论泡沫的起源

因此，尽管无风险概率测度下的股票过程（用于计算期权价格）具有恒定的期望E（St）≡ S（在连续时间t中），在遥远的将来以价格购买股票的期权不是零（“naive”答案），而是全价S。这是因为在这种无风险措施下，股票价格以概率1 a S t为零→ ∞.3这与气泡有什么关系？简单的回答是：“一切！”以无股息股票为例。天真的人认为只要漂移ν≥ 我们不会长期亏损，因为它的预期值（Sn）不会下降，这是错误的。如上所述，除非νeff≥ 0，最有可能的结果是股票价格将长期归零。一、 例如，除非νeff>0，或等效地，ν>ν，否则投资无股息股票没有什么财务意义*≈σ。那么，股价的大幅波动从何而来？自始至终，我们假设一个自由市场，价格由供需决定。供求关系有两个来源：投资者和发行股票的公司。“投资者”广义上是指市场参与者，包括发行公司以外的公司，它们可以通过并购、投标等方式影响股价。投资者可以通过购买股票来提高股价，也可以通过出售或做空股票来降低股价。发行公司可以通过发行更多股票来降低其股票价格，或通过回购等方式提高股票价格。如果发行公司没有做类似的事情，即不提供或购买股票，那么价格由投资者设定。投资者可能理性，也可能理性，可能理性，也可能理性，可能理性，也可能理性，也可能理性，也可能理性，也可能理性。

无论哪种情况，由于公司没有现金流入股票，即公司没有通过回购等方式直接利用其收益影响股票价格，因此价格和任何漂移都完全取决于投资者对公司收益信息和其他可能相关信息的感知和解释。现在，除非ν≥ ν*, 该股票的长期价格可能为零。因此，假设nodividends、回购等，如果ν<ν*, 我们有一个泡沫。简单地说，投资者持有的是剪纸。事实上，情况更糟。它具有庞氏骗局的所有元素。即使ν≥ ν*. 事实上，由于发行公司不会以任何方式、形状或形式将资金返还给投资者，因此当前投资者对任何未来收益的希望完全基于未来投资者对当前投资者对收益的感知和解释等。因此，除非≥ ν*, 我们有一个泡沫。而且，由于发行公司没有任何现金流入股票，投资者必须支付“溢价”ν*在漂移ν中，“溢价”完全是由于股票的风险。设κ=νν*≈2νσ（14）第0近似值中的拆分和股息不应影响调整后的股价，尽管在第0近似值之外可能存在“非理性”/行为影响。就s的含蓄性而言，我们在这里忽略它，因为它不会影响我们的主要观点。根据美国证券交易委员会（SEC），我们bsitehttp://www.sec.gov/answers/ponz i.htm，“庞氏骗局是一种投资欺诈，涉及从新投资者提供的资金中向现有投资者支付所谓的回报。”SEC进一步澄清：“由于合法收益很少或根本没有，庞氏骗局需要新投资者持续不断的资金流动才能继续。

当难以招募新投资者或大量投资者要求退出时，庞氏骗局往往会崩溃。”预期值κ<1的股票应避免（甚至做空）。κ的预期值越高，投资股票的赌注就越安全。比率κ是无量纲的，显然没有在财务背景下命名。因此，它与计算它所依据的时间尺度无关。3.1经验属性研究股票比率κ的一些经验属性很有意义，包括可能对其有统计意义的任何解释变量。对于更长的期限，人们可能会期望，例如，帐面价格变动io（P/B）会对此作出贡献。在这里，我们的目的不是对各种时间范围进行详尽的实证研究。相反，我们只讨论一个示例。我们采用2014年3月18日至2015年6月30日（含）美国上市普通股和类别股（无OTC、优先股等）的定价数据（完全调整分割和股息的收盘价），截至2015年6月30日，没有NAsin收盘价、市值数据和BICS（彭博行业分类系统）部门分配，截至2014年3月18日，市值数据中没有NAs。这个宇宙包含4416个股票代码。基于该数据，我们计算每日收盘回报率Ris的时间序列，一个N×K矩阵，其中i=1，N、 s=1，K、 N=4416，K=324。我们使用这些回报通过（14）计算κi（每个股票）。因此，ui=平均值（Ris）（15）σi=Var（Ris）（16），其中平均值和方差是连续的。或者，我们可以使用横截面降级的returnseRis=Ris来代替Ris-NNXj=1Rjs（17）in（15）和（16）。一、 e.这里我们将收益率w.r.t.取为加权平均的“市场”基准k。

