反对无序清算大额头寸的交易

我们假设部分知情的投资者知道价格影响函数g的函数形式。然而，我们假设部分知情的投资者只知道Θ和K的分布，而不知道充分了解清算价格影响所需的实现价值。不知情的投资者不知道清算触发机制。他们错误地认为，市场价格过程遵循布莱克-斯科尔斯动力学（2.1），没有价格影响。与默顿类型的投资者相比，考虑非信息投资者使我们能够量化有关清算障碍和价格影响的信息价值。我们用FS=（FSt）t表示≥0市场价格过程SM产生的自然过滤。由于市场价格与清算前的基本价值过程一致，因此清算时间τ（F停止时间）也是FS停止时间。我们在以下假设中总结了各种投资者的知识。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，假设2.4。所有投资者都观察风险资产的市场价格，并知道参数u和σ的值。此外，某些市场参与者还拥有其他信息：（i）完全信息投资者的可观察信息由过滤（2）t=FSt建模∨ σ（Θ，K）=Ft∨ σ（Θ，K），他们进一步了解清算障碍α，以及影响函数g的形式。（ii）部分知情投资者的可观察信息由filtrationg（1）t=FSt建模，他们进一步了解清算障碍α，影响函数g的形式，以及（Θ，K）的分布。（iii）为了与上述两种类型的内幕人士进行比较，我们考虑了通过过滤G（0）t=FSt建模可观察信息的非信息投资者。他们没有关于清算机制的信息。

此外，他们没有更新τ之后漂移过程的知识，并充当默顿型投资者，错误地考虑了整个期间具有常数u的布莱克-斯科尔斯动力学[0，T]。备注2.5。由于所有投资者都可以观察到风险资产的市场价格，因此“公共”过滤FSF代表了对三类投资者的常见信息。假设2.4意味着部分知情投资者了解uMt（Θ，K）定律。这类似于Baudoin的弱信息案例[8]。这三类投资者之间的本质区别在于他们对（2.7）中定义的漂移项uM（Θ，K）的了解。完全知情的投资者能够完全观察浮动期限。部分知情的投资者部分观察漂移项，这与Karatzas和Zhao考虑的部分观察情况相对应[19]。部分知情的投资者可以使用过滤理论获得与他们的观察过程相适应的drif t项估计值。未知情投资者没有任何关于清算机制和市场影响的信息，这会导致他们错误地将漂移期限指定为u。也就是说，不知情的投资者认为市场价格遵循布莱克-斯科尔斯动力学（2.1）。如果不知情的投资者将（2.1）的漂移视为一个不可观察的过程，他可能会在不了解清算机制或市场影响函数的情况下应用过滤理论来改进其投资决策。然而，在本文中，我们将只考虑假设2.4的情况，即在期初估计漂移而不更新漂移的不知情投资者，因为从他们自己的角度来看，在[0，T]期间没有发生清算事件。

不知情投资者主要被视为与默顿模型进行比较的基准。在本文的剩余部分，我们将研究对数效用和幂效用下三类投资者的投资组合优化问题。3完全知情的投资者完全知情的投资者根据其信息可及性选择其交易策略来调整资产组合。如第2节所述，完全知情的投资者知道Hillairet等人在不对称信息下的最优交易的实现价值2018年11月7日随机变量Θ和K。投资策略的特征是G（2）-可预测过程π（2），它表示投资于风险资产的财富比例。容许策略集a（2）是π（2）的集合，对于任何（θ，k）∈ （0+∞) ×（0，1），ZT |π（2）tuMt（θ，k）| dt+ZT |π（2）tσ| dt<∞. （3.1）投资者的风险规避由（0，∞) 这是严格递增的，严格凹的，在（0）上有连续导数U′（x），∞), 和令人满意的Limx→0+U′（x）=+∞ 林克斯→∞U′（x）=0。我们通过似然过程lt：=dQdP定义G（2）-鞅测度QG（2）t=经验值(-ZtuMv（Θ，K）σdWv-Zt公司uMv（Θ，K）2σdv）。（3.2）如Remark2.2所述，W是（G（2），P）-布朗运动。根据Girsanov定理，过程wqd定义为wqt=Wt+ZtuMv（Θ，K）σdv（3.3）是（G（2），Q）-布朗运动，Q下的资产价格动态可以写成dsmt=SMtσdWQt。（3.4）采取策略π∈ A（2），初始捐赠X的财富过程∈ G（2）演化为dx（2）t=X（2）tπ（2）t（uMt（Θ，K）dt+σdWt），0≤ t型≤ T（3.5），即X（2）T=X+ZTπ（2）vσSMvdWQv。（3.6）完全知情的投资者的目标是最大化其终端财富的预期效用V（2）：=supπ（2）∈A（2）EhUX（2）Ti（3.7）orV（2）（Θ，K）：=ess supπ（2）（Θ，K）∈A（2）EhUX（2）T|G（2）i（3.8），其中G（2）=σ（Θ，K）。

