多方程组中常见断点的检验

然后，（a）均匀地在（g，j）中∈ {1，…，G}×{1，…，m}，vT（^kgj- kgj）=Op（1），（b）在（g，j）中均匀分布∈ {1，…，G}×{1，…，m+1}，√T（^βgj）- βgj）=Op（1）和√T（^∑j）- ∑j）=Op（1）。该定理建立了Bai和Perron（1998）、Bai et al.（1998）、Bai（2000）和Qu和Perron（2007）中获得的收敛速度，同时假设了较少的限制条件，包括优化问题和回归器的时间序列特性。这些结果的重要性在于，它们将允许我们在参数的紧集下分析我们测试的属性，即，对于某些M>0，\'M：=K∈ Ξν：最大值1≤g级≤Gmax1≤j≤m | kgj- kgj |≤ 中压-2吨百万欧元：=θ∈ Θ：最大1≤g级≤Gmax1≤j≤m+1kβgj- βgjk≤ MT公司-1/2，最大1≤j≤m+1k∑j- ∑jk≤ MT公司-1/2.我们还得到了一个结果，该结果将受限可能性分为两部分：一部分只涉及中断日期和系数的真实值；另一个涉及中断日期的真实值、基本参数和限制。因此，渐进地，中断日期的估计值不受系数限制的影响，而这些估计值的极限分布受限制的影响。定理2。假设假设A1-A5成立。然后，sup（K，θ）∈\'M×\'M\'T，R（K，θ）=supK∈\'M\'T（K，θ）+supθ∈\'M\'T，R（K，θ）+op（1），（10），其中\'T，R（K，θ）：=\'T（K，θ）+γR（θ），使用拉格朗日乘数γ。定理2中的结果表明，在分析中断日期估计的渐近性质时，可以忽略（3）中的限制。这对于获得我们测试的极限分布尤其方便。由于准似然比检验可以表示为在不同的中断日期评估的两个标准化对数可能性的差异，因此（10）右侧的第二项在检验统计中被取消。

Bai（2000）对向量自回归模型得出了定理2的结果，Qu和Perron（2007）对更一般的平稳回归模型得出了定理2的结果，假设中断日期具有共同位置或渐近不同。我们建立了结果，考虑到与不同基本参数相关的中断日期可能不会渐近不同，从而扩大了先前工作的范围，如Baiet al.（1998）、Bai（2000）和Qu and Perron（2007）。3.2似然比检验的极限分布我们现在在（7）中常见断裂的零假设下建立准似然比检验的极限分布。为此，让数据由模型（2）的观测值{（yt，xtT）}Tt=1组成，真实基本参数θ=（β，∑）和真实断裂日期T包括，商标。定理1（a）表明，在（g，j）中一致∈ {1，…，G}×{1，…，m}，存在一个足够大的m，使得| kgj- Tj |≤ 中压-2和| ekj- Tj |≤中压-2t概率接近1。这意味着我们可以将分析限制在一个以真正断裂Tjj为中心、长度为2Mv的区间内-2t对于每个工况j∈ {1，…，m}。更精确地说，给定一个足够大的M，我们得到θt，^K=θt，Tandθt，eK=θt，t全部t 6∈ ∪mj=1[Tj-中压-2T，Tj+Mv-2T]，概率接近1。这是因为休息日估计值在真实休息日附近是渐近的；因此，社区周围的政权存在一些未分类的情况，而该地区在社区之外被正确分类。这与定理2 yieldsthat一起，在（7）规定的零假设下，CBT=2 maxK∈\'\'MmXj=1\'\'kjXkj+1对数f（yt | XtT，θt，K）-对数f（yt | XtT，θt，t）-2最大值∈\'ΞM，HmXj=1kjXkj+1对数f（yt | XtT，θt，K）-对数f（yt | XtT，θt，t）+ op（1），其中kj：=最大{k1j，…，kGj，Tj}，kj：=最小{k1j。

