提款约束和随机夏普条件下的投资组合基准研究

wealthamount to investPolicy近似值π0π0+π1（b）图3：效用函数（a）U（ξ）=ξ1的最优策略近似值的数值解-γ1-γ、 γ=3.0（b）U（ξ）=ξ1-γ1-γ+ξ1-γ1-γ、 γ=3.0，γ=1.5。图3（a）和3（b）。有趣的是，要在没有随机波动率修正的情况下实现类似的价值函数，即Q（0）和Q（0）+Q（1），我们显然需要采用两种非常不同的投资政策，即π和π+π。在图3（a）和3（b）中，我们注意到，随着当前财富接近最大财富价值，最佳策略是逐步清算风险资产的头寸。在存在随机波动率的情况下，最优策略近似值π+π建议持有风险头寸的时间要比不进行π中的随机波动率校正的时间长。正确的策略还建议大幅清算风险资产头寸，以防范随机波动的下行风险。另一方面，当当前财富远离提取障碍时，最优策略近似值π+π建议在风险资产中以与恒定波动率近似值π相同的交易率建立头寸。根据以上结果，我们推断，即使存在随机波动，投资者在其投资组合中也不会损失太多价值。然而，为了实现类似的价值函数，投资者必须部署一种与恒定波动率策略π相比，针对随机波动率π+π校正的显著不同的策略。

当远离提款障碍时，风险资产中的较大头寸表明，在接近最佳水平时，利用随机波动性可能带来的上行风险，同时比在恒定波动性中持有风险资产的时间更长，这表明对可能的下行风险持谨慎态度。在上述结果中，我们将随机波动率因子y的水平设置为与长期值θ相同。很明显，随机波动率水平在修正项中起着至关重要的作用，因此我们研究了y向任何方向偏离其长期值θ时的影响。我们观察到，即使在这些新的情况下，相对效用修正仍然很小。然而，在这些情况下，最优策略表现出明显不同的行为。当当前波动率水平高于长期平均值y=1.05×θ时，在图4（a）中，与无随机波动率修正的策略相比，最优策略近似值建议对风险资产进行更多投资。此外，由于投资组合财富的移动会阻碍资金的提取，修正后的最优策略建议以远高于π的比率在风险资产中建立头寸。然而，在当前波动率水平低于长期平均值y=0.95×θ的情况下，在图4（b）中，最优策略近似值表明，与未进行随机波动率校正的策略相比，对风险资产的投资更少。修正后的策略仍接近最大财富价值，建议持有比恒定波动率策略所建议的风险更高的资产。0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.7财富与最大财富的比率金额与投资政策近似值π0π0+π1（a）0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.100.10.20.30.40.50.6财富与最大财富的比率。

wealthamount to investPolicy近似值π0π0+π1（b）图4：（a）y=1.05×θ（b）y=0.95×θ的最优策略近似值的数值解。使用的效用函数U（ξ）=ξ1-γ1-γ、 γ=3.05结论我们研究了提款约束下动态投资组合优化问题中随机夏普比率的影响。我们提出了一个新的投资者目标框架，允许进行降维转换。这种新的设置允许我们使用系数扩展技术来解决价值函数和最优策略近似中的不同项。借助一种非线性变换，我们导出了价值函数展开项，这些展开项可以数值计算并用于近似最优投资组合策略。在一个流行的带有市场校准参数的随机波动率模型中，我们说明了有无随机波动率校正的最优策略之间的显著差异。目前的问题需要进一步调查，可以沿着以下方向进行：1。近似误差分析：在这项工作中，我们重点关注随机波动率对价值函数和最优投资组合策略的一阶影响。我们观察到，对价值函数的随机波动率修正很小，而修正后的最优策略表现出与恒常波动率最优策略显著不同的行为。这需要对高阶项进行调查，以寻找对最优策略可能产生的其他有趣影响。2、多资产市场模型：我们在随机波动率模型中研究了提款约束下的投资组合优化问题，为信息投资决策提供了合理的指导。

