非流动资产的最优组合

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英文标题：
《Optimal Portfolios of Illiquid Assets》
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作者：
T. R. Hurd, Quentin H. Shao, Tuan Tran
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper investigates the investment behaviour of a large unregulated financial institution (FI) with CARA risk preferences. It shows how the FI optimizes its trading to account for market illiquidity using an extension of the Almgren-Chriss market impact model of multiple risky assets. This expected utility optimization problem over the set of adapted strategies turns out to have the same solutions as a mean-variance optimization over deterministic trading strategies. That means the optimal adapted trading strategy is both deterministic and time-consistent. It is also found to have an explicit closed form that clearly displays interesting properties. For example, the classic constant Merton portfolio strategy, a particular solution of the frictionless limit of the problem, behaves like an attractor in the space of more general solutions. The main effect of temporary market impact is to slow down the speed of convergence to this constant Merton portfolio. The effect of permanent market impact is to incentivize the FI to buy additional risky assets near the end of the period. This property, that we name the Ponzi property, is related to the creation and bursting of bubbles in the market. The proposed model can be used as a stylized dynamic model of a typical FI in the study of the asset fire sale channel relevant to understanding systemic risk and financial stability.
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中文摘要：
本文研究了具有CARA风险偏好的大型无监管金融机构（FI）的投资行为。它展示了金融机构如何通过扩展多重风险资产的Almgren-Chris市场影响模型来优化其交易，以应对市场流动性不足。在一组适应策略上的预期效用优化问题与确定性交易策略上的均值-方差优化问题具有相同的解。这意味着最佳适应交易策略既具有确定性又具有时间一致性。还发现它有一个显式的闭合形式，可以清楚地显示有趣的特性。例如，经典的常数Merton投资组合策略是问题无摩擦极限的一种特殊解决方案，其行为类似于更一般解空间中的吸引子。临时市场影响的主要影响是减缓收敛到该恒定默顿投资组合的速度。永久性市场影响的效果是激励金融机构在接近期末时购买额外的风险资产。这种财产，我们称之为庞氏财产，与市场泡沫的产生和破裂有关。该模型可以作为典型金融机构的程式化动态模型，用于研究与理解系统风险和金融稳定性相关的资产抛售渠道。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-5-26 18:34:10 上传

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关键词：流动资产 Optimization Mathematical Quantitative mathematica

非流动资产的最佳组合t。R、 Hurd，Quentin H.Shao，Tuan Tran加拿大麦克马斯特大学数学与统计系，2016年10月4日摘要本文研究了具有CARA风险偏好的大型无监管金融机构（FI）的投资行为。它展示了金融机构如何通过扩展多重风险资产的Almgren-ChrisMarket影响模型来优化其交易，以应对市场流动性不足。在一组适应策略上的预期效用优化问题与确定性交易策略上的均值-方差优化问题具有相同的解决方案。这意味着最佳的交易策略既具有确定性又具有时间一致性。还有一个显式的封闭形式可以清楚地显示有趣的属性。例如，经典的常数Merton投资组合策略是问题无摩擦极限的一种特殊解决方案，其行为就像是更一般解空间中的吸引子。暂时性市场影响的主要影响是减缓与默顿不变投资组合的趋同速度。永久性市场影响的效果是激励金融机构在接近周期结束时购买额外的风险资产。这种财产，我们称之为庞氏财产，与市场中泡沫的产生和破裂有关。在研究与了解系统风险和金融稳定性相关的资产转售渠道时，所提出的模型可以作为典型金融机构的风格化动态模型。1简介在马科维茨均值方差策略（Markowitz[11]）和默顿投资组合模型（Merton[12]）等具有里程碑意义的贡献之后很久，我们对最优投资组合选择的理解不断发展。

