金融时间序列多重分形谱估计技术

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英文标题：
《Techniques for multifractal spectrum estimation in financial time series》
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作者：
Petr Jizba and Jan Korbel
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Multifractal analysis is one of the important approaches that enables us to measure the complexity of various data via the scaling properties. We compare the most common techniques used for multifractal exponents estimation from both theoretical and practical point of view. Particularly, we discuss the methods based on estimation of R\\\'enyi entropy, which provide a powerful tool especially in presence of heavy-tailed data. To put some flesh on bare bones, all methods are compared on various real financial datasets, including daily and high-frequency data.
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中文摘要：
多重分形分析是一种重要的方法，它使我们能够通过尺度特性来衡量各种数据的复杂性。我们从理论和实践的角度比较了最常用的多重分形指数估计技术。特别是，我们讨论了基于R趵enyi熵估计的方法，这为重尾数据的存在提供了强有力的工具。为了让大家了解一些真实情况，所有方法都在各种真实的金融数据集上进行了比较，包括日常数据和高频数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Techniques_for_multifractal_spectrum_estimation_in_financial_time_series.pdf (605.42 KB)

2022-5-26 20:04:08 上传

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关键词：金融时间序列 时间序列 Multifractal Quantitative Econophysics

布拉格捷克技术大学核科学与物理工程学院物理系多重分形谱估计技术，捷克共和国（Czech RepublicAbstractWe）表示，多重分形分析为量化各种时间序列的复杂性提供了一种新的、潜在的有希望的途径。特别是，我们比较了用于多重分形标度指数估计的最常用技术。这是从理论和现象学的角度进行的。在我们的讨论中，我们特别关注基于R’enyi熵估计的方法，它提供了一个强大的工具，尤其是在存在重尾数据的情况下。作为上述多重分形方法适用性的测试，我们使用了各种真实的财务数据集，包括每日和高频数据。关键词：多重分形谱、R'enyi熵、时间序列1简介在过去几十年中，标度和自相似的概念已成为各种科学分支的常见概念，包括动力系统【1】、生物系统【2】、量子场论【3】或社会学和经济学系统。全局标度是一个关键概念，例如在临界现象理论和规范化群中，而全局自相似性是分形几何的基石。然而，在实际系统中，例如金融市场，人们通常会观察局部缩放和局部自相似规则，而不是全局规则。多重分形分析提供了一种能够成功处理此类系统的理论处理方法。该范式基于这样一个假设，即局部标度规则的分布也具有其具有特征标度指数的标度规则，称为多重分形谱。多重分形理论已经得到了深入的研究，例如在[4-7]中。

在这方面，已经开发了各种时间序列多重分形谱估计方法，例如基于广义赫斯特指数的方法【8】或小波变换的方法【9】。在这里，我们将重点介绍两种最常用的用于估计多重分形标度指数的技术，即去趋势扩散分析【10,11】和基于R’enyi熵的扩散熵分析【12–14】。我们从理论角度比较了这两种方法，并讨论了它们在时间序列分析中的适用性。为了说明理论结果，我们将这两种方法应用于每日和每分钟收集的真实金融时间序列的示例。2多重分形分析让我们有一个时间序列{xi}Ni=1，在特定的时间滞后上测量（例如，分钟或每日）。我们将所有点分组为不同的区域Kj，第j个区域的发生概率由pj=limN给出→∞Nj/N，其中Nj是点的数量，单位为Kj。我们认为，每个概率都有一些特征指数，因此pj∝ sαjand标度指数的分布以ρ（α，s）的形式考虑∝ s-f（α）。标度指数f（α）称为多重分形谱，它只是具有标度指数α的子集的分形维数。更多详情请参见参考文献。[7，15]。或者，可以从所谓的配分函数Z（q，s）=Pjpqj获得特征标度指数的相关表示∝ sτ（q）。现在有两条评论。首先，通过Legendre变换τ（q）=maxα[qα]给出了多重分形谱与配分函数标度指数之间的关系- f（α）]。其次，指数τ（q）与R′enyi熵Sq（s）=q密切相关-1lnPjpqj∝ sD（q）。最终，τ（q）=D（q）q-标度指数D（q）被称为广义维数[15]。

