非流动资产的最优组合

对于任何E∈ （E，E），存在唯一的λ=λ（E），使得E（λ）=E.2。对于E（λ）的所有可能值，确定性最优策略v*问题M-V与唯一自适应最优策略V相吻合*（λ） 共（12）页。3、为任意两个时段（t，t）和（s，t）计算的最优策略是时间一致的，这意味着它们在交叉点（s）上重合∨ t、 t）]。4、如果E（λ）>0，则确定性最优策略v*问题M-V和问题M-DP也相互吻合。3明确的最优策略我们现在利用市场影响设置中默顿问题的可处理性，得出金融机构（FI）最优交易曲线的闭合公式（涉及矩阵代数和一维积分）。本节引用的技术与中针对最优清算问题开发的方法密切相关。提案3.1。在定理2.1的建模假设下，对于任何具有T≤ T*, 值函数Wt：=W（t，t，q，x）=x+V（τ，q），τ=t- 对于任何t∈ [0，T]的形式为v（τ，q）=qA（τ）q+B（τ）q+C（τ）（15），其中A，B，C分别是维数为[d，d]、[1，d]和[1，1]的矩阵值函数，具有对称性。对于τ>0，这些函数满足Riccati型常微分方程：A.τ- （A+λ/2）Γ-1（A+λ/2）+λ∑∑=0，A（0）=0，（16）Bτ- BΓ-1（A+λ/2）- u=0，B（0）=0，（17）Cτ-BΓ-1B=0，C（0）=0。（18） 下一个定理（其证明见附录A）以闭合形式求解了这个Riccati方程组，即E：=Γ-1/2（λ/2）Γ-1/2和对称平方根D of D：=λΓ-1/2∑∑Γ-1/2。它还为最优策略q提供了一个闭合形式*.定理3.2。1.

Riccati方程组（16）–（18）在最大区间[0，T]上的解*] 由a（τ）=Γ给出V（τ）U（τ）-1.- EΓ（19）B（τ）=uE- V（τ）U-1（τ）Γ（20）C（τ）=uZτE- 五（s）U（s）U（s）-1（E）- V（s））dsu（21），其中u：=D-2Γ-1/2u和矩阵值函数U，V由U（τ）=cosh（Dτ）给出- D-1sinh（Dτ）E（22）V（τ）=- sinh（Dτ）D+cosh（Dτ）E.（23）2。最大时间范围T*isT公司*= inf{τ>0:U（τ）不可逆}。T*如果D<E且∞ 如果D>E.3。对于任何（t，t，q，x），最优交易曲线q*（u） 在[t，t]isq期间*（u） =Γ-1/2U（T- u） u型-1（T- t） Γ1/2q（24）+Γ-1/2U（T- u） 祖图-1（T- r） Γ-1/2B（T- r） dr（25）4。对于任意（t，t，q，x），最优终端等式的期望值和方差为：E[x*T（λ）| Ft]=x+qA（T- t）-λL（T- t）q（26）+B（T- t）-λM（T- t）q+C（T- t）-λN（T- t） ，Var[X*T（λ）| Ft]=qL（T- t） q+M（t- t） q+N（t- t） ，（27）其中L、M、N的公式在附录A中给出。在D和E是交换矩阵的特殊情况下，这些公式解耦为一维问题，每个问题类似于我们接下来讨论的单个风险资产情况。3.1单一风险资产的情况在单一风险资产的情况下，可以验证标量函数a、B、C和最优交易策略q*（u） 通过推导定理3.2中给出的公式得到相对简单的公式。注意，几个不同的可能性是由D=∑qλ2Γ和E=∧2Γ之间的关系确定的。提案3.3。在单一资产的情况下，1。当D>E或2λΓ∑>∧时，表示K=tanh-1（E/D）我们有U（τ）=cosh（Dτ-K） cosh K公式可以用双曲函数改写为followsa（τ）=-ΓD[tanh（Dτ- K） +tanh K]（28）B（τ）=uDsinh Kcosh（Dτ- K） +tanh（Dτ- K）（29）C（τ）=u4ΓD（sinh（Dτ- K）- 1） （tanh（Dτ- K） +tanh K）- Dτ（30）+u2ΓD（tanh K-sinh Kcosh（Dτ- K） ）。

