局部随机模型下欧式和障碍索赔的近似定价

Asτ=∞ 当I=R时，我们从（2.1）中可以看出，这个案例对应于写在X上的欧洲主张。我们从下面的引理开始。引理4.2。设H为以下线性运算符H=bx+ax、 dom（H）=C（R）。下面的holdsHψω=λωψω，ω∈ R、 ψω（x）=√2πeiωx，λω（b，a）=biω–aω。（4.4）此外，我们有hψω，ψγi=δ（ω–γ），hf，gi：=ZRdxf（x）g（x），（4.5），其中δ（ω–γ）是Diracδ函数，f表示f的复共轭。证据这个引理可以很容易地通过直接计算进行检验。提案4.3。设P0,0是由dom（A0,0）=C（R）的A0,0生成的半群。然后我们有p0,0（t，t）f=ZRdωZRdγe∧ω，γ（t–t）hψω，γ，f iψω，γ，（4.6）hf，gi：=ZRdxZRdyf（x，y）g（x，y），其中ψω，γ和∧ω，γ由ψω给出，γ（x，y）=ψω（x）ψγ（y），λω，γ=λω（b，a）+γ（b，a）=u，（σ）, （b、a）=c、 （g）,（4.4）中定义的ψω和λω（b，a）。证据使用引理4.2和ZRdωψω（x）ψω（y）=δ（x–y），可以通过直接计算检查Γ0,0（t，x，y；t；ξ，η）：=ZRdωZRdγe∧ω，γ（t–t）ψω，γ（x，y）ψω，γ（ξ，η），（4.7）满足（4.1），因此是(t+A0,0）。表达式（4.6）后面直接插入（4.7）到（4.2）。现在，从命题4.1中，我们看到（un，k）a是形式的项之和=jYi=1ZTsi–1dsiP0,0（si–1，si）Ani，kiP0,0（sj，T）Дs=T.（4.8）使用（4.6），我们可以写出这些术语asA=ZRdωj+1ZRdγj+1jYi=1ZTsi–1dsiZRdωiZRdγie∧ωi，γi（si–si–1）hψωi，γi，Ani，kiψωi+1，γi+1ihψωj+1，γj+1，Дie∧ωj+1，γj+1（T–sj）ψω，γ。（4.9）虽然多重积分看起来很难实现，但当我们计算元素SHψωi，γi，Ani，kiψωi+1，γi+1i时，我们会看到除了单个积分以外的所有积分都会崩溃，这些元素出现在（4.9）引理4.4中。假设ψω、γ和h·，·i在Propo sition4.3中定义。定义运算符B：=xiyjkx公司ly，（4.10）其中i，j，k，l∈ Z+。然后我们有hψω′，γ′，Bψω，γi=（iω）k（iγ）l（–iω） i（–iγ） jδ（ω–ω′）δ（γ–γ′）。证据

证明是一个简单的计算。回顾ψω，γ=2πeiωx+iγy，我们有hψω′，γ′，Bψω，γi=ZRdxZRdyψω′，γ′（x，y）xiyjkx公司lyψω，γ（x，y）=（iω）k（iγ）lZRdxZRdyψω′，γ′（x，y）xiyjψω，γ（x，y）=（iω）k（iγ）l（–iω） i（–iγ） jZRdxZRdyψω′，γ′ψω，γ（x，y）=（iω）k（iγ）l（–iω） i（–iγ） jδ（ω–ω′）δ（γ–γ′）。其中，在最后一步中，我们使用了（4.5）。备注4.5。Dirac d e lta函数的导数定义如下：ZRdωf（ω）nωδ（ω–ω′）=ZRdωδ（ω–ω′）（-ω） nf（ω）=（–ω′）nf（ω′），其中我们通过部分进行积分。从（3.4）、（3.5）和（3.6）中注意，运算符（An，k）是形式为（4.10）的运算符之和。因此，根据引理4.4和备注4.5，我们可以看到关于ωi和γi的积分i n（4.9），对于i=1，2。j由于Dirac delta函数而崩溃。由于p ayo fff函数Д不依赖于y，因此关于γj+1的积分也会崩溃。对于i=1，2，…，r e spect to sif的迭代积分。j只涉及指数，且始终可以显式计算。因此，关于ωj+1的积分是什么，通常必须通过数值计算（如果ν（x）=xnepx或一些n∈ Z+和p∈ R、 然后可以解析地计算关于ωj+1的积分）。4.2单屏障索赔在本节中，我们考虑案例I=（L，∞), 对应于写在X上的单个屏障kn锁定请求，屏障L<X。情况I=（–∞, U） 对于U>X，可以进行类似处理。Webegin具有以下引理。引理4.6。设H为以下线性运算符H=bx+ax、 dom（H）={f∈ C（I）：极限→Lf（x）=0}，I=（L，∞).下式为hηω=uωηω，ω∈ R+，ηω（x；b，a）=Rπe–bx/（2a）sinω（x–L）, uω（b，a）=–b4a–aω。（4.11）此外，我们有hηω，ηγi=δ（ω–γ），hf，gi：=ZIdx f（x）g（x）m（x），m（x）=ebx/a。（4.12）这里，δ（ω–γ）是狄拉克δ函数。证据

