投资组合优化问题对偶性的复制分析

此外，旋转拉伸f（z）描述了函数f（z）相对于变量z的极值。（详情见附录C。）根据这些极值条件，作为逆温度β下主变量的结果，我们得到ε=2β+s（α- （1）1+（R- m）σ, （16） qw=αα- 1.1+（R- m）σ, （17） χw=βs（α- 1） 。（18） 在零温度极限下，我们得到ε=s（α- （1）1+（R- m）σ, （19） 其中，每项资产的投资风险ε是R的二次函数。此外，当R=m时，εiss（α）的最小值-1） 。现在，如果式（3）中的R=m，由于预期回报约束与式（2）中的预算约束一致，因此在实践中，该结果与仅施加邻接约束的投资风险最小化一致。此外，Shar-pe比率，衡量投资风险的预期回报，即S=R√2ε，推导如下：S=S√α- 1Rq1+（R-m） σ。（20） 发件人SR=0，R=m+σ和ε=s（α-（1）1+σm计算得出的最大夏普比Smax如下：=√m+σs√α- 1.（21）最后，我们还可以讨论退火排序系统的分析。我们有ε或=sα1+（R- m） σ, （22）qORw=1+（R- m）σ。（23）（详见附录E）根据式（19）中每项资产的最小投资风险ε与式（22）中每项资产的最小预期投资风险ε之间的关系，得出ε<ε或（24）。类似地，SOR=R√2ε或<S也适用。B、 对偶问题的复型分析在本小节中，我们描述了一个涉及对偶问题的含水无序系统的复型分析。按照上述方法，将该投资系统的正则系综的配分函数定义为：Z（ε′，X，~r）=Z~w∈D（ε′）D~weβH′（~w | ~r），（25），其中E q中的预期收益H′（~w | ~r）。

（7） 将~w的积分视为可行投资组合子集D（ε′）。然后，最大预期收益率P r资产t r′由以下热力学关系得出：r′=ma x~w∈D（ε′）NH′（~ w | ~ r）= limβ→∞Nβlog Z（ε′，X，~r），（26），其中，为了最大化对偶问题中的预期收益H′（~w | ~r），我们不使用等式（13）中给出的玻耳兹曼因子描述，而是使用等式（25）中给出的描述。注意，我们还使用了式（2.6）中给出的热力学关系。然后，对受影响的无序系统进行如下分析：φ（ε′）=limN→∞NEX，~r[对数Z（ε′，X，~r）]=外向（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k+θε′+βm+σβχw-αlog（1+θsχw）-αθsqw2（1+θsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw. （27）（详见中的附录D。）从极值条件来看，作为逆温度β下主变量的结果，我们得到r′=m+σ（βσχw），（28）qw=αα- 1.1+βσχw, （29）χw=θs（α- 1） 。（30）此外，从ε′=αsχw2（1+θsχw）+αsqw2（1+θsχw）=2θ+s（α-（1）1+βσχw, β和θ满足以下关系：βσθs（α- （1）=s（α- （1）ε′-2θ- 1.（31）在零温度极限下，由于右侧为O（1），β/θ~ O（1）保持不变。那么，R′=m+σs2ε′s（α- （1）- 1，（32）qw=αα- 12ε′s（α- 1） ，得到（33）。此外，夏普比S=R′√2ε′分解如下：S=m+σq2ε′S（α-（1）- 1.√2ε′。（34）此外，从Sε′=0，ε′=s（α-（1）1+σm计算andR′=m+σ。然后，给定的最大Sharperatio Smaxis为asSmax=√m+σs√α- 1.（35）最后，这里应该指出三点。首先，前一小节和本小节描述了原始对偶结构。当我们从Eq.（19）导出R，并设置R=R′，ε=ε′，则得到等式（32）。类似地，设置了R=R′和ε=ε′，并且qwin等式（17）与qwin Eq.（33）一致。

换言之，对于一个无序的系统，在固定预期回报下能够最小化投资风险的最优投资组合与在固定投资风险下能够最大化预期回报的最优投资组合是一致的。其次，在固定投资风险下，能够最小化预期回报的最佳投资组合也是通过副本分析来解决的。因此，根据集合R′\'isR′的最小预期回报率=min~w∈D（ε′）NH′（~ w | ~ r）= limβ→-∞Nβlog Z（ε′，X，~r）=m- σs2ε′s（α- （1）- 1.（36）换句话说，存在一个预期回报不低于公式（36）的投资组合。最后，我们讨论了退火无序系统的分析：R′OR=m+σr2ε′sα- 1，（37）qORw=2ε′sα。（38）（详见附录F）来自Eqs。（37）和（38），我们得到qorw=1+（R′）- m） σ，（39），这与等式（23）中的结果一致。此外，来自等式。（32）和（37），R′>R′或保持，夏普比率S=R′√2ε′，SOR=R′或√2ε′被确认为满足S>SOR的情况。四、 数值实验在这一部分中，我们通过数值实验来研究所提出方法的有效性。威斯哈特矩阵J=XXT∈ RN×nCa可以通过收益率矩阵X和平均向量r来定义，如下所示：ε（r，X，~r）=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e, （40）R′（ε′，X，~R）=s~rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～er2ε′~eTJ-1～eN- 1+~ rTJ-1～e～eTJ-1～e。