然而，为了完全把握市场状况，我们计划在多资产模型中解决同样的问题，并研究随机波动对投资策略的影响。A证据A。引理1证明。让我们考虑一个具有风险资产的市场，其动力学由对数正态模型dstst=udt+σdB（1）t给出。对于市场中的该风险资产，我们再次制定投资者的投资组合优化问题（见第2.1节）V（t，l，m）=supπ∈∏EhULTMT公司Lt=l，Mt=mi，t>0，m>l>αm>0，其中容许策略由∏α，t，l，m给出：=π：可测量，F- 适应，Et，l，mZTtπsds<∞ s、 t.Ls公司≥ αMs>0 a.s.，t≤ s≤ T,F={Ft:0≤ t型≤ T}是B（1）产生的过滤的增强。我们将恒夏普比定义为λ：=（u-r） σ和空间域为Oα：={（l，m）：m>l>αm>0} R、 然后，通过按照第2.1节进行，可以表明对于V∈ C1,2,1（R+×Oα），我们有以下非线性偏微分方程电视-λ（Vl）Vll=0，在[0，T）×Oα上，边界条件为V（T，l，m）=U（l/m），Vm（T，m，m）=0，V（T，αm，m）=U（α）。与第2.2节类似，我们对变量ξ进行了更改：=l/m。很明显，展开式（8），Q（0）（T，ξ）=V（T，l，m）。首先表明Q（0）（T，·）是一个非递减函数，我们记得，在constantvolatility模型中，对于投资组合策略π，贴现财富过程给出了asLl，πt=l+Ztπsσλds+dB（1）s,其中l是起始财富值。Let（Ll，π）*表示财富过程Ll，π在时间段[0，T]上的最大值。现在，我们考虑l，LF作为m的固定值，使得（t，l，m），（t，l，m）∈[0，T）×Oα。

那么，对于l≤ l、 我们选择π∈ πα，t，l，m等于，π≥ α（m∨ （Ll，π）*)= αm∨l+Ztπsσ（λds+dB（1）s）*!.添加（l- l） 到上面不等式的两边到writeLl，π≥αm+（l- l）∨αl+αZtπsσ（λds+dB（1）s）*+ （1）-α） （l）- l）!≥ αm∨l+Ztπsσ（λds+dB（1）s）*!= α（m∨ （Ll，π）*),也就是∏α，t，l，m πα，t，l，m。因此，我们得到V（t，l，m）≤ V（t，l，m）。对于ξ：=lm和ξ：=lm，这给出了usQ（0）（t，ξ）≤ Q（0）（t，ξ）。接下来，根据引理3.2 Elie[6]中的论点，V（t，l，m）在变量m中是不递增的。因此，对于固定的l和m≤ msuch that（t，l，m），（t，l，m）∈ [0，T）×Oα，我们有V（T，l，m）≤ V（t，l，m）。再次通过定义ξ：=lm和ξ：=lm，我们得到v（t，l，m）≤ V（t、l、m）==> Q（0）（t，ξ）≤ Q（0）（t，ξ）。因此，我们已经证明Q（0）（t，·）是非递减的。为了证明值函数Q（0）（t，·）的凹性，我们从引理3.2 Elie[6]中的论证中获取了动机。首先，我们确定η∈ [0，1]并选择α≤ ξ、 ξ≤ 我们的目的是证明V（t，l，m）在其第二个自变量中是凹的，即ηV（t，l，m）+（1）- η） V（t、l、m）≤ V（t，ηl+（1-η） l，m），（31）其中，对于m的固定值，我们设置l=mξ和l=mξ。现在，假设（31）为真。然后通过反转变量的变化，我们得到（31）ηQ（0）（t，ξ）+（1- η） Q（0）（t，ξ）≤ Q（0）（t，ηξ+（1-η） ξ）给出了Q（0）（t，·）的凹度。还有待证明（31）是真的。我们将过程L（1）定义为财富过程，启动财富土地投资组合策略π∈ ∏α，t，l，m。同样，我们通过启动财富土地组合策略π来定义过程l（2）∈ ∏α，t，l，m。然后，我们通过定义ηl（1）+（1-η） L（2）≥ ηα（m∨ （L（1））*) + （1）- η） α（m∨ （L（2））*)≥ αm级∨ηL（1）+（1-β） L（2）*.这给了我们ηπ+（1-η） π∈ ∏α，t，ηl+（1-η） l，m。

