谁会只投资于无风险资产？

他们已经解决了（2）对偶问题v（y）=infY的相互作用∈Y（Y）EP[V（YT）]，（3）其中Y（Y）定义为asY（Y）={Y=（YT）t∈[0，T]≥ 0：Y=Y，XY=（XtYt）t∈[0，T]是所有X的超级鞅∈ X（1）}，V是效用函数u的芬歇-勒让德共轭，定义为V（y）=supx>0{u（X）- yx}。在第2节所述的假设下，特别是在AE（U）<1的假设下，原始问题和对偶问题都有唯一解，^X：=（^Xt）t∈[0，T]∈ X（X）和^Y：=（^Yt）t∈[0，T]∈ Y（Y）分别通过Y=u′（x）的恒等式^XT=I（^YT）关联，I=（u′）-1，（4）鉴于（Kramkov和Schachermayer，1999，Thm 2.2）^X^Y={^Xt^Yt，t∈ [0，T]}，一致可积鞅。（5） 此外，它认为v（y）=infQ∈MEP公司五、ydQdP, （6） 式中，dQ/dP表示Q相对于P的Radon-Nikodym导数(Ohm, FT），M=mpi是所考虑证券市场的等效局部鞅测度集。我们应该强调，可能会或可能不会达到（6）中的上限。例如，如果Ohm 是一个有限的概率空间（参见（Delbaen和S chachermayer，2006年，第3章）），或者如果市场是完整的。另一方面，如果Ohm 如果不确定且市场不完整，世界卫生组织会只投资于无风险资产？7可以找到Kramkov和Schachermayer（1999）中详述的反例。提案3.1。假设假设2.4、2.6成立，并且P={P}是一个单态。然后：（i）最优投资组合是非随机的当且仅当P∈ S（ii）如果进一步达到（6）中的最大值，则最佳portfoliois非随机当且仅当P∈ M证据

（i） i f P∈ S、 然后明确EP（XT）≤ x表示任何可接受的投资组合。Jensen不等式和U增加的事实很容易暗示EP[U（XT）]≤ U（EP（XT））≤ U（x），因此恒值x的非随机投资组合是最大值。反之，假设^X=X是最大值。从（5）中，对于任何t，我们得到^Xt^Yt=EP[^Xt^Yt | Ft]∈ [0，T]，这意味着假设^X=X，则^Yt=EP[^Yt | Ft]。这反过来意味着，对于每t，^Yt=U′（x）∈ [0，T]，因为by（4）^YT=U′（x），这也是非随机的。最佳，^Y=U′（x）∈ Y（Y），因此Y（Y）的定义意味着XU′（x）是所有x的超鞅∈ X（1）。因此，由于u′（x）>0，我们得出结论，任何任意容许过程x∈ X（X）是P-超级马丁大风，这意味着P∈ S、 （ii）如果P∈ M然后P∈ S、 因为容许过程X是从下面来的，证明如下（i）所示。反之，假设非随机投资组合是最大化者，即^X=X。然后，对偶问题的解由^Y=Y给出（事实上，我们可以在证明的第（i）部分中再次论证，如果^X=X，则^Y是常数且^Y∈ Y（Y））。那么，（3）意味着V（y）=EP（V（^YT））=EP（V（y））=V（y）。（7） 另一方面，假设（6）中的上限已确定，则存在一个度量Q*∈ M使得v（y）=EP五、ydQ公司*数据处理. （8） 然而，由于EP【dQ*/ dP]=1，我们还有V（y）=VEP公司ydQ公司*数据处理. （9） 结合（7）、（8）和（9），我们推导出关于强凸f函数VEP的Jensen等式五、ydQ公司*数据处理= 五、EP公司ydQ公司*数据处理,在此之前，随机变量dq*dp是关于Pand的a.e.常数，因此P=Q*∈ M备注3.2。

正如一位裁判指出的那样，命题3.1的结果可以重新表述为：非随机投资组合是最优的当且仅当1∈ Y（1），从中可以使用基本相同的参数来显示命题3.1。8牛顿。AZEVEDO、D.PINHEIRO、S.Z.Zanthopoulos和A.N.YANNACOPOULOSRemark 3.3。在市场模型中，对于任何概率测度P，均达到（6）中的最大值，因此MP6=, 人们还倾向于沿着以下思路思考：如果Q∈ 根据命题3.1（i），SPI是一个超级马丁格尔测度，任何相信市场受Q控制的投资者都会选择非随机投资组合。但命题3.1（ii）意味着Q∈ 议员。因此，我们可以得出结论，SP 既然逆包含也成立，我们应该得到SP=MP。进一步考虑这个想法，我们想知道（6）中的最后一句话，infQ在总体上是否正确∈MPEPhVydQdPi=infQ∈斯佩夫ydQdPi、 备注3.4。如前所述，命题3.1尤其适用于有限概率空间中的模型，以及单周期和多周期模型。在这种情况下，始终达到（6）的上限（见（Delbaen和Schachermayer，2006，定理3.2.1））。应该清楚的是，在这种情况下，通过直接处理投资组合优化问题和由此产生的变分不等式，可以得到我们结果的更简单证明。示例3.5。

