模糊条件下的稳健Markowitz均值-方差投资组合选择

给定投资组合策略α∈ A、 首字母大写x∈ R、 自筹财富过程Xα的演化由dxαt=α给出tdiag（St）-1dSt=αt型bdt+dBt），0≤ t型≤ T、 Xα=X，PΘ- q、 s.（2.2）注释2.3给出α∈ A、 （2.2）的PΘ-拟必然聚集解的存在性由[27]中的定理2.2根据Zermelo-Fraenkel集合理论和公理选择（ZFC）加上连续统假设来保证。此外，对于α∈ A、 从备注2.2可以看出，Xα在任何Pσ下的演化∈ PΘ，∑∈ Vθ由dxαt=α给出t（bdt+σtdWσt），0≤ t型≤ T、 Xα=X，Pσ- a、 s.（2.3），其中Wσ是Pσ下的布朗运动，我们有suppσ∈PΘEσsup0≤t型≤T | XαT|< ∞.给定风险规避参数λ>0，模糊波动率下的最坏情况均值方差函数为jwc（α）=supPσ∈PΘλVarσ（XαT）- Eσ[XαT]< ∞, α∈ A、 其中Varσ（X）表示Pσ下X的方差，然后将稳健平均方差组合选择问题表示为V=infα∈AJwc（α）=infα∈AsupPσ∈PΘλVarσ（XαT）- Eσ[XαT]. （2.4）稳健均值-方差投资组合选择问题的一个相关问题是robustMarkow-itz问题，其公式如下：假设方差风险θ>0，（α上的最大值∈ A、 E（α）：=infPσ∈PΘEσ[XαT]受R（α）：=supPσ∈PΘVarσ（XαT）≤ θ。（2.5）如果存在（2.5）的解决方案，则称为稳健有效的投资组合策略。换言之，如果金融风险由最终财富的最坏情况方差来衡量，机器人高效的投资组合策略可以最大化最坏情况下的预期最终财富。该对（R（^αθ）、E（^αθ））被称为鲁棒有效点，当所有鲁棒有效点的集合发生变化时，被称为鲁棒有效前沿。

根据标准的对流优化理论，约束优化问题（2.5）通过对偶关系与拉格朗日优化问题联系在一起，拉格朗日优化问题定义为NFα∈A.λR（α）- E（α）= infα∈λsupPσ∈PΘVarσ（XαT）- infPσ∈PΘEσ[XαT]o.注意，当PΘ是单态时，该拉格朗日优化问题等于P问题（2.4），但与（2.4）有先验区别。在接下来的两节中，我们都将解决稳健均值-方差投资组合选择问题（2.4），并在最后一节中表明，它实际上与拉格朗日优化问题（Lagrangian optimization p problem）具有对偶性，从而导致稳健马科维茨问题（2.5）的解决和稳健有效前沿的构建。3 McKean-Vlasov逼近问题（2.4）可以看作是一个零和随机微分对策问题，收益/成本函数j（α，σ）=λVarσ（XαT）- Eσ[XαT]，α∈ A、 ∑∈ VΘ，（3.1），因此V=infα∈Asup∑∈VΘJ（α，σ）。这一微分对策问题的特点是，通过方差项，s状态过程定律具有非线性依赖性，使得问题在先验时间上不一致。遵循[4]和[29]中关于控制问题的思想，我们首先将问题重新表述为确定性差异博弈问题，考虑到支配风险资产的概率定律的不确定性。

