论泡沫的起源

直觉上，我们可以这样想。如果我们把一个布朗粒子放在一个盒子里，使盒子越来越小，布朗粒子的速度的方向和大小都变得完全不确定，就像（欧几里德时间）量子力学粒子一样。最后，我们要提到的是，上述使用二叉树的不确定性原理的推导基本上可以原封不动地移植到path INTEGR al语言中（见下文）。在这里，我们还计算了换向器的路径积分期望值（34的l.h.s.），它在路径积分中是时间顺序的。在解路径积分时，我们遵循与上述相同的过程。4.2.2不确定性原理的不等式形式在此之前，我们以交换关系的形式讨论了金融背景下的海森堡不确定性原理（34）。然而，大多数人——至少是非物理学家——将不确定性原理与类型（21）的不平等联系在一起，我要感谢奥林多·科拉迪尼（OlindoCorradini）指出了这种视觉化。在路径积分语言中（例如，参见[Baaquie，2007]，[Kakushadze，2015b]），我们必须指定积分度量。这转化为我们在定义上述离散化d速度时对中点的对流选择。在一定程度上，最终答案与这些细微差别无关。这源于量子力学中的（20）。从（34）开始，我们能否在金融环境中得出类似的不平等？答案是肯定的，但这很棘手。假设（21）的答案只是σxσv，这是错误的≥ 1/2。这有两个原因。首先，在量子力学（21）中，使用波函数的非离子推导。如上所述，在金融环境中，没有其他功能。其次，在量子力学中，算符Bx和bp是厄米的。

在财务方面，它们不是（至少，bv不在坐标表示中–见上文）。事实上，需要定义σx和σv。令人高兴的是，我们不需要波函数来定义σx和σv。让我们坚持坐标表示。假设x的值，即Z，有一个可归一化的概率密度P（x）∞-∞dx P（x）=1（39）也就是说，我们有一个局部配置，一个ndx*=Z∞-∞dx x P（x）（40）σx=Z∞-∞dx（x- x个*)P（x）（41）具有有限σx。在不丧失一般性的情况下，我们可以设置x*= 通过移动原点0。σv呢？注意ψx*（x） in（37）是densityP（x）的一个特定示例。如（38）所示，我们可以通过bv P（x）=v（x）P（x）（42）定义v（x），因此，回顾（35），我们有v（x）=-Q′（x）（43），其中Q（x）=ln（P（x））和Q′（x）=Q（x）/x、 现在我们可以定义*=Z∞-∞dx v（x）P（x）（44）σv=Z∞-∞dx（v（x）- v*)P（x）（45）即，在坐标表示中，通常复数波函数ψ（x）描述概率振幅，而其绝对值平方|ψ（x）|（isreal value）是概率密度和r∞-∞dx |ψ（x）|=1（即，对于空间定位配置–对于非定域配置，如纯动量状态（23），面积更复杂；然而，出于我们的目的，我们不需要深入研究这些细节）。然后通过hbAi=R计算厄米特运算符ba的预期值o∞-∞dxψ*（x） bAψ（x），其中bA被假定为右侧的ac t（到ψ（x）），和ψ*（x） 是ψ（x）的复共轭。更一般地，也就是说，不在坐标表示中，量子态由ket向量|ψi（及其共轭bra向量hψ|，hψ|ψi=1）描述，算符平均值通过hψ| bA |ψi（bA作用于右侧）计算。

