反对无序清算大额头寸的交易

不对称信息下的最优交易1984年11月7日。1电力效用我们首先考虑电力效用U（x）=xpp，0<p<1。T处的最优终端财富为给定的^X（1）T=xEh\'\'LT聚丙烯-1i\'\'LTp-1（4.24），其中“LTI”由等式（4.11）给出。最优期望效用为v（1）=（x）pp呃\'\'LT聚丙烯-1i1.-p、 （4.25）与完全知情投资者的情况类似，我们可以将最优策略^π（1）分解为两部分：^π（1）t=1{0≤t<τ∧T}π（1，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（1，a）T.（4.26）按照第3.1节中的类似程序，我们得到了}π（1，b）T=u（1- p） σ+Z’Htσ’Ht，t∈ [[0，τ∧ T[[，（4.27）^π（1，a）T=(R)uIt（1- p） σ，t∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.28）其中（\'H，Z\'H）满足线性BSDE\'Ht=1+ZTtpuMv2（1- p） σ′Hv+p′uMv（1- p） σZ？Hv！dv-ZTtZ“Hvd”Wv。（4.29）我们将在第6.4.2节中讨论BSDE（4.29）的数值解对数效用在本节中，我们考虑对数效用U（x）=ln（x）。T处的最优终端财富由^X（1）T=X'LT.（4.30）给出，最优预期效用为v（1）=ln（X）- Eln（(R)LT）. （4.31）最优投资过程^π（1）由^π（1）t=1{0给出≤t<τ∧T}π（1，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（1，a）T（4.32），其中}π（1，b）T=μσ，T∈ [[0，τ∧ T[[，（4.33）^π（1，a）T=？uItσ，T∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.34）HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日我们将最优财富过程分解为清算前后的部分，如^X（1）t=1{0≤t<τ∧T}^X（1，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}^X（1，a）T（4.35），其中^X（1，b）和^X（1，a）T满足以下SDEsd^X（1，b）T=^X（1，b）T^π（1，b）（udt+σdWt），T∈ [[0，τ∧ T[[，（4.36）d^X（1，a）T=^X（1，a）T^π（1，a）tn？uatdt+σd？Wto，T∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.37）然后，我们将终端财富V（1）的预期效用分解为两部分，这取决于清算是在时间T之前还是之后发生：V（1）=Eh{T<τ}ln^X（1，b）Ti+Eh{T≥τ}ln^X（1，a）Ti。

（4.38）比较（3.40）和（4.33），我们知道部分知情投资者在清算前持有与完全知情投资者相同的最优策略。如果在T之前没有发生清算，那么部分和全部信息投资者的最优最终财富是相同的，即{T<τ}ln^X（1，b）Ti=Eh{T<τ}ln^X（2，b）Ti、 因此，（4.38）中的第一个期望值已在引理A.1中计算，其他期望值在引理A中计算。3、结合这些引理，我们得到以下结果。提案4.2。完全知情的维斯特isV的最佳日志预期效用（1）=（N-lnασ+（uσ-σ） T型√T- 经验值2uσ- lnαNlnασ+（μσ-σ） T型√T！）×ln（x）+（u-uσ）T+ZlnασZ∞y2ux（x- 2年）√2πTexp（uσ-σ） x个-（uσ-σ） T型-2T（2y- x）dxdy公司-lnασZT√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)h（1）（t）dth（1）（t）：=ln x+ulnασ+ut-u2σt+ZTtuMv2σdv。我们将考虑未知投资者的优化问题。5不知情的投资者不知情的投资者错误地认为资产的市场价格遵循具有常数u的Black-Scholesdynamics。也就是说，不知情的投资者充当默顿投资者。为了与完全知情和部分知情的投资者进行比较，我们将在以下章节中考虑电力效用和对数效用。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》20185年11月7日。1电力效用我们首先考虑电力效用，即U（x）=xpp。不知情投资者采用默顿策略^π（0）=u（1- p） σ。（5.1）然而，资产的市场价格过程由（2.8）给出。因此，对应于（5.1）给出的次优策略，财富过程^X（0）写为^X（0）t=1{0≤t<τ∧T}^X（0，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}^X（0，a）twhere^Xbtand^X（0，a）皮重由d^X（0，b）T=^X（0，b）T^π（0）（udt+σdWt），T∈ [[0，τ∧ T[[，（5.2）d^X（0，a）T=^X（0，a）T^π（0）uIt（τ，Θ，K）dt+σdWt, t型∈ [[τ∧T、 T]]。