我们现在已经学会了如何分析不完美市场中的投资，这些不完美市场具有摩擦，如交易成本（Davis和Norman【8】、Perold【14】）和价格影响（Almgrenand Chriss【1】、Almgren【3】、Schoneborn【18】），以及复杂的动态，如跳跃（Cartea和Jaimungal【6】、Moazeni等人【13】、Pham和Tankov【15】）。事实上，这个问题已经产生了数百篇研究论文。我们现在的目标是为多资产环境下的大型金融机构（FI）提供一个可解的最优投资模型。它基于预期效用最大化标准，并考虑了市场流动性不足，这意味着要支付的交易成本以及交易对价格有永久影响的事实。潜在的投资资产可能流动性很差，被假定遵循Bachelier动力学，这意味着它们是由相关的算术布朗运动建模的。为了使这些假设具有财务意义，最优策略只能在足够短的时间范围内实施，以使学士动力学保持合理的近似值（在我们的示例中，我们将T=1/2年作为基准）。我们得到的这类最优策略具有几个显著的性质。首先，一般多维问题有一个封闭形式的解，可以用矩阵值方程表示，该方程可以在可控误差下高效计算。其次，解决方案取决于一系列重要参数：临时价格影响、永久影响、风险规避、初始投资组合权重、无风险利率和Bachelier动力学的基本参数。第三，最优策略是一种先验适应的过程，用于解决梅顿问题的一个版本，在有限的时间范围内具有确定性，并可解决马科维茨均值-方差优化的厌恶。

这一性质意味着我们的投资策略与动态规划完全一致，尽管它是一个时间不一致的均值-方差优化问题的确定性解。本文旨在研究市场流动性不足对金融机构行为的影响。资金流动性不足（例如，见Brunnermeier和Pedersen[5]）是金融机构资产负债表可能遭受存款人意外提款导致的资金冲击的显著影响。为了保持票据交换所关注的市场流动性，假设存款是固定的，并且足以支持金融机构的所有资产购买，就排除了资金流动性不足的可能性。提出的模型及其解决方案与现有文献的一些重要贡献密切相关。当假设永久和临时影响均为零时，我们的解决方案简化为马科维茨最优投资组合，或等效于默顿最优解决方案。所提出的融资问题受到Almgren和Chris研究的均值-方差最优清算问题的启发[1]，但不同之处在于，在最终时间T时，投资组合持有量没有受到限制。最后，在某些初始条件下，金融机构将寻求清算大量头寸，形成所谓的资产再出售。我们的策略扩展到了这种情况，并给出了类似于Brown等人讨论的自然标准，解决了不同资产清算顺序的问题。2最优投资组合策略本论文将研究具有CARA风险偏好的大型金融机构（FI）的投资策略（CARA是常数绝对风险厌恶的缩写，在不完全流动的市场中在有限的时间范围内持续交易。这与Zhang[19]中研究的问题类似。

通过平衡大型金融机构的投资组合所导致的变化可能占这些资产每日总交易量的很大一部分，并对这些资产的价格产生重大影响。众所周知，这种影响将导致金融机构将大订单分解为小部分，随着时间的推移分散开来，以降低市场流动性成本，同时仍旨在重新平衡其投资组合。通过花更多时间降低流动性成本，金融机构现在面临着资产价格的传统不确定性。为了处理流动性成本和价格不确定性之间的微妙平衡，金融机构将倾向于考虑效用优化。使用指数（CARA）效用函数进行优化有很好的经济原因：它导致了一个易于处理的时间一致性策略，其中额外的信息不会提供额外的效用，并且类似于Almgren和Chriss的原始平均方差优化[1]。由于该策略仅在[0，T]期间实施，金融机构将在T时更新其信息，并以类似的方式继续在后续期间进行平衡。这种重新平衡对于解释模型的短缺、资产负债表的变化以及导致价格动态参数发生根本变化的意外事件是必要的。关于这个问题，我们将进行一些简化。金融机构在任何给定时间t内可用的总信息由过滤{Ft}t建模≥给定概率空间上的0(Ohm, F、 P）。市场由零利率的无风险资产和真实价格过程为（S（1）t，…）的风险资产组成。。。，S（d）t），其交易价格过程为▄St=（▄S（1）t。。。，S（d）t）。在这里和下面，我们采用矩阵表示法，其中Mdenotes是M的矩阵转置。

