局部随机模型下欧式和障碍索赔的近似定价

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英文标题：
《Approximate pricing of European and Barrier claims in a local-stochastic
  volatility setting》
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作者：
Weston Barger, Matthew Lorig
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We derive asymptotic expansions for the prices of a variety of European and barrier-style claims in a general local-stochastic volatility setting. Our method combines Taylor series expansions of the diffusion coefficients with an expansion in the correlation parameter between the underlying asset and volatility process. Rigorous accuracy results are provided for European-style claims. For barrier-style claims, we include several numerical examples to illustrate the accuracy and versatility of our approximations.
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中文摘要：
在一般的局部随机波动率环境下，我们推导了各种欧式和障碍式索赔的价格的渐近展开式。我们的方法将扩散系数的泰勒级数展开与标的资产和波动过程之间的相关参数展开相结合。为欧式索赔提供了严格的准确度结果。对于屏障式索赔，我们提供了几个数值示例来说明近似值的准确性和多功能性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Approximate_pricing_of_European_and_Barrier_claims_in_a_local-stochastic_volatil.pdf (331.82 KB)

2022-5-26 19:56:03 上传

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关键词：随机模型 Mathematical coefficients Quantitative mathematica

局部随机波动设置中欧式和障碍式索赔的近似定价Weston BargerMatthew LorigyThis version:2018July 10 Abstractwe推导了在一般局部随机波动率设置下，一系列欧洲和屏障式索赔的价格的渐近展开式。我们的方法将差分系数的泰勒级数展开与基础资产和波动性过程之间的相关参数展开相结合。为欧式索赔提供了严格的准确度结果。对于屏障式索赔，我们提供了几个数值例子来说明近似值的准确性和多功能性。1引言屏障式权利要求是最依赖于液体路径的权利要求之一。由于壁垒式索赔通常比欧洲同行更便宜，因此前者在投机者中很受欢迎，他们希望押注市场走势，同时利用壁垒式索赔带来的较低价格。然而，尽管障碍式索赔在全球范围内广泛使用，但其价格仍然具有挑战性。在其里程碑式的著作中，默顿（1973）是第一个以封闭形式对下跌和出局看涨期权进行估值的人，当时标的股票遵循几何布朗运动（GBM）。在GBM或类似GBM的设置中，障碍索赔存在各种静态对冲结果。例如，在GBM框架中，Bowie和Carr（1994）表明，与bar rier L的向下和向外看涨期权的回报可以通过以相同的基础期货价格购买欧洲看涨期权，并以相同的到期日T和行权K，同时以行权L/K出售K/L看跌期权来弥补。Carr等人（1998）证明，这种静态对冲在任何具有局部波动性的模型中都有效，假设波动率函数在期货价格相对于障碍的对数中是对称的。Carr和Lee（2009）明确指出，对称条件只是辅助条件，但并非必要条件。

上述跌停买入的套期保值有效，前提是没有越过障碍，且买入和卖出在第一次通过障碍时具有相同的隐含波动率，这一条件称为卖出买入对称性（PCS），贝茨（1988）将其引入融资中，作为衡量偏度的一种方法。最近，Carr和Nadtochiy（201 1）展示了如何静态地为一般类别的局部华盛顿大学应用数学系。电子邮件：wdbarger@uw.eduyDepartment华盛顿大学应用数学系。电子邮件：mlorig@uw.eduvolatility型号。Carr和Lorig（2015）为barrier-s风格的价格和波动性索赔开发了半静态套期保值。不幸的是，上述限制性对称条件禁止在标的由最常用于定价欧洲期权的任何模型描述时应用静态对冲结果：CEVCox（1975）、Heston Heston（1993）和SABR Hagan et al.（2002）。对于这些模型，已经开发了许多封闭式定价公式，并且相关的对冲策略是动态的。Davydov和Linetsky（2001）使用特征函数扩展在CEV设置中的价格壁垒式索赔。假设p-rice与波动率驱动过程之间的相关性为零，则已知随机波动率模型中的基础可以表示为随时间变化的GBM。因此，在零相关设置中，障碍期权可以通过傅里叶正弦级数（对于双b arrier期权）或via Forier正弦变换（对于单障碍期权）进行定价，只要随机方差过程的时间积分的拉普拉斯变换以闭合形式已知。

