随机波动率下的资产定价

设^u（x，t）=E（u（~Xt，t；V）~Xt=x）=P（x，t）ZΘu（~Xt，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ），^ν（x，t）=E（ν（~Xt，t；V）~Xt=x）=P（x，t）ZΘν（~Xt，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）。然后，扩散过程具有相同的边缘概率分布函数^P（x，t），w hered^Xt=^u（^Xt，t）dt+q^ν（^Xt，t）dWt^Xt=x（2.11）属性2.5的证明：我们假设求导和积分的交换在以下等式中均有效。tP（x，t）=ZΘtP（x，t；θ）m（dθ）=ZΘ-x个u（x，t；θ）P（x，t；θ）+x个ν（x，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）=-xZΘu（x，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）+xZΘm（θ）ν（x，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）=-x个E（u（￠Xt，t；V）|￠Xt=x）~P（x，t）+x个E（ν（￠Xt，t；V）| Xt=x）~P（x，t）然后，福克-普朗克方程确定P（x，t）是^Xt的密度函数。这就完成了我们的证明。众所周知，（2.11）的有限解可以具有相同的边缘概率分布函数P（x，t）。我们选择命题2.5中定义的^u（x，t）和^ν（x，t）的特定形式，因为我们希望在建模选择MGD时^xto是风险中性的。我们还想指出，【Brigo et al（2002）】命题3.1中提出的对数正态混合动力学是混合扩散马尔可夫投影的特例。事实上，我们可以将MGD（2.7）的混合函数和挥发函数设置为与[Brigo et al（2002）]中的相同。然后，直接比较可以表明马尔可夫投影（2.11）与[Brigo et al（2002）]的投影3.1中的扩散过程相同。因为▄XT不是马尔可夫的，▄XS上的▄XT条件作用不再是相同的stocha-sticprocess。然而，受约束的混合物扩散仍然是混合物扩散。更具体地说，我们可以证明，混合物扩散的条件法则与另一种混合物扩散的法则相同，具有相同的参数化但不同的混合函数。

表示S=（0，∞ ) 作为▄Xt的状态空间；设两个指数集之间的Ia=[t，t）和Ib=（t，τ）；Fa和Fbbe分别是Sia和SIb的圆柱σ-代数。命题2.6假设P（{X∈ A}∩ {Xt=x}）>0，对于某些A∈ Fa。然后对于任何B∈ Fb，我们有，P（~X∈ B | X∈ A、 Xt=x）=P（^x∈ B） 其中混合物扩散{Xt，t≤ t型≤ τ} 定义为d^Xt=u（^Xt，t；^V）dt+qν（^Xt，t；^V）dWt^Xt=X，且^V的概率分布为混合函数^m（·），其中^m（dθ）=m（dθ）P（{X（θ）∈ A}∩ {Xt（θ）=x}）P（{x∈ A}∩ {Xt=x}）。命题2.6的证明：请注意，基本微分Xt（θ）是马尔科维安的。P（▄X∈ B | X∈ A、 Xt=x）=ZΘP（￠x∈ B | X∈ A、 Xt=x，V=θ）P（V∈ dθ）=ZΘP（X（θ）∈ B | X（θ）∈ A、 Xt（θ）=x）m（dθ）=ZΘP（x（θ）∈ B | Xt（θ）=x）^m（dθ）=ZΘP（^x∈ B |^V=θ）P（^V∈ dθ）=P（^X∈ （B）【Jacquier et al（2004）】中通过贝叶斯方法得出的后验分布是混合函数^m（·）的一种特例，其中a代表产生观察到的资产价格的事件集合。然而，我们想指出的是，贝叶斯方法并不是对混合函数进行推理的正确方法。一种启发式的解释是，真正的混合函数没有参数泛函形式。因此，贝叶斯方法不适用，因为它依赖于参数估计。或者，我们可以看看后验分布的交感分布。一般来说，随着观测数量的增加，贝叶斯分析中的后验分布通常会收敛到狄拉克δ函数，该函数集中于基础差异的某些参数。