R'enyi熵最初由匈牙利数学家阿尔弗·埃德·R'enyi（16）在70年代中期提出，并在著作数量上进一步发展（参见参考文献[17]及其引文）。它代表了信息论和热力学中已知的汉农熵的单参数推广。由于可观测性等性质或与多重分形的关系，它在热力学、经济物理学或量子力学中有着广泛的应用。在下一节中，我们比较了基于概率分布矩估计的方法和基于R’enyi熵的方法。3多重分形标度指数的估计H首次尝试在时间序列中描述标度指数。E、 赫斯特[21]。他努力的重要结果是制定了所谓的赫斯特标度指数。赫斯特指数计算为h|x（t）| i∝ 它代表了对长记忆和持久性的衡量。如今，有许多技术可以估计赫斯特指数，让我们只提一下重标度分析[22]。可能最流行的方法称为去趋势弯曲分析最初是在参考文献中介绍的。[10、11、23]。该方法的关键目标是局部波动函数f（ν，s），它总结了局部趋势的波动。然后将全局函数计算为局部函数F（q，s）的广义平均值=NsPNsνf（ν，s）q1/q。函数按F（q，s）缩放∝ sh（q）。在某些特殊情况下（如平稳性、正性），可以表明标度指数h（q）与传统多重分形分析相关，τ（q）=qh（q）- 通过估计R′enyi熵及其标度指数，可以获得估计多重分形标度指数的另一种方法。这种方法被称为扩散熵分析，并在参考文献中介绍。

[12,13]，并在[14]中进一步讨论。与其他基于矩估计的方法不同，该方法可以成功地处理具有重尾的分布。例如，让我们得到一个自相似的分布，其标度形式为p（x，t）=tδFxtδ. 然后是香农熵（q→ 1） 等于S（t）=A+δln t。在多个标度指数的情况下，这些指数可以通过整个类别的R′enyientropies来揭示，我们得到Sq（t）=Bq+δ（q）ln t。在这一点上，我们应该强调，对于q的所有值，正确估计R′enyi熵在该方法中至关重要。在实践中，这归结为通过所谓的波动收集算法构建的概率分布估计[12，14]。要做到这一点，有必要计算柱状图的最佳宽度，以便插值柱状图准确地逼近底层分布。这种估计有几种方法。例如，我们可以提到Sturges的经典规则（估计最佳仓位数为1+logN）、Scott规则【24】或Freedman–Diaconis规则【25】（两者都估计最佳仓位宽度与N成正比-1/3）。最近，参考文献【14】中对上述程序在R’enyi熵情况下的推广进行了介绍。特别是，这提供了对几个时间尺度的直方图幂^pq的估计，这对于计算相应的尺度指数是必要的。通过比较这两种方法，我们可以说，在检查数据时，最好的方法是将这两种方法结合起来，同时描述光谱f（α）和δ（q）。这是因为指数的变换，严格地说，只在极限s内起作用→ 0，这通常被精确缩放的假设所取代，然后将其应用到线性回归程序中。