这一点已在Ulhaber（2002）中针对Hestonmodel进行了研究，p可使用Antonov和Spector（2012）的结果在SABR模型中进行恢复，但详细的文献检索未发现任何进行过零相关性SABRcomputati的论文。零相关随机波动率模型产生了对称的隐含波动率微笑，与股票市场的经验证据不一致，其中微笑表现出很强的一次性倾斜。因此，重要的是允许基础与波动驱动过程相关联。当相关系数非零时，障碍期权价格的封闭式公式不可用，通常采用摄动方法。例如，Lipton et al.（2014）通过在一个小参数中展开价格来确定近似的障碍期权价格，该参数等于快速均值回复波动率设置下的时间相关性。和Lorig（2014）对一系列多尺度随机波动率模型的barrieroptions和Other索赔进行了评估（seeFouque et al.（2011），以查看这些模型）。Lipton et al.（2014）和Fouque et al.（2011）的方法不能应用于CEV或SABR设置中，而Orig（2014）的结果要求在价格过程和相应的快速和慢速波动因素之间分离时间尺度，这在某些市场中可能不现实。在本文中，我们考虑一类非常普遍的loca l-随机波动率模型，其中自然包括CEV、Heston和SABR模型。我们通过将底层的最小生成元的系数扩展为一个关于固定点的泰勒级数，找到了巴里r型索赔的近似价格。

Taylorseries展开法最初是在Agliarani和Pascucci（2012）的标量差离子设置中为Eu-rop-ean类型的c laims开发的，后来在Lorig et al.（2015b）和Lorig et al.（2015a）中扩展到d维差分。将Lorig等人（2015a）开发的方法扩展到Rd的严格子集中的Rdto微分时，出现了一个重大的数学挑战。特别是在Rd中，微分的零阶近似转换密度由高斯核给出。高斯核是前向变量和后向变量差值的函数。前向变量和后向变量之间的这种对称性大大简化了获得高阶跃迁密度对应关系所需的计算。然而，对于Rd的一个严格子集，零阶跃迁密度近似值将不再是向前和向后变量差异的函数。因此，需要进行更高阶的计算，以对过渡密度进行修正。剩余的pa per收益如下。在第二节中，我们介绍了一个一般的局部随机波动模型，并描述了我们想要解决的期权定价问题。在第3节中，我们发展了期权价格的渐近展开。这种扩展导致了一系列嵌套的PDE问题，我们在第4节中明确地解决了这些问题。在第5节中，我们建立了欧式期权近似的渐近精度。最后，在第6节中，我们提供了几个关于屏障式索赔定价近似值的数值说明，并将我们的结果与通过蒙特卡罗模拟获得的价格进行了比较。第7.2节市场模型提供了一些结论性意见。我们认为市场定义在一个完整的、过滤的概率空间上(Ohm, F、 F=（英尺）t≥0，P）。

这里，度量值P表示市场选择的pr结冰度量值。设S=（St）t≥0是风险资产的价值。我们假设S的动力学由t=f（Xt），dXt=u（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dWt，dYt=c（Xt，Yt）dt+g（Xt，Yt）dBt，dhW，Bit=ρdt给出。其中函数f必须为正，严格递增，C。过程W=（Wt）t≥0和B=（Bt）t≥0是具有常数相关ρ的无漂移（P，F）-布朗运动∈ （–1，1）。我们假设（X，Y）=（Xt，Yt）t的动力学≥0使得（X，Y）h是唯一的强解，至少直到某个区间I的X的首次退出时间为止 R、 为简单起见，我们将无风险利率设为零。因此，为了排除套利的可能性，风险资产必须是鞅。因此，控制x漂移的函数u必须满足u=–f′σ2f′。通过计算df（Xt）并将dt项设置为零，可以很容易地导出u上的条件。f的典型选择是f（x）=ex，在这种情况下u=–σ，或f（x）=x，在这种情况下u=0。我们有兴趣计算bar rier式索赔的价格，该索赔在到期日T的支付由支付函数给出：1{τ>T}Д（XT），τ=inf{T≥ 0:Xt/∈ 一} ，（2.1）其中I是R中的区间。对于势垒L<x的单势垒索赔，我们有I=（L，∞). 对于双势垒索赔，我们有I=（L，U），其中L<X<U。我们还对I=R的可能性很低，这对应于欧洲对X的索赔。备注2。当I 6=R时，形式（2.1）的支付是淘汰式支付。淘汰式支付是形式支付：1{τ≤T} ^1（XT）。（2.2）众所周知，带赔款（2.2）的敲入索赔的价值等于带赔款（XT）的欧洲索赔的价值减去带赔款（2.1）的敲出索赔的价值。