Amendinger等人[5]给出了优化问题（3.7）和（3.8）之间的联系；如果（3.8）中的上确界是通过（2）中的某种策略获得的，那么ω最优也是（3.7）的解。由于（Θ，K）与F无关，因此（G（2），Q）-局部鞅的鞅表示定理成立，因此我们采用标准的“鞅方法”（见Karatzas和Shreve[18]）来解决效用优化问题（3.8）。我们可以考虑以下静态优化问题supx（2）T∈维胡X（2）T|G（2）i（3.9）利用修正inger[3，命题4.6]对鞅表示定理的结果，可以将该假设放松为密度Jacod假设。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，其中V=nX（2）TX（2）T=X+RTπ（2）vσSMvdWQv，π（2）∈ A（2）o.优化问题（3.9）可以使用拉格朗日乘子法解决（见Amendinger等人[5，命题4.5]）。最优终端财富^X（2）由^X（2）T=I（λLT），（3.10）给出，其中I=（U′）-1而G（2）-可测随机变量∧由等式HI（λLT）| G（2）i=X.（3.11）确定。为了找到最优策略^π（2），应提供最优财富过程^X（2）t=EQh^X（2）t | G（2）ti的动力学。（3.12）自（X（2）t）t∈[0，T]是一个（G（2），Q）-鞅，存在一个G（2）-适应过程J，使得^X（2）T=EQ[^X（2）TG（2）]+ZtJvdWQv。（3.13）将（3.11）代入（3.13），我们有^X（2）t=X+ZtJvdWQv。（3.14）比较（3.6）和（3.14），我们得到了最优策略^π（2）t=Jtσ^X（2）t。（3.15）注意，最优策略（^π（2）t）t∈[0，T]涉及由（3.13）中的鞅表示隐式确定的过程J。

为了获得最优策略的显式表达式，我们将在以下小节中考虑幂和对数效用。3.1电力利用率我们首先考虑电力利用率U（x）=xpp，0<p<1。使用I（x）=xp的事实-通过（3.10）-（3.11），我们得到了最佳终端财富^X（2）T=XEh（LT）pp-1i（LT）p-1（3.16），其中LTI由（3.2）给出。以下建议给出了最优预期效用和最优策略：HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，建议3.1。对于功率效用U（x）=xpp，0<p<1，最佳预期效用为v（2）（Θ，K）=（x）ppEh（LT）pp-1i1.-p（3.17），最优策略由^π（2）t=1{0给出≤t<τ∧T}π（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（2，a）T，T∈ [0，T]（3.18），其中^π（2，b）T=u（1- p） σ+ZHtσHt，t∈ [[0，τ∧ T[[，（3.19）^π（2，a）T=uIt（τ，Θ，K）（1- p） σ，t∈ [[τ∧ T、 T]]（3.20），其中（H，ZH）满足以下线性BSDEHt=1+ZTtpuMv（Θ，K）2（1- p） σHv+puMv（Θ，K）（1- p） σZHv！dv-ZTtZHvdWv。（3.21）证明。继Bj"ork等人[9]之后，我们通过计算最优财富过程的动力学，找到了最优策略的显式表达式。将抽象贝叶斯公式应用于（3.12），我们得到了^X（2）t=EQh^X（2）t | G（2）ti=LtEh^X（2）TLT | G（2）ti。（3.22）将（3.2）和（3.16）替换为（3.22），我们有^X（2）t=XE[（LT）pp-1] LtEh（LT）pp-1 | G（2）ti=XE[（LT）pp-1] LtE“exp（ZTpuMv（Θ，K）（1- p）σdWv+ZTpuMv（Θ，K）2（1- p） σdv）| G（2）t#=X（Lt）p-1E[（LT）pp-1] E“exp（ZTtpuMv（Θ，K）（1- p） σdWv+ZTtpuMv（Θ，K）2（1- p） σdv）| G（2）t#（3.23）定义：=E[经验值ZTtpuMv（Θ，K）（1- p） σdWv+ZTtp（uMv（Θ，K））2（1- p） σdv|G（2）t]（3.24）最优财富过程写为^X（2）t=XH（Lt）p-1Ht。（3.25）HILLAIRET等人。

