随机波动率下的资产定价

，Yn）。接下来，我们将命题3.4应用于随机波动率模型，并表明在给定的到期日，某些层次化MGD可以具有和随机波动率模型相同的联合概率分布函数。我们的结果适用于以下一般形式的资产价格随机波动率模型dstst=r（t）dt+√νtdWtS=x（3.8），其中我们假设ν是一个正的正则扩散过程，与标准布朗运动Wt无关。推论3.5设T=0，并将总方差的积分过程定义为I（T）：=Rtνsds。假设层次MGD（～X，M，v）的（v（v），····，vn（vn））具有与（I（T），…）相同的联合概率分布函数，I（Tn））。那么（XT，…，XTn）和（ST，…，STn）具有相同的联合概率分布函数。命题3.5的证明：注意，对于分层MGD（3.3）和随机波动率模型（3.8），在波动率的完整路径上，资产价格遵循对数正态分布。同样清楚的是，对于这两种模型，以Tk的资产价格和Tk+1的总方差为条件，资产价格在Tk+1的条件分布为对数正态分布：P日志（XTk+1/F（Tk+1））∈ dxk+1 | log（XTk/F（Tk））=xk，vk+1（vk+1）=σk+1，vk（vk）=σk= P日志（STk+1/F（Tk+1））∈ dxk+1 | log（STk/F（Tk））=xk，Ik+1=σk+1，Ik=σk= φ（xk+1- xk，σk+1- σk）dxk+1（3.9），其中φ（x，σ）：=√2πσexp-（x+σ/2）2σ. 然后我们得到了资产价格在T，…，的联合概率分布，通过将条件分布（3.9）与总方差的联合概率分布进行积分。P（对数（ST/F（T））∈ dx，···，日志（STn/F（Tk））∈ xn）=nYk=1dxkZ∞···Z∞P（I（T）∈ dσ，···，I（Tn）∈ dσn）nYk=1φ（xk- xk公司-1，σk- σk-1） dσk=P对数（~XT/F（T））∈ dx，···，对数（~XTn/F（Tk））∈ xn公司这证明了（ST。

，STn）具有与（XT，…，XTn）相同的联合概率分布函数。3.3风险中性分布的参数化在本节中，我们考虑如何对层次MGD进行参数化，以使其边际分布与现货普通期权以及远期启动期权隐含的风险中性分布相匹配。我们只考虑固定期限的风险中性分布T，因为市场只交易有限数量的期权，我们可以确保{T，…，Tn}涵盖所有到期的利息。以下命题表明，~Xt/~xs的边际分布完全由[s，t]期间总方差的分布决定。命题3.6设vs，t=Rtsν（V，x）dx，F（s，t）=exp（Rtsr（x）dx）。表示vs、tas fs、t（·）的边缘分布：[0，∞) 7.→ [0，∞).那么▄Xt/▄XsisP的边际分布函数Xt/ Xs∈ dx公司=Z∞fs，t（θ）√2πθxexp（对数（x/F（s，t））- θ/2）2θdθdx。（3.10）命题3.6的证明：直接计算显示SP日志（▄Xt/▄Xs）∈ dx公司= EP日志（▄Xt/▄Xs）∈ dx公司五、= E（P（对数（Xt（V）/Xs（V））∈ dx））=Ep2πvs，txexp（对数（x/F（s，t））- vs，t/2）2vs，t!dx=Z∞fs，t（θ）√2πθxexp（对数（x/F（s，t））-θ/2）2θdθdx首先，我们展示了如何匹配普通期权隐含的风险中性分布。将Dk（x）表示为资产价格a t Tk的风险中性分布；vk（vk）的边缘密度函数为lk（·）。下面，我们通过应用命题3从风险中性分布Dk（x）解出边际分布lk（·）。6，s=0，t=Tk。注意，时间Tkis的总方差为vk（vk），我们有dk（x）=Z∞lk（θ）√2πθxexp（对数（x/F（Tk））- θ/2）2θdθ如（2.14）所示，我们可以将傅立叶变换类似地应用于风险中性函数的对数，并求解lk（·）aslk（x）=L-1（Gk）（x）。

