将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型

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英文标题：
《Incorporating a Volatility Smile into the Markov-Functional Model》
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作者：
Feijia Wang
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study a Markov-Functional (MF) interest-rate model with Uncertain Volatility Displaced Diffusion (UVDD) digital mapping, which is consistent with the volatility-smile phenomenon observed in the option market. We first check the impact of pricing Bermudan swaptions by the model. Next, we also investigate the future smiles implied by the MF models and the smile dynamics implied by the UVDD model. Finally, we conduct hedging simulations against Bermudan swaptions to test extensively the hedge performance of this smile-consistenet MF model.
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中文摘要：
我们研究了一个带有不确定波动率置换扩散（UVDD）数字映射的马尔可夫函数（MF）利率模型，该模型与期权市场中观察到的波动率微笑现象相一致。我们首先检查模型对百慕大掉期期权定价的影响。接下来，我们还研究了MF模型所暗示的未来微笑以及UVDD模型所暗示的微笑动力学。最后，我们对百慕大互换期权进行套期保值模拟，以广泛测试该smile consistenet MF模型的套期保值性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Incorporating_a_Volatility_Smile_into_the_Markov-Functional_Model.pdf (4.57 MB)

2022-5-26 10:01:19 上传

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关键词：马尔可夫 波动率 Quantitative Mathematical Applications

将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型硕士论文，该论文在荷兰银行第十二大学应用数学系（ABN AMROFeijia WangUniversity of TwententeDepartment of Applied MathematicsP）完成。O、 邮箱2177500 AE EnschedeThe Netherlands报告日期：2006年12月22日工作期限：2006年5月1日至2006年11月30日委员会：A.BagchiDr教授。M、 H.VellekoopDr。D、 坎德海这是作者为金融工程专业应用数学理科硕士撰写的论文。本论文由A.Bagchi、M.H.Vellekoop和D.监督完成。并于2006年12月22日进行了辩护。该项目于2006年5月至2006年10月在阿姆斯特丹荷兰银行执行。前言与致谢本论文是我在荷兰银行阿姆斯特丹分行产品与交易分析小组7个月实习的详细报告。我想借此机会感谢所有为这个项目提供帮助的人。首先，我要感谢我的大学导师巴奇安·米歇尔·韦勒库普教授对我的工作和所有其他贡献发表了评论。不超过。巴基最初的承诺是，与该项目相关的任何事情都不会发生。我还想感谢荷兰银行的玛丽耶·埃尔肯布拉赫（MarijeElkenbracht）和卢卡斯·法夫（LukasPhaf）为我提供了如此出色的实习机会。在此，我要感谢我的公司主管DronaKandhai，他对项目的各个方面都进行了详细的管理，并对时间线进行了很好的控制，以便项目能够在没有重大延误的情况下完成。感谢alsoto Rutger Pijls、Bert Jan Nauta、Alex Ziber和Artem Tsvetkov对我的部分工作提出的有用意见，以及ABN的其他同事为工作创造了和谐的氛围。

最后但并非最不重要的一点，我要感谢特温特大学金融工程硕士课程的所有老师，感谢他们在数学和金融方面对我进行的教育。I内容前言与确认I目录iv1简介12马尔可夫函数模型32.1利率模型快速回顾。32.2马尔可夫函数利率模型。52.2.1 MF模型的假设。52.2.2 MF中的模型是什么。62.2.3 Black-Scholes数字地图。72.2.4数值解。82.3波动率函数和终端相关性。92.3.1波动率函数和终端相关性。92.3.2平均回归参数的估计。102.4马尔可夫函数下的百慕大互换期权定价。112.4.1离散时间模型中的美式期权定价。112.4.2百慕大掉期期权定价与MF模型。123波动率微笑的整合153.1将波动率微笑纳入MF模型。153.1.1隐含波动率插值。153.1.2不确定波动率替代扩散模型。153.1.3 UVDD数字地图。193.2不同数字映射的测试结果。203.2.1欧洲掉期期权价格的一致性。203.2.2数值算法的收敛性。

223.2.3 UVDD映射下的假设/近似有效性检查。233.2.4百慕大掉期期权价格影响。244未来微笑和微笑动力学274.1 MF模型隐含的未来波动微笑。274.1.1 BS映射隐含的未来波动率微笑。274.1.2 UVDD映射隐含的未来波动率微笑。28iiiiv内容4.2 UVDD模型暗示的微笑动力学。305 UVDD 355.1型校准方法的校准。355.2校准结果。375.3 UVDD模型暗示的终端密度。426套期保值模拟456.1套期保值模拟概述。456.2市场和合成数据。466.2.1可用市场数据。466.2.2创造合成微笑。486.3套期保值测试设置。496.4灵敏度计算。506.5套期保值测试结果。526.5.1针对微笑百慕大的套期保值与针对非微笑百慕大的原始套期保值之间的比较。526.5.2在百慕大群岛无笑容的情况下，将织女星对冲标记为市场。546.5.3 ITM/OTM交易的对冲测试。576.5.4平均回归参数对对冲绩效的影响。606.5.5套期净现值剩余漂移的讨论。