引理可以通过直接计算进行检验。提案4.7。设P0,0由A0,0withdom（A0,0）={f生成的半群∈ C（E）：极限→Lf（x，y）=0}，E=（L，∞) ×R.那么我们有P0,0（t，t）f=ZR+dωZRdγe∧ω，γ（t–t）hψω，γ，f iψω，γ，（4.13）hf，gi：=ZdxZrdyf（x，y）g（x，y）m（x），i=（L，∞),式中，ψω，γ和∧ω，γ由ψω给出，γ（x，y）=ηω（x；b，a）ψγ（y），λω，γ=uω（b，a）+λγ（b，a），（b，a）=u，（σ）, （b、a）=c、 （g）,其中ψγ和λγ如（4.4）所定义，ηω和γω如（4.11）所定义，m如（4.12）所定义。证据使用Lemma4.6，我们通过直接计算检查Γ0,0（t，x，y；t；ξ，η）：=ZR+dωZRdγe∧ω，γ（t–t）ψω，γ（x，y）ψω，γ（ξ，η）m（ξ），（4.14）满足（4.1），因此是(t+A0,0）。表达式（4.13）后面直接插入（4.14）到（4.2）。再次，为了计算（un，k），我们必须检查形式（4.8）的项。使用（4.13），我们写出了这些项asA=ZRdωj+1ZRdγj+1jYi=1ZTsi–1dsiZRdωiZRdγie∧ωi，γi（si–si–1）hψωi，γi，Ani，kiψωi+1，γi+1ihψωj+1，γj+1，Дie∧ωj+1，γj+1（T–sj）ψω，γ，（4.15），其中ψωi，γi和∧ωi，γi如命题4.7所示。注意到Each An，kc可以表示为（4.10）中定义的B形式的算符之和，我们必须计算Hψω′、γ′、Bψω、γi形式的内积。这激发了以下引理。引理4.8。假设ψω、γ和h·、·i在第4.7条中定义，B在第（4.10）条中定义。然后hψω′，γ′，Bψω，γi=（iγ）l（–iγ） jδ（γ–γ′）Cω′，ω，i，k，Cω′，ω，i，k=iXm=0即时消息Li–mC（1）ω′，ω，m，k，（4.16），其中c（1）ω′，ω，m，k=m！πc（e）ω，k（ω+ω′）–m–1–|ω–ω′）–m–1) 罪mπ+m！πc（o）ω，k（ω+ω′）–m–1–符号（ω–ω′）|ω–ω′）–m–1cos公司mπ, （4.17）c（o）ω，k=k+1Xm=1k2m–1（–1）k–mb2a公司k–2m+1ω2m–1，（4.18）c（e）ω，k=kXm=0k2m（–1）k–mb2a公司k–2mω2m。（4.19）证明。