（41）基于此，C回报率矩阵X，X，···，XC∈ RN×pand C平均向量，~r，~r，····，~rC∈ RN，ε=CCXc=1ε（R，Xc，~ rc），（42）R′=CCXc=1R′（ε′，Xc，~ rc），（43），其中，cth R e转动率矩阵的元素Xc=nxciu√不∈ RN×p，xciu具有独立的和不同的概率分布，其平均值为0，方差为s，且cth平均向量的分量rc=（rc，···，rcN）T∈ RN，rci具有独立且独立的概率分布，其平均值为m，方差为σ。此外，还估算了投资集中度Q和夏普比S。因此，在数值模拟中，N=1000和p=3000，即α=p/N=3，检验了（s，m，σ）=（1，1，1）处的原始问题和对偶问题m。估计中使用的样本大小为C=100。原始问题和对偶问题的结果如图所示。分别为1和2。在图1中，横轴表示回报系数R，纵轴表示（a）最小投资风险perassetε，（b）投资集中度qw，和（c）比率S。此外，在图2中，横轴表示风险系数ε′，纵轴表示（a）每项资产的最大预期回报率R′，（b）投资集中度qw，和（c）Sharpe Ratios。实线（橙色）表示复制分析的结果，带误差条的（蓝色）星号表示数值结果。图1中的虚线（黑色）表示（a）s（α-1） ，（b）αα-1和（c）Smax，图2中的表示（a）m，（b）αα-1和（c）Smax。如这些图所示，所提议的方法得出的结果与数值结果一致，即所提议的方法的有效性得到证实。五、

结论与未来研究在本论文中，我们扩展了我们之前的研究[9]中考虑的仅具有预算约束的淬火无序系统的组合优化问题，利用复型分析方法分析了具有多个约束的淬灭无序系统的投资组合优化问题，并讨论了mea-n-方差模型的原对偶结构。在我们之前的研究[1、2、13]中，评估了与投资集中度和投资风险相关的原始-双重结构。本文将在预算和预期收益约束下最小化投资风险的投资组合优化问题作为首要问题，投资组合优化问题-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3（a）原始问题回报系数（R）副本分析结果数值实验结果-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3（b）原始问题回报系数（R）副本分析结果数值实验结果-0.4-0.20.40.60.81.21.41.6-1-0.5 0 0.5 1.5 2 2 2.5 3（c）原始问题回报复型分析的系数（R）结果数值试验的结果。1.复型分析和数值试验的结果（α=p/N=3）。横轴显示回报系数R，纵轴显示（a）每项资产的最小投资风险ε，（b）投资集中度qw，和（c）夏普比率S。实线（橙色）表示（a）式（19），（b）式（17）和（c）式（20）的副本分析结果。

带误差条的（蓝色）星号表示数值模拟的结果，虚线（黑色）表示（a）s（α）的结果-1） ，（b）αα-1和（c）Smax。将预算和投资风险约束下的期望收益最大化问题视为对偶问题。我们阐明了这两个投资组合优化问题中的原始-对偶结构。类似于一般操作研究中考虑的退火无序系统，最小投资风险被确认为0.51.52.53.51 1.5 2 2.5 3 3.5 4.5 5（a）副本分析的双重问题风险系数（ε’）数值试验的结果1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5（b）副本分析的双重问题风险系数（ε’）数值试验的结果0.60.70.80.91.11.21.31.41 1.5 2.5 3 3.5 4 4 4 4.5 5（c）双重问题风险复型分析的系数（ε’）结果数值试验的结果。通过复型分析和数值实验获得的结果（α=p/N=3）。横轴表示风险系数ε′，纵轴表示（a）每项资产的最大回报率R′，（b）投资集中度qw，以及（c）夏普比率S。实线（橙色）表示（a）等式的复制分析结果。（32），（b）式（33）和（c）式（34）。带误差条的（蓝色）星号表示数值模拟的结果，灰线（黑色）表示（a）m，（b）αα-1和（c）Smax。在淬火无序系统的原始问题中，是关于预期收益约束系数的二次函数。此外，为了验证所提出方法的有效性，我们将其结果与数值模拟的结果进行了比较，并证实两者具有良好的一致性。未来，由于Var ga Haszonits等人的研究中收益率的随机性。

