论泡沫的起源

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On Origins of Bubbles》
---
作者：
Zura Kakushadze
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We discuss - in what is intended to be a pedagogical fashion - a criterion, which is a lower bound on a certain ratio, for when a stock (or a similar instrument) is not a good investment in the long term, which can happen even if the expected return is positive. The root cause is that prices are positive and have skewed, long-tailed distributions, which coupled with volatility results in a long-run asymmetry. This relates to bubbles in stock prices, which we discuss using a simple binomial tree model, without resorting to the stochastic calculus machinery. We illustrate empirical properties of the aforesaid ratio. Log of market cap and sectors appear to be relevant explanatory variables for this ratio, while price-to-book ratio (or its log) is not. We also discuss a short-term effect of volatility, to wit, the analog of Heisenberg\'s uncertainty principle in finance and a simple derivation thereof using a binary tree.
---
中文摘要：
我们以一种教学的方式讨论了一个标准，即某一比率的下限，因为当股票（或类似工具）在长期内不是一种好的投资时，即使预期回报为正，也可能发生这种情况。根本原因是价格是正的，并且具有倾斜的长尾分布，再加上波动性，导致长期不对称。这与股票价格中的泡沫有关，我们使用一个简单的二叉树模型来讨论，而不用借助随机演算机制。我们说明了上述比率的经验性质。市值和行业的对数似乎是该比率的相关解释变量，而市盈率（或其对数）则不是。我们还讨论了波动性的短期效应，即金融学中海森堡不确定性原理的类似物，以及使用二叉树对其进行的简单推导。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Physics        物理学
二级分类：High Energy Physics - Theory        高能物理-理论
分类描述：Formal aspects of quantum field theory. String theory, supersymmetry and supergravity.
量子场论的形式方面。弦理论，超对称性和超引力。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Physics        物理学
二级分类：Quantum Physics        量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
--

---
PDF下载：
--> On_Origins_of_Bubbles.pdf (224.32 KB)

2022-5-26 19:10:19 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Mathematical distribution Applications mathematica

关于BubblesZura Kakushadze的起源§+1§QuantigicrSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，S tam f ord，CT 06905+第比利斯自由大学商学院和物理学院240，David Agmashenebeli Alley，第比利斯，0159，乔治亚州（2016年8月27日）摘要我们讨论了一个标准，这是一个特定比率的下限，因为当一只股票（或类似的工具）在长期内不是一个好的投资，即使预期回报为正，也可能发生这种情况。根本原因是价格是正的，并且具有倾斜的长尾分布，再加上长期不对称的波动性结果。这与股票价格泡沫有关，我们使用一个简单的二叉树模型来讨论这个问题，而不用借助随机演算。我们说明了上述比率的经验性质。市值和部门的对数似乎是该比率的重要解释变量，而市盈率（或其对数）不是。我们还讨论了波动性的短期影响，即海森堡金融不确定性原理的模拟和使用二叉树的简单推导。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，也是第比利斯自由大学的全职教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER：通讯作者使用此地址的唯一目的是按照出版物惯例表明其专业职责。

特别是，本文件的内容不打算作为投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表QuantigicSolutions LLC（网站www.quantigic）的观点。或其任何附属公司。1介绍风险和回报是投资的两个组成部分。因此，基于我们现有数据中的一些考虑因素，我们已经获得了预期回报（我们可以在未来的某个时候通过投资于一个iveninstrument来合理预期回报）。如果预期回报为正且有保证，那么这是一个没有限制的因素：我们投资并收获回报。然而，生活中几乎没有什么事情是可以逃避的（除了死亡和税收）。我们的投资很可能承担一些风险，在某些情况下可以根据历史数据进行估计。问题是，风险和回报之间是否存在一种关系，可以告诉我们一项投资是否“好”呢？Sharpe Ratio【Shar pe，1994年】提供了这种关系的简单衡量方法。对于归一化常数（见下文），它只是预期回报率与波动率（或已实现回报的历史标准差）的比率。然而，夏普比率取决于计算夏普比率的时间范围。E、 日均预期收益率和波动率为我们提供了日均夏普比率，该比率平均较低（由√d、 其中d≈ 252是一年中交易天数的近似值，如果我们关注股票的话），而不是年度夏普比率。如果每日预期收益率和波动率在时间上没有太大变化，则夏普比率为√时间范围为。