回顾命题4.3中ψ的定义，我们共同计算ψω′，γ′，Bψω，γi=ZIdxZRdy m（x）ψω′，γ′（x，y）xiyjkx公司lyψω，γ（x，y）=（iγ）l（–iγ） jδ（γ–γ′）ZIdx m（x）xiηω′（x）kxηω（x）。（4.20）通过直接计算，我们发现kxηω（x）=rπe–b2axc（o）ω，kcos（ω（x–L））+c（e）ω，ksin（ω（x–L））,其中c（o）ω，kand c（e）ω，kare分别由（4.18）和（4.19）给出。因此，ZIdx m（x）xiηω′（x）kxηω（x）=πZIdx xisinω′（x–L）c（o）ω，kcos（ω（x–L））+c（e）ω，ksin（ω（x–L））=iXm=0即时消息Li–mπZ∞dx xmsin（ω′x）c（o）ω，kcos（ωx）+c（e）ω，ksin（ωx）=iXm=0即时消息Li–mC（1）ω′，ω，m，k，（4.21），其中C（1）ω′，ω，m，kis由（4.17）给出。将（4.21）插入（4.20）给出（4.16）。（3.4）、（3.5）和（3.6）中的注释，运算符An，kar是形式（4.10）的运算符之和。我们从（4.16）中可以看出，（4.15）中对γi，i=1，2，3，······，j的积分将due压缩为Diracdelta函数。由于ν与y无关，关于γj+1的积分也会崩溃。此外，在（4.15）中，关于si，i=1，2，3，····j的迭代积分只涉及sia中的指数，因此可以显式求值。我们只剩下关于ωi的积分，i=1，2，3，·····，j+1，可以用数值计算。4.3双势垒索赔在本节中，我们考虑情况I=（L，U），它对应于写在X上的双势垒敲除索赔，其中势垒L和U满足L<X<U。我们从以下引理开始。引理4.9。设H为以下线性运算符H=bx+ax、 dom（H）={f∈ C（I）：极限→Lf（x）=0，limx→Uf（x）=0}，I=（L，U）。以下为holdsHφl= νlφl, l ∈ Nφl（x；b，a）=rU–Le–bx2asinπl（x–L）U–L, νl（b，a）=–b4a–aπl（U–L）。（4.22）此外，我们还有hφl, φki=δl,k、 hf，gi：=ZIdx m（x）f（x）g（x）。这里，δl,kis是Kronecker del ta函数，m由（4.12）给出。证据

引理可以通过直接计算进行检验。提案4.10。设P0,0由A0,0withdom（A0,0）={f生成的半群∈ C（E）：极限→Lf（x，y）=0，limx→Uf（x，y）=0}，E=（L，R）×R。那么我们有p0,0（t，t）f=∞十、l=1ZRdγe∧l,γ（T–T）hψl,γ、 f iψl,γ、 （4.23）hf，gi：=ZIdxZRdyf（x，y）g（x，y）m（x），I=（L，U），其中ψl,γ和∧l,γ由ψ给出l,γ（x，y）=φl（x；b，a）ψγ（y），λl,γ=νl（b，a）+λγ（b，a），（b，a）=u，（σ）, （b、a）=c、 （g）,（4.4）中给出了ψγ和λγ（b，a），φl和νl在（4.2.2）中给出，m在（4.12）中给出。证据使用引理4.9，我们通过直接计算检查Γ0,0（t，x，y；t；ξ，η）：=∞十、l=1ZRdγe∧l,γ（T–T）ψl,γ（x，y）ψl,γ（ξ，η）m（ξ），（4.24）满足（4.1），因此是(t+A0,0）。表达式（4.23）后面直接插入（4.24）到（4.2）。与欧洲和单屏障情况一样，为了计算函数（un，k），我们必须评估表（4.8）中的术语。使用g（4.23），我们将这些条款写为=∞十、lj+1=1ZRdγj+1jYi=1ZTsi–1dsi∞十、li=1ZRdγie∧li、 γi（si–si–1）hψli、 γi，Ani，kiψli+1，γi+1ihψlj+1，γj+1，Дie∧lj+1，γj+1（T–sj）ψω，γ。（4.25）由于每个An，kis是（4.10）中定义的B形式的运算符之和，我们必须计算hψ形式的项li、 γi，Bψli+1，γi+1i。引理4.11。Letψl,γ和h·，·i在命题4.10中定义，B在（4.10）中定义。

