/12。我们对每k取Strikek={70美元，…，130美元}∈ {1，2}并根据Black-Scholes定价公式w生成买卖价差，σ=20%。最后，在这些结果中，我们取∧：={0美元，10美元，…，60美元，70美元，71美元，…，129美元，130美元，140美元，…，190美元，200美元，10000美元}。在表1中，我们说明了与上界的超级复制策略相对应的最终静态对冲头寸。

正如所料，超级复制策略是在T时的长期波动率和在T时的短期波动率。由此产生的前向启动看涨期权价格的无套利上界为5.2708美元，这一点得到了[24]中结果的证实。类似地，在表2中，我们说明了与下限的子复制策略相对应的最终静态对冲头寸。由此产生的远期启动看涨期权价格的无套利下限为1.9266美元。行使价70美元80美元90美元100美元110美元120美元130λ0.0395-0.2400-0.5000-0.4000-0.5000 0.3179-0.0024λ0.4514 0.4800 0.4200 0.4800 0.4200 0.4800 0.2402表1：在T=1/6和T=5/12到期的看涨期权的静态头寸，对应于货币远期开始看涨期权的超级对冲。相应的superreplication价值为5.2708美元。罢工70美元80美元90美元100美元110美元120美元130λ1.2488 0.0010-0.0020-0.7990-0.4000 0.2000 0.0000λ-1.2488-0.0010 0 0.0020 0 0.7990 0.4000-0.2000 0.000表2：在T=1/6和T=5/12到期的看涨期权中的静态头寸，对应于货币远期开始看涨期权的细分ge。相应的子复制值为1.9266美元。期望约束下稳健优化的对偶结果52.2连续监控方差掉期下一步，我们考虑在连续监控方差掉期价格上获得无模型无套利边界的问题。

众所周知，如果基础价格过程是一个连续的半鞅，并且无风险利率为零，那么我们可以写ehlog XiT=2 log x+ZT2X-1tdXt- 2记录任何风险中性概率度量（见[12]）。假设x=100美元，在不损失一般性的情况下，我们可以根据买卖价差，在连续监控的方差掉期价格上写下无模型无套利上界。许多共同终端看涨期权的形式如下：supQ∈量化宽松[-2 log（XTn/100）]s.t.Bidk，l≤ 均衡器（XTk- 罢工，l)+≤ Askk，l对于每个l ∈ {1，…，pk}和每个k∈ {1，…，n}，其中Bidk，l还有Askk，l表示到期日为Tkandstrike Strikek的看涨期权的买卖价差，l. 我们取C：=（0，∞) 在此计算中。如前所述，通过对eachk取d=0，fk（yk）=0，将其转换为（1）的框架∈ {1，…，n- 1} ，fn（yn）=-2对数（yn），和GK（yk）：=（yk）- 罢工，1）+- Bidk，1 SKK，1- （yk）- 罢工，1）+。。。（yk）- 罢工，pk）+- Bidk，pkAskk，pk- （yk）- 罢工，pk）+对于每个k∈ {1，…，n}。当然，我们也可以通过取▄fn：=-fn。在下文中，我们考虑（3）给出的相应有限维近似的数值实现结果。这里，我们取x=100美元，n=2，T=1/6，T=5/12。我们对每k取Strikek={70美元，…，130美元}∈ {1，2}并根据Black-Scholes定价公式生成买卖价差，σ=20%。最后，在这些结果中，我们取∧：={1美元，10美元，20美元，60美元，70美元，71美元，129美元，130美元，140美元，190美元，200美元，10000美元}。在表3中，我们说明了与上界的超级复制策略相对应的最终静态对冲头寸。正如预期的那样，su per复制策略是长期波动率和T的中性波动率。

请注意，对于80美元至120美元的冲销，超级对冲头寸大约与1/K成比例，这与所有冲销可用时的理论对冲头寸相匹配。由此得出的方差掉期价格的无套利上限为0.0208美元，也可以用标准化波动率形式asqT表示-1×0.0208≈ 22.3%。类似地，在表4中，我们说明了与下限的子复制策略相对应的恢复静态对冲头寸。该差异价格的无套利下限为0.0156新元，也可表示为QT-1×0.0156≈ 19.3%。2.3离散监测Gamma Swapfinal，我们考虑一个n>>1的实例。在这里，我们考虑了一类离散监测伽马掉期价格的无模型无套利边界问题。具有预期约束的稳健优化的对偶结果6Strike 70美元80美元90美元100美元110美元120美元130λ0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000λ0.0964 0.0031 0.0025 0.0020 0 0.0017 0.0014 0.0151表3：在T=1/6和T=5/12时到期的看涨期权的静态头寸，对应于持续监控的方差掉期的超级对冲。相应的超级复制值为0.0208美元。行使价70美元80美元90美元100美元110美元120美元130λ0.0292 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000λ-0.0251 0.0032 0.0024 0.0021 0.0016 0.0014 0.0013表4：在T=1/6和T=5/12到期的看涨期权的静态头寸，对应于持续监控的差异掉期的子对冲。相应的子复制值为0.0156美元。伽马掉期的收益通常定义为nxk=1XTklogXTk/XTk-1., （4） 将额外期限XTKHA添加到离散监控的差异掉期的支付中。这有多种用途。