不对称信息下的最优交易2018年11月7日，以发现（Ht）t的动态∈[0，T]，我们首先指出（Mt：=HtDt）T∈[0，T]是（G（2），P）鞅，其中dt：=expZtpuMv（Θ，K）（1- p） σdWv+Ztp（uMv（Θ，K））2（1- p） σdv. （3.26）根据鞅表示定理，存在一个G（2）适应过程zm，使得mt=M+ZtMvZMvdWv。（3.27）根据方程式（3.26）d（Dt）=（Dt）p（uMt（Θ，K））2（1- p） σ-p（uMt（Θ，K））2（1- p） σdt公司-puMt（Θ，K）（1- p） σdWt（3.28），从而导致以下过程动力学（Ht）t∈[0，T]dHt=Htp（uMt（Θ，K））2（1- p） σ-p（uMt（Θ，K））2（1- p） σ-puMt（Θ，K）（1- p） σZMtdt公司+ZMt-puMt（Θ，K）（1- p） σ载重吨.表示ZHt：=HtZMt-puMt（Θ，K）（1-p） σ和使用终端条件HT=1，（HT）t∈[0，T]满足以下BSDEHt=1+ZTtp（uMv（Θ，K））2（1- p） σHv+puMv（Θ，K）（1- p） σZHvdv-ZTtZHvdWv。（3.29）因此，最优财富过程的动力学，使用（3.25），ared^X（2）t=^X（2）tuMt（Θ，K）（1）- p） σ+uMt（Θ，K）ZHtσHt！dt+^X（2）tuMt（Θ，K）（1- p） σ+ZHtHt载重吨。（3.30）得出最佳策略（通过比较（3.30）和（3.5））^π（2）t=uMt（Θ，K）（1- p） σ+ZHtσHt。（3.31）我们将时间范围[0，T]分解为两个随机时间间隔[0，τ∧ T[[和[[τ]∧ T、 T]]。关于随机区间[[τ∧ T、 T]]，完全知情的投资者观察到漂移项uMthus BSDE（3.29）可在[[τ]上明确求解∧ T、 T]]：Ht=expZTtp（uIv（τ，Θ，K））2（1- p） σdv, （3.32）ZHt=0。（3.33）回顾（2.9）并使用（3.32）-（3.33）我们可以将（3.31）中的最优策略分解为两部分：^π（2）t=1{0≤t<τ∧T}π（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（2，a）T（3.18）HILLAIRET等。不对称信息下的最优交易2018年11月7日，其中}π（2，b）T=u（1- p） σ+ZHtσHt，t∈ [[0，τ∧ T[[，（3.19）（3.34）^π（2，a）T=uIt（τ，Θ，K）（1- p） σ，t∈ [[τ∧ T、 T]]。（3.20）（3.35）在（3.20）中清算后的最佳战略本质上是默顿式战略。

