投资组合优化问题对偶性的复制分析

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英文标题：
《Replica Analysis for the Duality of the Portfolio Optimization Problem》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In the present paper, the primal-dual problem consisting of the investment risk minimization problem and the expected return maximization problem in the mean-variance model is discussed using replica analysis. As a natural extension of the investment risk minimization problem under only a budget constraint that we analyzed in a previous study, we herein consider a primal-dual problem in which the investment risk minimization problem with budget and expected return constraints is regarded as the primal problem, and the expected return maximization problem with budget and investment risk constraints is regarded as the dual problem. With respect to these optimal problems, we analyze a quenched disordered system involving both of these optimization problems using the approach developed in statistical mechanical informatics, and confirm that both optimal portfolios can possess the primal-dual structure. Finally, the results of numerical simulations are shown to validate the effectiveness of the proposed method.
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中文摘要：
本文利用复制分析方法讨论了均值方差模型中由投资风险最小化问题和期望收益最大化问题组成的原对偶问题。作为我们在先前研究中分析的仅在预算约束下的投资风险最小化问题的自然扩展，我们在此考虑一个原始对偶问题，其中具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题被视为原始问题，将具有预算和投资风险约束的期望收益最大化问题视为对偶问题。对于这些优化问题，我们使用统计机械信息学中发展的方法分析了一个涉及这两个优化问题的淬火无序系统，并确认两个最优投资组合都可以具有原始-对偶结构。最后，数值仿真结果验证了该方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Replica_Analysis_for_the_Duality_of_the_Portfolio_Optimization_Problem.pdf (217.35 KB)

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization Minimization maximization

投资组合优化问题对偶性的复制分析*Mori Ari nori高等教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，东京，1868601，日本。（日期：2018年10月11日）本文利用复制分析讨论了均值-方差模型中由投资风险最小化问题和预期收益最大化问题组成的原始-对偶问题。作为我们在先前研究中分析的仅在预算约束下的投资风险最小化问题的自然扩展，我们在此考虑一个原始对偶问题，其中具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题被视为原始问题，将具有预算和投资风险约束的期望收益最大化问题视为对偶问题。对于这些优化问题，我们使用统计机械信息学中开发的方法分析了涉及这两个优化问题的淬火无序系统，并证实了两个最优组合都具有原始对偶结构。最后，数值模拟结果验证了该方法的有效性。PACS编号：89.65。Gh，89.90+n、 02.50-国际扶轮社。简介投资组合优化问题是一个数学金融问题，起源于Markowitz于1952年和1959年提出的均值-方差模型[1，2]，以及针对预期投资风险和投资回报预期的多元化投资的最优策略，已在几项运营研究中得到解决[3，4]。然而，这些先前的研究仅限于在多体复杂系统的框架内分析退火无序系统。

投资者在实践中预期的淬火无序系统的分析在运营研究中很少被调查。最近，使用副本分析、信念传播方法和随机矩阵的渐近特征值分布，对涉及投资组合优化问题的猝灭无序系统进行了分析，这是在统计机械信息学和经济物理学等跨学科研究领域的前几项研究中发展起来的【5–13】。例如，Ciliberti等人对淬火无序系统的绝对偏差模型和预期短缺模型的最小投资风险进行了复制分析，并报告了零温度极限下预期短缺模型的相图【5，6】。Kondor等人。通过数值模拟评估了最优解估计误差对多个风险函数的噪声敏感性，如方差、绝对偏差、预期短缺和最大损失【7】。此外，Pafka等人通过数值模拟表明，ea ch资产的最优投资组合，即在均值-方差模型中，仅在预算约束下，能够最小化投资风险的投资组合，具有正态分布，并评估了最小预期投资风险与*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JP样本内风险【8】。Shinzato报告称，仅在预算约束下，均值-方差模型中的最小投资风险及其投资集中度通过使用大偏差方法和副本分析的自平均特性得到满足，并对该投资系统进行了猝灭无序分析[9]。此外，Shinzato等人。