[11] 与本文不同的是，我们需要根据研究中使用的随机性考虑主对偶问题，并从理论上开发一种解决投资组合优化问题的方法。此外，在这种情况下，我们还需要验证夏普比率的数学结构。附录A：主要问题的拉格朗日乘子法在本附录中，我们将不确定乘子的拉格朗日方法应用于原始问题来讨论投资组合优化问题。首先，给出了拉格朗日不确定乘子函数：L=~ wTJ ~ w+kN- ~wT ~ e+ θNR编号- ~wT ~ r,（A1）其中使用辅助变量s k和θ。自从L ~w=0，我们得到~w=kJ-1~e+θJ-1~r，（A2）和，自Lk级=Lθ=0，我们得到R=~eTJ公司-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1~rN！kθ, （A3）其中kθ=D ~ rTJ-1～rN-~rTJ公司-1～eN-~rTJ公司-1～eN～eTJ-1 ~恩！R, （A4）D=~eTJ公司-1～eN（~ rTJ）-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e). （A5）在加法中，从式（A2）中，我们得到J~w=k~e+θr。然后，从ε=2N~wTJ~w=k+rθ，ε=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e, （A6）已解决。这一发现取决于给定的回报率矩阵X和平均向量r。接下来，我们简要考虑了淬火无序ed系统的分析。当N足够大时，等式（A3）的两侧用平均向量r进行平均。NR= E~r“~等-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1~rN！kθ#. （A7）系数矩阵的每个分量都可以通过asE~r独立地得到~rTJ公司-1～e= m ~ eTJ-1~e，（A8）e~r~rTJ公司-1～r= m ~ eTJ-1～e+σTrJ-1（A9）表示平均向量r。此外，使用Wisha rt matr ix J=XXT的NeigenValue∈ RN×N，λ，···，λN，sincePNi=1λ-1i=~ eTJ-1～e=TrJ-1等待，我们有R=~eTJ公司-1～eN1 mm m+σkθ. （A10）此外，从[9]中，我们还发现了eTJ-1~e=s（α- 1） ，即，我们得到ε=s（α- （1）1+（R- m）σ.

（A12）该结果与式（19）中的复制分析结果一致。附录B：双重问题的拉格朗日乘子法在这里，我们将不确定乘子的拉格朗日方法应用于双重问题来分析投资组合优化。首先，拉格朗日待定乘子函数定义如下：L=~ rT ~ w+k（~ wT ~ e- N） +θNε′-~wTJ ~ w,（B1）其中使用辅助变量k和θ。自从L ~w=0，我们得到~w=kθJ-1~e+θJ-1～r、（B2）及以后Lk级=Lθ=0，我们有1=kθ~ eTJ-1～eN+θ～rTJ-1～eN，（B3）ε′=kθ~eTJ-1～eN+2kθ～rTJ-1～eN+θ～rTJ-1～rN,=N2～eTJ-1~e“kθ~eTJ-1～eN+θ～rTJ-1～eN+θ~eTJ公司-1～eN（~ rTJ）-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e)#.（B4）求和y，θ=√Dq2ε′~eTJ-1～eN- 1，（B5）得到，其中D如式（A5）所示。此外，k=N~eTJ-1～eθ-~rTJ公司-1～eN（B6）源自等式（B3）。此外，使用公式（B2），从Nε′=~ wTkθ~e+θ~r=N2θ（k+R′），我们有R′=2ε′θ- k=s ~ rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～er2ε′~eTJ-1～eN- 1+~ rTJ-1～e～eTJ-1~e.（B7）这一发现取决于给定的回报率矩阵X和平均向量r。接下来，我们简要考虑淬火无序系统的分析。如果N足够大，则等式中的两侧。（B3）和（B4）在平均向量上取平均值。然后，我们得到1=~ eTJ-1~eNk+mθ，（B8）ε′=~eTJ-1～e2Nkθ+2mkθ+θ（m+σ）. （B9）换句话说，k=NθeTJ-1～e- m、 （B10）θ=σ~ eTJ-1~eNq2ε′~eTJ-1～eN- 1，（B11）是派生的。因此，R′=2ε′θ- k的求解如下：R′=2ε′-N ~ eTJ-1～eθ+m=m+σr2ε′~eTJ-1～eN- 1，（B12）并使用公式（A11），我们可以计算eTJ-1~e=s（α-1） ，R′=m+σs2ε′s（α- （1）- 1.（B13）这一发现与等式中的重复分析得出的结果一致。