（3.11）式中Gk（η）=F（Ek）p2η- 四分之一- i/2和Ek（x）=F（Tk）exDk（F（Tk）ex）。接下来，我们将展示如何匹配远期起点隐含的风险中性分布。特别地，我们考虑了风险中性分布的▄XTk/▄XTk-1从Cliquet选项中删除。表示风险中性分布▄XTk/▄XTk-1as^Dk（·）和vk的边际密度函数（vk）-vk公司-1（Vk-1） 同于^lk（·）。在命题3.6中，我们让=Tk-1和t=Tk。不是eXTk/XTk的总方差-1是vk（vk）-vk公司-1（Vk-1） 。与（3.11）相似，我们得到^lk（x）=L-1（^Gk）（x）。（3.12）式中，^Gk（η）=F（^Ek）p2η- 四分之一- i/2和^Ek（x）：=F（Tk-1，Tk）ex^Dk（F（Tk-1，Tk）ex）。方程（3.11）和（3.12）给出了总方差的边际分布的显式公式，该公式与市场隐含的风险中性分布一致。然而，沿边缘分布的信息对于我们推导分层MGD的参数化是不够的。在命题3.4的基础上，我们还得到了与边缘分布一致的总方差的联合概率分布。这与A.N.Kolmogorov在【Makarov（1981）】中提出的众所周知的pr问题有关：找到随机变量X andY的联合分布，使得X、Y和X+Y的边际分布等于给定的概率分布。[Makarov（1981）]、[R¨uschendorf（1982）]和[Frank等人（1987）]证明了这种联合概率分布函数的存在。

这个问题也是发现具有固定边际分布的Copula分布的一个特例，有很多Copula分布可以模拟这种连接概率分布【Roger（2006）】。因此，我们可以假设（vk）存在连接分布-1（Vk-1） ，vk（vk）），从而得出vk的边际分布函数-1（Vk-1） ，vk（vk）和vk（vk）-vk公司-1（Vk-1） 都是lk-分别为1（·）、lk（·）和^lk（·）。将得到的联合概率分布表示为fk（x，y）。如果我们进一步假设序列v（v），····，vn（vn）是马尔可夫的，我们就得到了（v（v），····，vn（vn））asP（v（v）的期望联合概率分布∈ dx，··，vn（vn）∈ dxn）=l（x）dxnYk=2fk（xk-1，xk）/lk-1（xk-1） dxk。（3.13）然后我们可以将命题3.4应用于连接概率分布（3.13）。产生的分层MGD的边缘分布将与现货普通期权和远期启动期权隐含的风险中性分布完全匹配。这就是下面的定理。定理3.7假设（v（v），····，vn（vn））的联合概率分布定义在（3.13）中；XT是提案3.4中的分层MGD。然后▄xtkha是边缘分布函数Dk（x）和▄XTk/▄XTk-1对于k=1，…，具有边际分布函数^Dk（·），n、 4结论与常用的资产定价模型相比，层次波动率模型有两个优点，这使得它能够准确地定位普通期权和远期启动期权。首先，它以自由函数形式对波动率进行建模，并可从风险中性分布中求解波动率函数。任何具有有限维参数化的资产定价模型都可以近似风险中性分布，但并不完全匹配。通过自由函数参数化，层次波动率模型给出了期权市场的精确解。