对于任何α∈A、 和t∈ [0，T]，让我们用ρα，σT=PσXαT表示Pσ下的Xα定律，σ∑∈ VΘ，定义了一个在R上平方可积概率测度的Wasserstein空间P（R）中取值的确定性过程，当配备Wasserstein条件W:W（u，u′）=infn时，wh ich是一个计量空间ZR×R | x- y |π（dx，dy）: π∈ 带边缘u和u′oWe的P（R×R）也设置kuk：=W（u，δ）=R | x |u（dx）.我们还介绍了以下方便的符号：对于任何u∈ P（R），我们表示为？u：=ZRxu（dx），Var（u）：=ZR（x- u）u（dx）。我们可以重写（3.1）中的函数和最坏情况下的平均方差函数asJwc（α）=sup∑∈VΘJ（α，σ）=sup∑∈VΘλVar（ρα，σT）-ρα，σT, α∈ A、 （3.2）因此，稳健均值-方差投资组合选择问题被重新表述为一个确定性差分博弈问题，受控状态变量ρα，σ在有限维空间P（R）中取值。为了解决这个问题，我们使用一般的动态规划最优性原则，在我们的上下文中采用以下公式：最优性原则集{Vα，σ，α∈ A、 ∑∈ VΘ}是一系列形式为Vα，σt=V（t，ρα，σt）的确定性过程，对于[0，t]×P（R）上满足（i）V（t，u）=λVar（u）的实值可测函数V- u，对于任何u∈ P（R）（ii）t∈ [0，T]7-→ sup∑∈VΘVα，σ是所有α的非减量∈ A（iii）t∈ [0，T]7-→ sup∑∈VΘVα*,σ是某些α的非递增（因此为常数）*∈ A、 那么，α*是鲁棒平均方差问题（2.4）的最优控制f，最优值v=v（0，δx）=Jwc（α*). （3.3）事实上，观察任何α在时间t=0时，ρα，σ=δxf∈ A、 ∑∈ VΘ，由于Xα等于常数X，这意味着在Vα时，σ=V（0，δX）不依赖于α∈ A、 ∑∈ VΘ。根据性质（i）和（ii），我们得到了所有α∈ A、 v（0，δx）=sup∑∈VΘVα，σ≤ sup∑∈VΘVα，σT=sup∑∈VΘV（T，ρα，σT）=sup∑∈VΘJ（α，σ）=Jwc（α），乘以（3.2）。

由于α在A中是任意的，因此得出：v（0，δx）≤ infα∈AJwc（α）=V。类似地，根据性质（i）和（iii），我们得到V（0，δx）=sup∑∈VΘJ（α*, σ） =Jwc（α*) ≥ 五、 这证明了（3.3）。为了构造满足上述条件（i）、（ii）、（iii）的过程Vα，σt=V（t，ρα，σt），以满足最优性原则，我们将依赖P.L.Lions引入的Wasserstein空间中导数的最新概念，以及我们在附录中回顾的概率度量流的相应链规则（It^o’s公式）。P（R）上函数φ（u）的导数（如果存在）表示为uИ（u），是从R到R的函数，以L（u）表示，当函数x的版本∈ R 7→ uИ（u）（x）是可区分的，我们表示为x个uИ（u）（x）其衍生物。假设v（t，u）是光滑的[0，t]×P（R），即w.R.t.连续可微于t，部分为Cw。r、 t.u（见附录B），我们通过公式（A.2）（回顾（2.3））：dVα，σt=dV（t，ρα，σt）=Dα，σtdt，（3.4），其中Dα，σt=tv（t，ρα，σt）+EσH类(uv（t，ρα，σt）（Xαt），x个uv（t，ρα，σt）（Xαt），αt，∑t）, （3.5）对于H，在R×R×Rd×Sd>+上定义的函数为H（p，M，a，∑）=pab+Ma∑a.（3.6）我们陈述了函数H的一些简单性质，这允许我们引入一些有用的符号。引理3.1适用于所有（p，M）∈ R×（0，∞), 一∈ A、 我们有SUP∑∈ΓH（p，M，a，∑）=H（p，M，a，^∑（a））<∞, 带∑（a）∈ arg max∑∈Γa∑a.存在一个可测函数（p，M）∈ R×（0，∞) 7.→ 一*（p，M）∈ A这样的*（p，M）：=infa∈Asup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=sup∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）。（3.7）证明。固定（p，M）∈ R×（0，∞), 一∈ A、 很明显，连续函数∑7→ H（p，M，a，∑）在由∑（a）给出的∑（a）点上的紧集上达到最大值∈ arg max∑∈Γa∑a，来自H的表达式，因此不依赖于（p，M）。