（3.19）中清算前的部分是默顿策略和额外部分的总和，额外部分由BSDE（3.21）的解确定。很难获得BSDE（3.21）的闭合形式解，但是，我们可以数值求解BSDE（3.21），这将在第6节中讨论。接下来，我们考虑完全知情投资者的对数效用情况。3.2对数效用在本节中，我们考虑对数效用U（x）=ln（x）。利用I（x）=x和（3.10）-（3.11）这一事实，我们得到了最优终端财富^x（2）T=XLT（3.36），其中lti由（3.2）给出。最优期望效用为v（2）（Θ，K）=ln（X）- E【ln（LT）】。将抽象贝叶斯公式应用于（3.12）并使用（3.36），我们得到了^X（2）t=EQh^X（2）t | G（2）ti=LtEh^X（2）TLT | G（2）ti=XLt（3.37），其动力学由d^X（2）t给出=uMt（Θ，K）2σdt+uMt（Θ，K）σdWt。（3.38）比较（3.38）和（3.5），我们得到了最优策略^π（2）t=uMt（Θ，K）σ。回顾（2.9），我们可以将最优策略分解为两部分^π（2）t=1{0≤t<τ∧T}π（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤这个额外的术语被比约克称为“参数风险对冲需求”。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，其中^π（2，b）t=uσ，t∈ [[0，τ∧ T[[，（3.40）^π（2，a）T=uIt（τ，Θ，K）σ，T∈ [[τ∧ T、 T]]。（3.41）完全知情投资者的最佳交易策略由清算前和清算后的两个默顿策略组成。因此，我们分解了最优财富过程^X（2）tas^X（2）t=1{0≤t<τ∧T}^X（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}^X（2，a）twhere^X（2，b）and^X（2，a）满足以下SDEsd^X（2，b）T=^X（2，b）T^π（2，b）T（utdt+σdWt），T∈ [[0，τ∧ T[[，（3.42）d^X（2，a）T=^X（2，a）T^π（2，a）TuIt（τ，Θ，K）dt+σdWt, t型∈ [[τ∧ T、 T]]。

（3.43）然后我们将终端财富的预期效用分解为两部分，这取决于是否在时间T之前或之后发生清算：V（2）（Θ，K）=E[1{τ>T}ln（^X（2，b）T）| G（2）]+E[1{τ≤T}ln（^X（2，a）T）| G（2）]。（3.44）（3.44）中的两个条件期望分别在引理A.1和A.2中计算。结合这些引理，我们得到以下结果。提案3.2。完全知情投资者的最优对数预期效用isV（2）（Θ，K）=（N-lnασ+（uσ-σ） T型√T- 经验值2uσ- lnαNlnασ+（μσ-σ） T型√T！）×ln（X）+（u-uσ）T+ZlnασZ∞y2ux（x- 2年）√2πTexp（uσ-σ） x个-（uσ-σ） T型-2T（2y- x）dxdy公司-lnασZT√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)h（2）（t，Θ，K）dth（2）（t；θ，K）：=ln X+ulnασ+ut-u2σt+ZTtuIv（t，θ，k）2σdv。在下一节中，我们将考虑部分知情投资者的优化问题。4部分知情投资者部分知情投资者的投资组合策略应该是G（1）-适应的，用π（1）=（π（1）t，0表示≤ t型≤ T）。财富过程演化为dx（1）t=X（1）tπ（1）t（uMt（Θ，K）dt+σdWt），0≤ t型≤ T、 （4.1）HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，与（3.1）类似，容许策略集A（1）是π（1）的集合，因此，对于任何（θ，k）∈（0+∞) ×（0，1），ZT |π（1）tuMt（θ，k）| dt+ZT |π（1）tσ| dt<∞. （4.2）部分知情投资者的投资组合优化问题isV（1）=supπ（1）∈A（1）EhUX（1）Ti、 （4.3）注意，优化问题（4.1）-（4.3）是部分观测的情况，因为漂移终端（4.1）不是G（1）自适应的。继Karatzas和Zhao【19】之后，我们首先将部分观测的优化问题简化为完全观测的情况。回想一下，概率度量Q定义为DQDPG（2）T=LT。