（31）最优交易策略由Q（u）给出*=cosh（Dτu- K） cosh（Dτt- K） q+u2ΓD1.-cosh（Dτu- K） cosh（Dτt- K）（32）+usinh K cosh（Dτu- K） 2ΓD（tanh（Dτu- K）- tanh（Dτt- K） ），（33），其中τs=T- s、 2。当D=E或2λΓ∑=∧A（τ）=0（34）B（τ）=uD时eDτ- 1.（35）C（τ）=u2Dλ∑e2Dτ- 2eDτ+Dτ+. （36）3。当D<E或0<2λΓ∑<∧时，表示K=coth-1（E/D）我们有U（τ）=-sinh（Dτ-K） sinh K.公式可以用双曲函数改写为followsa（τ）=-ΓD[coth（Dτ- K） +coth K]（37）B（τ）=uD-cosh Ksinh（Dτ- K） +coth（Dτ- K）（38）C（τ）=-u4ΓD（cosh（Dτ- K） +1）（coth（Dτ- K） +coth K）+Dτ（39）+u2ΓD（coth K+cosh Ksinh（Dτ- K） ）。（40）最优交易策略由Q（u）给出*=sinh（Dτu- K） sinh（Dτt- K） q+u2ΓD1.-sinh（Dτu- K） sinh（Dτt- K）（41）-ucosh K sinh（Dτu- K） 2ΓD（coth（Dτu- K）- coth（Dτt- K） ），（42），其中τs=T- s、 4。当λ=0时，U（τ）=1- Eτ和V（τ）=E.MoreoverA（τ）=∧（1- U（τ）U（τ））（43）B（τ）=Γ∧（1- U（τ）U（τ））（44）C（τ）=uΓ6∧-U（τ）+6U（τ）- 8U（τ）+3U（τ）. （45）最优交易策略由Q（u）给出*= U（τU）qU（τt）+u4ΓEU（τt）+U（τt）- U（τU）-U（τU）. （46）第三和第四种情况是T*< ∞, 我们发现溶液变得无界：limτ→T*A（τ）=∞. 在情况1和2中，所有τ和T的解都有界*= ∞.3.2默顿解的小扰动在其原著《默顿》[12]中，罗伯特·默顿给出了资产价格遵循几何布朗运动的无摩擦市场中最优投资问题的精确解。他的解决方案技术还使我们的当前模型在零市场影响的极限下得到了精确的解决方案∧=0，Γ=0，我们称之为“默顿解决方案”。将上一节中的显式一般解视为默顿解的扰动，并研究其在市场影响为零时收敛的性质，这是一个有趣的问题。

我们假设∧=∧，Γ=Γ带小 用W（t，t，x，q，) 确定等价值函数及其依赖关系. 为简单起见，我们将注意力集中在上一节的单一资产案例上。初始条件为Xt=x，qt=qin的周期[t，t]上的默顿解将产生无交易成本的瞬时交易，达到最佳值qm：=uλ∑。然后该投资组合保持不变。可以看出，该策略实现了确定性等价值函数W（t，t，x，q，0）=x+u（t-t） 2λ∑，我们注意到它与q无关。现在，对于小, 我们模型的一般解由命题3.3的情况1给出，这导致了以下微扰展开式W（t，t，x，q，) = W（t，t，x，q，0）+1/2Q（q）+o(3/2）。（47）式中q（q）：=ΓDq+uDq+（2E- 1） D.（48）这里我们定义了D=σqλ2Γ，它不依赖于 我们有D=-1/2天→∞ 像 → 很明显，E不依赖于 任何一个因此，我们问题的值函数以收敛速度收敛到默顿解的值函数1/2。终端时间的最佳保持由Q给出*T=qM+（qt- qM）cosh Kcosh（Dτ- K） +EqM1- tanh（Dτ- K） D（1- tanhK）。（49）此处τ：=T- t、 很简单，lim→0K=0，因此lim→0季度*T=qM。设A（τ）：=U（τ）V（τ）=D tanh（Dτ-K） ，初始时间t的交易率为给定的nbyvt=lims→t˙qs（50）=qtA（τ）+U（τ）u2ΓD[E（D- （￠A（τ）））D- E-A（τ）U（τ）]（51）=（qt- qM）D tanh（Dτ- K） +uE cosh K2ΓDcosh（Dτ- K） 。（52）注意lim→0tanh（Dτ- K） =1和lim→0cosh（Dτ- K） =∞, 我们有Lim→0vt=±∞ 取决于qt>qM或qt<qM，即最佳策略是在开始时快速交易。