（5.3）接下来，我们使用（5.1）给出的投资策略计算最终财富的预期效用E[U（^XT）]。我们将[U（^XT）]分解为两部分，这取决于是否在德湖时间之前发生清算^XTi=Eh{τ>T}U^X（0，b）Ti+Eh{τ≤T}U^X（0，a）Ti、 （5.4）（5.4）中的两个期望值分别在引理A.4和A.5中计算。提案5.1。遵循次优策略（5.1）isEhU的不知情投资者的预期电力效用^XTi=xppexppuT2（1- p） σ×（N-lnασ+（u（1-p） σ-σ） T型√T-经验值2ulnα（1- p） σ- lnαNlnασ+（u（1-p） σ-σ） T型√T！）-lnασZZ∞ZT公司√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)l（0）（t，θ，k）Д（θ）dtdθdk其中l（0）（t，θ，k）=xppexpulnα（1- p） σ+u（1- p） t型-u（1- p） σt+ZTtpuIv（t，θ，k）（1- p） σdv.接下来，我们考虑对数效用下统一投资者的相同问题。5.2对数效用在对数效用的情况下，不知情投资者采用默顿策略^π（0）=μσ。（5.5）HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日，我们用^X（0）t表示未知情投资者的财富过程为持有次优策略^π（0）t（5.5）。与电力效用的情况类似，我们使用分解[ln（^X（0）T）]=E[1{τ>T}ln（^X（0，b）T）]+E[1{τ≤T}ln（^X（0，a）T）]。（5.6）比较（3.40）和（5.5），我们知道未知情投资者在清算前与完全知情投资者持有相同的最优策略。如果T之前未发生清算，则未知情和完全知情投资者的最终财富相同，即^X（0，b）Ti=Eh{T<τ}ln^X（2，b）Ti、 因此，（5.6）中的第一个期望值已在引理A中计算。1，另一个期望在Lemma中计算。6、提案5.2。

遵循次优投资策略的统一投资者的预期对数效用（5.5）isE[ln（^X（0）T）]=（N-lnασ+（uσ-σ） T型√T- 经验值2uσ- lnαNlnασ+（μσ-σ） T型√T！）×ln（x）+（u-uσ）T+ZlnασZ∞y2ux（x- 2年）√2πTexp（uσ-σ） x个-（uσ-σ） T型-2T（2y- x）dxdy公司-lnασZZ∞ZT公司√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)h（0）（t，θ，k）Д（θ，k）dtdθdk其中h（0）（t，θ，k）：=ln x+ulnασ+ut-u2σt+ZTt2uIv（t，θ，k）- u2σdvWe接下来给出一些数值结果。6数值结果在本节中，我们说明了三类投资者优化问题的数值结果。我们设置参数u=0.07，σ=0.2，初始值S=80。我们让investmenthorizon T=1。清算触发水平选择为α=0.9。随机过程采用Euler格式离散，M=250步，时间间隔长度t=。模拟次数为N=10。我们假设（Θ，K）的分布在[0.05，0.15]×[0.02，0.08]上是均匀的。假设初始财富为x=80。功率效用函数规定为U（x）=2x。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，20186年11月7日。1漂移的滤波估计时间范围[0，1]被平均离散为0=t<t<··<tM=1。对于0≤ m级≤ M我们用uMtm（Θ，K）表示时间tm时uM（Θ，K）的离散化近似值。对于0≤ m级≤ M-1，我们表示为wm布朗运动在时间间隔内的增量[tm，tm+1]。（G（2），Q）-布朗运动增量的近似为WQm=Wm+uMtm（Θ，K）σt、 我们在时间tmby^uMtm=R时，近似于（4.23）中的过滤漂移估计值∞R（uMtm（θ，k）exp（P0≤我≤m级-1uMti（θ，k）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θ，k）2σt！））Д（θ，k）dθdkR∞R（exp）（P0.05）≤我≤m级-1uMti（θ，k）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θ，k）2σt！））Д（θ，k）dθdk。（6.1）我们使用蒙特卡罗方法估计（6.1）中的积分。假设模拟的数量为。