因此，贝叶斯方法与基础差异的优化估计具有一致性，这与真正的混合差异不同。2.3 MGD的明确公式在本节中，我们重点推导合适的MGD，使其边际分布函数准确地符合所有到期日的风险中性分布。我们的建模方法遵循以下步骤：首先，我们选择基于GGBM的通用参数化。接下来，我们求解它在成熟度T时的混合函数，这样得到的混合分布等于给定的风险中性分布。对每个已知T重复第二步后∈ （t，τ），我们将获得此一般参数化的时间相关混合函数。最后，我们将重新参数化MGP，并将混合函数转换为时间相关函数，并获得（2.8）中定义的所需MGD。这种重新参数化可以通过下一个命题来实现，在下一个命题中，我们可以指定一个与时间无关的任意混合函数，然后重新参数化之前导出的依赖于时间的MGP，使重新参数化的MGP仍然具有相同的边缘分布。请注意，下面结果中的目标混合函数也可以是时间相关函数。命题2.7对于任何MGP M=（mt，ν（θ，t），t，x，Θ），我们将重新参数化的MGP定义为^M=（^mt，^ν（^θ，t），t，x，^Θ），其中^ν（^θ，t）=tZttν（M-假设1t（^Mt（^θ））、s）ds（2.12）和^ν（^θ，t）i定义良好。Mt（·）和^Mt（·）分别是Mt（·）和^Mt（·）的累积分布函数；我们假设它们的反函数存在。那么M和^M对于ev e ry t具有相同的混合分布∈ 命题2.7的证明：设gt（θ）=M-1t（^Mt（θ））。定义（θ，t）=Zttν（θ，s）ds和^v（θ，t）=Zttν（θ，s）ds；很明显，^v（θ，t）=v（gt（θ），t）和^u（θ，t）=u（gt（θ），t）。

设F（t）=xexp（Rttr（s）ds）为正向资产价格。那么M的混合分布是zΘxp2πv（θ，t）exp-（对数（x/F（t））+v（θ，t）/2）2v（θ，t）dMt（θ）=Z^Θxp2πv（gt（θ），t）exp-（对数（x/F（t））+v（gt（θ），t）/2）2v（gt（θ），t）dMt（gt（θ））=Z^Θxp2π^v（θ，t）exp-（对数（x/F（t））+^v（θ，t）/2）2^v（θ，t）这就完成了我们的证明。如果两个MGP的参数化满足位置2.7中定义的关系，我们称之为等效MGP。定义2.8如果以下等式成立，我们称M=（mt，ν（θ，t），t，x，Θ）等于^M=（^mt，^ν（^θ，t），t，x，^-1t（x），s）ds=Zttν（M-每x 1t（x），s）ds（2.13）∈ （0，1）和t∈ （t，τ）。我们将等效关系表示为M~^M.很容易验证等价关系~ 在较弱的意义上定义了一种独特的混合扩散。这也意味着，在等价关系下，导数的价格是不变的。表示S=（0，∞) a s▄Xt的状态空间，I=[t，τ]作为索引集，Fas是SI的柱面σ–代数。命题2.9考虑两个MGD（~Xt，M，V）和（^Xt，^M，^V）与M~^M.然后对于任何A∈ F、 我们有P（~X∈ A） =P（^X∈ A） 。命题2.9的证明：我们将M和^M的基本参数化扩散过程分别表示为Xt（θ）和Xt（^θ）。那么（2.1 3）意味着，Xt（M-1（x））和XT（^M-1（x））对每个x有相同的定律∈ （0，1）。因此，我们有p（▄X∈ A） =ZΘm（θ）P（X（θ）∈ A） dθ=ZP（X（M-1（x））∈ A） dx=ZP（X（^M-1（x））∈ A） dx=P（^X∈ （A）最后，我们可以给出混合分布等于给定riks中性分布的MG D的显式公式。为此，我们首先推导参数化M=（mt，θ，t，x，R+），使得M的混合分布等于给定的R Iskneural分布。请注意，成熟期t时M的混合物分布为▄P（x，t）=Z∞mt（θ）√2πθtxp（对数（x/F（t））- θt/2）2θtdθ，其中F（t）=xexp（Rttr（s）ds）是远期资产价格。