因此，思考夏普比率的一种实用方法是，如果年化夏普比率为2，那么给定年份的亏损概率小于约2.3%（假设非正态分布的实现回报率，也就是说，这可能是牵强的——见下文）。那么，这是一个简单的标准吗？它告诉我们，基于预期回报率和波动率，从长期来看，一项投资是否（不）值得？答案是肯定的，至少在某些假设下是这样。它涉及到什么构成了一种工具价格中的泡沫。此后，为了数学上的具体化，我们将重点关注股票。然而，我们的讨论适用于更广泛的文书。有大量关于股票价格泡沫的文献（参见[Protter，2013]及其参考文献），其中利用了严格局部鞅和随机微积分机制的复杂概念。在这里，我们故意避免这种复杂性。我们的目的是尽可能简单直观地讨论这个问题，我们的讨论是为了教学，因此它绝不是对任何事物的有力数学推导。我们用一个简单的二叉树来说明我们的要点。那么，什么是股价泡沫？这很棘手。除其他外，这取决于时间范围。让我们关注大的时间范围。如果在时间t=0时，股票价格大于其公平市场价格，那么我们就有了泡沫*作为t→ ∞. 问题是，这个公平的市场价格是多少*? 这就是波动性的来源。例如，参见【Sharpe，1966年】。或者，它是一个“坏”的。回想一下68-95-99.7规则：如果x是一个具有平均值u和标准偏差σ的正态分布变量，那么我们有以下概率：Pr（u-nσ≤ x个≤ u+nσ）=Pn，P≈ 68.27%，P≈ 95.45%，P≈ 99.73%。夏普比率等于n（即u=nσ）时的亏损概率，则iseP=（1- Pn）/2。

所以，我们有≈ 15.9%，eP≈ 2.3%，eP≈ 0.14%。然而，这并没有考虑杠杆率、追加保证金、投资者撤资和其他此类细微差别。想象一下，仅仅是一秒钟，股票价格遵循一种随机游走（或aBrownian运动）。然后，如果股票价格的预期值是恒定的（即股票过程是鞅），那么持有股票似乎是一件理性的事情：有50-50%的机会赚钱/亏损。然而，股票价格是正的，这使得所有的差异。这些价格不是正态分布，但在高端具有倾斜的长尾分布。因此，如果股票过程遵循几何布朗运动，则价格为对数正态分布。如果预期价格是恒定的（一个大幅度），这不再意味着有50-50%的机会盈利/亏损。事实上，在这种情况下，最有可能的长期价格是零！也就是说，投资于一只预期值与价格相符的股票肯定会赔钱！股票必须具有非零漂移ν（其中，其预期值gr在大t时为exp（νt）），以便对股票进行投资。下限ν>ν*漂移由ν给出*= σ/2。因此，我们可以定义比率κ=2νσ（1），除非κ>1，否则我们不应长期投资（非股息支付）股票。ppa通常未在财务中命名的比率κ是无量纲的，与夏普比率不同，它独立于时间范围（如果ν和σar e）。因此，股票价格的正性（正如许多正价值数量的情况一样）导致了其分布的偏斜，再加上股票的波动性，造成了长期的不对称，“平均”与“最有可能”并不相同，而后者才是重要的，尽管有时可能是遵循的前一种（行为）。

