模糊条件下的稳健Markowitz均值-方差投资组合选择

备注4.1在条件（IC）下，如果验证定理3.1的条件满足Bellman-Isaacs PDE（3.8）的解v和最优反馈控制α*, 然后我们从鞍点关系（4.5）中看到，漂移Dα，σtof the deterministic p process Vα，σt=V（t，ρα，σt）满足所有α∈ A、 ∑∈ VΘ，Dα，σ*t型≥ Dα*,σ*t=0≥ Dα*,σt，0≤ t型≤ T、 a.s.，其中σ*= （∑）*). 这意味着过程（i）Vα，σ*对于所有α，这是不减损的∈ A、 （ii）过程Vα*,σ是所有∑的非递增f∈ VΘ，从中我们可以很容易地推断出它们的min-max性质：V=V（0，δx）=infα∈Asup∑∈VΘJ（α，σ）=sup∑∈VΘinfα∈AJ（α，σ）=J（α*, σ*).这特别表明σ*, 这是根据（4.4）明确计算的常数，即最小化风险溢价，是鲁棒均值方差问题的最优最坏情况波动率f。第4.1条假设（I C）成立。然后，在[0，T]×P（R）上定义的函数为v（T，u）=K（T）Var（u）- u+χ（t），（4.9）带K（t）=λexp- R*（T- t）χ（t）=-4λhexpR*（T- t）- 1i，0≤ t型≤ T、 R*= b（∑）*)-1b，（4.10）是行李员Isaacs PDE（3.8）的解决方案。证据我们寻找（3.8）的函数解，其形式为：v（t，u）=K（t）Var（u）+Y（t）(R)u+χ（t），（4.11）对于某些连续可微分函数K>0，Y和χon[0，t]。

这样的函数是光滑的，我们有uv（t，u）（x）=2K（t）（x- u）+Y（t），x个uv（t，u）（x）=2K（t）>0，由H的表达式得出*在（4.3）中，我们得到tv（t，u）+ZRH*uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x）u（dx）=˙K（t）Var（u）+˙Y（t）(R)u+˙χ（t）-b（∑）*)-1bZ4K（t）（x）- u）+Y（t）+4K（t）Y（t）（x- u）2K（t）u（dx）=˙K（t）- b（∑）*)-1bK（吨）Var（u）+Y（t）(R)u++χ（t）-b（∑）*)-1bY（t）K（t）。因此，（4.11）中的v满足Bellman-Isaacs PDE（3.8）i f K，Y和χ满足普通微分方程组：˙K（t）- b（∑）*)-1bK（t）=0，K（t）=λ˙Y（t）=0，Y（t）=-1˙χ（t）-b（∑）*)-1bY（t）K（t）=0，χ（t）=0，这导致显式解Y=-1，K，χ如（4.10）所示。对于一类一般的协方差矩阵不确定性m od el满足（IC），我们现在可以提供鲁棒平均方差问题的完整而明确的解决方案。定理4.1让条件（IC）成立。（2.4）存在一个最优鲁棒平均方差策略解，由α显式给出*t=hx+2λexpR*T-十、*ti（∑）*)-1b，0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 s.（4.12），其中R*= b（∑）*)-1b是对应于最坏情况协方差矩阵参数∑的最小风险溢价*, 以及相应的最优财富过程X*, 任意Pσ∑下的H最小收益∈ VΘ由：Eσ[X]给出*T] =x+2λhexpR*T- 1i。（4.13）此外，最优成本由v=v（0，δx）=-4λ经验值R*T- 1.- x、 （4.14）证明。让我们考虑（4.9）中的函数v（t，u），它满足Bellman-Isaacs PDE（3.8）。对于[0，T]×P（R）上的光滑函数，我们有uv（t，u）（x）=2K（t）（x- (R)u）- 1.x个uv（t，u）（x）=2K（t）>0，（4.15），K如（4.10）所示。从表达式a*在（4.6）中，验证定理3.1中最佳反馈控制的候选^a（t，x，u）等于：^a（t，x，u）：=a*(uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x））=-hx公司- \'u-2K（t）i∑*)-1b，显然是Lipsch-itz in（x，u）。