THENψl′,γ′，Bψl,γi=（iγ）l（–iγ） jδ（γ–γ′）Cl′,l,i、 k，（4.26），其中Cl′,l,i、 k=iXm=0即时消息Li–mU–Lπm+1C（1）l′,l,m、 k级l′6=l+ C（2）l,m、 kδl′,l,andC（1）l′,l,m、 k=πm+ΓEm+1c（e）l,keF公司m+1；，m+3；–(l – l′)π（4.27）–πm+ΓEm+1c（e）l,keF公司m+1；，m+3；–(l + l′)π+πm+22（m+2）l′c（o）l,k–lc（o）l,kFm+1；，m+2；–(l – l′)π+πm+22（m+2）l′c（o）l,k+lc（o）l,kFm+1；，m+2；–(l + l′)π,C（2）l,m、 k=πm+2lc（o）l，km+2Fm+1；，m+2；–πl（4.28）–2πm+3lc（e）l，km+4m+3Fm+；，m+；–πlc（o）l,k=rU–Lk+1Xj=1k2j–1（–1）k–jb2a公司k–2j+1πlU–L2j–1，c（e）l,k=rU–LkXj=0k2j（–1）k–jb2a公司k–2jπlU–L2j。这里，Γ分别是Euler-ga-mma函数和Fandefare超几何函数以及正则化超几何函数。证据回顾命题4.10中ψ的定义，我们计算ψl′,γ′，Bψl,γi=ZdxZrdy m（x）ψl′,γ′（x，y）xiyjkx公司jyψl,γ（x，y）=（iγ）l（–iγ） jδ（γ–γ′）ZIdx m（x）xiφl′（十）kxφl（十）。（4.29）我们通过直接计算得出：kxφl（x；b，a）=e–b2axc（o）l,KCO公司lπ（x–L）U–L+ c（e）l,ksin公司lπ（x–L）U–L.因此，我们有zidx m（x）xiφl′（十）kxφl（x）=ZIdx xisinl′π（x–L）U–Lc（o）l,KCO公司lπ（x–L）U–L+ c（e）l,ksin公司lπ（x–L）U–L=iXm=0即时消息Li–mU–Lπm+1Zπdx xmsin(l′x）c（o）l,KCO公司(lx）+c（e）l,ksin公司(lx）=iXm=0即时消息Li–mU–Lπm+1C（1）l′,l,m、 k级l′6=l+ C（2）l,m、 kδl′,l, （4.30）其中C（1）的公式l′,l,m、 kand C（2）l′,l,m、 kare分别在（4.27）和（4.28）中给出。将（4.30）插入（4.29）收益率（4.26）。备注4。12、函数sfandef，出现在C的表达式中l′,l,i、 k，由计算πdx xmsin形式的积分得出(l′x）cos(lx）andRπdx xmsin(l′x）sin(lx）。对于任何一个m，l, l′∈ N、 这些积分等于包含x、正弦和余弦幂的项的有限和（可以通过部分积分看到）。

因此，可以用最小的计算工作量来评估函数Fandefc。（3.4）、（3.5）和（3.6）中的注释，运算符An，kar是形式（4.10）的运算符之和。我们从（4.26）中看到，（4.25）中关于γi，i=1，2，3，·····，j的积分由于Dirac Deltafunction而崩溃。由于ν与y无关，因此关于γj+1的积分也会崩溃。此外，在（4.15）中，关于si，i=1，2，3，·························································································································································································································································································。因此，（4.25）是一个明确的SUM，不需要任何数值积分。备注4.13。抛物算子的基本解(t+A0,0+ρA0,1）可以在我们考虑的所有三种情况（欧洲、单势垒和双势垒）中明确获得。因此，有人可能会奇怪，为什么我们要将操作符A扩展为（x–'x）和（y–'y）的幂，以及sρ的幂（而不是仅扩展为（x–'x）和（y–'y）的幂）。我们展开ρ的i npowers的原因是，在没有展开的情况下，（4.3）中关于s，s，…，的积分，SJ不能在单势垒或双势垒情况下显式计算。因此，通过在ρ中展开，可以避免计算多维数值积分。5准确性结果在本节中，我们确定了欧洲期权正式定价近似值的准确性。为了保证精度，我们先介绍一些加法符号。对于集合E Rd，用Cn表示，1b（E）E上具有全局Lipschitz连续导数且阶数小于或等于n的有界函数的类别。设kf kCn，1b表示∞-n阶f导数的范数。我们也用C–1,1b（E）=L表示∞（E） 我们设置k·kC–1,1b=k·kL∞.