因此，通过对敲打式和欧佩恩式索赔进行定价，我们也可以对敲打式s型索赔进行定价。在时间t，索赔的价值v与支付f（2.1）≤ T由vt=1{τ>T}u（T，Xt，Yt），u（T，x，y）：=E给出{τ>T}Д（XT）| XT=x∈ 一、 Yt=y, （2.3）在温和条件下，（2.3）中定义的函数u是KolmogorovBackward方程0=(t+A）u，u（t，·）=Д，（2.4），其中A，即（X，Y）的发生器，由A=u（X，Y）明确给出x+σ（x，y）x+c（x，y）y+g（x，y）y+ρσ（x，y）g（x，y）x个y、 定义为作用于两次可微且满足一定边界条件dom（a）：={g的函数∈ C： 林克斯→Ig（x，y）=0}。这里我们使用旋转I表示I的最终终点。例如，如果I=（L，∞), 然后A满足limxLg（x，y）=0的函数。通过这个例子，我们假设（2.4）存在唯一的经典解。我们的目标是找到PDE（2.4）的解决方案u。由于一般系数（u，σ，c，g）不存在（2.4）的显式解，因此我们都会寻求u.3形式渐近展开式的显式近似。在本节中，我们将给出u的形式渐近展开式。为了便于理解，让我们引入一些符号。对于A的任何系数，我们定义χε（x，y）：=χ（\'x+ε（x–\'x），\'y+ε（y–\'y）），χ∈ {u，σ，c，g，σg}，其中（\'x，\'y）是一个固定点，ε∈ [0，1]。接下来，我们引入一个算子Aε，ρ，由Aε显式给出，ρ=με（x，y）x+（σ）ε（x，y）x+cε（x，y）y+（g）ε（x，y）y+ρ（σg）ε（x，y）x个y、 其中d om（Aε，ρ）：=dom（A）。现在，考虑一系列PDE问题，指数为（ε，ρ）0=(t+Aε，ρ）uε，ρ，uε，ρ（t，·，·）=Д。（3.1）注意到Aε，ρ|ε=1=A，根据（2.4）和（3.1）得出，uε，ρ|ε=1=u。

因此，我们不是直接寻求PDE问题（2.4）的近似解，而是通过将uε、ρ展开为ε和ρ的幂来寻求PDE问题（3.1）的近似解，如下所示uε、ρ=∞Xi=0∞Xj=0εiρjui，j，（3.2），其中函数s（ui，j）（目前）未知。一旦我们获得了uερ的近似值，我们将通过设置ε=1来获得u的近似值。假设A中的系数是解析的。我们稍后将看到，我们获得的u doe的近似值不需要这个假设。然而，将此作为假设简化了表示，因此我们将暂时继续。由于A的系数是解析的，因此wehaveAε，ρ=∞Xn=0εnAn，0+ρAn，1, （3.3）An，0=un（x，y）x+（σ）n（x，y）x+cn（x，y）y+（g）n（x，y）y、 （3.4）An，1=（σg）n（x，y）x个y、 （3.5）其中d om（A0,0）：=dom（A），并引入了符号χn（x，y）：=n！dndεnχε（x，y）ε=0=nXi=0i'xn–i'yχ（'x，'y）i！（n–i）！（x–'x）i（y–'y）n–i，（3.6）表示χ∈ {u，σ，c，g，σg}。观察到χ是关于点（\'x，\'y）的χ的泰勒级数展开中的n阶项。将展开式（3.2）和（3.3）插入到偏微分方程问题（3.1）中，并收集ε和ρ具有相同幂的项，我们得到o（1）：0=(t+A0,0）u0,0，u0,0（t，·，·）=Д，（3.7）O（εnρk）：0=(t+A0,0）un，k+nXi=0kXj=0（1–δi+j，0）Ai，jun–i，k–j，un，k（t，·，·）=0。（3.8）为清楚起见，我们明确给出了最低阶项he reO（ε）：0=(t+A0,0）u1,0+A1,0u0,0，u1,0（t，·，·）=0，（3.9）O（ρ）：0=(t+A0,0）u0,1+A0,1u0,0，u0,1（t，·，·）=0，（3.10）O（ε）：0=(t+A0,0）u2,0+A2,0u0,0+A1,0u1,0，u2,0（t，·，·）=0，O（ερ）：0=(t+A0,0）u1,1+A1,1u0,0+A1,0u0,1+A0,1u1,0，u1,1（t，·，·）=0，O（ρ）：0=(t+A0,0）u0,2+A0,1u0,1+A0,2u0,0，u0,2（t，·，·）=0。上述计算激发了以下定义。定义3.1。设u为偏微分方程问题（2.4）的唯一经典解。