另一种选择（在众多其他选择中）是使用回报率w.r.t.alog cap加权“市场”基准：bRis=Ris-PNj=1ln（Cj）RjsPNj=1ln（Cj）（18）假设利息率为零，则比率ν/σ称为风险的市场价格。当完全归一化时（其维数为1/√t） ，这与Sharpe/Information Ratio一致。更准确地说，我们每家公司只保留一个股票代码，这可以是一个类股。我们使用原始收盘价和根据分割和股息进行充分调整的收盘价。这些数据是从http://finance下载的。雅虎。com于2015年7月1日发布。截至2014年3月18日的市值数据已于2014年3月19日预开放下载。“昨日收盘价与今日收盘价”自动返回“时间顺序”。其中，Ci是截至2018年3月4日的市值，因此不在样本范围内。结果总结在表1中，为了进行比较（并记住cap加权基准的“缺点”），我们还给出了κi的计算结果，如（18）中所定义，但ln（Cj）被Ci取代，即返回SW。r、 t.市值加权“市场”基准。巧合的是，在这个特定样本中，基于“香草”回报率的κI的平均值接近1。因此，fκ的值主要是or der 1。他们依靠什么？一个很好的猜测是，市值对数应该是一个很好的解释变量。如上所述，另一个可能尝试的解释变量是P/B（或其日志）；然而，它对κi的预测效果很差。另一方面，扇区是更好的预测因子。

为了看到这一点，我们进行了如下形式的横截面回归：ln（κi）=a+KXi=1bAUiA+εi（19），这里，a是截距的回归系数；bAare是K个解释变量UA（每个变量都是一个N向量）的回归系数，例如，ln（Ci）、二进制扇区列Ohmiα（其中Ohmiα=1，如果由i标记的股票代码属于由α标记的扇区；否则Ohmiα=0）、P/B（或其对数）等（其数字K可以是一个或多个）；εi是回归残差。表2总结了当我们有一个单一解释变量ln（Ci）（回想一下，市值Ci是从2014年3月18日开始计算的，因此它超出样本范围）加上截距时的回归结果。表3总结了当我们有11个解释变量ln（Ci）加上10个BICS部门时的回归结果。此回归中无需包含截距：截距包含在二进制加载矩阵中OhmBICS扇区的iα，因为每个股票代码属于1且仅属于1个扇区，pα=1Ohmiα≡ 1.表3表明，BICS部门是相关的解释变量。它们的加入大大改善了总体R平方（相比之下，只包括截距，截距是与总体“市场”相对应的解释变量，见表2），也改善了市值变量的t统计。接下来，我们将P/B加入到混合中。boo k数据截至2014年3月18日，我们的4416只股票没有NAs。然而，80个股票的账面价值为0，159个股票的账面价值为负。我们将此类股票从下面的回归中排除（因此我们可以采用低市盈率）。回归结果总结在表5和表6中，这明确表明P/B不是κi的良好预测因子，至少在测试的时间范围内（大约5个日历季度）。