下面的定理证明了在局部随机波动率动力学描述的集合上书写的欧式期权价格的一阶近似值的准确性。定理5.1。考虑情况I=R。支持σ，u，c，g的非负整数N∈CN，1b（R），存在一个正常数M，使得≤ kσkCN，1b，kukCN，1b，kckCN，1b，kgkCN，1b≤ M、 此外，假设∈ Ch–1,1b（R），约0≤ h类≤ 2、那么我们有|（u–'uρ）（t，x，y）|≤ C（T–T）h+1，0≤ t<t，x∈ 一、 y型∈ R、 （5.1）对于N≥ 1，我们有|（u–'uρN）（t，x，y）|≤ C（（T–T）+ρ|）NXi=0 |ρ| i（T–T）N–i+h0≤ t<t，x∈ 一、 y型∈ R、 （5.2）（5.1）和（5.2）中的正常数C仅取决于M、N和kДkCh–1,1b。证据见附录B。建立屏障式索赔的渐近精度仍然是一个悬而未决的问题，原因如下。定理5.1的证明利用了zerothorder欧洲问题的冰核中存在的高斯对称性。这种对称性在单势垒和双势垒情况下都不存在，因此无法应用相同的技术来证明准确性。在下一节中，我们将在几个数值示例中探讨我们对barri-er式索赔的应用程序模拟的准确性。6数值示例6.1 Heston模型在本节中，我们对具有Heston dynamicsHeston（1993）的基础S=Ext进行定价近似。具体而言，我们假设（X，Y）s atis dxt=–Ytdt+pYtdWt，dYt=κ（θ–Yt）dt+δpYtdBt，dhW，Bit=ρdt，其中2κθ≥ δ使得Y过程保持严格的正。在我们的数值实验中，我们考虑了具有以下参数的双势垒淘汰调用s和put fixedxyk Tρκθδ0.62 0.0 4。62 0.083-0.4 1.15 0.04 0.2其中EK代表罢工，T代表到期日。

我们首先考虑看涨期权支付（x）=（ex–eK）+，下限L=0固定，上限U>K变化。我们计算了一小时的零阶和二阶价格近似值uρ和uρ以及“精确”价格u，我们通过蒙特卡罗模拟得到了这些价格。在图1中，我们绘制了零阶和二阶近似值的误差u–‘uρ和u–‘uρ，作为上势垒u的函数。为了了解误差的大小，我们还绘制了图2中的精确价格u作为u的函数。在图3和图4中，我们为看跌期权支付（x）=（eK–ex）+提供了类似的p批次，上势垒U=1固定，同时改变下势垒L<K。我们从图s1和图3中可以看出，对于几乎所有级别的看跌期权和看涨期权，U的近似值比Uρ的近似值更精确。备注6.1。出于以下原因，我们省略了图1和图3中的一阶近似值“uρ”。与| uρ–| uρ–| uρ|相比，差值| uρ–| uρ|很小，因为当支付函数Д仅依赖于x时（在调用和放置支付函数的情况下），我们有u0,1=0。因此，我们近似中的第一个相关校正项出现在u1,1的第二阶。由于A.6.2 CEV模型系数的y依赖性，与第一次校正相比，包括第一次相关校正的影响更大。在本节中，我们对具有方差恒定性（CEV）DynamicBox（1975）的S=Ext进行了定价近似。具体而言，我们假设X满足dxt=–σe2Xt（γ–1）dt+σeXt（γ–1）dWt。其中σ>0，γ>0。我们考虑使用以下参数fixedxk Tσγ0.62 0.6 2 0.083 0.32 0.019的双屏障敲出期权和认沽期权，其中ek表示行使，T表示到期日。我们首先考虑看涨期权支付（x）=（ex–eK）+，下限L=0固定，上限U>K变化。

我们分别计算了零和二阶价格近似值uA和u，以及通过蒙特卡罗模拟得到的“精确”价格u。注意，我们省略了u和u中的su perc criptρ，因为相关性在局部波动设置中不起作用。在图5中，我们将第零阶和第二阶近似值的误差u–‘u’和u–‘uO’绘制为上势垒u的函数。为了了解误差的大小，我们还在图6中绘制了精确的价格u作为u的函数。在图7和图8中，我们为看跌期权提供了类似的p批次，其中上势垒U=1固定，而下势垒L<K。我们从图s5和图7中可以看出，在看涨期权和看跌期权的情况下，二阶近似优于二阶近似。7结论在本文中，我们提出了一种在局部随机波动率环境下欧洲和壁垒式索赔的形式化定价近似。我们为欧式索赔提供了严格的准确度结果。我们还提供了几个数值例子，说明了我们对屏障式索赔的近似方法的准确性和多功能性。未来的研究将集中于将我们的技术扩展到其他路径依赖的派生，如回溯和方差风格的声明。致谢作者感谢Stefano Pagliarani和Andrea Pascucci对本手册的有益反馈。命题证明4.1在本节中，我们提供命题证明4.1。命题证明4.1。我们首先注意到，通过将Duhamel原理应用于（3.9）和（3.10），公式（4.3）适用于（n，k）=（1，0）和（n，k）=（0，1）。接下来，假设一个n归纳假设，对于非负整数n和k，n+k≥ 1公式（4.3）适用于非负整数对（m，j），使得m+j≤ n+k。