函数a 7的副凸性→ |很明显，有趣的是∈ A 7→\'H（p，M，a）：=sup∑∈ΓH（p，M，a，∑）也是凸的。此外，由于H（p，M，a）≥ 帕b+Ma∑a，有∑正定义，我们看到当| a |变为完整时，H（p，M，a）变为完整。接下来是7→\'H（p，M，a）在s ome a上的闭凸集a上达到其最大值*（p，M）可通过H的连续性和Carathéodory型可测选择定理来选择可测值，参见例[37]。现在，我们可以为稳健平均方差投资组合选择问题陈述一个分析验证定理，该定理提供了最优投资组合策略的特征。定理3.1（验证定理）设v为满足[0，T]×P（R）的光滑函数x个uv（t，u）（x）>0表示所有（t，x，u）∈[0，T）×R×P（R），假设v是Bellman-Isaacs部分微分方程（PDE）的解：tv（t，u）+ZRH*uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x）u（dx）=0，（t，u）∈ [0，T）×P（R）v（T，u）=λVar（u）- u，u∈ P（R），（3.8）s.t.函数（x，u）∈ R×P（R）7→ ^a（t，x，u）：=a*(uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x））是Lipschitz，对于任何t∈ [0，T]，和RT | a（T，0，δ）| dt<∞. 对于任意∑∈ VΘ，用XPσ表示Pσ下McKean-Vlasov SDE的解：dXt=^a（t，Xt，PσXt）[bdt+σtdWσt]，0≤ t型≤ T、 X=X，Pσ- p、 s.（3.9）和s证明了过程族{XPσ，σ∈ VΘ}可以聚集成PΘ-拟聚集解，即存在X*s、 t.X公司*t=XPσt，0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ。然后，过程族{a（t，XPσt，PσXPσt），0≤ t型≤ T、 ∑∈ VΘ}也可以聚合，即存在一个过程α*s、 t.α*t=^a（t，XPσt，PσXPσt）0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ，（3.10）和过程α*定义a中的投资组合策略，该策略最适合（2.4），即V=Jwc（α*), 我们有V=V（0，δx）。备注3.1 1。

在标准随机控制问题中，当标准涉及状态过程定律的线性函数时，我们寻找一个值函数v（t，u），它在u中也是线性的，因此对于一些光滑函数，v（t，u）=Rw（t，x）u（dx）的形式是标准Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程的[0，t]×R解。在这种情况下，x个uv（t，u）（x）=Dxw（t，x），以及验证定理中的上述条件：x个uv（t，u）（x）>0表示所有（t，x，u），这意味着我们寻找一个凸函数w，它通常来自终端成本的凸性和财富过程的线性动力学。对于均值-方差标准，条件x个uv（t，u）（x）>0与方差惩罚参数λ的正性相关，请参见（4.15）。2、对于固定∑∈ VΘ，McKeanVlasov SDE（3.9）的Pσ-解XPσ在^a上的Lipschitz条件和^a（.，0，δ）的平方可积条件下的存在唯一性遵循标准参数（回想一下∑）∈ VΘ是有界的），如[33]或[19]，我们有估计值：Eσsup0≤t型≤T | XPσT|≤ C（1+ZT |^a（t，0，ρ*t） |dt< ∞, （3.11）对于某些正常数C，取决于函数x 7上的Lipschitz条件→^a（t，x，ρ*t） ，与∑无关。上述验证理论中的关键假设是，一个人可以聚合一系列过程{XPσ，∑∈ VΘ}以确定通用流程X*定义PΘ-准肯定。下一节将更精确地讨论这一点，其中表明，当先验概率度量与协方差矩阵上的不确定性相关（见定理4.1），但与漂移不确定性相关（见备注4.3），则满足聚合条件。