基于货币度y的对数算法来考虑市场分布更为方便：=低g（x/F（t））。我们将其表示为▄Q（y，t）：▄Q（y，t）：=Z∞mt（θ）√2πθtexp（y）- θt/2）2θtdθ。将Dt（x）表示为资产价格的风险中性分布，将Et（x）表示为资产价格货币性对数的风险中性分布：Et（x）：=F（t）exDt（F（t）ex）。那么▄P（x，t）等于风险中性分布Dt（x），当且仅当▄Q（x，t）等于集（x）。将Q（y，t）和Et（y）进行傅里叶变换，得到方程f（Et）（η）=Z∞mt（θ）exp-（iη+η）θt/2dθ。（2.14）满足（2.14）的混合函数mt（·）存在的充要条件是that，Gt（·）是完全单调的【Widder（1941）】，其中Gt（η）：=F（Et）r2ηt--我！。（2.15）在充分条件下，存在Gt（·）的拉普拉斯反演，且混合函数mt（·）ismt（x）=L的唯一解-1（Gt）（x）。（2.16）最后，我们可以通过求解^M=（^M，^ν（^θ，t），t，x，^~^M.将mt（·）和^M（·）的累积分布函数分别表示为mt（·）和^M（·）。基于命题2.7的旋转，^ν（x，t）的显式解是^ν（x，t）=tM公司-1吨（^M（x））=tZ公司-1t（^M（x）），其中Zt（x）=RxL-1（Gt）（y）dy.我们通过将上述推导总结为以下命题来结束本节。在不损失一般性的情况下，我们将混合函数设置为均匀分布。命题2.10假设Gt（·）（2.15）是完全单调的，且挥发率trm^ν（x，t）=tZ公司-1t（x）定义明确。定义^M=（1，^ν（x，t），t，x，[0，1]）。

然后MGD（^Xt，^M，^V）对于每个t具有边际分布函数Dt（·）∈ （t，τ）[Dupire（1994）]表明，当风险中性局部波动率模型的边缘分布等于所有到期日的风险中性分布时，其波动率函数有n个唯一的公式。请注意，Propo position 2.10中导出的MMD的马尔科维投影是一个风险中性局部波动率模型，其边际分布等于每t的风险中性分布Dt（·）∈ （t，τ）。因此，【Dupire（1994）】中导出的局部波动率模型与命题2.10中MGD的马尔可夫投影相同。正如【Hagan等人（2002年）】指出的那样，局部波动模型预测，市场微笑/倾斜随着标的资产的价格向相反方向移动，这与典型的市场行为相反。相反，我们可以证明上述随机波动率模型具有正确的Delta风险。请注意，GGBM有粘性Delta，即其普通欧洲期权价值是货币价值ln（K/S）的函数，其中K表示罢工，sre表示初始资产价格。那么（2.5）意味着MGD也有粘性增量。因此，MGD的微笑/倾斜与基础资产的价格平行移动，这与市场行为一致。3层次随机波动率模型命题2.10中得出的混合差分对所有到期的Vanilla现货期权具有一致的价格。然而，它无法正确定价远期启动期权，因为其正向隐含波动率往往是浮动的。例如，我们可以考虑给定Fs的MGD的正向隐含波动率。由于有时已知▄Xsare V，受约束的随机过程成为基础GGBM，参数设置为V，起始值t为▄Xs。