我们在第2节中使用一个简单的二叉树模型来讨论这一点，包括股息支付股票。在第3节中，我们将这些问题联系在一起，并给出了（以非详尽的方式，仅用于说明目的）在5个季度的时间范围内，针对美国股票的广泛横截面，比率κ的一些经验性质。我们发现，市值和部门的对数似乎是rκ的相关解释变量，但市盈率（或其对数）不是。κ的实际值大多为1级，但具有相当大的可变性。在第4节中，我们切换方向，讨论波动性的短期效应，即海森堡金融不确定性原理分析。布朗运动是由一个自由的量子力学粒子通过所谓的Wick旋转从普通时间到欧几里德时间得到的。量子力学位置x（t）映射到布朗运动过程wt，速度v（t）映射到其导数wt/dt。我们讨论了如何构建量子力学算符分析，以及如何推导（使用二叉树）不确定性原理，并解释了时间顺序的关键作用。我们在第5节简要总结。这是不现实的，因为价格必须是正的。但要和我们在一起。或者，我们可以考虑那里的离散时间版本。在这种情况下，股息不会产生差异的天真直觉是误导性的。以及【Kakushadze，2015a】中的一般非技术性论点。我们在分析中使用彭博行业分类系统部门。2二叉树模型在本节中，我们将讨论一个简单的离散时间二叉树模型，我们将用它来说明股票的一些长期特性。我们的初始时间为betinit=t=0，最终时间为tfin=tN=t。L et tn=nτ，n=0，1。

，N，是N+1个时间离散点，其中τ=T/N。我们将取N>> 1，soτ<< T现在考虑一个进程Wnwhere，用于每个0≤ n<n，从其值Wn开始，与时间tn之前的历史无关，该过程在时间tn+1时只能取两个值，即Wn+1=Wn+√概率为p的τ，或Wn+1=Wn-√τ，概率q=1- p、 在不丧失一般性的情况下，让我们假定W=0。然后Wnis e（Wn）=（p）的平均值（即预期值）- q）√τn.对于p=q=1/2，过程wn具有消失期望，即它是一个无漂移随机游动。否则，如果p=[1+u√τ] ，其中u6=0，我们有E（Wn）=unτ=utn，所以u是漂移。另一方面，由于Xn=Wn- 西尼罗河-1独立于Wn-1，方差Var（Wn）=E（Wn）- [E（Wn）]=nVar（X）=tn[1- uτ]。在连续时间限制内，取N→ ∞ 和τ→ 0在保持T固定的情况下，Wn只不过是一个单位波动率和漂移等于u的布朗运动。Wn过程既有正值，也有负值，因此不适合建模股票价格。为了避免这种情况，让我们考虑过程sn=Sexp（σWn）（2），这里σ是常数对数波动率。期望值E（Sn）=Sp exp（σ√τ） +q exp(-σ√τ）n=Sexp（νtn）（3），其中漂移ν=τlncosh（σ√τ） +u√τsinh（σ√τ）（4） 当τ<< 1/σ（连续时间限制），我们有ν≈ σu+σ。2.1示例：无漂移。因此，假设漂移ν=0，即期望值e（Sn）=Sis，与时间tn无关。此过程称为鞅。天真的是，持有一只用这种无漂移过程来描述价格的股票可能看起来无伤大雅：平均而言，它的价值保持不变。

然而，这是一种假象，其根源在于这一过程是严格正态且对数正态分布的。事实上，ν=0总是意味着u<0，即Wn具有负漂移，或者，等效地，出现降压的概率q（即，Wn+1=Wn-√τ） 大于Wn升压的概率（即Wn+1=Wn+√τ） ：q>p。因此，asT→ ∞, 始终为WN→ -∞ 概率为1，我们的股票价格以概率1变为0。所以，持有这样的股票肯定会让你赔钱！也就是说，在连续统极限下。2.2漂移下限基于上述情况，很明显，为了避免我们的股票在长期内失去价值，我们必须有u≥ 这转化为漂移ν的下限≥ ν*=τlncosh（σ√τ）≈σ（5），其中最后一个近似等式适用于小τ<< 1/σ。因此，长期持有一只股票在财务上没有什么意义，除非它的漂移超过下限*, 尽管事实上，平均而言，股票价格上涨了任何正ν。这是因为当我们有一个偏态概率分布时，“平均”与“最有可能”不同，在这种情况下，它是低g-正态的（在极限τ内→ 0）。不同的是，预期值（3）在某种意义上是“误导性的”，因为它从不可能的路径收到了巨大的影响——由于Sn的指数性质。在这方面，我们可以定义“有效漂移”νeff=ν- ν*:νeff=τln1+u√τtanh（σ√τ）≈ σu（6）νeffix的含义是它排除了概率分布的偏斜性质（对数正态）。