不幸的是，对于实时序列，exactscaling premiss通常不完整。因此，这两种光谱的知识为这些序列的多重分形性质带来了更复杂的图像。一般来说，当动量的估计没有问题时，我们可以说DFA更好，而在幂律分布和重尾的情况下，DEA更有效。在下一节中，我们将比较每日和高频节拍记录的各种真实金融序列的赫斯特指数的频谱和时间依赖性。4多重分形分析在金融数据中的应用本文将上述多重分形估计程序应用于实际金融时间序列。金融市场是完成这项任务的理想试验台，因为它们是开放的、非线性的、高度结构化的复杂系统，具有大量回报率指数index xibindexyindexvix0.0 1.5Hurst指数index xasedayh0.0 1.5Indexibmdayh0.0 1.5indexkydayh[nkydayh>0]0.0 1.5Indexvixdayh[vixdayh>0]0 2 4 6 8 100.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0δ- 频谱qδ（q）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.4 0.6 0.8 1.0f- 谱αf（α）图1：每日数据的多重分形分析。我们可以观察到，VIX系列的多重分形成分不同于其他系列。这是由于指数的波动性造成的，这也导致δ谱的不连续性。还要注意的是，VIX系列的赫斯特指数明显低于其他系列。意外和不可预测的现象（包括突然跳跃、市场情绪、长记忆效应等）。这反过来又带来了一个非平凡的多重分形市场价格结构，反映在随后的时间序列中。

我们测试了上述多重分形技术在市场时间序列的几个示例上的适用性，特别是在高频和每日记录的日经225指数（东京证券交易所指数）、ASE综合指数（雅典证券交易所主要指数）、IBMstock和VIX指数（标准普尔500期权指数的隐含波动率）上。2013年记录了分钟时间序列，大约有10个刻度点，每日数据来自过去10-20年（取决于特定序列），有5000-10000条记录。无花果。1和2描述了针对两个特征时滞对所有提及序列进行多重分形分析的结果。我们可以观察到，在非液体系列或正常标度的情况下，两种方法在光谱中都表现出一定的不连续性。这是因为基于厚尾基础分布的任何数量估计通常在技术上很困难，需要进行非常精确的计算。对于每日序列，我们观察到光谱描述为指数指数（IndexeIndexibmindExnkyindexvix0.0）1.5Hurst指数（Indexaseh0.0 1.5Indexibmh0.0 1.5Indexnkyh[nkyh>0]0.0 1.5Indexxh[vixh>0]0 2 4 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0δ- 频谱qδ（q）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.2 0.2 0.6 1.0f- 谱αf（α）图2：高频财务数据的多重分形分析。描述的数据高度非流动，呈现幂律行为。这反映了两种光谱的不连续性，主要是NKY系列的f光谱。主要是一般特征标度指数，通常接近0.5（白噪声或维纳过程）。这可以归因于这样一个事实，即数据是液态的，并且序列的相关性衰减得更快（以分钟为单位）。相反，微小数据具有更丰富的标度指数结构，这主要来自δ谱。

这两个图表明，多种多重分形方法的组合是可取的，它允许我们对观测到的时间序列进行更完整的理论描述。5结论多重分形分析是一种重要的诊断工具，可以揭示各种复杂动力系统中复杂的标度结构。本文比较了几种估计多重分形标度指数的方法。值得注意的是，我们讨论了两种目前流行的方法的主要理论方面，即去趋势波动分析和扩散趋势分析，并在金融时间序列的实际例子中说明了它们的实用性。最佳的方法是结合多种基于不同方法的多重分形谱估计方法。这可以消除多重分形谱中的数值和计算伪影，这些伪影通常是由于估计精度不足或基础数据的复杂性造成的。然而，这些数据通常是最有趣的调查。对于金融序列，我们已经表明，不同的时间尺度通常具有不同的特征尺度指数。这是因为粗粒化可以抑制（而且经常会抑制！）一些非平凡的中间动力学及其标度指数，因此有效的粗粒度谱在结构上较差。感谢野村证券有限公司的Xaver Sailer，他为我们提供了财务数据。这项工作得到了布拉格反恐组拨款机构的支持，拨款编号为SGS13/217/OHK4/3T/14，GACR拨款编号为GA14-07983S。参考文献【1】Bar Yam，Y.，复杂系统动力学，第213卷。Addison WesleyReading，马萨诸塞州，1997年。[2] Lovejoy，S.&Schertzer，D.，《天气和气候：涌现定律和多重分形级联》。