因此，其正向隐含波动率与该GGBM的即期隐含波动率相等，因此其波动率面为FL。在本节中，我们将展示如何在远期时间重新构建混合差异，以便预期波动率能够与远期隐含波动率和即期隐含波动率相匹配。在每一个前进的时刻，重新构建混合扩散是基于先前的混合分布，就像多层的中性网络模型一样。我们称这种方法为分层混合差分，以突出分层参数化方法。类似地，我们将相应的参数化称为层次MGP，将这种类型的随机波动率模型称为层次随机波动率模型。3.1分层混合物的定义T、····、Tn+1是一系列满足0≤ T<T<···<Tn+1≤ τ。我们的分层MGP基于一系列MGP，这些MGP是为时间间隔【Tk，Tk+1】定义的，条件是每k=0，…，总变量为（T，…，Tk），n、 我们使用符号σk=（σ，σ，…，σk）表示（T，T，…，Tk）处的总方差序列，其中σ≥ 0是开始时间T时已知的常数。我们假设总方差序列满足约束σ≤ σ≤ ··· ≤ σn。然后我们可以写出时间间隔[Tk]的MGP-1，Tk]asMk=（mk，νk（θk，t；σk-1） ，Tk-1，1，Θk）（3.1）注意，我们不处理σk-1作为自由参数，因为我们可以明确地将总方差公式化为（θ，…，θk）的函数-1） 。设θk=（θ，…，θk）。我们将Vk（θk）表示为参数化M，…，的方差之和，Mk，设vk（θk）=（v，v（θ），vk（θk）），其中我们假设初始方差v≥ 0是已知常量。请注意，MkisRTkTk造成的差异-1νk（θk，t；vk-1（θk-1） ）ds。

因此，vk（θk）满足方程vk（θk）=vk-1（θk-1） +ZTkTk-1νk（θk，t；vk-1（θk-1） ）ds（3.2）下面我们定义了基于（3.1）中一系列参数化的分层MGP，总方差定义如（3.2）所示。。定义3.1我们可以M=（M，ν（θ，t），t，x，Θ）基于（3.1）ifI中定义的系列参数化{Mk}nk=1的层次结构MGP。mi x i ng函数满足m（dθ）=Qni=1mk（dθk），其中θ=（θ，…，θn）和Θ=Θ ···  Θn；二、对于k=1，…，vk（θk）满足度（3.2），n三、 参数化满足ν（θ，t）=νk（θk，t；vk-1（θk-1） ），对于t∈ [Tk-1，Tk）和k=1，n、 然后，分层MGP可以唯一地定义具有随机挥发性的混合物，我们称之为分层MGD。定义3.2假设M是定义3.1中定义的分层MGP；具有概率分布mk（·）和d的Vkis arandom变量适用于过滤FTk-1.五、Vn、WT相互独立。设Vk=（V，…，Vk）和V=Vn。定义随机过程Xtvia SDEd xtxt xtxt=r（t）dt+pνk（Vk，t；Vk-1（Vk-1） ）对于t，dWt▄XT=x（3.3）∈ [Tk-1，Tk）和k=1，n、 基于参数化M，我们将▄XT称为分层MGD，并将SDE（3.3）表示为（▄X，M，V）。对于单层MGD，给定FSF的约束过程减少到下伏GGBM，因此条件隐含波动率的表面是模糊的。相比之下，约束层次MGD与另一层次MGD具有相同的概率规律，条件波动率的表面可以与现货波动率表面相同。作为一个例子，我们考虑了▄Xtin（3.3）关于FT的条件概率定律-k-1，其中k≥ 2、表示S=（0，∞) 作为▄Xt的状态空间；Fkas圆柱σ–S的代数（Tk，Tn+1）。对于任何A∈ Fk，条件概率方程pX∈ A.英尺-k-1.= P（▄X∈ A | XTk-1，Vk-1） =P（X（V）∈ A | XTk-1（V）=XTk-1，vk-1（Vk-1） ）。