我们将uρN定义为uρN（t，x，y）：=NXi=0iXj=0εjρi–juj，i–j（t，x，y）（\'x，\'y，ε）=（x，y，1），（3.11），其中u0,0满足（3.7）和un，k满足（3.8）（n，k）6=（0，0）。备注3.2。观察到，我们在（3.11）中设置了ε=1，因此，参数εp在‘uρN’的定义中不起作用。事实上，ε的引入仅仅是为了在上述形式的渐近展开中解释ol。由于ε未出现在原始PDE问题（2.4）中，因此不应出现在u的近似值中。备注3.3。请注意，我们在（3.11）中设置了（(R)x，y）=（x，y）。这通常是一个混淆点，我们希望澄清应该如何处理。首先，应解决嵌套PDE问题（3.7）–（3.8）的顺序，并固定（\'x，\'y）。为了明确起见，让我们将O（εnρk）PDE的解表示为u'x，'yn，k。如果对点（x，y）处的u的近似值感兴趣，则应计算和（3.11）中的u'x，'yn，k（x，y）|（'x，y）=（x，y）。选择（\'x，y）=（x，y）的原因如下。扩散的小时间行为主要由扩散起点（x，y）附近的扩散系数几何结构决定。反过来，点（x，y）附近任何函数的最精确泰勒级数展开是以（\'x，\'y）=（x，y）为中心的泰勒级数展开。备注3。4、如前所述，不需要分析A的系数。索引d，构造n阶近似值uρNone只需要k的运算符Ak，jk≤ N、 因此，u的N阶近似仅要求A的系数为CN。4显式表达式在本节中，我们提供了计算uρN（u的N阶近似值）所需函数（un，k）的显式表达式。我们首先回顾了Duhamel原理。

设Γ0,0为p元算子的基本解(t+A0,0）。即0=(t+A0,0）Γ0,0（·，·，·；t，ξ，η），Γ0,0（t，·，·；t，ξ，η）=Δξ，η。（4.1）Duhamel原理指出，唯一经典解为0=(t+A0,0）u+f，u（t，·，·）=h，由u（t，x，y）=P0,0（t，t）h（x，y）+ZTtds P0,0（t，s）f（s，x，y）给出，其中我们引入了P0,0由A0,0生成的半群，定义如下P0,0（t，s）Д（x，y）=ZIdξZRdη0,0（t，x，y；s，ξ，η）Д（ξ，η），（4.2）其中0≤ t型≤ s≤ T、 提案4.1。设函数（un，k）为DE问题嵌套序列（3.7）–（3.8）的唯一类解。然后，省略空间参数（x，y）以简化符号，函数u0,0由u0,0（t）=P0,0（t，t）Д给出，其中P0,0在（4.2）中定义，对于（n，k）6=（0，0），我们有n，k（t）=n+kXj=1XIn，k，jZTtdsZTsds··ZTsj–1dsj（4.3）P0,0（t，s）An，kP0,0（s），An，k··P0,0（sj–1，sj）Anj，kjP0,0（sj，t）Д，带in，k，jgiven byIn，k，j=n、 ····，njk，····，kj！∈ Z2×j+n+····+nj=n，k+···+kj=k，1≤ ni+ki，适用于所有1≤ 我≤ j.证据见附录A。为清楚起见，我们在此给出了最低阶项u1,0（t）=ZTtdsP0,0（t，s）A1,0P0,0（s，t）Д，u0,1（t）=ZTtdsP0,0（t，s）A0,1P0,0（s，t）Д，u2,0（t）=ZTDSZTSDSP0,0（t，s）A1,0P0,0（s，t）Д+ZTTDS0,0（t，s）A2,0P0,0（s，t）Д，u1,1（t）=ZTtdsZTsdsP0,0（t，s）A0,1P0,0（s，s）A1,0P0,0（s，t）Д+ZTtdsZTsdsP0,0（t，s）A1,0P0,0（s，s）A0,1P0,0（s，t）Д+ZTtdsP0,0（t，s）A1,1P0,0（s，t）Д，u0,2（t）=ZTtdsZTsdsP0,0（t，s）A0,1P0,0（s，s）A0,1P0,0（s，t）Д+ZTtdsP0,0（t，s）A0,2P0,0（s，t）Д。为了进一步进行，我们必须明确指定半群P0,0的作用。我们将考虑这些独立案例：欧盟ropean索赔、单一障碍索赔和双重障碍r索赔ms.4.1欧洲索赔在本节中，我们考虑案例I=r。