然后我们得出结论，最优轨迹q*（u，)当市场影响趋于零时，收敛到L形或Γ形曲线。这一结果意味着，当市场影响较低时，企业将遵循最优性交易策略，非常接近默顿问题的持续持有策略。一个更令人惊讶的事实是，如果永久影响∧=0，从默顿投资组合开始的投资组合将保持不变，并且所有策略，无论初始投资组合如何，都将在最初的一段时间内转向默顿投资组合。在下面的小节中，我们将显示多资产情况下的类似结果。4数字调查我们现在考虑假设的未受监管金融机构的投资行为，如对冲基金或共同基金。该公司在无风险回报率为0%的市场中交易单一风险资产，初始价格S=100美元。他们使用我们的CARA最优投资模型在不重叠的半年交易期内进行交易：我们在这里关注的是[0，T]，T=1/2。CARA风险规避参数λ的选择与每个时期1%的目标违约概率一致。因此，该公司将积极交易，以最大化其预期回报，并对潜在违约具有相当高的容忍度。表1中给出的模型校准参数在t=0的周期开始时固定。请注意，该公司仅在短期内使用Bachelier模型，并期望在每个成功期开始时重新校准。

由于风险资产是非流动性的，因此存在与交易速度和交易总额相关的市场影响：假设这些因素会给出临时和永久市场影响参数估计值Γ=10美元-7年/（交易单位）和∧=4美元* 10-8个/单元。将考虑小型、中型和大型企业的资产负债表，所有资产与权益比率均为arisky 4:1。初始股票持有量为q=【50000、200000、800000】，由此确定初始公司股权和净债务现金为beX=0.25* q* S、 C=-0.75* q* S、 如上所述，在所有三种情况下，金融机构都以最优策略下的固定违约概率为目标。这是通过选择内部风险规避参数λ来实现的，因此WDP（0，T，q，X，E（λ））=0.01。请注意，尽管最优策略不取决于X或固定λ，但λ的这一规定取决于X。因此，仅在Xdo中有所不同的公司采用不同的投资策略。表1：基准参数校准参数模型参数值初始股价S=100美元交易期[0，T]，T=0.5年20%年化波动率∑=20美元/单位/√年4%年增长u=4/单位/年临时市场影响Γ=10美元-7年/（单位）永久市场影响∧=4美元* 10-8/单位λ，违约概率=0.0005λ变量初始持有量q=[50000、200000、800000]初始现金净债务C=-0.75* q* 原始权益X=0.25* q* S4.1有效前沿图1显示了三家公司的预期净资产收益率（ERR）和违约概率（DP）在其CARA/MV/DP最优策略中如何取决于λ在一组可行值上的变化【0，∞). 这些量由公式R（λ）=T（E（λ）X计算- 1） ，DP（λ）=N-E（λ）pV（λ）！（53）其中N（·）表示标准法线的CDF，E（λ），V（λ）由（26）和（27）给出。

这种图被称为有效前沿，它总结了企业通过采用不同的风险规避参数可能获得的结果。如前所述，三家公司各自选择由λ值给出的最佳投资策略，该值导致DP（λ）=0.01：根据表1中给出的基准参数，他们计算的三个值为λ=[2.56×10-7，6.7×10-8，1.83×-8] 。虽然图1表明，在其他条件相同的情况下，大型企业的效率边界较低，但可以通过增加永久冲击参数来反转这种排序。4.2最优交易曲线的性质为了更好地理解我们的方法产生的最优投资策略的性质，我们现在研究三个假设公司在单一资产情况下的最优交易是如何比较的，因为重要的模型参数与表1的基准参数不同。图2和图3总结了四个实验的结果，并显示了随着资产收益率、资产波动率、暂时性市场影响和永久性市场影响每次发生变化，企业在[0，1/2]年内的最佳交易策略是如何变化的。在每个图中，红色曲线表示基准参数化，而其他两条曲线显示结果，因为一个特定参数向上（蓝色曲线）和向下（绿色曲线）变化。需要重申的一点是：对于除风险规避参数λ之外的一组参数的每次选择，计算λ以确保公司的违约概率（DP）恰好为1%。因此，这些图中的每条曲线对应不同的λ值。图2显示了改变资产收益率u和波动率∑的最佳策略的影响。不足为奇的是，随着回报率的提高或波动性的降低，最优策略将包括更多的风险资产。