一旦满足此聚合条件，我们注意到Rd值过程的第i个分量{a（t，XPσt，PσXPσt），0≤t型≤ T}表示氡尼科德姆导数^ai（T，XPσT，PσXPσT）=d<X*, Bi>td<Bi>t，0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ，其中<X*, Bi>是与X相关的二次协变（协方差）过程*Bi，定义为PΘ-准肯定。因此，过程族{a（T，XPσT，PσXPσT），0≤t型≤ T、 ∑∈ VΘ}可以聚合成α*如（3.10）所示，我们很容易从（3.11）中看到α*满足可积条件（2.1），因此位于A。通过构造，我们可以看到X*= Xα*相关的（自我融资）财富过程，验证定理的剩余点是检查α*是最优的，如下所示。定理3.1的证明。必须检查（确定性）过程族vα，σt=v（t，ρα，σt），0≤ t型≤ 用PDE（3.8）的v解，T满足α的最优性原则条件*. 条件（i）已经满足，鉴于（3.4），其必须检查（ii）对于所有α∈ A、 存在∑，取决于α∈ Vθs.t.Dα，’σt≥ 0,0≤ t型≤ T和（iii）Dα*,σt≤ 0，0≤ t型≤ T，对于所有∑∈ VΘ，保持正确。

给定α∈ A、 考虑p进程‘∑∈ VΘ定义为∑t=^∑（αt），0≤ t型≤ T，其中∑（.）引理3.1中定义。回顾（3.5）中Dα，’σ的表达，我们得出∈ [0，T]，Dα，\'σT=E\'σtv（t，ρα，’σt）+H(uv（t，ρα，’σt）（Xαt），x个uv（t，ραt）（Xαt），αt，^∑（αt））= E’σtv（t，ρα，’σt）+supγ∈ΓH(uv（t，ρα，’σt）（Xαt），x个uv（t，ρα，’σt）（Xαt），αt，γ）≥ E’σtv（t，ρα，’σt）+H*(uv（t，ρα，’σt）（Xαt），x个uv（t，ρα，’σt）（Xαt））= 0，其中第二个等式来自∑t=^∑（αt）的定义≥ fr Om事实上H*（p，M）≤ supγ∈ΓH（p，M，a，γ），对于所有a∈ A、 最后一个等式=点（t，ρα，’σt）处v满足的PDE（3.8）的0，并且回顾ρα，’σ是XαtunderP’σ的定律。这证明了条件（ii）。另一方面，让我们考虑普适过程α*∈ A在（3.10）中定义。那么我们就有了∑∈ VΘ和t∈ [0，T]，Dα*,σt=Eσtv（t，ρα*,σt）+H(uv（t，ρα*,σt）（X*t） ，则，x个uv（t，ρα*,σt）（X*t） ，α*t、 ∑t）≤ Eσtv（t，ρα*,σt）+supγ∈ΓH(uv（t，ρα*,σt）（X*t） ，则，x个uv（t，ρα*,σt）（X*t） ，α*t、 γ）= Eσtv（t，ρα*,σt）+H*(uv（t，ρα*,σt）（X*t） ，则，x个uv（t，ρα*,σt）（X*t） （）= 0，其中第二个等式源自α的定义*和关系（3.7）。这个证明条件（iii），并结束了这个定理的证明。4显式解决方案我们在本节中提供了Bellman Isaacs P DE（3.8）的显式解决方案，从而解决了当A=Rd时的稳健均值-方差投资组合选择问题（2.4），以及满足凹假设的协方差矩阵上的一类先验模型Γ。协方差矩阵的重新分配参数化：存在一些凸s etΘ Rq和可测函数γ：Rq→ Sd>+s.t.任意∑∈ 对于某些θin，Γ=Γ（Θ）的形式为∑=γ（θ）。我们假设（IC）A=Rd，γ：Rq→ Sd>+为凹形，即对于所有θ，θ∈ Θ，γ（θ）+γ（θ） γ（θ+θ）.