从效用函数u的凹度性质来看，它遵循ηEt“UL（1）T（m∨（L（1））*T） ！#+（1）-η） Et“UL（1）T（m∨（L（1））*T） 哦#≤ Et“UηL（1）T（m∨（L（1））*T） +（1-η） L（2）T（m∨（L（2））*T） ！#。接下来，我们打算证明ηL（1）T（m∨（L（1））*T） +（1-η） L（2）T（m∨（L（2））*T）≤ηL（1）T+（1-η） L（2）T（m∨（ηL（1）+（1-η） L（2））*T） 。（32）考虑以下可能的情况，我们将各个术语与m进行比较，并找出最大值（L（1））*T（L（2））*T（ηL（1）+（1-η） L（2））*TCase 1 m m mCase 2 m（L（2））*TmCase 3（L（1））*Tm mCase 4（L（1））*T（L（2））*T–很明显，（32）中的不等式适用于案例1-3，我们只需要考虑案例4。我们从最优性条件知道，对于达到最大值的策略π和π，当达到最大可能性时，风险资产中的位置将变为零。因此，对于此类策略，我们有L（1）T=（L（1））*T、 L（2）T=（L（2））*T、 然后，我们得到ηL（1）T+（1-η） L（2）T（m∨（ηL（1）+（1-η） L（2））*T） =η（L（1））*T+（1-η） （L（2））*T（米∨（ηL（1）+（1-η） L（2））*T）≥ 1，由于η（L（1））*T+（1-η） （L（2））*T≥ m、 η（L（1））*T+（1-η） （L（2））*T≥ （ηL（1）+（1-η） L（2））*T） 。因此，我们已经证明（32）确实是正确的。这给了我们ηEt“UL（1）T（m∨（L（1））*T） ！#+（1）-η） Et“UL（1）T（m∨（L（1））*T） 哦#≤ Et“UηL（1）T+（1-η） L（2）T（m∨（ηL（1）+（1-η） L（2））*T） 哦#≤ V（t，ηl+（1-η） l，m）。由于π，π是任意的，我们已经展示了（31）。这是q（0）（t，·）凹性的证明。A、 2命题1证明。根据命题2证明中的计算，我们知道tξQ（0）=-λQ（0）ξ-1+Rξ. （33）差异（15）w.r.t.给定值=-Q（0）tξQ（0）ξξ+Q（0）ξQ（0）ξξQ（0）tξ。（34）微分（33）w.r.t.ξ，我们得到q（0）tξ=-λQ（0）ξξ-1+Rξ-λQ（0）ξRξ。将上述结果和（33）插回（34）中，得到R的PDE。t=t的终端条件与Q（0）的终端条件是直接的。