，kGj，Tj}，和ΞM，H=ΞM∩ Ξη，H.在零假设下，真实断裂日期T，t通过样本量的一些正反馈分离，我们可以通过分别分析真实断裂日期每个邻域的试验项来获得共同断裂试验的极限分布。我们考虑一个缩小的框架，在此框架下，中断日期估计为^kgjandekjdivergeto∞ 当VT减小时，因此对每个邻域应用泛函中心极限定理会产生一个不依赖于精确分布的测试极限分布。为了推导极限分布，我们做了以下附加假设。假设：A6。矩阵(Tj）-1PTjt=Tj-1+1xtxttc收敛为（可能）随机矩阵，对于所有j=1，…，不一定相同，m+1，asTj：=（Tj- Tj公司-（1）→ ∞. 此外(Tj）-1PTj-1+[sTj]t=Tj-1+1ztp→ suz，jand(Tj）-1PTj-1+[sTj]t=Tj-1+1ztztp→ sQzz，juniformly ins∈ [0，1]作为Tj公司→ ∞, 其中Qzz、jis是非随机正定义矩阵。A7.定义Sk，j（l）：=PTj-1+l+kTj-1+l+1（ζtηt）对于k，l∈ N，对于j=1。。。，m+1。（i） 如果{ζtηt}t∈Zis在每个段内是弱平稳的，那么，对于任何向量e∈ R（qz+qw）nwithkek=1，vareSk，j（0）≥ v（k）对于某些函数v（k）→ ∞ 作为k→ ∞. （ii）如果{ζtηt}t∈Zi在每个段内不是弱平稳的，我们还假设存在正定义矩阵Ohm = [wi，s]这样对于任何i，s∈ {1，…，p}，我们有，一致在`，k-1E级Sk，j（`）我Sk，j（`）s-wi，s≤ k-ψ、 对于一些C>0和一些ψ>0。对于{ηtηt，我们也假设相同的条件- 单位：}t∈Z、 A8。设VT，w（r）：=T-1/2P[T r]T=1对于r∈ [0，1]。VT，w（·）=> Vw（·），其中Vw（·）是具有协方差函数cov（Vw（r），Vw（s））=（r）的维纳过程∧ s）Ohmwfor r，s∈ [0，1]具有正定义矩阵Ohmw： =限制→∞风险值T-1/2PTt=1重量.A9。

适用于所有1≤ s、 t型≤ T，（a）E[（zt ηt）ws]=0，（b）E[（zt ηt）vec（ηsηs）]=0，和（c）E[（uzt ηt）vec（ηsηs）]=0。假设A6排除了平稳回归中的趋势变量zt。假设7是温和的，因为条件允许实质性的条件异方差和自相关。它可以应用于一大类线性过程，包括由所有平稳和可逆ARMA模型生成的过程。该假设可用于描述测试的渐近行为，尤其是描述极限分布。这里，我们将介绍后面使用的一些过程。对于每个j=1，m、 letV（1）zη，j（·）和V（2）zη，j（·）是定义在空间D上的布朗运动[0，∞)对于l=1，2和s，s>0，E，给出零均值和协方差函数的NQV（l）zη，j（s）V（l）zη，j（s）= （s）∧ s） 限制→∞风险值\'V（l）T，zη，j,式中，V（1）T，zη，j：=(Tj）-1/2PTjt=Tj-1+1（zt ηt）和V（2）t，zη，j：=(Tj+1）-1/2PTj+1t=Tj+1（zt ηt）。类似地，将V（1）ηη，j（·）和V（2）ηη，j（·）定义为空间D上定义的布朗运动[0，∞)n对于零均值和协方差函数，对于l=1，2和s，s>0，Evec公司V（l）ηη，j（s）vec公司V（l）ηη，j（s）= （s）∧ s） 限制→∞风险值vec公司\'V（l）T，ηη，j,式中，V（1）T，ηη，j：=(Tj）-1/2PTjt=Tj-1+1（ηtηt-In）和V（2）T，ηη，j：=(Tj+1）-1/2PTj+1t=Tj+1（ηtηt-英寸）。我们定义了以下双边布朗运动zη，j（s）：=V（1）zη，j(-s） ，s≤ 0V（2）zη，j（s），s>0和Vηη，j（s）：=V（1）ηη，j(-s） ，s≤ 0V（2）ηη，j（s），s>0。在假设A2下，假设zt包含一个常数项，过程V（l）zη，j（·）包含一些完全依赖于{ηt}的过程。对于每一个l=1，2，我们用V（l）η，j（·）表示它，并且还定义了一个双边布朗运动，如前所述，用Vη，j（·）表示。假设A8要求集成回归器在整个样本中遵循齐次分布。