。627对未来研究的结论和建议63A注释和初步知识65A。1符号和初步知识。65A。2符号的简化。68A。3希腊人。68B多项式对高斯函数的积分69C一些导数73C。1第2.2.1节方程式2.15的推导。73摄氏度。2第2.3.1节中公式2.29和2.31的推导。74D接近货币百慕大掉期期权价格，受更多公布的微笑77E市场数据和测试交易规范81E的影响。1数值测试中使用的市场数据。81E。1.1数据集I。81E。1.2数据集II。82E。2测试交易规范。85参考文献87简介利率模型从短期利率模型（对收益率曲线隐含的瞬时利率进行建模）演变为基于伦敦银行同业拆借利率/掉期利率的市场模型。短期利率模型的一个优良特性是它们基于低维马尔可夫过程。这允许进行分析评估或使用基于树/PDE的方法。但另一方面，它很难校准盖子/地板或换向器。市场模型更加直观，因为伦敦银行同业拆借利率/掉期利率是现实中存在的。它们也可以很容易地根据市场工具进行校准。

然而，由于这些模型固有的大维数，唯一可行的方法是应用蒙特卡罗模拟。马尔可夫泛函（MF）模型包含这两类模型的优良特性。只有一个低维的马尔可夫过程被跟踪，这样外推导数的值才能在晶格上有效地计算出来。同时，MF模型仍然可以相对容易地校准到封顶/地板或交换选项。MF模型中的主要问题是如何从Xt的随机性到利率/掉期利率的分布。原始MF模型将XT映射到基础的对数正态分布，因此不考虑波动率微笑。该模型的自然扩展是映射到另一个与波动率微笑一致的分布。本项目的目标是在马尔可夫函数模型中研究波动率微笑对CO终端百慕大掉期期权价值和套期保值绩效的影响。我们关注百慕大群岛期权，因为它们是最具流动性的美式利率衍生品之一。一个能够适应静态波动率微笑并满足无套利条件的便捷选择是不确定波动率置换扩散（UVDD）模型。正如Abouchoukr（1）所示，这种模型可以产生扭曲和微笑的效果。然而，目前尚不清楚其套期保值绩效是否良好。文献[8][11]中已经讨论了不同的模型可以根据今天的微笑进行校准，但对套期保值表现存在分歧的事实。在本报告中，我们详细介绍了马尔可夫函数模型和UVDD数字映射在百慕大掉期期权定价和HEDGING方面的性能。本报告的其余部分组织如下。第二章重点从各个方面解释了原始的马尔可夫函数模型。

第3章研究了合并波动率微笑对定价的影响。第四章研究了扩展MF模型的未来微笑和微笑动力学。第5章给出了UVDD模型的标定结果。2引言1第6章报告了套期保值模拟的详细信息。最后，第7章总结了本研究的主要结论和对未来研究的一些建议。马尔可夫函数模型2.1利率模型快速回顾第一代利率模型是一系列短期利率模型，其管理数据在鞅测度Q下指定。这些短期利率模型共享一般形式：dr（t）=u（t，r（t））dt+σ（t）rβ（t）dWQ（t），（2.1），其中β范围为0到1，WQis布朗运动在Q下。实际上，只有β值为0，通常使用和1，其对应于例如Hull White模型、Cox Ingersoll Ross模型和Black Karasinski模型。将r指定为aSDE的解允许我们使用马尔可夫过程理论，因此我们可以在PDE框架内工作。如果项结构{D（t，t）；0≤ t型≤ T、 T>0}的形式为d（T，T）=ea（T，T）+b（T，T）r（T），（2.2），其中a（T，T）和b（T，T）是确定性函数，则称模型处理一项结构（ATS）[3]。因此，从t到t的屈服（t，t）的形式为：y（t，r（t）；T）=-a（t，t）- b（t，t）r（t）。（2.3）这使得获得债券和债券衍生品价值的分析公式特别方便。然而，方程式2.3所暗示的一个显然非常不现实的事实是，所有收益率都是完全相关的，因为短期利率是风险的唯一来源，即ρ（y（t，r（t）；T） ，y（T，r（T）；T） ）=ρ（r（T），r（T））=1。

