随机波动率下的资产定价

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英文标题：
《Asset Pricing with Random Volatility》
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作者：
Xin Liu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper proposes to model asset price dynamics with a mixture of diffusion processes where the instantaneous volatility of the underlying diffusion process contains a random vector. The marginal probability distributions of the proposed process can match exactly the risk-neutral distributions implied by both spot vanilla options and forward start options. We can also derive the explicit pricing formula for derivatives that have a closed-form solution under Generalized Geometric Brownian Motion.
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中文摘要：
本文提出了一种混合扩散过程的资产价格动力学模型，其中基础扩散过程的瞬时波动率包含一个随机向量。该过程的边际概率分布可以精确匹配即期普通期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布。我们还可以导出在广义几何布朗运动下具有闭式解的导数的显式定价公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Asset_Pricing_with_Random_Volatility.pdf (267.54 KB)

2022-5-25 18:04:35 上传

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关键词：资产定价 波动率 distribution Quantitative Mathematical

具有随机波动性的资产定价Xin Liu*第一版：2016年7月15日；修订版：2018年9月20日摘要本文提出用混合的差异过程来建模资产价格动态，其中潜在差异过程的瞬时波动率包含一个随机向量。该过程的边际概率分布可以精确匹配即期Vanilla期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布。我们还可以导出在广义几何布朗运动下具有闭式解的导数的显式定价公式。关键词：远期隐含波动率、局部波动率、混合差异、随机波动率、风险中性分布、随机波动率。*独立研究员。电子邮件：liuxinrn@gmail.com1引言校准常用的资产定价模型以同时满足前隐含波动率和即期隐含波动率是一项挑战。本地波动率模型可以精确地与现货波动率匹配（【Dupire（1994）】）。然而，它没有正确定价远期启动期权，因为它有错误的远期动态（[Hagan e t al（2002）]，[Gatheral（2006）]）。正如【Bergomi（2005）】所指出的，常用的随机波动率模型具有难以处理的正向隐含波动率。因此，很难获得能够捕捉远期启动期权动态的随机波动率模型的合适参数。【Cont和Kokholm（2013）】表明，这些随机模型无法再现VIX期权隐含的偏差。【Behvand（2010）】证明，时间相关的Heston随机波动率模型（【Heston（1993）】）可以为即期va nilla期权或远期启动期权提供良好的拟合，但不能同时为两者提供。

为了克服传统随机波动率和跳跃差异模型的限制，用多因素期限结构模型对sset价格的方差进行建模，[Berg omi（2005）]、[Bergomi（2008）]和[Cont和Kokholm（2013）]。本文采用混合模型方法对资产价格动态进行建模。混合模型是分析金融时间序列数据的有效工具，因为它足够灵活，可以捕捉金融数据的特质（【McLachlan，Peel（2004）】）。特别是，有限混合模型通过使用Black-Scholessolutions的加权和，提供了具有直觉吸引力特征的资产价格动力学的精确解。[Ritchey（1990）]认为，观测到的厚尾和斜态分布可以用独立高斯过程的有限正态混合来建模。【Melick，Thomas（2004）】对原油期货的美式期权也有类似的发现。【Alexander（2004）】引入了一种正常混合物扩散模型的参数化，该模型能够捕捉短期和长期微笑效应。[Jacquier等人（2004）]建议使用贝叶斯分析估计混合函数。【Gulisashvili（2012）】获得了具有相关或不相关随机波动率的各种差异的混合分布公式。[Brigo（2002）]和[Brigo et al（2002）]推导出一个随机微分方程（SDE），其密度为高斯密度的有限混合。本文展示了如何推导具有有限数量混合成分的随机过程，称为混合差分，以使其边际分布函数精确地满足即期普通期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布。

混合扩散是一个随机过程，其中潜在扩散过程的瞬时漂移和波动包含一个随机向量。我们称这种建模方法为随机波动率模型。混合物扩散在数学上是可行的，我们可以显式求解具有随机波动性的混合物扩散的SDE。当随机波动率的维数为1时，校准的混合物差异可以具有与现货香草期权所暗示的风险中性分布相同的边缘分布。混合物差异具有与本地波动率模型相似的性质（【Dupire（19 94）】）。不幸的是，它也继承了它的局限性，如flawed forwarddynamics（[Hagan等人（2002）]，[Gatheral（2006）]）。为了克服这些局限性，我们建议用称为层次结构混合物扩散的多维随机波动率对混合物扩散进行建模。分层混合差分法可以精确地模拟从远期启动期权衍生出的Vol-of-Vol分布，并且我们能够对即期普通期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布进行精确的拟合。随机价值模型是资产动态建模中一种非常通用的方法。许多著名的资产定价模型可以直接从随机波动率模型中推导出来。例如，【Brigo et al（2002）】中的对数正态混合模型和【Dupire（1994）】中的局部波动模型可以导出为随机波动模型的马尔可夫投影。【Jacquier et al（2004）】中通过贝叶斯分析获得的后验分布是随机波动率模型的一种特例，其中混合函数使用有限数量的参数进行参数化。此外，随机波动率模型不仅保留了这些传统模型的优势，而且避免了模型动力学中的波动。