（3.4）其中Xt（·）是扩散过程的基础，满足dxt（θ）Xt（θ）=r（t）dt+pνk（θk，t；vk-1（θk-1） ）dWtXT（θ）=x（3.5）表示t∈ [Tk-1，Tk）和k=1，n、 接下来，我们概述了一个参数化，这样得到的分层MGD具有相同的概率a s（3.4）。我们考虑基于参数化序列{Mi}ni=kan和起始值▄XTk的分层MGP^M-1，即^M=（^M，^ν（^θ，t），Tk-1，XTk-1，Θk），其中混合函数为^m（^θ）=Qni=kmi（θi），其中^θi=（θk，…，θi），^θ=^θn；参数化为ν（θ，t）=νi（θi，t；vk-1（Vk-1） ，^vi-1（^θi）-1） ）带^vi（^θi）=（vk（vk-1，^θk），vi（Vk-1，^θi）），对于每t∈ [技术信息-1，Ti）和i=k，n、 然后，我们可以基于此参数化将所需的层次结构定义为（^X，^M，^V），其中^V=（Vk，…，Vn）。注意，^X的基本扩散过程是Xt（·）的受约束随机过程，起始值为XTk-1和初始总方差vk-1（Vk-1） 。因此，潜在的扩散过程具有（3.4）中给出的相同规律。因此，我们有^X∈ A.= P（X（V）∈ A | XTk-1（V）=XTk-1，vk-1（Vk-1） ）=PX∈ A.英尺-k-1..根据【Glasserman和Wu（2011）】中的符号，我们将FT上的隐含挥发性条件称为-k-1完全条件隐含波动率。以下推论是上述论点的直接结果。推论3.3分层MGD（X，M，V）的完全条件隐含波动率。关于FT-k-1等于即期隐含波动率（^X，^M，^V）。3.2联合概率分布的参数化在本节中，我们展示了如何在总方差的联合概率分布的情况下，对分层混合差进行参数化。

由于一维分布的信息不足以确定混合物的差异，我们总是使用一些简单的解释方法来连接饱和度之间的参数化。在选定的解释方法下，混合物的扩散由给定温度下的参数唯一确定。因此，我们对分层MGP的定义仅使用与时间无关的混合函数。以下命题表明，存在“唯一”的分层混合差，总方差的联合概率分布具有完全相同的分布。命题3.4假设Y，Ynis是满足v的随机变量向量≤Y≤ ··· ≤ Yn。确定条件概率fk（σk |σk-1） ：=P（Yk- Yk公司-1.≤ σk | Y=σ，···，Yk-1=σk-1） 。（3.6）假设存在等效的MGP mk，使得mk=（mk，νk（θ，t；σk-1） ，Tk-1、1、k）~ （F′k（·；σk-1） ，θ/（Tk）- Tk公司-1） ，Tk-1，1，[0，∞))对于所有可能的0≤ v≤ σ≤ ··· ≤ σn.设M为基于参数序列（M，…，Mn）的层次化MGP，（￠X，M，V）为基于参数化M的层次化MGD。则层次化MGD￠X的（V（V），····，vn（vn））与（Y，…，Yn）具有相同的联合概率分布。位置3.4的证明：将Mk（·）表示为Mk（·）的累积分布函数。等效关系yieldsZTkTk的方程（2.13）-1νk（M-1k（x），s；σk-1） ds=F-1k（x；σk-1） 其中x∈ [0，1）.插入σk-1=vk-1（Vk-1） x=Mk（Vk），它的屈服强度（Vk）- vk公司-1（Vk-1） =F-1k（Mk（Vk）；vk公司-1（Vk-1） ）。因此，我们有vk（vk）- vk公司-1（Vk-（1）≤ x个vk公司-1（Vk-（1）= PMk（Vk）≤ Fk（x；vk-1（Vk-1） （）vk公司-1（Vk-（1）= Fk（x；vk-1（Vk-1） ）。（3.7）将方程（3.7）与定义（3.6）进行比较，结果表明，（v（v），···，vn（vn））具有与（Y，…）相同的联合概率密度分布。