（2.4）希思·贾罗·莫顿（Heath Jarrow Morton）[10]没有指定更复杂的短期利率模型，例如双因素甚至多因素短期利率模型，而是选择将整个正向利率曲线建模为其（有限维）状态变量。HJM的利率建模方法是一个通用的分析框架，而不是一个特定的模型，例如Hull-White模型。在此框架中，远期利率可以直接在鞅测度Q asdf（t，t）=u（t，t）dt+σ（t，t）dWQ（t），（2.5）D（t，t）表示在t到期的贴现债券在t时的价值。从t到t的连续复合产量定义为y（t，t）=logD（t，t）。4马尔可夫函数模型2，其中σ（t，t）是d维行向量，dWQ（t）是d维列向量。通过选择波动率σ（t，t），漂移参数u（t，t）由无套利原则确定。u（t，t）=σ（t，t）ZTtσ（t，t）Tds，（2.6），其中在公式中为单核苷酸转置。然后我们隐含地观察到今天的远期汇率结构{f？（0，T）；T≥ 0}，以便我们可以进行集成以获得远期利率的整个频谱。f（t，t）=f？（0，T）+Ztu（s，T）ds+Ztσ（s，T）dWQ（s），（2.7）利用从方程2.7获得的结果，我们可以计算债券和债券衍生品的价格。短期利率和远期利率模型模仿股票/货币衍生品的建模，其基础动态具有以下形式dV（t）={漂移}dt+{扩散}dW（t），（2.8），其中V可以作为基础的即期或远期价值。然而，我们在现实中观察到的利率，如伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）或掉期利率，总是具有从隔夜到年的期限。

那么根据直觉，更适合通过携带期限参数来建模利率动态，即dV（t；α）={drift}dt+{diffusion}dW（t），（2.9），其中α是期限长度。比较方程2.8和方程2.9，我们发现短期/远期利率模型处理的利率期限非常短。备注：从现在起，我们将使用附录A.1中定义的符号。Brace Gatarek Musiela【5】和Jamshidian【13】取得了历史性突破，他们的方法是直接对离散市场利率进行建模，如在LIBOR市场模型中的远期LIBOR利率或在掉期市场模型中的远期掉期利率。对于伦敦银行同业拆借利率市场模型，让我们看看方程式A.1。如果我们选择Dn+1（t）作为计算基数，则可以证明LIBOR过程Ln（t）是前向测度Qn+1下的鞅。如果我们进一步假设伦敦银行同业拆借利率Ln（t）在其前向测度下呈对数正态分布，即dLn（t）=Ln（t）σn（t）dWn+1t，（2.10）其中σn（t）是一个d维行向量，dWn+1是一个d维列向量，我们可以通过应用吉尔萨诺夫定理dLn（t）=将所有伦敦银行同业拆借利率过程Ln（t）转换为最终测度QN+1-Ln（t）（NXk=n+1αkLk（t）1+αkLk（t）σn（t）σk（t）t）dt+Ln（t）σn（t）dWN+1t。（2.11）关于证明，我们参考Bjork【3】第23章。有关详细信息，请参阅Bjork[3]。有关证明，请参阅比约克[3]第25章。关于方程式2.11的推导，我们参考Bjork【3】第25章。2.2马尔可夫函数利率模型5利用伦敦银行同业拆借利率市场模型对利率衍生品进行估值和风险管理，然后采用多维蒙特卡罗模拟。掉期市场模型也遵循类似的路线，其中PVBP，Pn（t）被选为数字。

因此，前向交换过程Sn（t）是前向测度Qn，N+1下的鞅。值得一提的是，掉期市场模型中的终值QN，N+1与伦敦银行同业拆借利率市场模型中的终值QN+1重合，因为它们的数值相差一个常数αN。这可以进一步解释为，除以某个数值确定某个度量，这是概率分配的规则。所以除以一个额外的常数对随机变量的分布来说并不重要。市场模型比短期利率模型更直观，因为伦敦银行同业拆借利率/掉期利率在现实中存在。它们也可以很容易地根据市场工具进行校准。然而，由于这些模型固有的大维数，唯一可行的方法是应用蒙特卡罗模拟。亨特·肯尼迪·佩尔瑟（Hunt Kennedy Pelsser）[12]提出了一类一般的马尔可夫函数利率模型，其中包含了这两类模型的良好性质。在马尔可夫函数模型中，我们只需跟踪在某些鞅测度中是马尔可夫的低维过程X，通常是终端测度QN+1，dX（t）=τ（t）dWN+1t，（2.12），其中τ（t）可以是确定性过程，也可以是随机过程，只要X（t）保留马尔可夫性质。对于每个终端时间点Tn，完全没有财务解释的随机变量X（Tn）被映射到终端LIBOR利率Ln（Tn）或swaprate Sn（Tn）。前者导致LIBOR MF模型，后者导致swapMF模型。这些状态变量中的每一个最初都是通过astand单独过程Ln（t）或Sn（t）在市场模型中建模的。在这种情况下，我们可以避免蒙特卡罗模拟，与相同任务的市场模型相比，蒙特卡罗模拟显著减少了计算时间[20]。