剑桥大学出版社，2013年。[3] Kleinert，H.，《量子力学、统计学、多形物理学和金融市场中的路径积分》，第四版。《世界科学》，2009年。[4] Mandelbrot，B.，自定义分形和分形维数。Physica Scripta，32，第257-260页，1985年。[5] Mandelbrot，B.，《多重分形与1/f噪声：物理学中的狂野自洽》（1963-1976）。斯普林格，1999年。[6] Stanley，H.E.&Meakin，P.，《物理和化学中的多重分形现象》。《自然》，335（29），第405页，1988年。[7] Harte，D.，多重分形：理论与应用。查普曼和霍尔/CRC，2001年。[8] Morales，R.、Matteo，T.D.、Gramatica，R.&Aste，T.，《动态广义赫斯特指数作为监测金融时间序列不稳定期的工具》。Phys A，391（11），第31802012页。[9] Muzy，J.F.、Bacry，E.&Arneodo，A.，《分形信号的多重分形形式：结构函数方法与小波变换模极大值方法》。Phys Rev E，47（2），第8751993页。[10] Peng，C.K.，Buldyrev，S.，Havlin，S.，Simons，M.，Stanley，H.&Goldbergerz，A.，DNA核苷酸的镶嵌组织。Phys Rev E，49（2），1685–1689页，1994年。[11] Kantelhardt，W.、Zschiegner，S.、Koscielny Bunde，E.、Havlin，S.、Bunde，A.&Stanley，H.E.，《非平稳时间序列的多重分形去趋势函数分析》。Phys A，316，第87页，2002年。[12] Scafetta，N.&Grigolini，P.，《时间序列中的标度检测：扩散性分析》。Phys Rev E，66（3），第0361302002页。[13] Huang，J.等人，《金融市场股票波动的多重分形扩散熵分析》。Phys A，391（22），第5739页，2012年。[14] Jizba，P.&Korbel，J.，《多重分形扩散熵分析：概率直方图的最佳二元宽度》。Phys A，413，第438–4582014页。[15] Hentschel，H.&Procccia，I.，《分形和奇异吸引子的有限广义维数》。Phys D，8（3），pp。

435–4441983年。[16] R’enyi，A.，阿尔弗雷德·R’enyi的论文选集。sv。2，Akad\'emai Kiad\'o，1976年。[17] Jizba，P.&Arimitsu，T.，《根据R’enyi的世界：多重分形系统的热力学》。Ann Phys，312（1），第17页，2004年。[18] Jizba，P.&Arimitsu，T.，《r’enyis熵的可观测性》。Phys Rev E，2004年。[19] Jizba，P.，Kleinert，H.&Shefaat，M.，R’enyi金融时间序列之间的信息传递。Phys A，391（10），第29712012页。[20] Jizba，P.、Dunningham，J.A.&Joo，J.，《信息论不确定性关系在量子理论中的作用》。Ann Phys，355，第87–115页，2015年。[21]Hurst，H.、Black，R.&Simaika，Y.，《长期储存：一项实验研究》。康斯特布尔，伦敦，1965年。【22】Gilmore，M.、Yu，C.、Rhodes，T.&Peebles，W.，《重标度分析、赫斯特指数和等离子体湍流中的长期相关性研究》。Phys Plasmas，2002年9月。【23】Koscielny Bunde，E.、Kantelhardt，J.、Braun，P.、Bunde，A.&Havlin，S.，《河流径流记录的长期持久性和多重分形：趋势衰减研究》。《水文杂志》，322（14），第120-137页，2006年。【24】Scott，D.W.，多元密度估计：理论、实践和可视化。约翰·威利父子公司，1992年。[25]Freedman，D.和Diaconis，P.在直方图上作为密度估计器。Zeitschrift f¨ur Wahrscheinlichkeitsforerie und Verwandte Gebiete，57（4），p.4531981。