这不可能使用具有有限数量参数的传统资产定价模型。其次，层次流动性模型可以对给定到期日的方差联合分布进行建模，以便精确地符合福瓦尔d启动选项所暗示的流动性结构。例如，通过调整合适的随机波动率模型的方差分布，HierarchicalVolability模型复制了给定成熟度下随机过程的正向动力学，如果衍生品的价值仅取决于这些到期日，则价格衍生品与随机波动率模型相同。5附录T heorem证明2.4：我们的证明与[弗里德曼（1975）]定理1.1中的证明平行。然而，我们进行了许多调整以适应无界参数化。首先我们证明了解的存在性。让N和 是正数。定义φN（V）=1，（N）- （1） ≤ f（V）<N0，否则。我们通过迭代将Y（k，N）定义为：Y（0，N）t=x，Y（k+1，N）t=x+ZtφN（V）u（Y（k，N）s，s；V）ds+ZtφN（V）σ（Y（k，N）s，s；V）dWs。（5.1）关于Y（k+1，N）t- Y（k，N）t引理5.1定义（5.1）中的Y（k，N）tas，然后Y（k+1，N）t- Y（k，N）t≤（Mt（N))k+1（k+1）！（1+| x |）E（φN（V））（5.2），其中M=2τ+2。引理5.2定义（5.1）中的Y（k，N）tas，然后是sup0≤t型≤τY（k+1，N）t- Y（k，N）t≤ （2τ+8）（N)ZτEY（k，N）s- Y（k-1，N）sds（5.3）结合（5.2）和（5.3），我们有sup0≤t型≤τY（k+1，N）t- Y（k，N）t≤ H（M（N))k+1k！E（φN（V）），其中H=4τ（1+| x |），M=2τ（τ+1）。现在，我们将X（k）定义为asX（0）t=xX（k+1）t=X+Ztu（X（k）s，s；V）ds+Ztσ（X（k）s，s；V）dWs（5.4）很明显，X（k）t=Y（k，N）t，如果（N-（1） ≤ f（V）<N. 那么我们有sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t≤∞XN=1Esup0≤t型≤τY（k+1，N）t- Y（k，N）t≤ H∞XN=1Z（N-（1）≤f（θ）<N（M（N))k+1k！m（dθ）≤ HZΘ[M（f（θ）+)]k+1k！m（dθ）注意 是任意的。

允许 → 0，根据优势收敛定理，我们有，E sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t≤ HZΘ[Mf（θ）]k+1k！m（dθ）（5.5）HencePE sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t>k≤ 22kHZΘ[Mf（θ）]k+1k！m（dθ），因为∞Xk=02kZΘ[Mf（θ）]k+1k！m（dθ）=HZΘMf（θ）e4Mf（θ）m（dθ）≤ HZΘe5Mf（θ）m（dθ）<∞Borel-Cantelli引理E sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t>ki。o。= 0然后X+Pk-1i=1X（i+1）t-X（i）t=X（k）t在t中均匀收敛∈ [0，τ]。将限值表示为▄Xt。根据【Friedman（1975）】定理1.1中的标准参数，我们可以证明▄Xt满足方程▄Xt=x+Ztu（▄Xs，s；V）ds+Ztσ（▄Xs，s；V）dWs。下一步，我们将展示▄Xtis平方可积。自（5.5），EX（k+1）t≤ |x |+kXi=1E sup0≤t型≤τX（i+1）t- X（i）t≤ HkXi=0ZΘ[Mf（θ）]i+1i！m（dθ）≤ HZΘMf（θ）eMf（θ）m（dθ）Let k→ ∞, 从Fatou引理，我们有Xt< HZΘMf（θ）eMf（θ）m（dθ）<∞. （5.6）因此，XT是SDE的强大解决方案。为了证明该解的唯一性，我们假设▄X（1）和▄X（2）有两个解。设σ（V）=1，如果f（V）≤ N0，否则。请注意，0≤ σ（V）f（V）≤ σ（V）N.取σ（V）的期望值X（1）t-X（2）t, 我们有σ（V）X（1）t-X（2）t≤ 2Eσ（V）Zt公司u（￠X（1）s，s；五）-u（￠X（2）s，s；五）ds公司!+2Eσ（V）Zt公司σ（￠X（1）s，s；五）-σ（￠X（2）s，s；五）dWs公司!= 2E类Ztσ（V）u（￠X（1）s，s；五）-u（￠X（2）s，s；五）ds公司+ 2中兴通讯σ（V）σ（￠X（1）s，s；五）- σ（￠X（2）s，s；五）ds公司≤ 2tZtEσ（V）f（V）X（1）s-X（2）sds+2ZtEσ（V）f（V）X（1）s-X（2）sds公司≤ 2（t+1）NZtEσ（V）X（1）s-X（2）sdsLet g（t）=Eσ（V）X（1）t-X（2）t, 然后g（t）满意度，0≤ g（t）≤ KZtg（s）ds，g（0）=0，其中K=2（τ+1）为常数。因此g（t）≡ 0、让N→ ∞, 利用优势收敛定理，证明了EX（1）t-X（2）t= 0，因此解决方案是唯一的。引理5.1的证明：当k=0时，Y（1，N）t- Y（0，N）t≤ 2.ZtφN（V）u（x，s；V）ds+ 2.ZtφN（V）σ（x，s；V）dWs请注意，0≤ φN（V）f（V）≤ N.

