非流动资产的最优组合

应该注意的是，与单一资产不同，当有多个资产可用时，可以使用heddingstrategy，因此非流动资产类别的卖空可能是最优的。我们在多资产问题中再次观察到，当市场影响较小时，一般最优策略接近默顿解。4.4有界最优交易策略我们在第4.2节中已经看到，在单一资产的情况下，正∧创造了庞氏财产，使任何交易者都有机会在接近期末时将价格推向有利于自己的方向。命题3.3的情况1表明只要∧<√2λΓ∑，在任何有限周期内计算的最优策略[0，T]保持有界。然而，当∧>√2λΓ∑，命题3.3的情况3意味着对于周期[0，T*] withT公司*=K/D，最优策略q*（u） 值函数W都在u=0时爆炸。时间0 0.1 0.2 0.3 0.4焊接（q）#1051.41.61.820=10=0.50=0.25Merton（a）∧=∧，Γ=ΓTime0 0.1 0.2 0.3 0.4焊接（q）#1051.41.61.820=10=0.50=0.25Merton（b）∧=0，Γ=Γ图4：第4.3节所述市场影响参数递减序列的最佳交易策略行为。它们收敛于康斯坦特默顿解。多资产投资问题也存在类似的可能性。随着∧的增加，最终矩阵函数U（t）对于某些有限的t=t变得奇异*. 再一次，我们发现[0，T*], 最优策略q*（u） 而价值函数W在u=0.5时都会爆炸。备注和结论第4节中研究的三个假设金融机构面临着一个典型的投资问题，即在下行风险的上限下最大化其股本回报，此处定义为违约概率。

我们提出了最优投资组合问题的分析可处理版本，可通过三种不同的方式进行调整：效用优化、均值方差优化和均值违约概率优化。数值结果表明，该方法生成的解具有令人满意和有趣的特征。也许最重要的是，我们了解到，这些策略密切跟踪零市场影响模型中出现的经典默顿解。三家基准公司的有效边界如图1所示，通过提高违约容忍度来量化其回报率将增加多少。我们观察到，考虑市场影响的最佳交易策略往往会在交易期间转向默顿解决方案。如果它们最初与默顿解接近，它们将倾向于保持接近，这意味着默顿解对扰动具有鲁棒性。接近速度随着时间冲击参数Γ的减小而增大。此外永久影响∧的主要影响是庞氏财产，其表现为在接近尾声时的一些购买量0.1 0.2 0.3 0.4持有量（q）#10466.26.46.66.87资产类别=1资产类别=2资产类别=3资产类别=3资产类别（a）3不相关资产时间0.1 0.2 0.3 0.4持有量（q）#105-2-1012资产类别=1资产类别=2资产类别=3资产类别=3资产类别（b）3正相关资产图5：与默顿解相比，最优三资产交易策略在不相关和相关情况下的行为。期间的。这种庞氏效应通常很小，但正如命题3.3所示，当∧变得足够大，足以引发资产价格泡沫时，它将主导解决方案的特征。如果让这些金融机构自行其是，它们几乎没有动力限制风险寻求。

通过选择较低的λ值，或等效地接受较高的杠杆率，他们可以实现较高的资本回报率。由于较低的暂时性影响和较高的永久性影响对大型企业来说都相对更有利，因此，在大型企业实施积极的庞氏策略的情况下。在资产表现不佳的情况下，有可能出现严重的资产价格反馈，可能对持有普通资产的其他金融机构产生不利影响。此类价格反馈（包括泡沫和破裂）在文献中已被确定为系统性风险的关键渠道，尤其是Cifuntes等人【7】，通常被称为资产再销售渠道。我们的模型的一个应用（尚待详细探讨）将用于指定大型金融系统中银行和金融机构的自然行为，然后查看由于市场影响而导致的资产出售对系统性风险度量的影响。在这种系统性风险背景下，通过对存款的随机性建模，引入资金流动性不足的影响也很重要。如果大银行被允许在不考虑其系统影响的情况下以自身利益行事，它们将对金融稳定构成不可接受的威胁。因此，所有银行都受到严格的金融监管制度的约束，其中最重要的是对其资本资产比率和流动性覆盖率的限制。在这种监管约束下，金融机构的投资策略将与本文提出的最优策略截然不同。此类受监管金融机构的最佳行为将是未来建模研究的目标。参考文献【1】R.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[2] R.Almgren和J.Lorenz。自适应到货价格。