对于1≤ n≤ N，我们用（θN，kn）表示N次模拟中随机变量（Θ，K）的实现值。我们通过样本平均值uMtm=P1估计^uMtmin（6.1）≤n≤N（uMtm（θN，kn）exp（P0≤我≤m级-1uMti（θn，kn）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θn，kn）2σt！））P1级≤n≤N（exp（P0≤m级≤m级-1uMti（θn，kn）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θn，kn）2σt！））。（6.2）在图5中，我们举例说明了在特定情况下，与漂移项uM（Θ，K）相比的样本过滤器估计值，其中清算随机变量的实现值为（Θ，K）=（0.1，0.05）。从图5中我们注意到，漂移的滤波估计值非常接近实际漂移。这一结果表明，了解市场影响的功能形式比实际实现（Θ，K）更相关。time0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20.4滤波器估计与已实现漂移的滤波器估计对比已实现漂移的滤波器估计图5：与已实现漂移的滤波器估计对比Hillairet等人。不对称信息下的最优交易11月7日，20186.2电力利用的最佳策略在本节中，我们通过数值求解相关的BSDE，说明了电力利用情况下完全和部分知情投资者的最佳策略。我们跳过了对数效用的讨论，因为最优策略只是“短视”的默顿策略。如果是完全知情的投资者，我们通过以下离散化的BSDE▄Htm+1=▄Htm来近似BSDE（3.29）-p（uMtm（|θ，|k））2（1- p） σ▄Htm+puMtm（▄θ，▄k）（1- p） σ▄ZHtm！t+~ZHtmWtm，t≤ tm<tm，（6.3）~HtM=1。（6.4）BSDE（6.3）-（6.4）可使用以下递归方案求解（见Gobet等人[13]）ZHtm=tE[~Htm+1Wtm | G（2）tm]，（6.5）~Htm=E[| Htm+1 | G（2）tm]+puMtm（|θ，~k）（1-p） σ▄ZHtmt1级-p（uMtm（|θ，|k））2（1-p） σt、 （6.6）我们通过Gobet等人提出的蒙特卡罗回归方法估计（6.5）和（6.6）中的条件期望。

注意，对于（G（2），P），市场价格过程不是马尔可夫过程。我们定义了正在运行的最小进程SMt=inf{SMv | 0≤ v≤ t} 注意，这对（SMt，~SMt）是关于（G（2），P）的马尔可夫对。因此，我们可以选择回归基函数：1，x，x，y，yand xy。根据Gobet等人[13]的回归方法，（6.5）和（6.6）中的条件期望可以通过c+c（SMt）来估计- αS）+c（SMt- αS）+c（~SMt- αS）+c（~SMt- αS）+c（~SMt- αS）（~SMt-αS）对于某些系数ci，1≤ 我≤ 6、我们将完全知情的投资者的最优策略|π（2）近似为|π（2，b），如下|π（2）tm=u（1- p） σ+▄ZHtmσ▄Htm，0≤ tm公司≤ 商标。（6.7）按照类似程序，我们可以为部分知情的投资者求解相关的BSDE，并获得近似最优策略。图6显示了完全和部分投资者的近似最优策略，分别对应于风险资产价格的一条样本路径，其中清算发生在终止时间T之前。特别是对于图6中的资产价格路径，清算发生在时间t=0.1540。在清算之前，由于规模的原因，这两种策略无法区分。我们在图7中绘制了清算前的最优策略，并注意到清算前存在一些跟踪错误。这种差异可能是由于两个投资者的清算前策略包含一个取决于BSDE解决方案的组成部分，BSDE解决方案在时间上向后完成，特别是递归地取决于部分信息投资者的过滤漂移估计。因此，由于过滤问题的典型跟踪误差，一些误差可能会通过相关BSDE的数值解程序传播到清算前策略。HILLAIRET等人。

非对称信息下的最优交易2018年11月7日表1给出了完全和部分投资者在清算前的近似最优策略，如图7所示。时间0.2 0.4 0.6 0.8 1资产市价超过[0，T]资产市价清算障碍0.2 0.4 0.6 0.8 1-80-60-40-20完全和部分知情投资者超过[0，T]完全知情投资者或部分知情投资者的最佳策略图6：完全和部分知情投资者超过[0，T]HILLAIRET et al.不对称信息下的最佳交易11月7日，2018time0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16清算前资产市场价格Time0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-1-0.50.51.5清算前完全和部分知情投资者的最佳策略完全知情投资者部分知情投资者图7：清算前完全和部分知情投资者的近似最优策略TM0.1200 0.1240 0 0 0.12800.1320 0.1360.1400 0.1440 0.1480 0 0.1520SMtm79.0600 79.0766 77.9106 76.2818 74.0479 73.5371 73.4940 73.9593 72.4905π（1）tm-0.1127-0.3614-0.0063-0.5712-0.2756-0.1780 0 0 0.0699-0.1559 0.1043π（2）tm-0.0898-0.3399-0.0224-0.7831-0.6907-0.6265-0.3766-0.5502-0.3760表1：清算前的近似最优策略Hillairet et al。