另一方面，marketcap和10个BICS部门似乎是κi的更好预测因子（表3）。我们在Ris上使用κIBase。前、后回归相当相似。我们拥有4416台股票，分为177个BICS子行业（粒度最大）和48BICS行业（粒度较小）。10个BICS扇区对应最小粒度级别。该数据于2014年3月19日预开放下载。通常，账面价值=每股账面价值。表4.4海森堡（Heisenberg）的不确定性原则中列出了删除前和删除后BICS部门的股票数量，前面的故事是，由于股票价格是i）正定义和ii）内在波动的，因此通过将预期回报视为“平均”与“最有可能”不同来预测其长期行为是误导性的，后者才是长期的问题。上面我们在一个简单的例子中讨论了这一点，在这个例子中，纬度和漂移都是常数。使这些依赖于时间甚至不确定性只会使数学变得复杂，但关键原则仍然有效。短期行为如何？在短期内，由于地区因素，价格的积极不确定性并不重要。然而，vo-latilityields产生了一个很好的影响：类似于海森堡的金融不确定性原理。4.1量子力学中的测不准原理为了简化讨论，让我们考虑一维经典粒子。其位置由坐标x（t）描述，坐标x（t）取决于时间t。其速度由v（t）=x（t）=dx（t）/dt给出。x（t）和v（t）都是实值的。我们还可以定义动量p（t）=m v（t），其中m是粒子的质量。在没有任何外力的情况下，动量是守恒的（即其时间导数为˙p（t）=0），因此速度是恒定的。

一切都很确定。然而，量子力学却把这幅田园诗般的画面摆在了头上。在所谓的海森堡表示法（又称海森堡图）中，变量x（t）和p（t）不再是实值，而是由运算符bx（t）和bp（t）代替，它们的值取实值。此外，这些算符不可交换，我们有著名的海森堡测不准原理【海森堡，1927】bx（t）bp（t）- bp（t）bx（t）=i~（20），其中~是（约化的）普朗克常数。这意味着icle部分的位置和动量（或相当于速度）不能以有限的精度同时已知【Kennard，1927】，【Weyl，1928】（另见下文）：σxσp≥~（21）其中σx和σpare是在类似制备的量子力学系统上进行的单个测量集合中位置和动量测量精度的标准偏差。只有x或p可以精确测量。4.1.1算子和波函数我们可以很容易地构造算子bx和bp。它们的形式取决于基础或表示。在坐标表示法中，其中bx=x（即，bx通过简单地将此类函数乘以x来作用于x的函数面），我们有bp=-我~所以我们有（20）。对应于本征值p的bp（也称为波函数）的本征函数由（直至归一化常数）ψp（x）=exp（ipx/~）（23）给出。该波函数对应于具有固定动量泵的自由量子粒子。然而，它的位置x是完全任意的，与不确定性原则一致。相反，让我们考虑一个在x处具有固定位置的粒子*. 这必须是运算符bx=x的唯一特征值。

相应的波函数为（达到归一化常数）ψx*（x） =δ（x-x个*) （24）我们可以通过傅里叶变换重写它：ψx*（x） =2π~ Z∞-∞dk exp（ik（x-x个*)/~) （25）当算符（22）作用于该波函数时，所得函数从所有动量k接收分布∈ R： bpψx*（x） =2π~ Z∞-∞dk k exp（ik（x- x个*)/~) （26）这同样符合不确定性原则。4.2金融中的不确定性原则自由量子力学粒子并不完全是我们在金融中所需要的。因此，财务中不存在虚数（或复数）。这也是同样的道理：金融中出现的布朗运动并不等同于通常时间t中的自由量子力学粒子，而是通过所谓的德威克旋转得到的欧几里德时间tE中的自由量子力学粒子：t=-itE[威克，1954年]。在下面，为了便于记法，我们将从tE中删除下标E。在灯芯旋转下，速度V→ 所以动量p→ ip。因此，在欧几里德量子力学中，我们期望以下交换关系（而不是（20））：bx（t）bp（t）- bp（t）bx（t）=~（27），在坐标表示中，bp=-~x（28）代替δ函数，我们可以取其高斯（或其他）近似表达式(-（十）-x个*)/2）/√2π带→ 也就是说，这是一种正则化δ函数的方法。关于最近的详细讨论，请参见se e，例如，【Kakushadze，2015年b】和中的参考文献。一个技术要点：操作符（22）是平面波归一化波函数空间上的厄米数，而（28）不是（它是反厄米数）。然而，与量子力学不同，金融中不存在“波函数”，也不要求（28）作用于平面波，也不存在可劣化的函数。（28）的本征值在作用于一组适当的本征函数（不可平面波归一化）时是实的。