（4.1）请注意，在第2节详述的不确定性波动率和模糊相关性的示例1和示例2中，这一假设基本上得到了满足，其中我们在（4.1）中实际得到了等式。让我们用R表示（平方）风险溢价函数：R（θ）：=bγ（θ）-1b，θ∈ Θ。（4.2）下一个引理提供了（3.6）中哈密顿函数H的一个关键结果，这将有助于解释我们的问题。引理4.1让条件（IC）保持不变。那么，对于所有p∈ R、 M>0，我们有*（p，M）=-pMb公司（∑）*)-1b（4.3）=H（p，M，a*（p，M），∑*)其中∑*= γ（θ*) 是由∑定义的常数，单位为Γ=Γ（Θ）*∈ arg最小值∑∈Γb∑-1b级, i、 e.θ*∈ arg最小θ∈ΘR（θ）。（4.4）此外*, ∑*) 是H的鞍点，即所有p的鞍点∈ R、 M>0，（H（p，M，a*（p，M），∑）≤ H（p、M、a*（p，M），∑*) = H*（p，M），∑∈ Γ，H（p，M，a，∑）*) ≥ H（p、M、a*（p，M），∑*) = H*（p，M），一∈ Rd、（4.5）和a*明确给出：a*（p，M）=-pM（∑）*)-1b。（4.6）证明。用H表示R×R×Rd×Θ上定义的函数，用H（p，M，a，θ）：=H（p，M，a，γ（θ））=pab+Maγ（θ）a。在γin（IC）的凹度假设下，我们清楚地看到，对于固定（p，M）∈ R×（0，∞), 函数H（p，M，，..）在a中是凸的∈ Rd，和位于凸紧集Θ的θ中的凹。通过最小-最大定理（参见[36]中的定理45.8），我们得到了所谓的Isaacs关系：infa∈Rdsupθ∈ΘИH（p，M，a，θ）=supθ∈Θinfa∈RdH（p，M，a，θ），即。

infa公司∈Rdsup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=sup∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）。我们使用偏序 关于d×d-对称矩阵集：M N<=> N- M为正定义<=> 一（N）- M） a≥ 0表示所有a∈ 通过平方完成，我们可以将函数H重写为：H（p，M，a，∑）=Ma+pM∑-1b级∑（a+pM∑）-1b级-pMb公司∑-1b，（4.7）我们从中获得∈RdH（p，M，a，∑）=H（p，M，’a（p，M，∑），∑）=-pMb公司∑-1b，（4.8）其中我们设置：(R)a（p，M，∑）：=-pM∑-1b，然后是H的显式表达式*（p，M）H*（p，M）=sup∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）=-pMinf∑∈Γb∑-1b=-pMb公司（∑）*)-1b。现在让我们检查（a）的鞍点性质*, ∑*). 通过定义*（p，M），我们有SUP∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）=infa∈Rdsup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=sup∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）=H*（p，M）=infa∈RdH（p，M，a，∑）*) ≤ H（p，M，a，∑）*), 一∈ Rd，其中我们在第二个等式Isaacs条件中使用，在最后一个等式中注意到th at∑*达到∑7的上确界→ infa公司∈RdH（p，M，a，∑）乘以（4.8）。然后我们推导出h（p，M，a*（p，M），∑*) ≤ sup∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）=H*（p，M）≤ H（p，M，a，∑）*), 一∈ Rd，表示（4.5）中的第二个不等式。同样，我们有∈AH（p，M，a，∑）*) = s向上∑∈Γinfa∈RdH（p，M，a，∑）=infa∈Rdsup∑∈ΓH（p，M，a，∑）=H*（p，M）=sup∑∈ΓH（p、M、a*（p，M），∑）≥ H（p、M、a*（p，M），∑），∑∈ 这意味着h（p，M，a*（p，M），∑*) ≥ infa公司∈RdH（p，M，a，∑）*) = H*（p，M）≥ H（p、M、a*（p，M），∑），∑∈ Γ。这证明了（4.5）中的第一个不等式，因此具有鞍点性质，并且*（p，M）=H（p，M，a*（p，M），∑*).另一方面，通过将关系式（4.8）应用于∑=*, 我们有*（p，M）=H（p，M，’a（p，M，∑）*), ∑*),结合了（a）的鞍点性质*, ∑）表明：H（p，M，a*（p，M），∑*)= H（p，M，’a（p，M，∑）*), ∑*) = H*（p，M），然后根据H的表达式（4.7）：M一*（p，M）- \'a（p，M，∑）*)∑*（a）- \'a（p，M，∑）*)+ H*（p，M）=H*（p，M）。这证明*（p，M）=a（p，M，∑）*), i、 e.表达式（4.6）。