应用线性增长条件，我们得到Y（1，N）t- Y（0，N）t≤ 2E类ZtφN（V）u（x，s；V）ds+ 2中兴通讯φN（V）σ（x，s；V）ds公司≤ 2E类ZtφN（V）f（V）（1+| x |）ds!+ 2E类ZtφN（V）f（V）（1+| x |）ds公司≤ 2E（φN（V））Zt（1+| x |）N ds公司+ 2E（φN（V））Zt（1+| x |）Nds=E（φN（V））（1+| x |）Mt（N)其中M=2τ+2。现在假设（5.2）对k=0，1，…，成立，m级- 1、当k=m时，注意Y（m+1，N）t- Y（m，N）t≤ 2.ZtφN（V）u（Y（m，N）s，s；五）-u（Y（m-1，N）s，s；五）ds公司+ 2.ZtφN（V）σ（Y（m，N）s，s；五）- σ（Y（m-1，N）s，s；五）dWs公司（5.7）从Lipschitz条件来看Y（m+1，N）t- Y（m，N）t≤ 2E类ZtφN（V）f（V）Y（m，N）s- Y（米-1，N）sds公司+2EZtφN（V）σ（Y（m，N）s，s；五）- σ（Y（m-1，N）s，s；五）ds公司≤ 2（N)tEZt公司Y（m，N）s- Y（米-1，N）sds+2（N)EZt公司Y（m，N）s- Y（米-1，N）sds公司≤ M（N)中兴通讯Y（m，N）s- Y（米-1，N）sdsNow将（5.2）插入不等式的右侧，我们有Y（m+1，N）t- Y（m，N）t≤ M（N)Zt（Ms（N))m（m）！（1+| x |）E（φN（V））ds=（Mt（N))m+1（m+1）！（1+| x |）E（φN（V））通过归纳，我们完成了我们的证明。引理5.2的证明：从（5.7）中，我们有SUP0≤t型≤τY（m+1，N）t- Y（m，N）t≤ 2τ（N)ZτY（m，N）s- Y（米-1，N）sds+2 sup0≤t型≤τZtφN（V）σ（Y（m，N）s，s；五）- σ（Y（m-1，N）s，s；五）dWs公司【Friedman（1975）】showsE（sup0）的定理4.3.6≤t型≤τZtφN（V）σ（Y（m，N）s，s；五）-σ（Y（m-1，N）s，s；五）dWs公司)≤ 4EZtφN（V）σ（Y（m，N）s，s；五）-σ（Y（m-1，N）s，s；五）dt公司≤ 4（N)ZτEY（m，N）s- Y（米-1，N）sD此处sup0≤t型≤τY（m+1，N）t- Y（m，N）t≤ （2τ+8）（N)ZτEY（m，N）s- Y（米-1，N）sds公司参考文献【Alexander（200 4）】Alexander C.（2004）《波动率不确定的正常混合物差异：建模短期和长期微笑效应》。《银行与金融杂志》282957–2980。【Behvand（2010）】Behvand F.（2010）远期隐含波动率。牛津大学。【Bergomi（2005）】Bergomi L.（2005）微笑动力学II。论文ssrn。com。【Bergomi（2008）】Bergomi L.（2008）微笑动力学III。

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