让我们用（qu）u表示风险资产中持有金额的向量∈[t，t]和vu得出的大交易者交易率向量：=˙qu：=dqu/du，u∈ [t，t]。像Almgren和Chris等人一样，我们假设风险资产的价格遵循d-同时具有线性永久和线性临时市场影响的维度Bachelier模型（分别由∧和Γ参数化）：dSt=（λvt+u）dt+∑dBt，~St=St+Γvt.（1）这里，Btis a d-维布朗运动与∑∈ Rd×dis波动率矩阵。漂移项u=b-d+λQ∈ Rdi假定为常数。它考虑了趋势率b、股息率d和外部交易者Q造成的累计永久市场价格影响。当然，不需要线性市场影响的更一般模型是可能的，并且不会改变许多相同的基本属性。然而，线性影响的假设会导致更易处理的最优策略。此外，如Gatheral和Schied所示[9]，通过选择线性的永久影响，可以排除所谓的动态冲击。进一步假设永久和临时影响矩阵∧和Γ对称且非负定义。Γ对称的假设没有失去一般性。另一方面，并非出于经济原因，而是为了方便起见，假设∧是对称的：当它有一个反对称部分时，可以得到更复杂的显式解。Almgren和Lorenz【2】、Gatheral和Schied【9】以及Schied和Schoneborn【16】研究了与我们相似的模型。我们参考Hurd等人[10]的评论，了解这些模型和其他类似模型的进一步背景和合理性。2.1默顿问题默顿问题（Merton’s problem）介绍于默顿（Merton）[12]，旨在确定连续时间市场模型中效用优化投资者所遵循的策略。

为此，我们现在考虑最一般的投资组合策略或控制过程，即在一段时间间隔内根据市场影响模型（1）进行交易 R+。在我们的环境中，每种可能的策略都将是简单的d- 维度交易率过程V=（vu）u∈适应信息过滤{Ft}的[s，t]：我们用∏ad[s，t]表示此类可接受策略的集合。确定性策略的子类，其中每个值vu，u∈ [s，t]是fs可测量的，用∏det[s，t]表示。给定任何控制过程v∈ πad[0，s]对于0<t<s，所欠债务的现金净额t：=Cv并标记为市场权益，或所欠债务的资产净额，Xt：=Xvt：=Ct+qtStare，由：Ct=C给出-ZtvuSudu=C-ZtvuSudu-ZtvuΓvudu，（2）Xt=X+ZtqudSu-ZtvuΓvudu。（3） 其中，第二个方程通过分段积分得到。请注意，这里和以后，将省略标记由v控制的进程的上标v。根据公司资产负债表，对（2）和（3）的解释是，由于s的波动，资产是随机的，而债务（被认为是存款）被认为是恒定的，并且足以为所有交易提供资金。换句话说，我们关注的是市场流动性不足，而不是资金流动性不足。当一家公司的权益X变为负值时，该公司就会破产，这符合有限责任原则。在下文中，如果一家破产企业的负资产XT在时间T小于0，则该企业将被视为违约，这意味着破产法将适用于该企业。金融机构现在可以尝试解决CARA投资者的Merton最优问题，在任何时期内，绝对风险规避参数λ>0【t，t】。对于每个t，它们可以用确定性等价值Wt，Jt：=-e-λWt：=supv∈πad[t，t]-E类[-e-λXT | Ft].

（4） 如果存在上确界，则通过采用V表示的最优控制来实现*（t） =（v*u（t））u∈[t，t]，这将是一个在[t，t]之上的自适应过程。CARA投资问题通常满足动态规划原则（seeSchied等人[17]），这意味着对于任何≤ t型≤ T，v*u（t）=v*u代表所有u≥ 坦德- e-λWs=supv∈πad【s，t】-E【E】-λWt | Fs]. （5） 限制于[t，t]上确定性策略的投资者无法获得比方程（4）更高的确定性等价值。因此，IFFWT定义为- e-λfWt：=supv∈πdet[t，t]-E类[-e-λXT | Ft]（6） THINFWT公司≤ Wt。本文的第一个结果（下一个结果）是，（4）总是通过确定性策略进行优化，因此Wt=fwt≥ 此外，在后续章节中会发现，最优控制函数和值函数可以用封闭形式表示，其中包含一维积分，用于求解Riccati型普通微分方程组。然而，首先，有一个关于符号的注释：因为v*和q*事实证明，这是确定性的，因此，我们将用随机过程符号vuby函数符号v（u）代替，并且抑制对投资周期的依赖性[t，t]。定理2.1。在上述建模假设下，存在（可能是有限的）最大时间T*∈ R+∪ {∞}) 因此，对于任何有限时间范围[t，t]，0≤ t型≤ T≤ T*:1、最优策略v*（u） ，u∈ [t，t]存在，是唯一的，是可测量的，甚至是确定的。2、[t，t]上的值函数fwatchieved，当限制为确定性策略时，等于Wt.3。值函数的形式为Wt=Xt+V（T-t、 q）式中V（τ，q），τ=t-t求解非线性偏微分方程- τV+qu-λq∑∑q+（λq+qV）Γ-1（λq+在域[0，T]×Rd.4上，qV）=0，V（0，q）=0（7）。