这方面出现了一些微妙之处（见下文）。事实上，出于我们这里的目的，使用velocityoperator bv=bp/m更方便，所以我们有bx（t）bv（t）- bv（t）bx（t）=ζ（29），其中ζ=~/m。然而，财务中没有~或质量m。因此，在金融经济学中，extζ必须有其他解释。我们将看到，确实如此。不确定性原则（29）的一个更“令人不安”的特点可能是，在金融领域，我们不习惯从操作员的角度来思考问题。因此，在连续时间内，我们有实值过程，比如aBrownian运动Wt。那么，为什么事情不会相互转换呢？答案是neatand源于（欧几里德）量子力学中如何解释对易关系（29）（包括在金融环境中如何定义运算符）。这都是关于时间的安排。（29）中的运算符作用于一些函数的空间。对于两个运算符bA（t）和bB（t），乘积bA（t）bB（t）是按时间顺序排列的：bA（t）bB（t）=limη↓0bA（t）bB（t- η） （30）也就是说，在过去的w.r.t.中，操作员总是先行动，然后行动。这就是时间之箭如何内在地刻在量子力学中——事实上，也刻在金融中（见下文）。现在我们可以很容易地计算换向器（29）。让我们回到第2节中的离散时间二叉树模型。所以，timet=tn=nτ（n=0，1，…，n）现在是离散的。我们用过程Wn确定坐标x（t），即x（tn）=Wn。我们还需要确定速度v（t）。

在中点定义它很方便（尽管不是很关键）：vtn+τ=Wn+1- Wnτ（31）因此，根据我们的时间顺序规定，我们需要计算n，n+1=Wn+1vtn+τ- vtn+τWn=τvtn+τ（32）更准确地说，我们需要评估这个表达式的预期：回想thatWn+1- 西尼罗河=√概率为p和Wn+1的τ- Wn=-√τ，概率q=1- p（见第2节）。因此，（32）的期望值是简单的（Gn，n+1）=1（33），即换向器（29）中的ζ=1，因为我们用Wn标识坐标x（t）。然而，请注意，该结果持续在连续时间限制内（τ→ 0，N→ ∞,T=Nτ=固定），因此我们有以下交换关系bx（T）bv（T）- bv（t）bx（t）=1（34）注意，无论dr iftu如何，这都适用。回想一下，p=[1+u√τ] 。之所以可能出现这种情况，是因为速度在连续极限内具有有限的变化。这也不错。在连续时间内，我们用布朗运动过程Wt识别y x（t），用白噪声dWt/dt识别a和v（t）。后者具有有限的方差，因此采用了不确定性原则（34）——财务。4.2.1坐标表示我们可以在坐标表示bx=x：bv=-x（35）其本征函数（非波函数-见下文）的形式为ψv（x）=exp(-vx）（36），其中v为特征值。注意，（36）既不是平面波也不是可压缩的。当速度v固定时，坐标x完全不确定，符合测不准原理。另一方面，如果我们将布朗运动定位在x=x附近*, 我们可以考虑拉普拉斯分布ψx*（x） =2exp-|x个- x个*|（37）那么我们有bvψx*（x） =符号（x- x个*)2扩展-|x个- x个*|（38）并且速度在小极限下完全不确定，这与不确定度原理是一致的。