投资组合优化问题对偶性的复制分析

（D3）然后，作为极值条件，我们得到φ（ε′）k=-1+kχw=0，（D4）φ（ε′）θ=ε′-αsχw2（1+θsχw）-αsqw2（1+θsχw）+αθsqwχw2（1+θsχw）=0，（D5）φ（ε′）χw=（￠χw- qw）+σβ-αθs2（1+θsχw）+αθsqw2（1+θsχw）=0，（D6）φ（ε′）qw=（￠χw）- qw）+▄qw-αθs2（1+θsχw）=0，（D7）φ（ε′） χw=（χw+qw）-2？χw-qw+k2χw=0，（D8）φ（ε′） qw=-（χw+qw）+qw+2χw=0，（D9）和χw=θs（α- 1） ，（D10）qw=αα- 1.1+βσχw. （D11）将上述代入ε′=αsχw2（1+θsχw）+αsqw2（1+θsχw），得到ε′=2θ+s（α- （1）1+βσχw, （D12）和βσχw=ss（α- （1）ε′-2θ- 1，（D13）进行评估。因此，最大预计收益率R′计算如下：R′=limβ→∞φ（ε′）β=m+σlimβ→∞βσχw=m+σs2ε′s（α- （1）- 1，（D14）其中，从βσχw~ O（1），β/θ~ 使用O（1）。此外，根据公式（D12），βσχw=-ss（α- （1）ε′-2θ- 1，（D15）也可导出为β→ -∞, 固定投资风险下每项资产的最低预期回报率，并将R′表示为：R′=m- σs2ε′s（α- （1）- 1.（D16）附录E：退火无序方法解决主要问题这里，讨论了涉及原始问题的退火无序系统的典型行为。首先，按照运筹学的分析程序，预期投资风险EX[H（~ w | X）]计算如下：EX[H（~ w | X）]=~ wTEXXXT型~w=sαNXi=1wi。（E1）然后，拉格朗日待定乘子法的目标函数如下：LOR=sαNXi=1wi+kORN- ~wT ~ e+θ或NR编号- ~wT ~ r, （E2）使用辅助变量kOR、θ或。因此，从LOR公司wi=0，我们得到wi=kOR+θORrisα。（E3）此外，从mLOR公司kOR公司=LOR公司θ或=0，kORθ或= sαNPNi=1RIPNI=1RINNI=1ri-1.R=sαm+σ- m级m+σ-m级-m 1R,（E4）进行评估，其中当N足够大时，我们有NNXi=1ri=m，（E5）NNXi=1ri=m+σ。

（E6）然后，退火无序系统的典型行为如下：ε或=sαNNXi=1kOR+θORrisα=2sα（kOR）+2kORθORm+（θOR）（m+σ）=sα1+（R- m）σ. （E7）附录F：双重问题的退火无序方法在这里，还讨论了涉及双重问题的退火无序系统的典型行为。首先，遵循运筹学的分析程序，将拉格朗日待定乘子法的目标函数定义如下：LOR=~ rT ~ w+kOR~wT ~ e- N+θORNε′-sαNXi=1wi！，（F1）其中，如上文讨论的原始问题中所述，将使用E q.（E1）中的预期投资风险，sαPNi=1。因此，从LOR公司wi=0，我们得到wi=kOR+risαθ或。（F2）此外，从LOR公司kOR公司=LOR公司θ或=0，我们得到1=kOR+msαθ或，（F3）ε′=sα2sα（θ或）（（kOR）+2kORm+m+σ）=sα1个+σsαθ或. （F4）基于此，且R′=NPNi=1rikOR+risαθ或=kORm+m+σsαθ或，我们得到r′=m+σsαθ或=m+σr2ε′sα- 1，（F5）式中，根据公式（F4），我们使用σsαθ或=r2ε′sα- 1、（F6）[1]H.Markowitz，J.Fin。7、77（1952年）。[2] H.Markowitz，《投资组合选择：投资的有效多元化》（J.Wiley and Sons，纽约，1959）。[3] Z.Bodie，A。Kane，A.J.Marcus，《投资》（McGrawHill Education，2014）。[4] D.G.Luenberger，《投资科学》（牛津大学出版社，1997年）。[5] S。Ciliberti M.M'ezard，欧元。物理。J、 B，27，175（2007年）。[6] S。Cilib erti，I.Kondor，M.M\'ezard，Qu ant。鳍7389（2007年）。[7] 我。Kondor，S.Pafka，G.Nagy，J.Bank。鳍311545（2007年）。[8] S。帕夫卡，I.康多尔，欧元。物理。J、 B、27、277（2002年）。[9] T.Shinzato，PLoS One，10，e0133846（2015）。[10] T.Shinzato，M.Yasuda，PLoS One，10，e0134968（2015）。[11] I.Varga Haszonits，F.Caccioli，I.K on dor，https://arxiv。org/abs/1606.08679（2016）。[12] T.Shinzato，https://arxiv.org/abs/1605.06845（2016年）。[13] T.Shinzato，https://arxiv.org/abs/1608.04522（2016年）。