在边界处，ξ=α，Q（0）=U（α），由于Q（0）在边界上的连续性，使得Q（0）t=0。然后，由于导数w.r.t.空间变量在边界上的连续性，从（13）我们得到ξ=α，（Q（0）ξ）Q（0）ξξ=RQ（0）ξ=0。As Q（0）ξξ=α6=0，它给出Rξ=α=0。从引理1证明和第3.3节的计算中我们知道，与价值函数Q（0）相对应的最优策略为π：=常数×R。很明显，随着投资组合财富接近其最大值，即ξ=1，最优策略建议平仓风险头寸，π|ξ=1=0。这给了我们R作为R的正确边界条件ξ=1=0。A、 3命题2证明。在定义Q（0）（t，ξ）=Q（0）（t，z（t，ξ））时，我们将两侧的w.r.t.t区分为tQ（0）=tq（0）+q（0）zzt=tq（0）-Q（0）tξQ（0）ξ+λq（0）z。从不同运算符的定义（18）中检查也很简单丹麦k=1,2，。。。thatDQ（0）=q（0）z，DQ（0）=q（0）zz- Rξq（0）z.（35）接下来，我们观察到PDE（19）也可以写成q（0）t=λDQ（0）。区分此W。r、 t.ξ，我们得到tξQ（0）=λRQ（0）ξξξ+RRξQ（0）ξξξ.此外，从R的定义，我们得到RQ（0）ξξ=-Q（0）ξ，在微分w.r.t.ξ后，得出Q（0）ξξ=-RQ（0）ξξ1+Rξ.因此，我们有tξQ（0）=λRQ（0）ξξ-1+Rξ= -λQ（0）ξ-1+Rξ.最后，我们收集要写入的q（0）方面的tQ（0）、DQ（0）和DQ（0）t+λD+λDQ（0）=tq（0）--λ-1+Rξ+λq（0）z+λq（0）z+λq（0）zz- Rξq（0）z=t+λzq（0），它给出了所需的PDE。对于q（0）的终端边界条件，根据z（t，ξ）和终端条件（14）的定义，q（0）（t，z）=UU-1.e-z, ψ（T）<z<∞.（14）中的左边界条件也可以很容易地进行变换。

接下来，对于（14）中的右边界条件，我们首先注意到q（0）z×ξz=Q（0）ξ。现在，当Q（0）ξ=0时，对于ξ=1，只有当在上述关系中我们有limz时，它才成立→∞q（0）z（t，z）=0。这就完成了证明。A、 4命题证明4我们首先考虑终端条件HQ+S=0，q（T，z，x，y）=0，（36）的PDE问题，其中H是常数系数线性算子H：=t+A+C。我们假设源项S具有以下特殊形式（t，z，x，y）=Xk，l，n（t- t） n（x- (R)x）k（y）- (R)y）lv（t，z，x，y）（37），其中总和有有限个项，v是齐次方程HV=0的解。此外，定义运算符H和（x）的换向器- \'\'x）I（I是标识运算符），LX=[H，（x- (R)x）I]asLXv：=H（（x- (R)x）v）-（十）- (R)x）Hv，根据A（12）和C（22）的定义，给出了x=bI+σx+ρσβy+σλz、 （38）同样，定义=[H，（y- \'\'y）I]，其给定=cI+βy+ρσβx+ρβλz、 （39）使用LX和LY，我们还定义了x:=（x- \'\'x）I+（s-t） LX，车型年款：=（y）- y）I+（s- t） LY公司。利用这些定义，我们首先给出了与齐次解v相关的以下结果，来自【12，引理3.4】。这里，为了完整性，我们提供了证明。引理4。对于整数k，l，我们有，HMkX（s）MlY（s）v=0。证据我们采用归纳法。我们首先计算ehmx（s）v=H（x- (R)x）v+H（s）- t） LXv=LXv+（x- (R)x）高压- LXv+（s-t） HLXv=LXHv=0，其中我们使用了换向器LX的定义，事实上，LX和H是常数系数运算符，Hv=0。因此，我们可以迭代整数k来显示HMX（M（k-1） Xv）=0（当HMX（s）v=0时）。类似地，对于整数l，我们可以证明HMlYv=0。最后，我们得到H（MkX（s）MlY（s）v）=0。引理5。具有零终端条件的方程（36）的解q为q（t，z，x，y）=Xk，l，nZTt（t- s） nMkX（s）MlY（s）v（t，z，x，y）ds。（40）证明。