有一个∑的阈值，低于该阈值，公司将从sellstrategies转换为buy strategies。尽管图中未显示，但我们发现u的情况正好相反。最后，在这些变化下，销售策略的速度似乎随着时间的推移保持着相似的形状。对这些参数的依赖性进行了更广泛的调查，证实了上述每一项观察结果。违约概率0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05年化预期回报率00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2q（0）=50000q（0）=200000q（0）=800000图1：三家公司的效率边界，参数见表1，显示了它们的违约概率和预期股本回报率，当采用风险规避参数λ大于[0]的最优投资组合时，∞).在图3a中，减少临时影响Γ的主要影响是在该时期早期更快地达到最终持有水平。这可以理解为减少临时影响成本和资产波动导致的价格不确定性之间最佳平衡的变化。在较小程度上，我们还可以在这些例子中看到，随着Γ的增加，最终持有量略有下降。永久影响∧对战略的影响更为微妙。从图3B中可以看出，较高的永久冲击参数∧会导致最优策略，并以较高的保持水平结束。这也会导致交易策略更加弯曲，尤其是在收盘时，所有交易曲线似乎都有正斜率。事实上，直接从（8）得出的交易速度的一般公式可以验证，在周期结束时，dqdu | u=T=Γ-1∧。这意味着只要∧为正，持有多头头寸的每一位交易员，无论是杠杆上升还是下降，都会通过购买更多股票来结束这一时期。

原因是永久冲击（permanentimpact）给了任何交易者一个很小的机会，让他们在最后时刻将资产价格推向有利的方向。我们将其称为市场影响模型的庞氏性质：它所暗示的收益不能转化为现金，除非打破交易者所创造的小价格泡沫。时间0.1 0.2 0.3 0.4倍（q）#105024687=17=47=8（a）时间0.1 0.2 0.3 0.4倍（q）#10600.511.52’=10’=20’=30（b）图2：参数向上（蓝色曲线）和向下（绿色曲线）变化对三家公司基准最佳交易曲线（红色曲线）的影响。（a） 显示风险资产平均回报率u变化的影响；（b） 显示了改变∑的影响，即风险资产的波动性。纵轴显示q，即交易期间任何时候持有的天空资产的数量。这两个数据均使用半年的交易期进行计算，同时所有交易曲线的违约概率均保持在1%。4.3小型市场影响第3.2节的扰动分析为理解永久和临时市场影响的影响提供了一个替代框架。我们调查了q=2×10的中型企业和市场影响参数() = ×10-7，λ() =  ×4×10-8对于值序列n=10-n、 n=0，1。接近零。图4（a）显示了最佳策略如何收敛于 → 0到u的恒定默顿解∈ （t，t），但对两个端点均表现出快速的瞬态效应。u=T附近的小庞氏效应可以通过∧来改变() = 0，如图4（b）所示。这些数据表明，对于合理的参数值和较小的市场影响，我们的模型将提供有效类似于默顿解决方案的策略。

观察到的最优策略和Mertonsolution之间的关系对较小的市场影响有效，实际上对于中等水平的市场影响（如我们的基准参数化）仍然有效。在图2和图3中可以观察到，所有策略都会随着u接近T而发生变化，尽管在这一时期结束时会产生小的庞氏效应。值得研究的是，梅顿解决方案在多大程度上很好地逼近了战略所涉及的持股价值。随着市场影响参数的减少，曲线的fl-at部分变得更宽，更接近默顿解。类似于第3.2节的分析使我们能够理解多时间0.1 0.2 0.3 0.4折叠（q）#10502468！=2e-08！=1e-07！=5e-07（a）时间0.1 0.2 0.3 0.4持股（q）#10502468$=8e-09$=4e-08$=2e-07（b）图3：参数向上（蓝色曲线）和向下（绿色曲线）变化对三家公司基准最佳交易曲线（红色曲线）的影响。（a） 显示更改临时影响参数Γ的效果；（b） 显示了改变永久冲击参数∧的影响。纵轴显示q，即交易期内任何时候持有的风险资产的金额。这两个数据均使用半年的交易期进行计算，同时所有交易曲线的违约概率均保持在1%。小市场冲击体制下的资产投资问题。图5，我们使用标准资产参数作为资产2，资产1是具有先前案例中较低扰动参数的资产，资产3具有先前案例中较高扰动参数的资产。图5（a）将不相关案例与默顿解进行了比较。图5（b）将恒定成对相关性ρ=0.5的情况与默顿解进行了比较。在这两种情况下，我们都可以看到类似于上述One asset案例的行为。