综上所述（2），很明显，当大的、最可能的路径Sn=eSnexp（φn）围绕确定性“路径”eSn=Sexp（σE（Wn））=Sexp（σutn），且次级结构φn |=O（σ√tn）（假设|u|~>σ、 就是这样，例如，如果我们有ν=0）。2.3包括股息在内，我们假设我们的股票不支付股息。如果是呢？天真地，运用莫迪利亚尼-米勒定理——或者更确切地说，它与股息相关的部分【米勒和莫迪利亚尼，196 1】——股息似乎不应该影响我们上面的讨论。标准的论点是，如果股票支付股息，如果我们在支付股息时购买更多的股票进行再投资，这相当于没有支付股息的股票，因此股息应该没有区别。然而，当我们考虑股票的长期价值时，这里有一个微妙之处。因此，如果我们对股息进行再投资，那么情况确实如此，就好像股票不支付股息一样。在这种情况下，股票的长期价值为零，概率为1，除非漂移ν≥ ν*, 其中，ν的定义如上所述，即股息的内部收益率。然而，如果我们不进行再投资，而是将支付的股息存入一个无风险的储蓄账户（我们只是假设该账户不支付利息或产生任何费用），那么即使从长期来看股价为零，我们最终还是会得到一些现金。让我们根据二叉树对其进行量化。为了简单起见，我们假设在每个日期tn，n>0，股票支付股息，这是股票价格的固定fr动作d。一、 每个tnis anex股息日。我们可以通过模拟股票价格- d] nSexp（σWn）（7）截止日期tn收到的累计股息dn由sumDn=dnXm=1给出[1- d] m级-exp（σWm）（8）我们可以很容易地计算出期望值E（Dn）。

然而，正如E（Sn）一样，E（Dn）是“误导性的”，因为它没有考虑概率分布的偏斜性质，即它不对应于最可能的路径。我们可以通过简单地替换Wmvia E（Wm）=utmin（8）：eDn=dnXm=1来确定与最可能路径相对应的dn的估计值[1- d] m级-1exp（σuτm）=d exp（σuτ）1- 经验值(-ητn）1- 经验值(-ητ）S（9），其中η=-τln（1- d）- σu（10）Letd=τδ。那么，在ητ<< 1和ηtn>> 1，我们有（假设σu<δ）：eDn≈Δδ- σuS≈Δδ- νeffS（11）当u=0（即νeff=0）时，我们得到n=S[1- （1）- d） n]，因此，渐进地，“最有可能”我们（大约）通过股息支付收回我们或最初的投资。当u<0（即νeff<0）时，我们得到S的分数。当u>0（即νeff>0）时，我们仅从股息中赚钱。用期望值E（Dn）=dnXm=1[1]对此进行控制是有指导意义的- d] m级-1exp（ντm）=d exp（ντ）1- 经验值(-ξτn）1- 经验值(-ξτ）S≈Δδ- νS（12），其中ξ=-τln（1- d）- ν≈ δ- ν（13）预期值E（Dn）是“误导性的”，因为它高于与最可能的pat hs相对应的估计值n。结果是，如果我们不进行再投资，而是把现金藏起来，那么股息就会有所不同。这同样是由于“平均”和“最可能”之间的差异。注意ln（1- d） 必须是O（τ）作为τ→ 0获得正确的连续股息率δ。考虑这一点的一种补充方式是在期权定价的背景下。如上所述，让我们假设利率为零。考虑一个欧洲看涨期权，执行价格k=砂成熟度T。根据Black-Scholes定价模型【Black和Scholes，1973年】，该期权的价格为Vc=Serf（σ√电话/2√2） 。作为T→ ∞, Vc公司→ S