不对称信息下的最优交易11月7日，2018年时间0.2 0.4 0.6 0.8 1资产市价高于[0，T]资产市价清算障碍0.2 0.4 0.6 0.8 1-2-1完全和部分知情投资者优于[0，T]完全知情投资者或部分知情投资者的最佳策略图8：完全和部分知情投资者在没有清算的情况下的近似最优策略图8说明了近似最优策略对于完全和部分投资者，分别对应于不导致清算的资产价格实现路径。特别是，完全知情和部分知情投资者的最佳交易策略似乎几乎相同。我们还观察到，当价格走向清算障碍时，最优策略的总体趋势是减少股票头寸，当价格远离清算障碍时，最优策略的总体趋势是增加股票头寸。然而，随着投资期限结束时间的缩短和清算可能性的降低，股票头寸向默顿策略水平增加的总体趋势占据主导地位。6.3最佳预期效用在本小节中，我们采用蒙特卡罗方法来确定最佳预期功率和对数效用。对于不知情的投资者，由于“最优”策略只是默顿策略，我们可以直接使用Euler格式近似财富过程X（0）。对于0≤ m级≤ 需求1≤ n≤ N、 我们用X（0）表示，ntm在第N次模拟中，未知情投资者的已实现财富。预期效用E[U（X（0））]由样本平均值V（0）=NP1近似≤n≤NU（X（0），ntM）。样本平均值的标准误差isSE（0）=s（N- 1） NX1≤n≤NU（X（0），ntM）-(R)V（0）.样本平均值的相对标准误差为RSE（0）=（SE（0））/（| V（0）|）。

样本平均值的95%置信区间估计值为[(R)V（0）-1.96*SE（0），？V（0）+1.96*SE（0）]。此模拟方案Hillairet et al.《不对称信息下的最优交易》2018年11月7日也适用于完全和部分知情投资者的对数效用。然而，对于完全和部分知情投资者的电力效用，我们无法直接近似财富过程，因为最优策略没有明确确定。A尽管我们可以首先通过求解相关的BSDE来近似最优策略，但这会增加模拟误差的大小。相反，我们模拟（3.2）中的似然过程L和（4.16）中的“L”，因为最佳预期电力设施是（3.17）和（4.25）分别给出的Lt和“Lt”的函数。例如，对于完全知情的投资者的电力公用事业，我们表示LNTM对Ltin nth模拟的离散化实现为0≤ m级≤ M和1≤ n≤ N、 期望值E[（LT）pp-1] isestimated by the sample mean？ξ=NP1≤n≤N（LntM）pp-1、样本平均值的s标准误差isSE（2）=s（N- 1） NX1≤n≤N（LntM）pp-1.-\'ξ.样本平均值的相对标准误差为RSE（2）=（SE（2））/（|ξ|）。样本平均值的95%置信区间估计为[(R)ξ-1.96*SE（2），’ξ+1.96*SE（2）]。根据（3.17），完全知情的投资者的最佳预期效用由“V（2）=xpp（\'ξ）1估计-p、 最佳预期效用的95%置信区间估计为[xpp\'ξ- 1.96* SE（2）1.-p、 xpp公司ξ+1.96* SE（2）1.-p] 。对于部分知情的投资者，类似的方案也适用于电力公司的情况。在表2和表3中，我们分别给出了三种类型投资者的最优预期效用f的数值结果，即功率效用和对数效用。正如所预期的那样，不同类型投资者的最佳预期效用之间存在一定差距。

我们可以将thosegaps解释为信息不对称的价值。powerutility的结果比power utility的结果更明显。然而，在这两种情况下，鉴于置信区间不重叠，最优预期财富在统计上存在显著差异。在powerutility的情况下，部分知情投资者的最优策略与完全知情投资者的最优策略非常接近。然而，由于需要估计漂移和跟踪误差，无法完全捕获反清算交易的潜在收益，导致最优预期效用显著降低。预期效用数值评估样本平均相对95%估计标准误差置信度区间通知48.9602 0.0883【44.5223，53.0279】部分通知31.3099 0.0172【30.7767，31.8342】未通知18.9228 0.0012【18.8796，18.9661】表2：三类投资者最优电力效用数值评估Hillairet等人。不对称信息下的最优交易2018年11月7日预期效用数值评估样本平均相对95%估计标准误差置信度间期通知4.8282 0.0073[4.8219，4.8346]部分通知4.7579 0.0080[4.7520，4.7638]未通知4.3665 0.0005[4.3621，4.3709]表3：三类投资者最佳对数效用的数值评估7本文的结论，我们通过某种形式的函数来描述清算的市场影响。我们考虑了三类投资者的投资组合优化问题，这些投资者具有关于清算触发机制和市场影响的不同信息水平。在对数效用的情况下，我们找到了所有三种类型投资者的封闭式最优策略。