局部随机模型下欧式和障碍索赔的近似定价

定义bn，k：={（i，j）| 0≤ 我≤ n、 0个≤ j≤ k，1≤ i+j≤ b} 。将D uhamel原理应用于（3.8），我们可以看到UN+1，k=ZTtdsP0,0（t，s）n+1Xi=0kXj=0（1–δi+j，0）Ai，jun–i+1，k–j=ZTtdsP0,0（t，s）X（i，j）∈An+k+1n+1，kAi，jun–i+1，k–j=ZTtdsP0,0（t，s）An+1，kP0,0（s，t）Д+X（i，j）∈An+k+1n+1，kn+k-i-j+1Xl=1XIn-i+1，k-j，lZTtdsZTsds··ZTsl-1dslP0,0（t，s）Ai，jP0,0（s，s）A（n-i+1），（k-j）··P0,0（sl-1，sl）A（n-i+1）l，（k-j）lP0,0（sl，t）Д，（A.1），其中（A.1）遵循我们的归纳假设。对（A.1）中的和进行重新排序，我们得到UN+1，k=ZTtdsP0,0（t，s）An+1，kP0,0（s，t）Д+n+kXl=1X（i，j）∈An+k–l+1n+1，kXIn–i+1，k–j，lZTtdsZTsds··ZTsl–1dslP0,0（t，s）Ai，jP0,0（s，s）A（n–i+1），（k–j）··P0,0（sl–1，sl）A（n–i+1）l，（k–j）lP0,0（sl，t）Д。（A.2）接下来，注意in+1，k，l=[（i，j）∈An+k–l+1n+1，k（i nn···nl–1j kk···kl–1.nn···nl–1kk···kl–1.∈ In–i+1，k–j，l–1） 。（A.3）因此，将（A.3）与（A.2）相结合，我们得到UN+1，k=ZTtdsP0,0（t，s）An+1，kP0,0（s，t）Д+n+kXl=1XIn+1，k，l+1ZTtdsZTsds··ZTsl–1dslP0,0（t，s）A（n+1），kP0,0（s，s）A（n+1），k··P0,0（sl–1，sl）A（n+1）l+1，kl+1P0,0（sl，t）^1。重新标记（s、s、s、···、sl) → （s，s，···，s）l+1） 重新编制索引并给定Sun+1，k=ZTtdsP0,0（t，s）An+1，kP0,0（s，t）Д+n+k+1Xl=2XIn+1，k，lZTtdsZTsds···ZTsl–1dslP0,0（t，s）a（n+1），kP0,0（s，s）a（n+1），k··P0,0（sl–1，sl）a（n+1）l，klP0,0（sl，t）Д=n+k+1Xl=1XIn+1，k，LZTL TDSZTSDS···ZTsldslP0,0（t，s）A（n+1），kP0,0（s，s）A（n+1），k···P0,0（sl-1，sl）A（n+1）l，klP0,0（sl，t）~n，对于（n+1，k）情况为（4.3）。（n，k+1）的证明是类似的。B定理5.1的证明在本节中，我们证明定理5.1。我们的策略是根据我们目前的情况调整inLorig et al.（2015a）的渐近精度证明。因此，许多定理5.1所需的命题和引理源自Lorig等人的类似命题和引理。

