提款约束和随机夏普条件下的投资组合基准研究

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英文标题：
《Portfolio Benchmarking under Drawdown Constraint and Stochastic Sharpe
  Ratio》
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作者：
Ankush Agarwal, Ronnie Sircar
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider an investor who seeks to maximize her expected utility derived from her terminal wealth relative to the maximum performance achieved over a fixed time horizon, and under a portfolio drawdown constraint, in a market with local stochastic volatility (LSV). In the absence of closed-form formulas for the value function and optimal portfolio strategy, we obtain approximations for these quantities through the use of a coefficient expansion technique and nonlinear transformations. We utilize regularity properties of the risk tolerance function to numerically compute the estimates for our approximations. In order to achieve similar value functions, we illustrate that, compared to a constant volatility model, the investor must deploy a quite different portfolio strategy which depends on the current level of volatility in the stochastic volatility model.
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中文摘要：
我们考虑一个投资者，在具有局部随机波动性（LSV）的市场中，在固定的时间范围内，在投资组合缩减约束下，寻求最大化从其终端财富中获得的预期效用。在没有价值函数和最优投资组合策略的封闭式公式的情况下，我们通过使用系数展开技术和非线性变换来获得这些数量的近似值。我们利用风险容限函数的正则性来数值计算近似值的估计。为了实现类似的价值函数，我们说明，与恒定波动率模型相比，投资者必须部署完全不同的投资组合策略，这取决于随机波动率模型中当前的波动水平。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_Benchmarking_under_Drawdown_Constraint_and_Stochastic_Sharpe_Ratio.pdf (706.54 KB)

2022-5-26 21:01:20 上传

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关键词：投资组合 Quantitative Optimization Benchmarking performance

提款约束和随机夏普比率下的投资组合基准研究*Ronnie Sircar+此版本：2018年9月19日摘要我们考虑的是一位投资者，在具有局部随机波动性（LSV）的市场中，相对于在固定时间范围内和投资组合缩减约束下取得的最大绩效，她寻求从终端财富中获得的预期效用最大化。在没有价值函数和最优投资组合策略的封闭式公式的情况下，我们通过使用系数扩展技术和非线性变换来获得这些数量的近似值。我们利用风险容限函数的正则性，数值计算近似值的估计。为了实现类似的价值函数，我们说明，与恒定波动率模型相比，投资者必须部署完全不同的投资组合策略，这取决于随机波动率模型中当前的波动水平。关键词和短语。投资组合优化、提取、随机波动性、本地波动性YAMS（2010）分类。91G10、91G80JEL分类。G111简介1.1背景和动机在关于动态投资组合优化的大量长期文献中，人们认为在各种投资组合约束下的不同类型的终端效用范式可以理解投资者的行为（例如，有关详细的阐述，请参见Rogers[19]）。这些问题的解决方案提供了帮助机构投资者的最佳投资策略，有时也有助于揭示对市场观察现象的深刻见解。连续时间投资组合优化的经典问题可以追溯到萨缪尔森（Samuelson）[20]和默顿（Merton）[16，15]。

在他的开创性论文中，默顿[16]考虑了一个市场，其中风险资产的价格由几何布朗运动（具有恒定的波动性）给出，目标是通过在风险资产和无风险银行账户之间投资资本，最大化终端财富的预期效用。对于恒定相对风险规避效用（CRRA）函数，作者指出，最优策略是对风险资产和银行账户进行“固定组合”投资。默顿里程碑式的结果提供了结构性的市场洞察，但限制性的问题设置——投资者目标和市场动态——妨碍了将结果应用于实际*法国帕莱塞德宫91128号萨克莱路埃科尔理工学院和CNRS数学材料贴花中心；电子邮件：ankush。agarwal@polytechnique.edu.作者研究是风险基金会主席FinancialRisks的一部分。+美国新泽西州普林斯顿市普林斯顿大学谢尔德·霍尔ORFE系，邮编：08544；电子邮件：sircar@princeton.edu.作者的研究部分得到了NSF拨款DMS-1211906的支持。情况。因此，随后的研究侧重于放松[16]中的假设，纳入各种市场约束，并考虑更现实的模型设置。投资组合经理通常使用投资组合价值的止损水平，以防止在价格下跌的情况下财富完全消失。这也称为更常见的下拉约束。在这种约束条件下，投资组合中的财富必须始终保持在当前最大财富价值的一定比例以上。此外，在几个阶段，投资组合经理将一定比例的初始财富委托给池投资者。