Pσ下McKean-Vlasov-SDE（3.9）的解XPσ∈ 因此，PΘ由dxpσt=-hXPσt- Eσ[XPσt]-2K（t）ib（∑）*)-1【bdt+σtdWσt】，0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s.，通过在pσ下取期望值得出：dEσ[XPσt]=R*2K（t）dt，和thusEσ[XPσt]=x+ZtR*2K（s）ds，0≤ t型≤ T、 关键的观察结果是，这种期望不取决于∑∈ VΘ。插入SDE（3.9），这可以重写为（我们现在只需写Xt=XPσtto缓解状态）：dXt=-hXt公司- x个-ZtR公司*2K（s）ds-2K（t）ib（∑）*)-1[bdt+dBt]，0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 s。。这现在是PΘ下的标准SDE，我们从[34]中的命题6.10知道存在一个PΘ准肯定聚集解X*, i、 e.X公司*= XPσ，Pσ-P.s，对于所有∑∈ VΘ。因此，过程族{a（t，XPσt，PσXPσt），0≤ t型≤ T、 ∑∈ VΘ}可聚合为α定义的PΘ-q.s*t=^a（t，XPσt，PσXPσt），0≤ t型≤ T、 Pσ- p、 s。，∑∈ VΘ=-hX公司*t型- x个-ZtR公司*2K（s）ds-2K（t）i∑*)-1b，0≤ t型≤ T、 PΘ- q、 这为fr om（4.10）提供了（4.12）中的表达式。我们从验证理论3.1得出结论，α*是（2.4）的最优解，最优成本等于V=V（0，δx），因此由（4.9）中V的显式形式（4.14）给出。备注4.2虽然原始的r-obust均值-方差问题是一个先验的复杂问题，而n是标准随机微分对策问题，但OREM 4.1中的主要结果信息非常简单，具有直观的解释。它说，这个问题的解决可以简化为两个步骤：首先，我们确定最坏的情况，值得注意的是，它对应于一个常数协方差矩阵∑*通过风险溢价最小化（4.4）获得。

该常数直接从模型的输入计算得出：瞬时收益b（假定已知）和将资产协方差矩阵上的不确定性参数化的函数γ（我们将在该问题中给出一些明确计算∑的示例*). 其次，我们得到了具有瞬时收益b和协方差矩阵∑的Black-Scholes模型的最优均值-方差策略*, [38]中推导出了WHOSE表达式，当模型没有不确定性时，我们在此恢复不同的应用程序路径作为特例。备注4.3（关于漂移不确定性）让我们讨论d风险资产漂移存在歧义的情况（但为了简单起见，使用已知协方差矩阵∑）。这是通过考虑提取过程b=（bt）t来建模的∈ VΘ是一个不可观测的过程，已知它只在Rd的给定凸集Θ中有值。

相应的r-obustoptimization问题的哈密顿函数由以下公式给出（滥用符号，我们在协方差矩阵不确定的情况下保持相同的符号）：H（p，M，a，θ）=paθ+Ma∑a，（p，M，a，θ）∈ R×（0，∞) ×Rd×Θ。通过引理4.1中类似的参数，对于固定（p，M）∈ R×（0，∞), 有一个鞍点（a*（p，M），θ*) 对于H（p，M，，.）由A提供*（p，M）=-pM∑-1θ*, θ*∈ arg最小θ∈Θθ∑-1θ.然后，与命题4.1类似，我们发现（4.9）-（4.10）中给出的v是稳健均值-方差问题的关联Bellman-Isaacs偏微分方程的解，其中“最坏情况”风险溢价R*现在由byR提供*= （θ*)∑-1θ*.根据验证理论3.1中的论点，这将导致一个最佳反馈控制的候选形式为^a（T，x，u）：=a*(uv（t，u）（x），x个uv（t，u）（x））=-hx公司- \'u-2K（t）i∑-1θ*,然后，我们必须考虑在任何（等效）先验概率测度Pb，b下的解XPbto，McKean-Vlasov SDE（3.9）∈ VΘ，由DXPBT管理=-hXPbt公司- Eb【XPbt】-2K（t）i（θ*)∑-1【btdt+σdWbt】，0≤ t型≤ T、 铅- p、 s。。通过在Pb下取期望，我们得到eb[XPbt]=x+Zt2K（s）（θ*)∑-1Eb【bs】ds，并看到，与协方差矩阵不确定性的情况相比，该期望取决于先验概率测度Pb。相反，进程族{a（t，XPbt，PbXPbt），0≤ t型≤ T、 ∑∈ VΘ}不能聚合为通用进程α*,这将允许我们得出结论α*是一种最佳策略。与经典（稳健）预期效用最大化相比，均值方差框架中的主要问题在于，最优策略仅以反馈形式依赖于财富状态过程，而最优财富过程不仅依赖于财富过程，而且依赖于预期财富过程，这取决于考虑漂移不确定性时的先验概率度量。