给定时间t的初始持股量q，最优投资组合持股量q*（u） 对于u∈[t，t]求解常微分方程组：dqdu=Γ-1.qV（T- u、 q）+∧q, q（t）=q。（8） 这个定理的证明见附录。正如我们将在第3节中看到的，V（τ，q）是q中的二次型，具有随时间变化的系数，因此是q的ODE（8）*是线性的，可以显式求解。2.2平均值、方差、违约概率和时间一致性从方程（2）和（3）我们可以推断，如果v是确定性的，那么对于任何0≤ s≤ t型≤ T，以Fs为条件的权益Xt正态分布，平均值和方差为[Xt | Fs]=Xs+Ztsq（u）（λv（u）+u）- v（u）Γv（u）du，（9）Var[Xt | Fs]=Ztsq（u）∑∑q（u）du。（10） 特别是，XT | Ftis始终正常这一事实意味着e-λXT | Ft]=e-λ（E[XT | Ft]-λVar[XT | Ft]（11），因此从（6）和定理2.1可以推断出wt=fWt=supv∈πdet[t，t]E[XT | Ft]-λVar【XT | Ft】. （12） 这证明了众所周知的CARAoptimization确定性等价值与Markowitz均值-方差（M-V）优化值函数的相等性，以及当所考虑的最优均衡过程均为正态分布时，它们的最优策略的一致性。在实践中，对于机构投资者来说，企业违约概率（DP），即XT<0的概率，可能比方差更适合作为风险度量，因为它提供了需要控制的不良情景的更多信息。

在Bachelier模型中，确定性策略遵循的正态性意味着在任何时间范围内[t，t]，平均方差（M-V）标准问题M-VVV（t，t，q，x，E）：=最小值∈πdet[t，t]Var[XT | Ft]（13）受E[XT | Ft]=E和平均违约概率（M-DP）标准问题M-DPWDP（t，t，q，x，E）：=minv∈πdet[t，t]P[XT<0 | Ft]（14）受E[XT | Ft]=E影响，当E[XT | Ft]=E>0时，均采用相同的最优交易策略求解。这是因为只要E[XT | Ft]>0是固定的，P[XT<0 | Ft]在Var[XT | Ft]中严格增加。此外，如果v*（λ） 表示（12）和X的优化器*T（λ）是它所达到的最优公平，那么v*（λ） 还优化了问题（13），前提是E=E（λ）：=E[X*T（λ）| Ft]，以及（14），如果加上E（λ）>0。由于默顿最优问题（4）始终满足Bellman的动态规划原则，其最优策略是“时间一致的”，这意味着为任意两个周期（t，t）和（s，t）计算的最优策略总是在交叉点（s）上重合∨t、 t）]。另一方面，众所周知（]）均值-方差优化通常是时间不一致的，从一次开始的最优适应策略通常不会在以后出现最优。令人惊讶的是，定理2.1结合方程式12表明，在目前的情况下，如果优化限于确定性策略，则平均方差和平均违约概率问题（13）和（14）实际上是时间一致的。以下结果汇总了这些关系。推论2.1.1。对于任何固定的时间范围【t，t】，设E（λ）=E【X】*T（λ）| Ft]是为最优策略v计算的预期权益值*（λ） 具有风险规避参数λ的CARA投资问题（12）的。设E和E是E（λ）的上确界和上确界，当λ变化超过[0，∞). 然后：1。