（2015a）。在本节中，我们将t z=（x，y），\'z=（\'x，y）和ζ=（ξ，η）作为R的元素。还可以为操作符A和An，k引入多索引符号。我们有A=x |α|≤2aα（z）Dαz，An，k=Xα∈Akaα，n（z）Dαz，A={（1，0），（0，1），（2，0），（0，2）}，A={（1，1）}，其中α=（α，α）∈ A.∪ A、 |α|=α+α，Dαz=αz在证明定理5.1之前，我们需要一些初步结果。下面，我们用Γ表示与抛物算子对应的基本解(t+A）。引理B.1。对于任何δ>0和α，β∈ N带β≤ N+2，我们有（z–ζ）αDβzΓ（t，z；t，ζ）≤ C·（T–T）|α|–|β| bΓ（T，z；T，ζ），0≤ t<t，z，ζ∈ I×R，（B.1）和（z–ζ）αDβζ（t，z；t，ζ）≤ C·（T–T）|α|–|β| bΓ（T，z；T，ζ），0≤ t<t，z，ζ∈ I×R，（B.2），其中BΓ是算子的基本解(t+（M+δ）(z+z） ，而C是仅依赖于M、N、δ和|β|的正常数。证据结果（B.1）是（Lorig等人，2015a，引理6.21）。通过检查Kolmogorov正演方程，可以看到线性（B.2）。以下因素也会有所帮助。设a和b为常数，如a，b≥ 1/2。然后，对于0≤ t<TZTtds（t–s）a（s–t）b=ΓE（a+1）ΓE（b+1）ΓE（a+b+2）（t–t）a+b+1，（b.3），其中Γ是Euler gamma函数。提案B.2。在定理5.1的假设下，对于任何多指数β∈ 我们有Dβzu0,0（t，z）≤ C·（T–T）min{h–|β|，0}，0≤ t<t，z，z∈ R、 （B.4）如果N≥ 1，则对于任何n，k∈ N、 1个≤ n+k≤ N、 我们有Dβzun，k（t，z）≤ C·（T–T）n+h–|β|1+| z–| z | n（T–T）–n, 0≤ t<t，z，z∈ R、 （B.5）（B.4）和（B.5）中的常数仅取决于M、N、|β|和kΝkCh–1,1b。证据该证明与（Lorig等人，2015a，引理6.24）的证明是一致的。提案B.3。i的定义≥ 0Aρi：=Ai，0+ρAi–1,1，\'Aρn：=nXi=0Aρi，（B.6）uρn：=nXi=0εiρn–iui，n–iε=1，（B.7），约定A–1,1=0。

然后对于N≥ 0，我们有（u–‘uρN）（t，z）=ZTtdsZRdζ（t，z；s，ζ）NXi=0（A–‘Aρi）uρN–i（s，ζ）。（B.8）证明。我们会证明(t+A）（u–'uρN）+NXi=0A–AρiuρN–i=0，（u–'uρN）（T，·）=0，（B.9），其中（B.8）后面是应用Duhamel的pr incipal。请注意，如果我们显示(t+A）(R)uρN=NXi=0A–AρiuρN–i，（B.10），因为(t+A）u=0且u（t，·）=uρN（t，·）=Д。根据方程式（3.7）、（3.8）、（B.6）和（B.7），我们可以推断(t+A0,0）uρn+nXi=1Aρiuρn–i=0。（B.11）我们现在通过诱导来展示（B.10）。当N=0时，由于uρ=(R)uρ，我们有(t+A）’uρ=A–Aρuρ。现在假设（B.10）适用于N≥ 那么我们在（B.11）中得到(t+A）(R)uρN+1=(t+A）(R)uρN+(t+A）uρN+1=NXi=0A–AρiuN–i+A–AρuρN+1–N+1Xi=1AρiuρN–i+1=N+1Xi=1A–Aρi–1uρN–i+1+A–AρuρN+1–N+1Xi=1AρiuρN–i+1=N+1Xi=0A–AρiuρN–i+1。因此，（B.10）适用于所有N。我们现在可以证明T heorem 5.1。定理5.1的证明。从（B.6）和（B.8）中，我们得到（u–’uρN）（t，z）=NXk=0ZTtdsZRdζ（t，z；s，ζ）A–kXj=0Aj，0+ρAj–1,1N–kXi=0ρiuN–k–i，i（s，ζ）。（B.12）设Taαk（z）是aα（z）的第k个泰勒多项式近似，其约定为Taα–1（z）=0。我们将（B.12）改写为（u–'uρN）（t，z）=NXk=0N–kXi=0ρi+1ZTtdsZRdζa（1,1）–Ta（1,1）k–1（ζ） Γ（t，z；s，ζ）D（1,1）ζuN–k–i，i（s，ζ）+NXk=0N–kXi=0Xα∈AρiZTtdsZRdζaα–Taαk（ζ） Γ（t，z；s，ζ）DαζuN–k–i，i（s，ζ）=NXk=0N–kXi=0ρi+1J（1）i，k+NXk=0N–kXi=0ρiJ（2）i，k，1+J（2）i，k，2, （B.13）其中j（1）i，k：=ZTtdsZRdζa（1,1）–Ta（1,1）k–1（ζ） Γ（t，z；s，ζ）D（1,1）ζuN–k–i，i（s，ζ），J（2）i，k，1：=X |α|≤1ZTtdsZRdζaα–Taαk（ζ） Γ（t，z；s，ζ）DαζuN–k–i，i（s，ζ），J（2）i，k，2：=X |α|=2α6=（1,1）ZTtdsZRdζaα–Taαk（ζ） Γ（t，z；s，ζ）DαζuN–k–i，i（s，ζ）。我们首先考虑J（1）i，k。我们不认为J，0=0，因为根据惯例A–1，1=0。