出于我们的目的，坐标表示支持。注意，（44）中的被积函数是一个到tal的导数，所以v*= 0（作为P（x→ ±∞) → 0）。因此，我们有（我们设置x*= 0）σx=Z∞-∞dx xP（x）（46）σv=Z∞-∞dx[Q′（x）]P（x）（47）Cauchy-Schwartz不等式立即暗示σxσv≥Z∞-∞dx x Q′（x）P（x）= 1（48），其中最后一个等式从（39）开始，Q′（x）P（x）=P′（x）。我们有σxσv≥ 1（49）这是金融环境中不确定性原则的（不平等版本）。回到我们的例子（37），我们得到σx=2。另一方面，v（x）=符号（x）/，因此对于x>x，v（x）=1/*, v（x）=-x<x时为1/*, v*= 0，v（x）=1/，σv=1/。因此，对于拉普拉斯密度（37），我们有σxσv=√另一方面，如果我们取G高斯密度P（x）=exp(-（十）-x个*)/2）/√2π，我们得到σx=，v（x）=（x-x个*)/所以σv=1，不等式（49）是饱和的：σxσv=1。使（48）中的不等式饱和的必要和有效条件是xP（x）=αQ′（x）P（x）=αP′（x），因此是高斯分布（α=常数）。4.2.3 1/2去了哪里？但是等等！在量子力学的背景下，在（21）中，r.h.s.的1/2因子发生了什么变化？（49）中没有。怎么会这样？没有波函数！在量子力学中，我们研究的是波函数ψ（x），而不是概率密度P（x）。因此，我们有（x=hxi，p=hbpi）：x=Z∞-∞dxψ*（x） xψ（x）（50）σx=Z∞-∞dxψ*（十）(x） ψ（x）（51）p=Z∞-∞dxψ*（x） bpψ（x）=-i ~ Z∞-∞dxψ*（x） ψ′（x）（52）σp=Z∞-∞dxψ*（十）(bp）ψ（x）=Z∞-∞dx公司|bpψ（x）|（53），其中x=x-x、 以及bp=bp- p（我们在（53）中按部分进行了整合）。回想一下，在比较量子力学和金融环境时，我们将~/m设为1。首先要注意的是，通常p 6=0。实际上，设ψ（x）=ρ（x）exp（iφ（x）），其中ρ（x）和φ（x）是实数。

ThenZ公司∞-∞dxρ（x）=1（54）p=~ Z∞-∞dxρ（x）φ′（x）（55）因此，相位φ（x）中的梯度通常产生非零平均动量。其次，我们仍然可以应用Cauchy-Schwartz不等式：σxσp≥Z∞-∞dxψ*（十）x个bpψ（x）（56）直接计算yieldsZ∞-∞dxψ*（十）x个bpψ（x）=i~+~Z∞-∞dx（x-x） ρ（x）φ′（x）（57），其中1/2的因子源于部分积分和使用（54）。（57）的r.h.s.上的第二项是实的，因此我们得到了著名的不等式σxσp≥~（58）由于量子力学中的归一化条件是（54）而不是（39），因此在（58）的r.h.s.上产生了1/2的额外因子。换言之，在量子力学中，我们处理（复波函数的）绝对值平方，而不是概率密度，而在金融中，我们直接处理概率密度。然后，在量子力学中，按部分积分会产生1/2的额外因子。5结论性意见在本说明中，我们以一种教学方式讨论了股票价格的长期效应，即i）正向定义和ii）内在波动。特别是，通过将预期收益视为“平均”与“最有可能”不一样来预测股票价格的长期行为，是一种误导，后者才是影响长期的因素。这可以归结为这样一个事实，即股票价格不是正态分布，而是具有倾斜的长尾（高端）分布，从而导致对预期价格的过度加权贡献，从而产生错觉效应。