作为一个例子，我们考虑产生杜皮尔局部波动模型和马尔可夫预测的混合差分。命题2.10之后的讨论表明，其隐含波动率微笑/偏斜与标的资产价格平行移动。另一方面，杜皮尔的局部波动率模型与典型的市场行为相反（【Ha-gan等人（2002）】）。使用分层随机波动率模型，我们可以精确地建模for ward动态的Vol-of-Vol结构，而局部波动率模型具有不正确的远期动态。下面是拟议建模方法的简短贡献列表。1在混合差异下，资产价格的边际概率分布可以精确匹配所有到期日和到期日的即期普通期权和远期star t期权所隐含的风险中性分布。2我们有明确的混合物扩散SDE公式，该公式与给定的风险中性分布一致。我们还可以导出在广义几何布朗运动下具有闭式解的导数的显式定价公式。3在一组固定的到期日下，混合差可以具有与随机波动率模型相同的有限联合概率分布函数。因此，如果衍生品的价值在给定的时间完全确定，混合差异可以像随机波动率模型一样对衍生品进行定价。2随机波动率模型2.1混合物差异的定义我们探讨了在概率空间中发现随机过程的各种方法(Ohm, F、 {Ft}t≥t、 Q）使其初始分布函数与风险中性分布相匹配，其中初始时间t≥ 0通常为0。

因为我们只关心风险中性分布的拟合，所以我们假设Q是风险中性测度，风险中性概率密度函数也是从该测度中推导出来的。我们假设与风险中性度量相对应的基准是货币市场账户B（t），其中B（t）：=eRttr（t）Ds，r（t）是无风险利率。我们将直接在Q下推导风险中性资产动态，我们的方法不涉及物理度量。设Θ为Rn中的勒贝格可测集，对于某些n>0，τ>0为固定未来时间。对于每个θ∈ Θ，我们假设u（x，t；θ）和ν（x，t；θ）是标量函数，因此SDEdXt（θ）=u（Xt（θ），t；θ） dt+pν（Xt（θ），t；θ） d WtXt（θ）=x（2.1），其中t∈ [t，τ]。我们将Xt（θ）的支撑区间o表示为（a，∞) 其中ais通常为0或-∞. 我们还假设存在关于（a，∞). 我们用参数θ表示P（·，t；θ）作为t时刻t的密度函数。对于有限混合物模型，Θ是离散的，即Θ={θ，…，θk}。基于Xt（θ）的混合分布定义为▄P（x，t）=kXi=1λiP（x，t；θi），其中混合比例{λ，…，λk}满足λi≥ 0，pki=1λi=1。等效地，我们可以将混合比例写成函数形式，表示为m（θ），m（θ）=kXi=1λiδ（θ- θi），其中δ（·）是Dirac D elta函数。然后混合物的分布变为，~P（x，t）=ZΘm（θ）P（x，t；θ）dθ。在本文中，我们将使用混合比例的函数形式，因为它适用于有限数量的混合成分。定义2.1假设(Ohm, ∑，m）是Lebesgue测度空间。我们称▄P（x，t）=ZΘP（x，t；θ）m（dθ）。（2.2）参数化随机过程的混合分布Xt（θ），并调用参数化扩散过程的混合函数（2.1）。

我们称之为随机过程{Xt:t≤ t型≤ τ} 若其边际概率密度函数为每t<t的混合物分布▄P（·，t），则混合物▄P（x，t）的扩散≤ τ。很明显，我们对混合函数的定义确保了▄P（x，t）是一个密度函数，支持区间（a，∞). 【Brigo（2002）】导出了当漂移和波动项是基础资产价格的确定函数时，有限混合差分的显式公式。本文建议在漂移项和波动项包含随机向量的情况下，利用有限差分的混合来建模资产价格。让(Ohmw、 Fw，{Fwt}t≥0，Pw）是标准布朗运动{Wt，t≥ 0}；V是概率空间上概率分布为m（·）的n维随机向量(Ohmv、 Fv、Pv）。我们假设V独立于Wt。设Q为Fw的乘积测度Fv。用乘积测度Q表示概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥t、 Q）：=(Ohmw×Ohmv、 Fw公司 Fv，{Fwt Fv}t≥t、 Q）。关于概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥t、 Q），我们根据参数化（2.1）asdXt=u（Xt，t；V）dt+Qν（Xt，t；V）dWtXt=x（2.3）定义具有随机漂移和波动性的混合物扩散，在不丧失一般性的情况下，我们假设Xt（θ）位于Xt的相同概率空间中，使得当V=θ时Xt=Xt（θ），即Xt=Xt（V）。（2.4）然后Xtis的基本分布函数，PXt∈ dx公司=ZΘPXt（V）∈ dx | V=θP五、∈ dθ=P（x，t）dx。因此，对于▄P（x，t），混合物扩散的定义是▄x，t。（2.3）中定义的混合物差异实际上是一个隐马尔可夫过程，其中Xt代表观察到的资产价格，V代表未观察到的状态变量。隐藏状态变量可以解释为来自投资者世界的随机样本。