稳健均值-方差和Markow-itz-p问题是一个具有挑战性的问题，我们的方法无法直接解决，我们推迟到未来研究。4.1示例1：不确定波动率我们考虑示例1所示的具有零相关性的多变量情况下的不确定波动率模型：Θ=dYi=1[σi，\'σi]，0<σi≤ \'\'σi<∞, i=1，d、 和γ（θ）=σ、 。0。。。。。。。。。0。σd, 对于θ=（σ，…，σd）。在这种情况下，r isk premium函数只由r（θ）：=b给出γ（θ）-1b=dXi=1biσi，对于θ=（σ，…，σd），很明显，最坏情况对应于协方差矩阵∑*=\'∑：=γ（\'θ），其中\'θ=（\'σ，…，\'σd），即对于最高的边际波动率。根据定理4.1，我们得到了不确定波动率下robus t均值方差问题的一个显式最优投资组合策略：α*t=hx+2λexp\'\'R T- 十、*ti‘∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，其中R：=R（(R)θ）=b“∑”-1b。这对应于多维Black-Scholes模型中的最优均值-方差投资组合策略，该模型具有漂移b和协方差矩阵∑的不相关资产，如[38]和[13]所述。财务上的解释是很自然的：最坏的情况对应于最大方差∑，风险厌恶的投资者通过参考这种情况来做出投资组合决策。4.2示例2：模糊相关性我们考虑具有模糊相关性的两个风险资产模型的模型，即Θ=[, \'\']  (-1，1）和γ（θ）=σσσθσσθσ, θ∈ 对于一些已知的正常数σ>0和σ>0。在这种情况下，风险溢价函数由r（θ）：=b给出γ（θ）-1b=1- θβ+β- 2ββθ, （4.16）其中，我们用βi=biσi，i=1，2表示每个风险资产的等值夏普比率。当资产为股票时，其夏普比率通常为正（否则将比无风险债券表现不佳）。

我们可能还想考虑βi为非正的情况，这通常与资产是两支股票之间的收益的情况相对应。在续集中，我们将假设w.l.o.g.（β，β）6=（0，0）（在这种微不足道的情况下，最优投资组合策略显然是从不交易，即α*≡ 0），我们设置：+:=最小值（|β|，|β|）最大值（|β|，|β|）∈ [0，1]，-:= -+. （4.17）让我们也引入极值协方差矩阵∑：=γ（“”) =σ∑∑'σσ\'” σ, ∑：=γ() =σ∑∑σσ σ,及其相应的差异风险比率：‘∑-1b=1- \'\'bσ-b‘σσbσ-b‘σσ=:\'-κ\'-κ, ∑-1b=1- bσ-bσσbσ-bσσ=:κκ.以下结果明确确定了相关性θ*实现最低风险溢价。引理4.2我们根据ββ的符号区分两种情况。一、 对于ββ>0，我们有：1。如果‘ < +, 然后θ*= \'\'. 此外，κκ>0和κκ>0.2。如果> +, 然后θ*= . 此外，κκ<0和“κ”κ<0.3。如果+∈ Θ=[, \'\'], 然后θ*= +. 此外，κκ≥ 0和“κ”κ≤ 0.I’。对于ββ≤ 0，我们有：1’。如果‘ < -, 然后θ*= \'\'. 此外，“κ”κ>0和κκ>0.2”。如果> -, 然后θ*= . 此外，κκ<0和‘κ’κ<0.3’。如果-∈ Θ=[, \'\'], 然后θ*= -. 此外，κκ≥ 0和“κ”κ≤ 0.证明。风险溢价函数R在Θ=[, \'\'], 导数为：R′（θ）=-（1）- θ） f（θ），其中f（θ）=ββ（1+θ）- （β+β）θ。对于任何θ∈ Θ，让我们也用κ（θ），κ（θ）表示方差风险比∑（θ）的分量-1b，即κ（θ）=1- θbσ-bθσ, κ（θ）=1- θbσ-bθσ,所以‘κi=κi（’), 和κi=κi(), i=1，2，注意κ（θ）κ（θ）=σ（1- θ） f（θ）。（4.18）I.我们首先考虑ββ>0的情况。在这种情况下，函数f是一个严格的对流分解函数，在θ=β+β2ββ时达到其在R上的最大值≥ 1，这意味着f在(-∞,\'θ]因此在Θ上。因为f（0）=ββ>0且f（1）=- （β-β）≤0，存在唯一+∈ （0，1）s.t。