考虑到I（1）回归系数下误差分布的异质性将非常困难，因为我们将根据误差随时间的变化曲线，采用时间变形的维纳过程，而不是标准维纳过程的极限分布；例如，见Cavaliere和Taylor（2007）。鉴于如下所示，中断日期估计值的有限分布取决于有限维纳过程的整个时间特性，这将导致重要的复杂性。可以考虑I（1）回归中的趋势。在不同的维纳过程下，待导出的检验的限制分布仍然有效（见Hansen，1992）。矩阵的正不确定性Ohm勾勒出I（1）回归系数之间的协整关系，并需要确保一组回归系数具有正定义限值。假设A9相对温和，对于获得测试的可管理限值分布是足够的，但不是必需的。它需要上述大多数维纳过程的独立性。条件（a）确保I（0）回归器的自方差结构和误差与I（1）变量不相关。这保证了Vzη，j（·）和Vw，j（·）是不相关的，因此由于高斯性而独立。如果没有这些条件，分析将更加复杂。类似地，条件（b）和（c）暗示了Vzη，j（·）和Vηη（·）之间的独立性。更多详情请参见Kejriwal和Perron（2008）。为了表征CBTit的极限分布，有助于首先说明一些量的极限分布的一些初步结果。对于s∈ R和forj=1，m、 设Tj（s）：=max{Tj（s），Tj}和Tj（s）：=min{Tj（s），Tj}，其中Tj（s）：=Tj+[sv-2吨]。

对于s，r∈ R、 我们定义BT，j（s，R）：=vTPTj（s）t=Tj（s）+1XtT（σj+{Tj（R）<t}）-1XtTandWT，j（s，r）：=vTPTj（s）t=Tj（s）+1XtT（∑j+{Tj（r）<t}）-1适用于j∈ {1，…，m}。引理1。假设假设A1-A9成立。然后BT，j（·，·），WT，j（·，·）mj=1=>Bj（·，·），Wj（·，·）mj=1，其中bj（s，r）：=| s | SDj（s）（σj+{r≤s} （）-1秒-{| r|≤|s |}| r | SDj（s）{（σj+1）-1.- （σj）-1} S和WJ（S，r）：=S智商 （σj+{r≤s} （）-1.Vj（s）-sgn（r）{| r|≤|s |}s智商 {（σj+1）-1.- （σj）-1}Vj（r），带Vj（s）：=智商 （σj+{0≤s} ）1/2Vzη，j（s），Д（λj） Vη，j（s），Vw（λj） Vη，j（s）andDj（s）：=Qzz，j+{0<s}uz，j+{0<s}Д（λj）uz，j+{0<s}Vw（λj）Д（λj）uz，j+{0<s}Д（λj）И（λj）Vw（λj）Vw（λj）uz，j+{0<s}Vw（λj）Д（λj）Vw（λj）（）.下面的定理给出了关于检验统计量极限分布的论文的主要结果，它可以表示为极限过程的最大值的差异，有和没有公共中断假设所隐含的限制。定理3。设sj=（s1j，…，sGj），对于j=1，设1是一个G×1向量，在所有条目上都有1。假设假设A1-A9成立。然后，在无效假设（7）下，CBT=> CB公司∞:= sups，。。。，smmXj=1CB（j）∞（sj）- sups，。。。，smmXj=1CB（j）∞（sj·1），其中Cb（j）∞（sj）：=trπj（sGj）Vηη，j（sG）+|sGj | tr{∏j（sGj）}- 2GXg=1sgn（sgj）gjWj（sgj，sgj）-GXg=1GXh=1gjn{sgj∨shj公司≤0}Bjsgj公司∨shj，sGj+{0<sgj∧shg}Bjsgj公司∧shj，sGjohj，∏j（sGj）：=∑j-1/2Υj∑j+1-1.∑j1/2，如果sGj≤ 0-∑j+1-1/2Υj（∑j）-1.∑j+11/2，如果sGj>0，（11）带gj:=kδjk+tr（Φj）-1/2δgj和Υj：=kδjk+tr（Φj）-1/2Φj。定理3中的极限分布非常复杂，取决于干扰参数。然而，它们可以一致估计，并且很容易证明覆盖率是渐近有效的，前提是√使用T一致性估计值代替真实值。