开发了一种快速算法，用于解决可以最小化每个投资风险的最优解，包括均值方差模型、绝对偏差模型和预期短缺模型中的最优解，使用信念概率方法[10]。Varga Haszonits等人利用副本分析确定了最佳投资组合，该投资组合可以最大限度地减少每个场景中的整体收益与预算下的预期收益之间的差异，以及淬火无序系统中的预期收益约束[11]。此外，Shinzato对淬火无序系统进行了n分析，该系统涉及具有预算和投资集中度约束的投资风险最小化问题，以及使用副本分析的具有预算和投资风险的投资集中度最大化和/或最小化问题，并得出主元二元结构也适用于淬火系统【12，13】。淬火分析已被广泛研究。特别是，在许多研究中已经分析了几种约束条件下的投资组合优化问题【11–13】。然而，具有预算约束和预期收益约束的投资风险最小化问题，以及具有预算约束和投资风险约束的预期收益最大化问题，很少有人研究。虽然Varga Haszonits等人使用重分类分析[11]解决了预算和预期回报约束下的投资组合优化问题，但目标函数conside red被定义为每个情景下整体回报与预期回报之间差异平方和的一半，而不是使用每个情景下整体回报的方差。

换言之，由于所考虑的目标函数不是投资风险，因此具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题，这是我们先前研究的自然延伸[9]，尚未得到重新研究。此外，Shinzato首先对均值-方差模型的原始-对偶问题进行了复制分析。从统一的角度来看，还需要多方向地研究两个投资组合优化问题，即具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题和具有预算和投资风险约束的预期回报最大化问题。本论文的目标是按照先前研究中使用的分析方法，对均值-方差模型中由投资风险最小化问题和预期回报最大化问题组成的原始-对偶问题进行重复分析【12，13】。作为我们先前研究的自然延伸，该研究只分析了预算约束下的投资风险最小化问题，本文考虑了一个原始对偶问题，其中具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题被视为原始问题，具有预算和投资风险约束的预期收益最大化问题被视为对偶问题。对于这些投资组合优化问题，我们利用统计机械信息学中的分析方法，分析了一个淬火无序系统，并确定两个最优解是否都具有原始对偶结构。此外，我们还将结果与通过数值模拟获得的结果进行了比较，以验证所提出方法的有效性。本文件的其余部分组织如下。

在下一节中，我们将描述本文处理的原始问题和对偶问题，其中，为了方便起见，原始问题是具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题，对偶问题是具有预算和投资风险约束的预期回报最大化问题。在第三节中，按照我们之前研究中使用的分析程序【9】，对涉及原始和对偶问题的淬火无序系统进行了复型分析。此外，还利用拉格朗日不确定乘子法对退火无序系统进行了分析。在第四节中，为了证实所提出方法的有效性，我们将结果与数值实验结果进行了比较。最后，第五节给出了结论和未来研究的领域。模型设置首先，我们在本文考虑的均值-方差模型中描述了原始和对偶问题。A、 主要问题与之前的研究[5-12]类似，本文考虑了一个稳定的投资市场，可以处理N项资产的投资。这里，Wii是一个资产组合i（=1，2，···，N），可以将d描述为~w=（w，···，wN）T∈ RN，其中T表示矩阵和/或向量的转置。此外，为了简化讨论，我们假设卖空，即wi≤ 允许0。接下来，给定投资中使用的p个场景（或p个周期），资产i inscenariou（=1，2，······，p）的回报率可以描述为“xiu”，并且假设每个资产的回报率是独立分布的。基于此假设，我们不考虑周期相关性。此外，资产i回报率的均值和方差分别表示为Rian和s。

此外，平均值Ri是一个假定为bea的超参数，该超参数独立且相同地分布在均值和方差分别为m和σ的概率分布中。因此，投资组合w的投资风险H（~ w | X）定义如下：H（~ w | X）=2NpXu=1NXi=1'xiuwi-NXi=1riwi=pXu=1√NNXi=1xiuwi！，（1） 其中修改后的回报率xiu=(R)xiu- 使用riis。然后，修正收益率的均值和方差分别为0和s。此外，回报率矩阵由X=nxiu给出√不∈ RN×p。对于此目标函数，作为预算和预期回报约束，使用N=NXi=1wi，（2）NR=NXi=1riwi，（3）。式（2）中的预算约束用于先前的研究【5、6、9-12】，式（3）描述了预期回报约束。此外，R是表征预期回报的系数。此外，可行投资组合子集P（R）根据投资组合w定义，并满足以下两个约束条件：P（R）=~w∈ 注册护士N=~ eT ~ w，N R=~ rT ~ w, （4） 式中~e=（1，···，1）T∈ rN是常数向量，且~r=（r，r，···，rN）T∈ Rn是测量向量。因此，本文考虑的首要问题是确定最优投资组合w的问题，该最优投资组合w可以使式（1）中的投资风险H（~ w | X）最小化，并使式（4）中的可行投资组合子集P（R）最小化。每项资产的最小投资风险ε计算如下：ε=最小w∈P（R）NH（~ w | X）.