（4.4）密度过程lt=exp(-ZtuMv（Θ，K）σdWv-Zt公司uMv（Θ，K）2σdv）（4.5）是a（G（2），P）-鞅。我们接下来根据市场价格的观察结果，确定漂移uMt（Θ，K）的过滤估计值，即uMt=EhuMt（Θ，K）| G（1）ti。（4.6）我们定义了创新流程W bydWt=dWt+uMt（Θ，K）- uMtσdt，0≤ t型≤ T、 （4.7）Bj"ork等人[9，引理4.1]我们知道▄W是一个标准（G（1），P）-布朗运动。然后我们可以重写（2.8）asdSMt=SMtuMtdt+σdWt. （4.8）财富过程X（1）asdX（1）t=X（1）tπ（1）t（(R)uMtdt+σdWt），0≤ t型≤ T（4.9），初始财富x∈]0+∞[.现在，财富过程X（1）的动力学处于完全观察模型的框架内，因为‘uMis G（1）’适应了。与完全知情的投资者的情况类似，优化问题（4.3）可以通过马丁格尔方法解决。HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日，命题4.1。（i）具有效用函数U和i=（U′）的部分信息投资者的最优终端财富-1由^X（1）T=I（λ′LT）给出。拉格朗日乘数λ由预算约束确定I（λ′LT）’LT= x（4.10）和“lti是过滤G（1）的风险中性概率度量密度”Lt=exp(-Zt？uMvσd？Wv-Zt公司uMv2σdv）（4.11），其中“uMt=EhuMt（Θ，K）| G（1）ti（ii）过滤后的漂移估计值”umca可计算为“uMt”=u，t∈ [[0，τ∧ T[[R∞R（uMt（θ，k）exp（RtuMv（θ，k）σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdv）Д（θ，k）dθdkR∞R（exp（RtuMv（θ，k））σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdv））Д（θ，k）dθdk，t∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.12）证明。（i） 我们定义了过程‘Lt=等式【Lt | G（1）t】。通过重写Ltin（4.5）asLt=exp(-ZtuMv（Θ，K）σdWQv+ZtuMv（Θ，K）2σdv），（4.13）我们计算\'Lt=exp(-Zt？uMvσdWQv+ZtuMv2σdv）（4.14）结合（4.18）和（4.7），我们得到了dWqt=dWt+(R)uMtσdt。（4.15）将（4.15）替换为（4.14），我们发现“Lt=exp”(-Zt？uMvσd？Wv-Zt公司uMv2σdv）。

（4.16）由于Ltis a（G（1），P）-鞅，我们定义了风险中性概率测度Q byd QdPG（1）t=(R)Lt.（4.17）HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日，通过以下事实：W是一个（G（1），P）-布朗运动和Girsanov定理，过程W▄Qde finedasw▄Qt=▄Wt+Zt▄uMvσdv，0≤ t型≤ T（4.18）是a（G（1），~Q）-布朗运动。按照与第3节中相同的程序，我们找到由^X（1）T=I（λ′LT），（4.19）得出的最优终端财富^X（1）T，其中I=（U′）-1拉格朗日乘数λ由I（λ′LT）’LT= x、 （4.20）（ii）回想一下lt=dPdQG（2）t=exp（ZtuMv（Θ，K）σdWQv-Zt公司uMv（Θ，K）2σdv）（4.21）是（G（2），Q）-鞅。根据与Bayes公式相关的Kallianpur Striebel公式，我们得到了“uMt=EhuMt（Θ，K）| G（1）ti=EQhuMt（Θ，K）LT | G（1）tiEQ[LT | G（1）t]=EQhEQhuMt（Θ，K）LT | G（2）tiG（1）tiEQ[Lt | G（1）t]=EQhuMt（Θ，K）Lt | G（1）tiEQ[Lt | G（1）t]=等式uMt（Θ，K）扩展RtuMv（Θ，K）σdWQv-Rt（uMv（Θ，K））2σdv|G（1）t公式[表达式uMv（Θ，K）σdWQv-Rt（uMv（Θ，K））2σdvo | G（1）t]。（4.22）由于度量Q与G（2）=σ（Θ，K）上的P重合，因此Q下的（Θ，K）分布与P下的分布相同。回想一下，布朗运动wqi与σ（Θ，K）无关，我们有'uMt=R∞RuMt（θ，k）expRtuMv（θ，k）σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdvД（θ，k）dθdkR∞RnexpnRtuMv（θ，k）σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdvooД（θ，k）dθdk。（4.23）对于t<τ∧ T我们有uMt=u，因为uMt=u。继Fujisaki等人【12】之后，关于（G（1），~Q）-布朗运动WQ，存在一个鞅表示定理。与完全信息投资者的情况类似，最优策略π（1）依赖于鞅表示定理。对于一般效用函数，最优策略π（1）没有显式表达式。在下一小节中，我们将考虑幂和对数实用程序。HILLAIRET等人。