各种工程量可估算如下：ekj：=ekj-ekj公司-1，我们可以使用eqzz，j=(ekj）-1Pekjt=ekj-1+1ztzt，euz，j=(ekj）-1Pekjt=ekj-1+1zt，eβj：=eβj-eβj-1和∑j=(ekj）-1Pekjt=ekj-1+1输出，egj:=keβjk+tr(e∑j）-1/2升∈Ggel公司oeβj+1和eΥj：=keβjk+tr(e∑j）-1/2e∑j，其中eβj：=eβj-eβj-1和e∑j：=e∑j-e∑j-1{zt的长期方差估计 ηt}和{ηtηt- 例如，如Andrews（1991）所述，In}可以使用基于相关量的样本自方差加权和的方法构建。虽然只是√需要对（β，∑）进行T一致的估计，对这些参数进行更精确的估计可能会导致更好的细节样本覆盖率。因此，建议使用（3）中施加限制获得的估计值，即使施加限制不会对中断日期估计值的限制分布产生一级影响。在某些情况下，可以以更简单的方式推导和表达常见断裂试验的极限分布。为了便于说明，我们的补充材料说明了在实施例1和2的设置下试验的极限分布。当协方差矩阵随时间变化为常数时（即，∑j=σ，对于j=1，…，m+1），上述极限分布可以进一步简化，如下推论所述。推论1。设sj=（s1j，…，sGj），对于j=1，设1是一个G×1向量，在所有条目上都有1。假设假设A1-A9成立，并且协方差矩阵∑jis随时间保持不变。

然后，在无效假设（7）下，CBT=>gCB公司∞:= sups，。。。，smmXj=1gCB（j）∞（sj）- sups，。。。，smmXj=1gCB（j）∞（sj·1），其中GCB（j）∞（sj）：=-2GXg=1sgn（sgj）gjfWj（sgj）-GXg=1GXh=1gjn{sgj∨shj公司≤0}eBjsgj公司∨shj公司+{0<sgj∧shg}eBjsgj公司∧shj公司ohj，带FWJ（s）：=s智商（∑）-1/2Vzη，j（s），Д（λj）Vη，j（s），Vw（λj）Vη，j（s）andeBj（s）：=| s | SDj（s）（∑）-s为1S∈ R.作为定理3的另一个直接推论，当不存在积分变量时，公共中断日期测试的极限分布仅涉及中断日期前和中断日期后的状态，当存在多个中断时，估计的极限分布也是如此（例如Bai和Perron，1998）。此外，上述结果可以很容易地扩展，以检验部分参数组的共同中断日期假设，而其他组的中断日期不一定是共同的。我们通过第5节中的应用，说明了（7）中常见中断测试的应用及其变体。如第1节所述，与Baiand Perron（1998）或Qu and Perron（2007）相比，还有一层困难。在他们的分析中，经过一些转换后，可以使用闭合形式的解来评估极限分布，而这里没有此类解，因此我们需要借助模拟来获得临界值。这首先涉及通过i.i.d.正态随机向量的部分和（假设假设A9，相互独立）模拟各种布朗运动过程中出现的维纳过程。然后，可以通过根据上述估计值替换已知值来评估极限分布的一种实现。然后多次重复该过程以获得相关分位数。虽然从概念上讲很简单，但这个过程需要大量计算。