对PortfolioWalth施加提款限制也涵盖了这种情况。在这篇文章中，我们提出了一个新的框架来研究随机波动市场模型中在提取投资组合约束下的动态投资组合优化。在许多实证研究中，已经很好地证明，随机波动率是一种合理的资产价格建模工具，可以捕捉市场观察到的波动率微笑和波动率聚类。我们的主要创新是引入一种新的终端投资者目标范式，该范式允许减少问题的维度。由于我们在这项工作中的中心目标是从数值上研究随机波动对价值函数和最优投资组合策略的影响，降维是一个关键特征，可以有效地实施用于解决问题和研究随机波动影响的数值程序。1.2文献综述几位作者都考虑了提款约束下的最优投资组合问题。Grossman和Zhou[9]是第一个在对数正态市场模型的有限时间范围内全面研究这一问题的人。他们研究财富预期效用的长期增长率最大化，并使用动态规划原理来解决这个问题。Cvitanic和Karatzas【5】简化了Grossman和Zhou【9】的分析，并将结果扩展到存在多个风险资产的情况，这些资产的动态由具有确定性系数的对数正态模型控制。通过定义一个辅助过程，他们能够证明，具有水位下降约束的优化问题的解决方案可以与无约束优化问题相联系，其解决方案源自Karatzas等人的工作【11】。

他们进一步表明，在对数效用函数的情况下，即使对数正态模型中的系数是随机的并且满足某种遍历条件，结果仍然成立。在[21]中，Sekine将Cvitanic和Karatzas[5]的论点和结果推广到了一个具有单一随机波动因子的多资产市场模型。最近，Chernyand Oblój[4]研究了具有广义下降约束的抽象半鞅模型中的最优投资组合问题。他们利用Azéma Yor过程的特性表明，投资者目标是最大化预期效用的长期增长率的约束问题的价值函数与具有适当修改的效用函数的非约束问题具有相同的价值函数。此外，他们还表明，最优财富过程也可以作为无约束问题中最优财富过程的显式路径变换来获得。在考虑消费的连续时间框架下，研究了带提取约束的投资组合优化问题。罗氏（Roche）[18]研究了在线性下降约束下，电力效用函数在有限时间范围内最大化预期消费效用的问题。该分析是在单一资产的对数正态模型的设置下进行的。Elie和Touzi【7】随后将结果推广到零利率设置下的一类一般效用函数，并获得了解的显式表示。Elie[6]还研究了同一问题的有限时间版本，在没有解析表示的情况下，他提供了问题的数值解。在财务文献中，由于其重要性，具有提款限制的不同问题设置受到了相当大的关注。

Magdon Ismail和Atiya[14]在单资产对数正态市场模型中考虑了当提取最小化时的最优投资组合选择问题。Chekhlov等人[2]在离散时间内分析了投资组合优化问题，其中投资者的目标是使投资组合的预期回报最大化，同时还要考虑提取资金方面的风险约束。他们考虑了一个多资产市场模型，并将该问题简化为一个可以数值求解的线性规划问题。在保险文献中，提取约束已被纳入研究终身投资问题。在[3]中，Chen等人考虑了最小化终身投资中发生重大提款可能性的优化问题，即投资组合财富在代表客户死亡时间的随机时间之前达到提款障碍的可能性。1.3我们的贡献在本文中，我们考虑的投资者在任何时候都担心自己的财富低于当前最大财富的固定分数，因此只对在固定投资期限结束时最大化这两个数量的比率感兴趣。由于投资者对提款持谨慎态度，因此不可能通过查看无界终端效用来获得不合理的财富。因此，考虑丰富的终端效用是明智的。拟议的投资者目标范式也是从投资组合基准和固定目标问题的角度出发的。在我们的设置中，我们从满足提款限制的最大财富的初始值开始。我们问题中的portfoliostrategy允许投资组合财富通过投资风险资产达到初始最大财富水平，从而达到目标或基准。

试探性地，也可以得出，一旦财富达到最大值，最优投资组合策略将清算风险资产的头寸。这模仿了经典默顿策略的逻辑，默顿策略建议出售接近投资组合最高价值的风险资产。我们考虑的是无摩擦金融市场的基本设置，该市场具有单一基础资产和无风险货币市场账户。我们在随机波动性环境中研究这个问题，以证明波动性中的不确定性如何影响最优投资组合策略。这个问题没有明确的解决方案，因此，我们寻求价值函数和最优策略的精确近似。我们使用系数展开技术来公式化在值函数展开中分离不同术语的问题。这些问题的解决方案允许我们导出最优投资组合策略的展开式。由于存在投资组合约束，价值函数近似中的展开项在闭合形式下不可用。我们数值求解值函数近似中的前导项，并使用所谓风险容限函数的正则性性质来计算剩余的高阶展开项。对最优投资组合策略的数值估计也进行了类似的推导。我们证明了价值函数展开和最优策略中的领先项与我们在具有常数波动率的对数正态资产定价模型中问题的解有关。在这种情况下，最佳策略建议在投资组合财富接近其最大值时清算风险头寸。此外，在接近提取约束的情况下，最优策略指示在风险资产中稳步建立头寸，以将投资组合价值从较低的障碍中赶走。