（32）。附录C：原始问题的复制方法在本附录中，我们演示了原始问题的淬火无序系统的复制分析。根据之前的研究，当n∈ Z、 配分函数Z（R，X，~R），EX，~R[Zn（R，X，~R）]的N次方的配置平均值展开如下：EX，~R[Zn（R，X，~R）]=（2π）N N+pnExtr~k，~θZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaEX，~ r“exp-βnXa=1pXu=1vua+inXa=1pXu=1uuavua-我√NNXi=1pXu=1xiunXa=1uuawia+nXa=1kansi=1wia- N+nXa=1θaNXi=1riwia- N R#=（2π）N N+pnExtr~k，~θ，Qw，~ QwZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaexp-βpXu=1nXa=1vua+ipXu=1nXa=1uuavua-spXu=1nXa=1nXb=1qwabuuauub- NnXa=1ka- N RnXa=1θa+NmnXa=1θa+NσnXa=1nXb=1θaθbqwab+NXi=1nXa=1kawia-nXa=1nXb=1qwabNXi=1wiawib- qwab！！，（C1）式中~wa=（w1a，···，wNa）T∈ RN，~ ua=（u1a，···，upa）T∈ Rp，~ va=（v1a，···，vpa）T∈ Rp，（a=1，··，n），andEXe-ixiuA√N e-s2NA，（C2）E~reriB公司 emB+σB，（C3）用作xiu，ri的配置平均值。此外，~ k=（k，···，kn）T∈ Rn，~θ=（θ，···，θn）T∈Rn，Qw={qwab}∈ Rn×n，Qw={qwab}∈ Rn×nareused。然后，随着资产数量N的接近，我们得到了limn→∞Nlog EX，~r[Zn（r，X，~r）]=外向k，~θ，Qw，~QwTrQwQw-~kT ~ e- （R）- m） ~θT~e+σ~θTQw~θ-αlog detI+βsQw-日志数据Qw+~kTQ-1w ~ k, （C4）式中α=p/N~ O（1）和单位矩阵I∈Rn×nand单位向量~e=（1，···，1）T∈ R已使用。然后，基于复制对称解的ansatz，关于a，b=1，2，···，n，qwab=χw+qwa=bqwa 6=b，（C5）~qwab=χw- qwa=b-设置qwa 6=b，（C6）ka=k，（C7）θa=θ，（C8），φ（R）=limn→0n画→∞Nlog EX，~r[锌（r，X，~r）]= ExtrΘ（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k- （R）- m） θ+σθχw-αlog（1+βsχw）-αβsqw2（1+βsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw, （C9）已重新评估。

然后，作为极值条件，我们得到φ（R）k=-1+kχw=0，（C10）φ（R）θ=-（R）- m） +σχwθ=0，（C11）φ（R）χw=（￠χw- qw）+σθ-αβs2（1+βsχw）+αβsqw2（1+βsχw）=0，（C12）φ（R）qw=（￠χw）- qw）+▄qw-αβs2（1+βsχw）=0，（C13）φ（R） χw=（χw+qw）-2？χw-qw+k2χw=0，（C14）φ（R） qw=-（χw+qw）+qw+2χw=0，（C15）和χw=βs（α- 1） ，（C16）qw=αα- 1.1+（R- m）σ. （C17）此外，每项资产的最小投资风险ε为ε=- limβ→∞φ（R）β=limβ→∞αsχw2（1+βsχw）+αsqw2（1+βsχw）=s（α- （1）1+（R- m）σ. （C18）附录D：双重问题的副本方法在本附录中，我们详细解释了涉及双重问题的淬火无序系统的副本分析。根据上述附录中的讨论，当n∈ Z、 配分函数Z（ε′，X，~r），EX，~r[Zn（ε′，X~r）]的N次方配置平均值展开如下：EX，~r[Zn（ε′，X~r）]=（2π）N N+pnExtr~k，~θZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaEX，~ r“expβnXa=1NXi=1riwia+inXa=1pXu=1uuavua-我√NNXi=1pXu=1xiunXa=1uuawia+nXa=1kansi=1wia- N+nXa=1θaNε′-pXu=1vua！！#。（D1）如前一次讨论中所述，随着资产数量的增加，我们得到→∞Nlog EX，~r[Zn（ε′，X，~r）]=外向k，~θ，Qw，~QwTrQwQw-~kT~e+ε′~θT~e+nβm+σβ~eTQw~e-αlog detI+sΘQw-日志数据Qw+~kTQ-1w ~ k, （D2）式中，Θ=diag（θ，···，θn）∈ 使用Rn×nis。然后，基于复制对称解的假设，我们得到φ（ε′）=limn→0n画→∞Nlog EX，~r[Zn（ε′，X，~r）]= ExtrΘ（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k+θε′+βm+σβχw-αlog（1+θsχw）-αθsqw2（1+θsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw.