模糊条件下的稳健Markowitz均值-方差投资组合选择

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英文标题：
《Robust Markowitz mean-variance portfolio selection under ambiguous
  covariance matrix *》
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作者：
Amine Ismail (LPMA), Huy\\^en Pham (LPMA, CREST)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper studies a robust continuous-time Markowitz portfolio selection pro\\-blem where the model uncertainty carries on the covariance matrix of multiple risky assets. This problem is formulated into a min-max mean-variance problem over a set of non-dominated probability measures that is solved by a McKean-Vlasov dynamic programming approach, which allows us to characterize the solution in terms of a Bellman-Isaacs equation in the Wasserstein space of probability measures. We provide explicit solutions for the optimal robust portfolio strategies and illustrate our results in the case of uncertain volatilities and ambiguous correlation between two risky assets. We then derive the robust efficient frontier in closed-form, and obtain a lower bound for the Sharpe ratio of any robust efficient portfolio strategy. Finally, we compare the performance of Sharpe ratios for a robust investor and for an investor with a misspecified model. MSC Classification: 91G10, 91G80, 60H30
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中文摘要：
本文研究了一个稳健的连续时间马科维茨投资组合选择问题，其中模型的不确定性包含多个风险资产的协方差矩阵。该问题被表述为一组非占优概率测度上的最小-最大均值-方差问题，该问题由McKean-Vlasov动态规划方法解决，该方法允许我们根据Wasserstein概率测度空间中的Bellman-Isaacs方程来描述解。我们为最优稳健投资组合策略提供了明确的解决方案，并在波动率不确定和两种风险资产之间的相关性不明确的情况下说明了我们的结果。然后，我们导出了封闭形式的鲁棒有效前沿，并获得了任何鲁棒有效投资组合策略的夏普比的下界。最后，我们比较了稳健投资者和错误模型投资者的夏普比率表现。MSC分类：91G10、91G80、60H30
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

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PDF下载：
--> Robust_Markowitz_mean-variance_portfolio_selection_under_ambiguous_covariance_matrix_*.pdf (372.7 KB)

2022-5-26 19:59:12 上传

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关键词：Markowitz 投资组合选择 投资组合 Mark Mar

模糊协方差矩阵下的稳健Markowitz均值方差投资组合选择*Amine ISMAIL+Huyên PHAM2017年3月14日摘要本文研究了一个稳健的连续时间Markowitz投资组合选择问题，其中模型的不确定性对多个风险资产的协方差矩阵具有影响。该问题被表述为一组非占优概率测度上的min-ma x均值-方差问题，该问题由McKean-Vlasov动态规划方法解决，该方法允许我们根据Wasserstein概率测度空间中的aBellman-Isaacs方程来描述解。我们为最优稳健投资组合策略提供了明确的解决方案，并在波动率不确定和两种风险资产之间相关性不明确的情况下说明了我们的结果。然后，我们以闭合形式导出鲁棒有效前沿，并获得任何鲁棒有效投资组合策略的夏普比的下界。最后，我们比较了稳健投资者和不规范模型投资者的夏普比率表现。MSC分类：91G10、91G80、60H30关键词：连续时间马科维茨问题、协方差矩阵不确定性、模糊相关、McKean-Vlasov、动态规划、Wasserstein空间。1简介马科维茨均值-方差投资组合选择问题（Markowitz mean-variance portfolio s Selection problem）[25]，最初在单周期模型中考虑，是现代投资组合分配理论的基石。投资决策规则是根据给定金融风险（由投资组合方差量化）的预期回报最大化的目标制定的，并引出了效率边界的概念，该概念提出了回报与风险之间权衡的简单说明。

在金融业中使用Markowitz高效的投资组合策略已变得相当流行，这主要是由于其自然而直观的公式。*本作品由NATIXIS和LPMA之间的CIFRE合作发布。我们要感谢Carmine D e Franco、Johan Nicole和Nizar Touzi的有益讨论。我们感谢裁判员和AE的众多评论，这些评论有助于改进本文的第一版。+Natixis、股票市场和LPMA，巴黎迪德罗大学，ami。ismael@gmail.comLPMA，巴黎狄德罗大学和CREST-ENSAE，巴黎狄德罗大学pham。fr.本文作者的工作是ANR项目CAESARS（ANR-15-CE05-0024）的一部分，也得到了FiME和“金融与可持续发展”EDF-CACIB主席的支持。在连续时间动态环境中，均值-方差准则由于方差项的存在，与预期的终端财富成非线性关系，并导致所谓的时间不一致性。随机控制问题中的这种非标准特性产生了各种解决方法。[38]中的第一种方法是将均值方差问题嵌入到辅助标准控制问题中，该问题可以通过使用随机线性二次理论来解决。第二种方法依赖于这样一种观察，即动态均值-方差问题可以重新表述为McKeanVlasov类型的控制问题，其中成本函数可能非线性地依赖于财富状态过程的规律。在[2]中已经解决了这个问题，作者推导出了Pontryagin极大值原理的一个版本。最近，论文【29】开发了一种控制McKean-Vlasov动态的通用动态规划方法，并将其应用于解决均值-方差投资组合选择问题。

我们还引用了最近的论文【13】，其中均值-方差问题被视为受控多组分弱相互作用系统族的McKeanVlasov极限。这些初始问题用标准动态规划法求解，而原始问题的解则是通过越界得到的。在上述引用的论文中，连续时间Markowitz问题基本上是在Black-Scholes模型的框架内研究的，并且已经进行了大量的研究，通过包含随机参数的模型来扩展这一设置。在这些大型文献中，我们引用了最近的一篇论文[8]，该论文使用随机相关模型来考虑风险资产之间的相关风险。在所有这些工作中，假设投资者对控制价格过程的随机动力学有着完美的了解，这是“正确的“必须首先指定模型，然后必须准确估计或校准参数。然而，在金融领域，模型显然是对现实的近似，而且在模型中，估计问题是一个难题。例如，众所周知，由于异步数据和超前滞后效应，资产之间的相关性估计可能极不准确ect，尤其是当资产数量较大，且相关估计收敛到其真实值的速度低于基于全套边际观测值的波动率估计时，请参见。g、 【18】、【16】和【1】。另一方面，最优投资组合通常对模型和参数敏感，如果参数不准确，则可能表现不佳。

因此，由于错误的模型和度量而导致的模型错误指定的影响是交易策略实际实施中的一个重要问题，通常被视为模型风险。为了解决与不确定性或模棱两可的模型参数相关的模型风险，稳健方法是数学金融领域一个值得注意的研究方向，它包括在最坏情况下对所有可能的模型做出决策。一种常见的稳健建模方法是考虑一系列概率测度，这些概率测度代表投资者对模型参数的所有优先信念。例如，漂移不确定性是通过一组支配概率测度通过Girsanov定理建模的，并且在[15]中首先在投资组合选择的背景下进行了考虑，然后在文献中进行了大量研究，参见最近的论文[20]和其中的参考文献。在这里，我们关注风险资产协方差矩阵的不确定性或模糊性，假设瞬时收益率（漂移）已知（或考虑到我们对其价值有很强的信心）。【3】、【24】或【10】在期权定价的背景下考虑了不确定波动率模型，而【26】、【22】则考虑了基于预期效用准则的稳健投资组合优化。正如【14】中所述，我们还对两种风险资产之间具有模糊相关性的设置感兴趣，因为如上所述，在实践中很难从市场信息准确推断相关参数。本文研究了不确定条件下多风险资产波动率和相关性的robu s t Markowitz均值-方差投资组合选择问题。在经济和工程文献中，大多数单周期或多周期模型都考虑了稳健均值方差问题，参见[12]、[30]和[23]。

在此，在我们的连续时间建模中，我们采用了[11]中与预测理论相关的概率框架[28]（另见[35]），以捕获协方差矩阵上的模型不确定性和模糊性，从而得出一组非预期概率测度。我们还对先验协方差矩阵集做了一些凹性假设。从数学角度来看，与具有预期性的稳健问题相比，我们面临两个额外的困难：（i）由于非线性方差项，经典随机微分对策方法无法先验地解决这一问题，（ii）此外，由于均值和方差的最坏情况不同，把它放进一个最小-最大问题并不简单。然后我们将采用以下方法。我们考虑了一个稳健的均值-方差准则，它实际上被公式化为一个极小-极大问题，并给出了它与稳健的Markowitz问题的后验关系。我们采用McKean-Vlasov动态规划方法解决了前一个问题：我们首先将稳健均值-方差问题转化为一个确定性微分博弈问题，在先验概率测度为状态变量的情况下，利用财富过程的规律。然后，采用动态规划原理中的最优性参数，并使用[5]和[7]中导出的概率测度流的最新链式规则，提出了一个验证定理，该定理根据Wasserstein概率测度空间中的Bellman-Isaacs方程给出了最优策略和性能。

接下来，我们将此解析偏微分方程描述的解决方案应用于robustmean-variance问题，并表明pr问题可以简化为两个步骤：首先，我们确定最坏情况，值得注意的是，它对应于通过最小化风险溢价获得的常数方差/协方差矩阵，这是模型的直接输入。其次，在已知瞬时收益率和最坏情况常数协方差矩阵的Black-Scholes模型中，我们得到了最优均值-方差策略。我们用两个例子来说明我们的结果：不确定的波动率和两种风险资产之间的模糊相关性。此外，我们能够明确推导鲁棒Markowitz问题的相应鲁棒有效前沿。特别地，我们得到了任何稳健有效投资组合策略的Sh arpe比率的下限，该下限与协方差矩阵上的任何建模无关。稳健的均值-方差投资组合策略如何帮助提高投资者的绩效？我们通过使用模拟来评估和比较robus t投资者和使用错误模型实施均值方差策略的简单投资者的锐度，解决了这一问题，在两个示例中：（i）在Fir s t示例中，假设股票价格的真实动态由赫斯顿型随机波动率模型控制，该模型使波动率有界，简单投资者认为风险资产受具有恒定波动率的Black-Scholes模型控制，（ii）在第二个示例中，两种资产的价格实际上由随机相关模型给出，但简单投资者认为风险资产之间存在恒定的相关性。

我们的结果表明，稳健的夏普比率可以比错误的夏普比率或一些描述真实动力学的参数选择表现得更好。论文的其余部分组织如下。第2节阐述了鲁棒马科维茨均值-方差问题的概率框架。在第3节中，我们介绍了解决问题的麦肯-弗拉索夫动态规划方法。在第4节中，我们推导了包含不确定性、波动性和模糊相关性的模糊协方差矩阵的显式解。第5节致力于验证封闭形式下的稳健性前沿，最后第6节讨论了稳健性投资者与特定投资者相比的优势。2问题公式我们考虑一个金融市场，其中有一项无风险资产，假设其常数等于一（零利率），并且在有限的投资期限内有d只风险股票[0，T]。我们使用【10】、【28】或【35】中的概率设置，对风险资产波动率矩阵的不确定性进行建模。我们通过以下方式定义规范状态空间：Ohm = {ω=（ω（t））t∈[0，T]∈C（[0，T]；Rn）：ω（0）=0}表示驱动d风险资产的连续路径，以及可能的m（非交易）因子过程（n=d+m），由F的Borelσ场表示，并用‘‘B=（’Bt）T’表示∈[0，T]标准过程，即“Bt（ω）=ω（T），通过P维纳测度，即在P下使“B”成为n-d瞬时布朗运动，通过F=（Ft）0≤t型≤t规范过滤，即“B”产生的自然过滤。我们区分“B”的d维成分，用B表示，代表风险资产的连续路径，以及其他（n- d） -尺寸分量用ˇB表示。投资者知道（或已经估计）常数漂移B=（B。

，bd）∈ Rdof资产，但不确定d r isky资产的波动率矩阵（可能是随机的）。我们采用了[11]中定义的模糊波动率的概念，这意味着投资者只知道协方差矩阵属于某个先验紧集Γof SD>+，即Rd×d中的严格正定义矩阵集。我们假设Γ=Γ（Θ）由Rq的先验凸集Θ参数化，即存在一些可测函数γ：Rq→ Sd>+s.t.任意∑∈ 对于某些θ，Γ的形式为∑=γ（θ）∈ Θ。对于任意∑∈Γ，我们用σ=其平方根矩阵表示，我们通常用其平方根矩阵识别协方差矩阵，称为波动率矩阵。下面是这种建模的一些示例：示例1（不确定的波动性）。在维度d=1中，这是通过ghΓ=Θ=[σ，\'σ]建模的，正常数为0<σ≤ \'\'σ<∞, 参见【3】、【24】。通过0<σi的Θ=dYi=1[σi，(R)σi]对具有零相关性的多元资产情况的扩展进行建模≤ \'\'σi<∞, i=1，d、 和γ（θ）=σ、 。0。。。。。。。。。0。σd, 对于θ=（σ，…，σd）。示例2（不明确的相关性）。[14]最近考虑了维度d=2中风险资产之间相关性的不确定性，并可在此处用Θ=[, \'\']  (-1，1），γ（θ）=σσσσθσσθ！，对于一些已知的正常数σ和σ，表示资产的边际波动率，其中θ表示在和‘.

d的多元资产的推广≥ 2也可以在我们的框架内完成，使用相关矩阵的参数形式，例如d（d- 1） /2角度坐标如【31】所示。我们用VΘ表示F-逐步可测过程集∑=（t）的值为Γ=Γ（Θ），并引入先验概率测度集PΘ：PΘ=Pσ：∑∈ VΘ,其中，Pσ是上的P概率度量(Ohm, FT）由Pvia引起：Pσ：=Po （\'Bσ）-1，σt：=σt，Bσt：=ZtσsdBs，0≤ t型≤ T、 P- a、 “Bσ”是Rn值过程Ohm 定义为“Bσ：=（BσˇB）”。在任意Pσ∑下∈ VΘ，过程B是一个鞅，因此从[21]中可以看出，它是一个二次变量，由：d<B>t=∑tdt给出。备注2.1波动性中的模糊性导致PΘ中的一组先验概率，这些概率是不等价的，实际上是相互奇异的。这种先验概率集Pσ的规范与[28]中介绍的G-布朗运动理论密切相关，需要[10]中指出的准肯定分析工具，以及[35]中的进一步研究。特别地，我们说，一个属性持有PΘ-准肯定（PΘ-q、 s.在s短），如果它保持Pσ- a、 所有Pσ的s∈ PΘ。d风险资产的价格过程S由DST=diag（St）给出bdt+dBt），0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 s.每个Pσ下的备注2.2∈ PΘ，表示∑∈ VΘ，我们有dBt=σtdWσtw，其中Wσ是Pσ下的布朗运动，因此价格过程受PσbydSt=diag（St）控制bdt+σtdWσt），0≤ t型≤ T、 Pσ- a、 s。投资组合战略α=（αt）0≤t型≤T、 表示投资于d个风险集的金额，是一个d维F-逐步可测过程，在Rd的某个闭凸集中取值，满足可积条件suppσ∈PΘEσhZTαt∑tαtdti<∞, （2.1）并用α表示∈ A、 在这里表示矩阵的转置，Eσ表示Pσ下的期望。