对于k≥ 1，我们按零件进行整合，以获得|α|=|α|=1，J（1）i，k=–ZTtdsZRdζhDαζa（1,1）–Ta（1,1）k–1（ζ） Γ（t，z；s，ζ）ihDαζuN–k–i，i（s，ζ）i。根据乘积规则a和（B.2），在z=’z处进行评估得出| J（1）i，k |≤ CZTtdsZRdζ| z–ζ| k–1Γ（t，z；s，ζ）DαζuN–k–i，i（s，ζ）+ CZTtdsZRdζ| z–ζ| k | DαzΓ（t，z；s，ζ）|DαζuN–k–i，i（s，ζ）.应用（B.1）和（B.5）得出| J（1）i，k |≤ CZTtdsZRdζbΓ（t，z；s，ζ）（s–t）k–1（t–s）N+h–k–i–11+| z–ζ| N–k–i（T–s）N–k–i≤ CZTtdsh（s–t）k–1（t–s）N+h–k–i–1+（s–t）N–i–1（t–s）h–1iZRdζbΓ（t，z；s，ζ）≤ C（T–T）N+h–i.（by（B.3））类似的参数显示| J（2）i，k，1 |≤ C（T–T）N+h–i+2，| J（2）i，k，2 |≤ C（T–T）N+h–i+1，对于0≤ k≤ N、 当N=0时，J（1）i，k=0，那么由（B.13）我们得到|（u–'uρ）（t，z）|≤ C（T–T）h+1。当N≥ 1，通过（B.13），我们得到了|（u–'uρN）（t，z）|≤ CNXk=0N–kXi=0|ρ| i+1（T–T）N–i+h+|ρ| i（T–T）N+h–i+1≤ C（（T–T）+ρ|）NXk=0N–kXi=0 |ρ| i（T–T）N–i+h=C（（T–T）+ρ|）NXk=0（N–k+1）|ρ| k（T–T）N–k+h≤ C（（T–T）+ρ|）NXk=0 |ρ| k（T–T）N–k+h，这证明了定理5.1。参考Antonov，A.和M.Spector（2012年3月）。sabr模型的高级分析。SSRN。Bates，D.（1988年）。崩溃溢价：不对称过程下的期权定价，应用于德意志马克期货期权。宾夕法尼亚大学工作文件。Bowie，J.和P.Carr（1994，8）。静态简单性。危险Carr，P.、K.Ellis和V.Gupta（1998年）。奇异选项的静态hedg。《金融杂志》53（3），1165–1190。Carr，P.和R.Lee（2009年）。Put调用对称：扩展和应用程序。数学金融1 9（4），523–560。Carr，P.和M.Lorig（2015年8月2日）。针对价格和波动性的壁垒式索赔进行了稳健的复制。ArXiv电子打印。Carr，P.和S.Nadtochiy（2011年）。时间同质差异下的统计套期保值。暹罗金融数学杂志2（1），794–838。Cox，J.（1975）。

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