f级(+) = 0，由表达式（4.17）精确给出。然后，我们被引导辨别以下情况：1。\'\' < +.在这种情况下，回顾f在Θ=[, \'\'], 我们看到θ∈ Θ，f（θ）>f(+) = 0，即R′（θ）<0 onΘ，即R在Θ上严格递减，因此：θ*=arg m inθ∈ΘR（θ）=‘. 此外，根据（4.18），对于所有θ，我们的κ（θ）κ（θ）>0∈ 因此：κκ>0和“κ”κ>0.2。> +. 在这种情况下，f（“”) ≤ f级() < f级(+) = 0，因此对于所有θ∈ Θ，f（θ）<0，κ（θ）κ（θ）<0，R′（θ）>0，即R在Θ上急剧增加。这意味着θ*=arg m inθ∈ΘR（θ）=, κκ<0，\'κ\'-κ<0.3。≤ +≤ \'\', i、 e。+∈ Θ。注意，在这种情况下，+严格小于1（重新调用’ < 1） ，因此β6=β。同样，因为f在减小，所以我们有f（θ）≥ f级(+) = θ为0∈ [, +], 和f（θ）≤ f级(+) = θ为0∈ [+, \'\']. 因此，κ（θ）κ（θ）≥ 0，R′（θ）≤ θ为0∈ [, +], i、 e.R在下降[, +], 和κ（θ）κ（θ）≤ 0，R′（θ）≥ θ为0∈ [+, \'\'], i、 e.R在增加[+, \'\']. 因此，θ*= arg最小θ∈ΘR（θ）=+, 我们还有κκ≥0和“κ”κ≤ 0.I’。最后，我们考虑ββ≤ 0.当ββ<0时，函数f是一个严格凹抛物函数，在θ=β+β2ββ时达到其在R上的最大值≤ -当ββ=0时，f是一个线性函数，具有严格的负斜率。在任何情况下，函数f在[°θ]上严格递减，∞) 因此在Θ上。因为f（0）=ββ≤ 0，f(-1） =（β+β）≥ 0，存在唯一-∈ [-1，0]s.t.f(-) = 0，这正好由（4.17）中的表达式给出，即。-= -+. 然后，通过区分以下情况：-> , -<  和-∈Θ，并按照与C案例I中相同的论点进行，我们得到了1\'，2\'，3\'中描述的结果。

通过应用Th eorem 4.1，我们现在可以明确描述模糊关联下的最优策略。定理4.2通过以下情况明确描述问题（2.4）的解：I.如果ββ>0，和1。\'\' < +, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexp\'\'RT-十、*ti‘∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，R=b“∑”-1b，最优成本isV=-4λ经验值\'\'RT- 1.- x、 2。> +, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexpRT公司-十、*ti∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，R=b∑-1b，最优成本isV=-4λ经验值RT公司- 1.- x、 3。≤ +≤ \'\', 然后由α显式给出最优投资组合策略*t型=hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时，hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时。最优成本V=-4λ经验值最大（β，β）T- 1.- x、 通过误用符号，我们分别写出a=（a，a）或a=aa公司对于R.I\'中的元素。如果ββ≤ 0和1’。\'\' < -, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexp\'\'RT-十、*ti‘∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，最优成本isV=-4λ经验值\'\'RT- 1.- x、 此外，“κ”κ>0和κκ>0.2”。> -, 然后由α显式给出最优投资组合策略*t=hx+2λexpRT公司-十、*ti∑-1b，0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，最优成本=-4λ经验值RT公司- 1.- x、 此外，κκ<0和‘κ’κ<0.3’。≤ -≤ \'\', 然后由α显式给出最优投资组合策略*t型=hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时，hx+2λexpβT- 十、*tibσ, 0≤ t型≤ T、 PΘq.s.，当β>β时。最优成本V=-4λ经验值最大（β，β）T- 1.- x、 此外，κκ≥ 0和“κ”κ≤ 0.证明。根据定理4.1中最优投资组合策略和最优成本的公式（4.12）和（4.14），我们只需计算最小风险溢价R*=R（θ*), 和向量（∑）*)-1b带∑*= γ（θ*), 和θ*引理4.2中明确给出。

我们只考虑ββ>0时的情况I，因为其他情况I’的处理方式类似。子案例1和2是直接的，我们只关注第三个案例3+∈ [, \'\'].在这种情况下θ*= +, 以及（4.16）中R的表达式的简单计算和+在（4.17）中给出：R*= R(+) = 最大值（β，β）。此外，一个简单的计算表明（σ*)-1b=γ(+)-1b级=bσ！，当β>β时，bσ！，当β>β时，这导致最优投资组合策略在Theorem断言中的表达。备注4.4（财务解释）为了验证这一观点，我们将重点放在β>0、β>0时两支股票的常见情况。系数+可被视为衡量两个股票之间“接近程度”的一个指标：小+（接近零）意味着一只股票比另一只股票要好得多，因为它的瞬时夏普比率要大得多，而+（接近1）表示两个stock在瞬时夏普比方面相似。当‘ < +, 这意味着没有任何股票“支配”另一种，最好是通过定向交易投资这两种资产，即同时买入或卖出（引理4.2中提到，在这种情况下，κ>0），最坏的情况是指最高相关性ρ，其中差异影响最小。