原因是，对于每个复制，我们需要研究所有中断日期位置排列的许多可能组合。尽管如此，建议的程序速度足够快，对于涉及测试少数常见中断日期的常见应用程序是可行的，但计算负担随着测试的常见中断次数呈指数增长。在第4节中，我们提出了一种替代方法来缓解这个问题，并检查其性能。3.3渐近功率分析在本小节中，我们使用临界值c对检验统计量CbtWhen进行渐近功率分析*α在渐近零分布的显著水平αB∞. 作为固定替代假设，我们考虑，对于某些δ>0H:max1≤g、 g级≤克|千克，j- 千克，j |≥ δT对于某些j=1，m、 （12）假设（g，j）的kgj=[Tλgj]∈ {1，…，G}×{1，…，m}在假设A3下，上述条件渐近等价于max1≤g、 g级≤G |λG，j-λg，j |≥ δ对于某些j=1，m、 因此，可以将其视为断裂分数方面的固定替代假设。作为局部替代假设，我们考虑h1t:max1≤g、 g级≤克|千克，j- 千克，j |≥ 中压-2t对于某些j=1，m、 （13）对于某些常数m>0，其中V满足假设A4中的条件。我们还可以将（13）表示为max1≤g、 g级≤G |λG，j- λg，j |≥ M级(√T vT）-2对于某些j=1，m、 以下定理表明，所提出的检验统计量与固定备选方案是一致的，并且对局部备选方案也具有非平凡的局部幂。定理4。让c*α：=infc∈ R：Pr{CB∞≤ c}≥ 1.- α. 假设假设Sa1-A9成立。

然后，（a）在固定备选方案（12）下，使用任何δ∈ （0，1），极限→∞公关部CBT>c*α= 1，（b）根据当地备选方案（13），对于任何 > 0，则存在（13）中定义的限制→∞公关部CBT>c*α> 1.-.4蒙特卡罗模拟本节提供关于尺寸和功率测试的有限样本性能的模拟结果。我们首先考虑一种基于直接模拟的方法来获得临界值，然后考虑一种计算效率更高的算法。作为数据生成过程（DGP），我们采用了与Bai et al.（1998）中使用的设置类似的设置，即具有单一中断截距的无变量自回归系统，如示例1所示。因此，仅允许截距在方程式i的某些日期KI1发生变化∈ {1，2}。我们测试了无效假设H：k=kag，而不是替代假设H：k6=k。观察次数设置为T=100，我们使用500次重复。报告了自回归参数α的结果∈ {0.0、0.4、0.8}。我们设置ui1=1，并让δi：=ui2- ui1，平均偏移量，取值{0.50、0.75、1.00、1.25、1.50}。一种基于直接模拟的方法：当我们采用直接模拟来获得临界值时，我们首先给出结果，这涉及通过i.i.d.正态随机向量的部分和来模拟维纳过程，并搜索所有可能的中断日期组合。考虑到计算成本，我们选择了一个简单的设置，只关注有限的情况。为了检验经验尺寸和功率，我们在此考虑i.i.d.N（0，i）之后的误差（u1t，u2t），并使用3000次重复来生成临界值。我们首先在k=k=50且微调参数ν=0.15的零假设下检查经验拒识频率。表1给出了10%、5%和1%标称尺寸的结果。