每个个人投资者对资产演化都有自己的独特观点，这是用参数化随机过程建模的（2.1）。然而，市场参与者可以观察到的是，作为所有投资者行为的结果，市场的总走势。因此，总体资产价格变动遵循隐马尔可夫过程，并从投资者群体中抽取隐状态变量。因此，在混合差异下，资产价格本身不是马尔可夫过程。在本文中，我们将具有瞬时漂移项r（t）x的混合物扩散称为风险中性混合物扩散。在风险中性混合差分下，我们考虑带支付函数C（·）：ST7的导数的价格→ R、 其中S=（0，∞) 是▄x的状态空间，t=[t，τ]是其索引集。请注意，Xt和Xt（θ）可以被视为ST值随机变量。导数的期望值为：E（E[C（≈X）| V]）=ZΘE[C（X（θ））]m（dθ）。（2.5）方程式（2.5）给出了导数估值的重要性质：混合差下的导数值等于所有基础差的预期值的加权平均值。利用（2.5），我们可以得到外显期权的闭式解，前提是它们对潜在的差异有显式解。

（2.5）的另一个含义是，G r EEK（或对冲参数）可以直接计算为希腊所有潜在差异的加权平均数，即：。，xE[C（℃）X）]=ZΘxE[C（X（θ））]m（dθ），（2.6），其中X表示导数值依赖的基础参数。在本文中，我们考虑一种特殊的风险中性参数化，它可以从风险中性分布中得到明确的解决：广义几何布朗运动（GGBM）dXt（θ）Xt（θ）=r（t）dt+pν（θ，t）dWtXt（θ）=x（2.7），其中t∈ [t，τ]、ν（θ，t）是（θ，t）的确定性标量函数。定义2.2针对任何t∈ （t，τ），我们假设(Ohm, ∑，mt）是Lebesgue测度空间。我们将（2.8）的基本参数化称为几何参数化的混合（MGP）。我们用m i xing函数MtasrΘP（x，t；θ）mt（dθ）确定时间t时MGP的混合物分布。对于简单情况，我们将参数化表示为向量（mt，ν（θ，t），t，x，Θ）。MGP中的混合函数允许具有时间依赖性，因为MGP是一个工具模型混合分布。在整个论文中，我们仅将时间独立混合函数应用于混合物差异的定义，如下所示。定义2.3 Le t M=（M，ν（θ，t），t，x，Θ）并定义混合物差异，其中V是概率分布为M（·）的随机变量；我们假设V与Ftand相适应，且与{Wt，0≤ t型≤ τ} 。我们将▄Xt称为几何微分（MGD）与参数化M的混合物。对于简单情况，我们将其表示为向量（▄Xt，M，V）。2.2混合物的性质首先，我们推导出充分条件，使混合物存在唯一的强溶液（2.3）。通常，线性增长和Lipschitz条件可以保证唯一强解的存在。

虽然这些条件通常是由潜在的参数化差异造成的，但当参数化具有无限的参数时，它们对于混合物的差异是失败的。下面的定理表明，类似于经典结果的条件仍然适用于混合物扩散。虽然我们的结果是以一维形式表示的，但如果我们将|·|解释为欧几里德范数，当▄XtandWtare向量时，同样的结果也是成立的。结果证明见附录。定理2.4设σ（x，t；θ）=pν（x，t；θ），t=0。我们假设。存在一个可测函数f：Θ7→ [0，∞) 如|u（x，t；θ）|+|σ（x，t；θ）|≤ f（θ）（1+| x |）|u（x，t；θ）- u（x，t；θ）|+|σ（x，t；θ）- σ（x，t；θ）|≤ f（θ）| x- x | C2。假设混合函数m（·）满足zΘeCf（θ）m（dθ）<∞ （2.9）式中，C=10（τ+τ）。设V是一个具有概率分布函数m（·）的n维随机向量。我们假设V适应于Fand，与Wt无关。然后，随机过程DXt=u（Xt，t；V）dt+qν（Xt，t；V）dWtX=X（2.10）允许具有边际分布函数P（X，t）（2.2）的唯一s强解。利用马尔可夫投影技术（[Gy¨ongy（1986）]，[Piterbarg（2006）]，我们可以证明一个具有确定性漂移和波动性的扩散过程，而不是马尔基纳概率分布P（x，t）。下面，我们通过验证福克-普朗克方程（Brigo（2002））直接证明了这一结果。命题2.5我们假设随机过程满足定理2.4。