这可以用源项（37）和引理4的形式来表示。假设源项由一个单项式组成，其形式为S（t，z，x，y）=（t-t） n（x- (R)x）k（y）-(R)y）lv（t、z、x、y）。在这种情况下，根据我们的声明，应给出解asq（t，z，x，y）=ZTt（t- s） nMkX（s）MlY（s）v（t，z，x，y）ds。我们通过计算HQ=-（T- t） nMkX（t）MlY（t）v（t，z，x，y）+ZTt（t- s） 新罕布什尔州MkX（s）MlY（s）v（t，z，x，y）ds=-（T- t） n（x- (R)x）k（y）- (R)y）lv（t，z，x，y）=-S、 也很容易看出，对于（40）中提出的解决方案形式，满足了终端条件。结果来自PDE问题的线性。最后，我们给出命题4的证明。证据我们首先观察到，由于q（0）解Hq（0）=0，那么q（0）zalso解齐次方程，因为算子H具有常数系数。我们设置v=q（0）z。从（25），源项isS（t，z，x，y）=λ1,0（x- (R)x）+λ0,1（y- 是）v、 所以从引理5，我们得到了解q（1）（t，z，x，y）=hλ1,0（T- t） （十）- \'\'x）+（T- t） LX公司+λ0,1（T- t） （y）- y）+（T- t） LY公司智商（0）z（t，z）。（41）根据λ（y）的展开式，我们得到λ1,0=λλ1,0，λ0,1=λλ0,1。将lx和LYfrom（38）和（39）的表达放回（41），我们得到了表达素（27）。t=t时的终端条件明显满足。仍需检查q（1）的边界条件。我们证明了与原始变量（t，ξ）相对应的Q（1）的边界条件是满足的。使用（23）和（35），我们得到（28）。现在，由于风险容限函数ξ=α处的零边界条件，我们从（28）得到Q（1）（t，α，x，y）=0，这意味着（21）中的左边界条件满足。因此，（26）中的左边界条件满足Q（1）。接下来，我们计算公式（1）ξ（t，ξ，x，y）=（t- t） λA（t，x，y）RξQ（0）ξ+RQ（0）ξξ+（T- t） λB-2.RξQ（0）ξ+RQ（0）ξξ+ 3RξQ（0）+RξQ（0）.

（42）根据我们关于kξQ（0）（t，1）表示k≤ 5，我们有limξ→1Rk（k+1）ξQ（0）=0，k=1，2，3。然后，我们可以使用ξ=1时Q（0）ξ和R的边界条件，从（42）得出Q（1）ξ（t，ξ，x，y）ξ=1=0，这意味着（21）中的右边界条件满足。这意味着（26）中的右边界条件满足q（1）。参考文献[1]G.Chacko和L.M.Viceira。不完全市场中随机波动的动态消费与投资组合选择。《金融研究评论》，18（4）：1369–14022005。[2] A.契赫洛夫、S.乌里亚舍夫和M.扎巴兰金。投资组合优化中的提取措施。《国际理论与应用金融杂志》，8（01）：13–582005。[3] X.Chen、D.Landriault、B.Li和D.Li。将终身投资的提款风险降至最低。《保险：数学与经济学》，65:46–542015。[4] V.Cherny和J.OblóJ.半鞅金融模型中非线性提款约束下的投资组合优化。《金融与随机》，17（4）：771-8002013。[5] J.Cvitanic和I.Karatzas。“提取”约束下的投资组合优化。IMAVolumes in Mathematics and its Applications，65:35–351995。[6] R.Elie。降深约束下的有限时间默顿策略：一种粘性解方法。《应用数学与优化》，58（3）：411–4312008。[7] R.Elie和N.Touzi。提款约束下的最优寿命消耗和投资。《金融与随机》，12（3）：299–330，2008年。[8] J.-P.Fouke、R.Sircar和T.Zariphopoulou。投资组合优化和随机波动渐近。数学金融，2015年。[9] S·J·格罗斯曼和Z·周。控制提款的最佳投资策略。《数学金融》，3（3）：241–2761993年。[10] S.K"allblad和T.Zariphopoulou。对数正态市场中最优投资策略的定性分析。