价值函数的随机波动率修正项表明，由于波动率的不确定性，损失或收益非常小。然而，我们观察到，根据随机波动率的当前水平，具有波动率修正的最优策略与具有恒定波动率的情况有显著不同。在接近最大财富价值的情况下，正确的最优策略建议持有风险资产的时间要比在持续波动的情况下更长。这清楚地说明了随机波动对最优投资策略的影响。然而，与恒定波动情况下的最优策略相比，在水位下降屏障附近，修正最优策略的行为取决于模型中当前随机波动的水平。1.4组织在第2节中，我们介绍了连续时间模型的设置并阐述了问题。推导了最优投资组合问题的HJB方程，并根据价值函数给出了最优投资组合策略的解析公式。我们在第3节中提供了价值函数和最优投资组合策略的近似公式，并总结了我们的主要结果。在第4节中，我们讨论了我们结果的数值实现，并借助文献中考虑的流行数值例子提供了实际见解。第5节总结了文章并提出了未来研究的方向。

证明包含在附录A.2问题公式中。我们考虑一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）赋予二维布朗运动W=（W（1）t，W（2）t），0≤ t型≤ T假设存在一种风险资产，其在P下的动态性由以下局部随机波动率（LSV）模型给出：dStSt=（St，Yt）dt+σ（St，Yt）dB（1）t，dYt=c（Yt）dt+β（Yt）dB（2）t，其中B（1）t：=W（1）和B（2）t：=ρW（1）t+p1-ρW（2）具有相关ρ的P下皮重标准布朗运动∈ [-1，1）]：dhB（1）tB（2）ti=ρdt。根据It^o的公式，对数价格过程X=对数s如下所述：dXt=b（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dB（1）t，其中u（Xt，Yt）：=▄u（eXt，Yt），σ（Xt，Yt）：=▄σ（eXt，Yt）和b（Xt，Yt）：=u（Xt，Yt）-σ（Xt，Yt）。我们假设模型系数函数u、σ、c和β是Borel可测的，并且具有充分的正则性，以确保（X，Y）存在唯一的强解，该强解适用于增广F={Ft:0≤ t型≤ 此外，我们假设存在一个无摩擦的金融市场，单一风险资产的价格由S给出，无风险利率由标量常数r>0给出。在这个市场中，我们用“L”来表示投资者的财富过程，L在时间t将货币的“π”t投资于风险资产S，剩余的（\'Lt-无风险银行账户中的货币单位。然后，自我融资投资组合满足以下随机微分方程（SDE）d'Lt=r（'Lt- πt）dt+？πtdStSt=r’Lt+’πt（u（Xt，Yt）-r）dt+(R)πtσ（Xt，Yt）dB（1）t。以时间为单位的持续最大财富t美元由'Mt：=max{Lser（t-s） ；s≤ t} 。在这项工作中，我们提出了一个投资框架，鼓励在面临大规模资金缩减时退出市场，同时还针对与持续最大值或投资绩效高水位相关的基准。

投资者的风险偏好由满足以下假设1的效用函数U给出。终端效用函数U：（α，1）→ R、 平滑：U∈ C∞（α，1）。它也是严格递增和严格凹的。我们解决了有限T>0时的效用最大化问题，并设置了提取约束：(R)Lt≥ α′Mta。s、 ，0≤ t型≤ T、 其中α∈ （0，1）是固定的提取参数。2.1贴现公式我们希望在财富过程相对于无风险利率贴现的情况下制定问题。这使我们能够清楚地研究随机波动性对最优策略和价值函数的影响。为此，我们定义Lt：=(R)Lte-R和Mt：=(R)Mte-rt=最大{Ls；s≤ t} 。贴现财富过程满足以下SDEdLt=πt（u（Xt，Yt）-r） dt+σ（Xt，Yt）dB（1）t,其中πt：=e-rt'π是风险资产交易策略。现在，我们可以通过定义价值函数v（t，l，m，x，y）=supπ来表达投资者的效用最大化问题∈∏EULTMT公司Lt=l，Mt=m，Xt=x，Yt=y,其中，容许策略由∏α，t，l，m给出：=π：可测量，F- 适应，Et，l，m，x，yZTtπsσ（Xs，Ys）ds<∞,s、 t.Ls公司≥ αMs>0 a.s.，t≤ s≤ T.我们在R+×Ras[0，T）×Oα中定义了域，其中Oα：={（l，m，x，y）：0<αm<l<m}。上述值函数V定义为任何5-元组（t、l、m、x、y）∈ [0，T]×Oα。我们记得在{t上dM=0≥ 0 | Mt6=Lt}。