（5） 基于我们之前研究[9]中的论点，在只施加邻接约束的投资风险最小化问题中，每资产的最小投资风险ε=s（α-1） ，其中情景比率α=p/N为us ed。当回报率矩阵的秩X=nxiu√不∈RN×p，秩（X）=N，即p>N，因为本文后面描述的原始问题和对偶问题的最优解可以唯一确定，且ar gument限于α=p/N>1。最后，有两个重要的考虑因素。首先，使用拉格朗日的待定乘子方法，ε=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1~e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e, （6） 解析求解，其中Wishart matr ix J=XXT∈ 使用RN×Nis。（详见附录A。）然而，Wishart矩阵J=xxt逆的计算复杂性必须为O（N），并且在分析淬火无序系统时，有必要对返回率矩阵x和平均向量r上的等式（6）求平均值。因此，不容易直接计算配置平均值EX，~ r[ε]，其中EX，~r[f（X，~r）]描述了f（X，~r）在X和~r的整个配置上的经验。因此，我们将使用复制分析来分析每项资产最小投资风险的配置平均值，而不直接需要评估逆矩阵来求解配置平均值。接下来，根据投资风险和预期回报的定义，我们可以将预期回报的随机性与投资风险的随机性分开。

换言之，在均值-方差模型中，由于投资风险指数k被定义为情景u中整体回报率pni=1'xiu和预期回报率pni=1riwi之间差异平方和的一半，因此使用修改后的回报率xiu，我们可以消除预期再回报的随机性对投资风险的影响。此外，基于此公式，可以独立设置xiu和rican的分布。B、 对偶问题在第II A小节中，类似于原始问题，我们将对偶问题模拟为获得最优投资组合w，该投资组合w可以在施加预算和投资风险的情况下使预期收益最大化。预期收益H′（~w | ~r）定义如下：H′（~w | ~r）=NXi=1riwi，（7）其中N=NXi=1wi，（8）Nε′=pXu=1√NNXi=1wixiu！，（9） 是预算和投资风险的制约因素。方程式（8）与E q.（2）中给出的预算约束相同，方程式（9）描述了投资风险约束。此外，ε′是表征投资风险的系数，而可能的投资组合子集D（ε′）是在投资组合w中定义的，它满足以下两个约束条件：D（ε′）=~w∈ 注册护士N=~ eT ~ w，Nε′=~ wTJ ~ w.（10） 因此，对偶问题的每资产预期收益R′计算如下：R′=ma x~w∈D（ε′）NH′（~ w | ~ r）. （11） 此外，对于该对偶问题，利用拉格朗日待定乘子方法，R′=s~rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～er2ε′~eTJ-1～eN- 1+~ rTJ-1～e～eTJ-1~e，（12）解析求解。（详见附录B。）然而，由于直接评估淬火无序系统的方程式（1-2）也很困难，因此使用了副本分析。最后，有两个重要的考虑因素。首先，原始问题中等式（1）中的目标函数对应于对偶问题中等式（9）中的第二个约束，以及等式（1）中的目标函数。

（7） 在对偶问题中，对应于原始问题等式（3）中的第二个约束。其次，本文考虑的主要问题是我们之前研究中的自然延伸。然而，由于我们在本研究中考虑了预期回报约束，因此所提出的方法更具实用性。还讨论了带有budg et和预期回报约束的港口组合优化问题[11]。然而，由于在该研究中，目标函数不是投资风险，并且投资风险和预期回报中资产回报的随机性是不同的，这并不总是我们先前研究的自然延伸[9]。此外，由于未对原始-对偶结构进行分析，因此更重要的是通过本文中的发现支持Varga Haszo nits等人的结果。三、 副本分析a。原始问题的复型分析在本节中，我们对涉及原始问题的含水无序系统进行复型分析。根据我们之前的研究[9]，逆温度β，Z（R，X，~R）投资系统的正则系综的配分函数表示为：Z（R，X，~R）=Z~w∈P（R）d~we-βH（~w | X），（13），其中式（1）中的投资风险H（~w | X）被视为哈密顿量，~w的积分被视为可行的投资组合子集P（R）。因此，根据以下热力学关系计算出每项资产的最小投资风险ε：ε=min~w∈P（R）NH（~ w | X）= - limβ→∞Nβlog Z（R，X，~ R）。（14） 淬火无序系统的分析如下：φ（R）=limN→∞NEX，~r[对数Z（r，X，~r）]=外推（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k- （R）- m） θ+σθχw-αlog（1+βsχw）-αβsqw2（1+βsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw, （15） 式中，使用Θ={k，θ，χw，qw，Θχw，Θqw}。