对于公式（x）=αxα，α<1的CARA效用，可以很容易地计算Fenc-hel-Legendre共轭以获得v（y）=-νyν，其中ν=αα- 1、在这种情况下，假设测量值Q达到最大值*∈M使dQ*/ dP=φ>0，此外，P相对于密度f的勒贝格测度是绝对连续的≥ 0，则标识（7）假定形式1=Z∞φ（s）νf（s）ds，其中也包含thatZ∞f（s）ds=Z∞φ（s）f（s）ds=1。作为H¨older不等式的结果，唯一具有此性质的函数φ是常数函数。实际上，我们可以写1=Z∞f（s）ds=Z∞fνν-1φνν-1f层-ν-1φ-νν-1ds≤Z∞（fνν）-1φνν-1） ν-1νdsνν-1.Z∞（f1-νφν1-ν） 1个-νds1.-ν=Z∞f（s）φ（s）dsνν-1.Z∞f（s）φ（s）νds1.-ν=1。由于等式是在H¨older不等式中实现的，因此存在一个常数（fνν-1φνν-1） ν-1ν=C（f1-νφν1-ν） 1个-ν世界卫生组织会只投资于无风险资产？由此得出φi是一个常数函数，因此等于1。因此，我们得到P=Q*, 根据需要。Gilboa Schmeidler极大极小效用我们现在开始处理P不是单态的一般情况。定理4.1。假设假设2.4、2.5和2.6适用于u效用函数u和先验P集。考虑报告公式（X）=infP的minimaxutility的代理∈随机财富X的PEP[U（X）]。稳健最终财富优化问题的解决方案supx∈X（X）infP∈PEP[U（XT）]是非随机投资组合当且仅当P∩ S 6=. 此外，如果每个P∈ 那么优化问题的解是非随机投资组合当且仅当P∩ M 6=.证据在整个证明过程中，我们将使用符号X={Xt}t∈[0，T]对于具有常数xt=x f或每T的非随机投资组合的财富过程∈ [0，T]。首先假设P∩ S 6= 那Q∈ P∩ S

将g-Jensen的sinequality应用于凹函数U，并利用Q∈ 对于任何X，我们都可以得到∈ X（X），我们必须有thatU（X）≥ U（等式[XT]）≥ 等式[U（XT）]≥ infP公司∈PEP[U（XT）]，其中最后一个不等式来自以下事实：∈ P、 在整个X上使用SUPREMUM∈ X（X）在上述情况下，我们得出结论U（X）≥ supX公司∈X（X）infP∈政治公众人物【U（X）】。对于非随机投资组合X（X），得到了等式，从而得到了Xis-amaximizer。自M起 如果我们从假设P开始，我们显然会得到相同的结果∩ M 6=.反之，假设Xis是最大化器。那么，u（x）=supX∈X（X）infP∈PEP[U（XT）]=infP∈PEP[U（XT）]=U（x），（10）自每P的EP[U（XT）]=U（x）∈ P、 根据鞍点性质（（Denis和Kervarec，2013年，第1条）或（Neufeld和Nu tz，2015年，第2.4条）），它认为∈X（X）infP∈PEP[U（XT）]=infP∈PsupX公司∈X（X）EP[U（XT）]，因此，通过（10），我们得到U（X）=infP∈PsupX公司∈X（X）EP[U（XT）]。（11） 10 N.AZEVEDO、D.PINHEIRO、S.Z.XANTHOPOULOS和A.N.Yannacopoulosis P是弱紧的，根据Au binand E keland的不平衡极大极小定理（Aubin AND Ekeland，2006，Ch.6，Sec.2，Thm.7）（另见（Denis AND Kervarec，2013，Lem.9）），存在^P∈ P代表whichinfP∈PsupX公司∈X（X）EP[U（XT）]=supX∈X（X）E^P[U（XT）]。（12） 将（11）和（12）结合起来，我们得出结论：u（x）=supX∈X（X）E^P[U（XT）]。因此，我们将鲁棒性问题简化为P=^P的前一节的单一先验问题。因此，通过应用命题3.1，我们得到了期望的结果。在上述结果中，我们考虑了给定的市场和价格，研究了具有一组市场先验的不确定性厌恶投资者的最优投资组合选择问题。

结果表明，定理4.1允许我们与Dow和Werlang（1992）关于不确定性对风险资产净需求的影响的著名结果相关联，从而有助于更好地理解市场冻结现象的存在，即市场自发停止的情况，如以下示例所示。示例4.2。考虑一个从t=0开始到t=t结束的单期市场，以及一个考虑在t时支付a=（a，…，an）的一组风险资产的代理人。代理报告一个关于随机变量a的具有先验P的极小极大效用。然后，由资产净需求为ze ro的资产价格组成的无下注集N是凸集N={EP[a]：P∈ P} 。的确，让π∈ N这意味着代理人不会在这个市场上占有一席之地，因此根据定理4.1，在一个周期的情况下，这相当于存在一些P∈ P使得π=EP【A】。在风险资产数量为N=1的特殊情况下，nobetting集N是一个区间。例如，Dow和Werlang在Dow和Werlang（1992）的第2节中提供了一个简单的示例，其中两个可能的结果H和L具有各自的非加性概率π和π′。这与考虑加性概率集（q，1）相等- q） 对应于（H，L），其中q的范围为π到1- π′。然后证明了无赌价格区间在πH+（1-π） 土地（1-π′）H+π′L，这显然与我们的广义方法所建议的价格区间一致。致谢作者感谢两位匿名推荐人的建设性评论，这些评论激励我们对本文进行重大改进。我们还感谢与A.Tsekrekos教授和F.Santambrogio教授进行的有益讨论。D

皮涅罗研究得到了PSC城市大学研究奖TRADA46-251的支持，该奖由专业人员代表大会和纽约城市大学共同资助。世界卫生组织会只投资于无风险资产？11参考Saubin，J.-P.和Ekeland，I.（2006）。应用非线性分析。多佛。Bayraktar，E.和Zhou，Z.（2016）。关于套利和二元性以及模型不确定性和投资组合约束。出现在数学金融领域。Bewley，T.F.（2002年）。奈特决策理论。第一部分经济决策。《金融》，25（2）：79–110。Biagini，S.、Bouchard，B.、Kardaras，C.和Nutz，M.（2015）。连续过程的Robus t基本定理。数学金融。Billot，A.、Chateauneuf，A.、Gilboa，I.和Tallon，J.-M.（2000）。分享信仰：在同意和不同意之间。计量经济学，68（3）：685–694。Bouch ard，B.，Nutz，M.，等人（2015年）。非支配离散时间模型中的套利和性。《应用概率年鉴》，25（2）：823–859。Choulli，T.、Deng，J.和Ma，J.（2015）。无套利、生存能力和num'eraire投资组合之间的关系。财务Stoch。，19（4）：719–741。Christensen，M.M.和L arsen，K.（2007）。无套利和增长最优投资组合。斯托赫。肛门。应用程序。，25（1）：255–280。Delbaen，F.和Schachermayer，W.（2006年）。套利的数学。斯普林格。Denis，L.和Kervarec，M.（2013）。非支配模型中模型不确定性下的最优投资。暹罗J.控制优化。，51（3）：1803-1822年。Dow，J.和Werlang，S.R.d.C.（1992年）。不确定性厌恶、风险厌恶和投资组合的最优选择。《计量经济学》，60（1）：197–204。Easley，D.和O\'Hara，M.（2009）。模糊和不参与：监管的作用。《金融研究回顾》，22（5）：1817-1843。Ellsberg，D.（1961年）。风险、歧义和野蛮公理。《经济学季刊》，75（4）：643–669。Fontana，C.（2015年）。

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Azevedo）葡萄牙银行和ESEIG金融稳定部，波尔图理工学院，葡萄牙邮政地址：nazevedo@iseg.utl.pt（D.Pinheiro）美国纽约城市大学布鲁克林学院数学系电子邮件地址：dpinheiro@brooklyn.cuny.edu（S.Z.Xanthopoulos）爱琴海大学数学系，萨莫斯，GreeceE电子邮件地址：sxantho@aegean.gr（A.N.Yannacopoulos）雅典经济与商业大学统计系，雅典，GreeceE邮箱：ayannaco@aueb.gr