在这方面，曼哈顿房地产的高度倾斜世界提供了一个恰当的类比：看平均房地产价格基本上是无用的，因为它们被相对较少的高端房地产所扭曲，用塔勒布（Taleb，2010）的话说就是“黑天鹅”。关于金融泡沫的讨论可以在【Sornette和Cauwels，2014】中找到。我们还讨论了价值的局部（短期）影响（不考虑价格的正确定性），也就是说，类似于金融中的不确定性原则。之前有工作在财务续文中暗指不确定性原则；然而，除了书中的附录【Baaquie，2007】之外，这些都是间接性质的，与量子力学粒子和布朗运动之间的简单ma p没有直接关系，其中不确定性原理是在更复杂的环境中使用路径积分公式推导出来的。这里我们只使用一个简单的二叉树，尽管如上所述，在路径积分公式中，在完成整个路径积分机制之后，最后一步的实际计算与我们在此讨论的基本相同。我们基于二叉树的简单推导的优点是：i）无需使用路径积分使事情复杂化；与布朗运动的联系是明确的。此外，正如我们在上文中详细解释的那样，金融不平等（49）与金融不平等（58）不同，没有1/2的系数（参见【Baakie2007】）。致谢我要感谢彼得·卡尔和阿尔贝托·伊格莱西亚斯，感谢他们的讨论激发了这篇文章。我要感谢奥林多·科拉迪尼对欧几里德量子力学中测不准原理的解释。参考Baaquie，B.E。

（2007）《Quantum Finance：期权和利率的路径积分和Hami l toni ans》。英国剑桥：剑桥大学出版社，第99-101页。Biane，P.（2010）It^o随机演算和海森堡交换关系。随机过程及其应用120（5）（2010）698-720。Black，F.a and Scholes，M.（1973）《期权定价与公司负债》。《政治经济杂志》81（3）：637-6 59。海森堡，W.（1927年）–《运动和机械的定量研究》中的anschaulichen博士。Zeitschrift f¨ur Physik 43（3-4）：172-198。Kakushadze，Z.（2015a）关于阿尔法的起源。Hed ge基金杂志108:47-50。在线提供：http://ssrn.com/abstract=2575007.Kakushadze，Z.（2015b）路径积分与资产定价。定量金融15（11）：1759-1771。在线提供：http://ssrn.com/abstract=2506430.See例如，【Biane，2010年】【Power s，2010年】【Soloviev和Saptsin，2011年】。Kennard，E.H.（1927）Zur Quantenmachik einfacher Bewegungstypen。Zeitschrift f¨ur Physik 44（4-5）：326-352。Miller，M.H.和Modigliani，F.（1961）《股息政策、增长和股票估值》。《商业杂志》34（4）：411-433。Power，M.R.（2010）《风险融资中的不确定性原则》。《风险金融杂志》11（3）：245-24 8。Protter，P.（2013）《金融泡沫的数学理论》。巴黎普林斯顿数学金融讲座（斯普林格数学讲稿）2081:1-108。Sharpe，W.F.（1966）共同基金业绩。《商业杂志》39（1）：119-138。Sharpe，W.F.（1994）夏普比率。《投资组合管理杂志》21（1）：49-58。Soloviev，V.和Saptin，V.（2011）《海森堡测不准原理和基本物理量的经济模拟用途》。计算机建模与新技术15（3）：21-26。Sornette，D.和Cauwels，P.（20 14）金融泡沫：机制和诊断。瑞士金融研究所研究论文，第14-28号。塔勒布，N.N。

黑天鹅：极不可能的影响。纽约州纽约市：兰登书屋（第二版扩充版）。Weyl，H.（1928）Gruppentheorie and Quantenmachik。德国莱比锡：Hirzel。Wick，G.C.（1954）Bethe-Salpeter波函数的性质。物理。修订版。96（4）：1124-1134。表1:4416种股票的fκiF值总结，基于香草回归指数、横截面减分回归指数和回归指数。r、 t.对数资本加权“市场”基准和returnseRisw。r、 t.上限加权“市场”基准k（详见第3.1小节）。另见图1、2、3和4。第一Qu.=第一个四分位数，第三Qu.=第三个四分位数，St-Dev=标准偏差，MAD=平均绝对偏差。数量最小第一季度中位数平均第三季度最大StDev MADRis-22.65-2.577 0.134 1.096 4.05 7 46.45 5.672 4.700eRis-18.91-1.514 2.278 4.373 8.55 7 47.57 8.373 6.798bRis-19.13-1.637 2.059 4.107 8 4 47.19 8.232 6.610Ris-31.55-3.491-0.656 0.27 0 3.406 39.58 6.527 4。885表2：带截距的κiover ln（Ci）横截面回归汇总，其中Ci是市值（样本外）。详见3.1小节。估计标准误差t-stat-istic OverallIntercept-10.598 0.8465-12.52ln（Ci）0.5655 0.0407 13.88Mult/调整。R平方0.0418/0.0416F-统计192.7表3：κiover ln（Ci）加10BICS扇区的横截面回归汇总（无截距–截距包含在二进制加载矩阵中OhmBICS扇区的iαasPα=1Ohmiα≡ 1），其中Ci是市场帽（样品外）。详见3.1小节。估计标准误差t-stat-istic总体Ln（Ci）0.6348 0.0393 16.13消费者Discr。