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（54）正如我们将很快在命题3.1的证明中看到的那样，该ODE具有唯一的光滑解，该解在任何有限时间间隔[t，t]上都是确定性的，对于t小于可能的有限最大t*. 因此，根据经典验证定理，我们得到了W=~W，该定理的其他陈述如下。命题3.1的证明：根据定理2.1，[t，t]上Merton\'s问题的值函数的形式为W（t，t，X，q）=X+V（t，t，q），其中V满足ODE（54）。该常微分方程和形式（15）导出了具有A、B、C初始条件的Riccati方程τA-（A+A+λ）Γ-1（A+A+λ）+λ∑=0，A（0）=0（55）τB-BΓ-1（A+A+λ）- u=0，B（0）=0（56）τC-BΓ-1B=0，C（0）=0。（57）注意，如果A是（16）的解，那么A也是：根据常微分方程解的唯一性定理，A=A，因此A是对称的。定理3.2的证明：第1部分：注意λΓ-1/2∑∑Γ-1/2为正定义，定义为其对称平方根。如果▄A（τ）：=Γ-1/2（A（τ）+∧/2）Γ-1/2（16）变成τИA-A+D=0，<<A（0）=E：=Γ-1/2（λ/2）Γ-1/2。（58）现在可以检查（58）的解的形式为▄A=V U-1，其中U，v满足以下带终端条件的线性ODEτUτV=0--D×紫外线,U（0）V（0）=E.使用q的块对角化=1 1D-D, Q-1个=D-1.-D-1.一次结束0--D= Q-D 00 DQ-1因此，矩阵ODE的解为U（τ）V（τ）= Qe-Dτ0 eDτQ-1×E.从显式公式su（τ）=cosh（Dτ）- sinh（Dτ）D-1E（59）V（τ）=- sinh（Dτ）D+cosh（Dτ）E（60）一个finds A（τ）=Γ1/2（ΓA（τ）- E） Γ1/2式中▄A（τ）=[- sinh（Dτ）D+cosh（Dτ）E][cosh（Dτ）- sinh（Dτ）D-1E]-1.

（61）B的Riccati方程（17）可以通过注意▄B=BΓ来求解-1/2索尔维斯特颂歌τИB-BA- Γ-1/2=0。自从τU=-~AU，我们发现τ（￠BU）=(τИB-BA）U=uΓ-1/2U，可进行积分，得出▄B（τ）U（τ）=uΓ-1/2（RτU（s）ds）和thusB（τ）=uΓ-1/2ZτU（s）dsU-1（τ）Γ1/2。rτU（s）ds=D很简单-2[E-V（τ）]，给出所需公式b（τ）=uΓ-1/2天-2[E- V（τ）]U-1（τ）Γ1/2。以类似的方式，一个结果sc（τ）=ZτB（s）Γ-1B（s）ds（62）=uZτ（E- V（s））（U（s）U（s））-1（E）- V（s））dsu，（63），其中u：=D-2Γ-1/2u。第2部分：这一部分很简单。第3部分：从定理2.1的第4部分，最优控制q*（u） 在[t，t]解决uq公司- Γ-1（A（T- u） +λ/2）q=Γ-1B（T- u） 当该线性ODE在左侧乘以积分因子u时-1（T-u） Γ1/2，左侧变为精确导数：uhU-1（T- u） Γ1/2qi=u-1（T- u） Γ1/2×Γ-1B（T- u） 。[t，u]givesU上该方程的积分-1（T- u） Γ1/2q（u）- U-1（T- t） Γ1/2q=ZutU-1（T- r） Γ-1/2B（T- r） dr得出所需的公式。第4部分：方差直接计算如下*T） =ZTtq*（s） ∑∑q（s）*ds=qL（T- t） q+M（t- t） q+N（t- t） 。重写q*（u） =▄u（T- u） u-1（T- t） q+~U（t- u） I（u），其中▄u（T- u） ：=Γ-1/2U（T-u） 和I（u）：=车辙▄u-1（T-r） Γ-1B（T-r） L、M、Nare的dr显式形式计算如下。L（T- t） =（▄U-1（T- t） （）ZTtU（T- r） ∑∑U（T- r） dr公司U-1（T- u） 。利用Fubini公式，我们得到了m（T- t） =ZTt▄U-1（T- t） U（t- r） ∑U（T）- r） I（r）dr=ZTtZTs▄U-1（T- t） U（t- r） ∑∑U（T- r） dr公司U（T- s）-1Γ-1B（T- s） ds=~U（T- t）-1ZTtU（T- s） L（T- s） Γ-1B（T- s） ds。SimilarlyN（T- t） =ZTtI（r）~U（t- r） ∑∑U（T- r） I（r）dr=ZTtZTsI（r）~U（T- r） ∑∑U（T- r） dr公司U-1（T- s） Γ-1B（T- s） ds=ZTtM（T- s） Γ-1B（T- s） ds。