-11.515 0.8449-13.63能源-15.881 0.8775-18.10医疗保健-11.286 0.8253-13.68财务-9.8602 0.8231-11.98工业-13.176 0.8422-15.65材料-14.215 0.8766-16.21通信-13.214 0.8998-14.69消费品-10.415 0.9271-11.23公用事业-12.023 1.0054-11.96技术-12.546 0.8339-15.04Mult/调整。R平方0.1692/0.1671F-统计81.57表4：10个BIC部门的股票计数。在第二列中，股票代码的总数为4416，与表1相同。在第三列中，除去80个账面价值为0的股票和159个账面价值为负的股票后，股票总数为4177。详见3.1小节。行业计数国家消费者自由支配593 563能源376 357医疗572 511财务1010 955工业442 426材料297 284通信254 230消费者主食177 171公用事业102 100技术y 5 93 580表5：κiover ln（Ci）和X的横截面回归总结，其中Ci是市值（样本外），a和X在第一个子表中是P/B（待记账价格，样本外），在第二个子表中是B/P（记账价格，与P/B相反），在第三个子表中是P/B日志。股票编号为4177。详见3.1小节。估计标准误差t-统计量超线性系数-10.09 0.8647-11.67ln（Ci）0.542 0.0416 13.04P/B-6·10-53·10-4-0.224Mult/调整。R平方0.0392/0.0387F-统计85.05截距-10.307 0.9219-11.18ln（Ci）0.5496 0.0431 12.76B/P 0.1007 0.1454 0.692Mult/调整。R平方0.0393/0.0388F-统计85.27截距-10.463 0.8712-12.01ln（Ci）0.5730 0.0426 13.46ln（P/B）-0.2967 0.0905-3.277Mult/调整。

R平方0.0416/0.0412F-统计90.61表6：κiover ln（Ci）、10个双因素和市盈率对数的横截面综合汇总（无截距-见表3），其中Ci是市盈率（样本外），市盈率是市盈率（也样本外）。详见第3.1小节。估计标准误差t-stat-istic总体Ln（Ci）0.6318 0.0413 15.30消费者Discr-11.253 0.8656-13.00能源-15.725 0.9050-17.38医疗-10.875 0.8450-12.87财务-9.5871 0.8565-11.19工业-13.065 0.8657-15.09材料-14.026 0.9037-15.52通信-13.047 0.9250-14.11消费品-10.193 0.9469-10.76公用事业-11.887 1.0341-11.50技术-12.304 0.8530-14.42ln（P/B）-0.1660 0.0934-1.777摩尔/调整。R平方0.1772/0.1748F-统计量74.74-20 0 20 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08卡帕密度图1。基于Ris的κI密度（见表1）。-20 0 20 400.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07卡帕密度图2。κIBase-oneRis的密度（见表1）。-20 0 20 400.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07卡帕密度图3。基于κI的onbRis密度（见表1）。-20 0 20 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08卡帕密度图4。基于Ris的κI密度（见表1）。