提款约束和随机夏普条件下的投资组合基准研究

然后，对于（t，l，m，x，y）∈ [0，T）×Oα和v∈ C1,2,1,2,2（[0，T]×Oα），遵循通常的动态规划原理（例如，参见Pham[17，第3章]），我们得到了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程(t+A）V+supπ∈RAπV=0，其中（A+Aπ）是过程（X，Y，L）的生成器，其中A=b（X，Y）x+c（y）y+σ（x，y）x+β（y）y+σ（x，y）β（y）ρx个y、 Aπ=πh（u（x，y）-r）l+σ（x，y）x个l+ρσ（x，y）β（y）yli+πσ（x，y）l、 通过检查π中的上述二次表达式，可以清楚地看到，最优策略π*:=arg最大π∈RAπV表示为π*= -（u（x，y）-r） Vl+ρβ（y）σ（x，y）Vyl+σ（x，y）Vxlσ（x，y）Vll，（1）其中下标表示偏导数。HJB方程变为(t+A）V+~N（V）=0，（2），非线性项为▄N（V）=-2Vllλ（x，y）Vl+σ（x，y）Vxl+ρβ（y）Vyl,式中λ（x，y）：=u（x，y）-rσ（x，y）是夏普比函数。边界条件为（终端条件）：V（T，l，m，x，y）=Ulm公司, （3） （Neumann条件）：Vm（t，m，m，x，y）=0，（4）（下降Dirichlet条件）：V（t，αm，m，x，y）=U（α）。（5） 上述Dirichlet条件表明，当达到提款限制时，投资者停止风险资产的交易（πt=0）。在贴现公式中，当投资者停止交易时，这意味着财富过程停止变化，投资者接受在提款障碍处给出的效用。2.2降维（2）中带边界条件（3）、（4）和（5）的非线性偏微分方程很难进行数值求解，因为域Oα是（L，M）空间中的一个楔形，需要非矩形有限差分网格。然而，我们注意到，给定问题的结构，我们可以执行变量的更改，从而降低问题的维数。

我们引入ξ=lm，定义Q（t，ξ，x，y）：=V（t，l，m，x，y），这导致Q的新非线性偏微分方程∈ C1,2,2,2[0，T]×α，1]×R:(t+A）Q+N（Q）=0，在[0，t）×（α，1）×R，（6）上，其中N（Q）=-2Qξλ（x，y）Qξ+σ（x，y）Qxξ+ρβ（y）Qyξ,边界条件为Q（T，ξ，x，y）=U（ξ），Qξ（T，1，x，y）=0，Q（T，α，x，y）=U（α）。（7） 除了提供降维功能外，上述变量的变化还将问题域从高维圆锥体转换为半矩形域，这通常有助于获得更精确的数值估计。3值函数和最优策略近似即使在常波动率对数正态资产模型下，非线性PDE（6）也没有可用的闭合形式解，需要依赖精确的数值近似。在本文中，我们建议找到值函数的近似值，即Q=Q（0）+Q（1）+Q（2）+，（8） 以及最佳投资策略π的近似值*= π+π+π+，（9） 通过使用系数展开技术。Lorig等人【13】针对一般LSV模型中的线性Ropean期权定价问题，以及Lorig和Sircar【12】针对经典（无约束）Merton问题，开发了这种方法。3.1系数多项式展开系数展开技术的主要思想是首先确定一个点（\'x，\'y）∈ Rand然后，对于任何函数χ（x，y），它是围绕（\'x，\'y）进行局部分析的，定义以下由∈ [0，1]：χa（x，y）：=∞Xn=0anχn（x，y），其中χn（x，y）：=nXk=0χn-k、 k（x- (R)x）n-k（y）- 是）k，χn-k、 k：=（n-k） 哦！kn-kxn公司-kkykχ（x，y）x=\'x，y=\'y。注意，对于n=0，χ：=χ0，0=χ（\'x，\'y）是一个常数。我们可以观察到χaa=1是关于点（\'x，\'y）的χ的泰勒级数展开式。

这里，a被视为微扰参数，用于识别近似中的连续项。为了在PDE（6）中应用该技术，我们首先替换每个系数函数χ∈ {b，c，σ，β，σβ，λ，σ，β}及其各自的级数展开式∈ （0，1）和（\'x，\'y）∈ R、 接下来，为了获得（8）和（9）中的近似值，我们将值函数的一系列展开式定义为Q=Qa=P∞n=0anQ（n），线性运算符A=Aa=P∞n=0ana并将非线性算子n（Q）替换为Na（Qa），这涉及系数函数和值函数的级数展开。然后从（6）中，我们考虑PDE问题(t+Aa）Qa+Na（Qa）=0，在[0，T）×（α，1）×R，（10）上，当边界条件sqa（T，ξ，x，y）=U（ξ），Qaξ（T，1，x，y）=0，Qa（T，α，x，y）=U（α）。（11）现在，为了获得展开式（8）和（9）中近似的逐次项，我们比较了（10）和边界条件（11）中扰动参数a的多项式中相应的次项。然后通过设置a=1.3.2零阶和一阶近似值来获得近似值。通过收集（10）展开式中的零阶项w.r.t.a来获得近似值（8）中的第一项。我们得到(t+A）Q（0）-2Q（0）ξξλQ（0）ξ+ρβQ（0）yξ= 0，其中A：=bx+cy+σx+βy+ρσβx个y、 （12）相应的序边界条件为Q（0）（T，ξ，x，y）=U（ξ），Q（0）ξ（T，1，x，y）=0，Q（0）（T，α，x，y）=U（α）。由于线性算子只有常数系数，边界条件不依赖于（x，y），因此解Q（0）（t，ξ，x，y）与（x，y）无关。因此，在这种情况下，我们得到：定义1。前导项Q（0）=Q（0）（t，ξ）满足以下非线性PDEQ（0）t-λQ（0）ξQ（0）ξξ=0，在[0，T）×（α，1），（13）上，边界条件sq（0）（T，ξ）=U（ξ），Q（0）（T，α）=U（α），Q（0）ξ（T，1）=0。

（14） 可以看出（后面也可以看到），零阶项Q（0）实际上对应于我们投资者问题的价值函数，这是在波动率和增长率均为对数正态的资产价格市场模型中，夏普比率为常数λ的情况下产生的。由于边界条件的存在，即使对于幂效用函数，也无法得到Q（0）的显式公式，因此我们通过数值技术估计了Q（0）的数量。第4节对此进行了详细解释。假设2。我们始终假设PDE问题（13）-（14）具有唯一的经典解Q（0）∈ C1,5b（[0，T）×[α，1]），即Q（0）在ξ中至少有五个导数，这些导数是连续的，并且有界到ξ=α，1处的边界。在无约束的情况下，没有下降限制，PDE（13）只是半空间ξ>0上的常数夏普比默顿值函数PDE，其中ξ表示财富水平。众所周知，给定一个满足通常条件（U（0+）=∞ 和U(∞) = 0），值函数的平滑度遵循Legendre变换到线性抛物线PDE。在我们的受限下降问题中，我们假设了当受限于有限域时解的正则性。第3.2.2节总结了我们的价值函数近似值，第3.3节总结了我们的最优投资组合近似值，给出了Q（0）的（高达5阶）偏导数。为了确定一阶修正项，我们引入了以下风险容忍函数（t，ξ）：=-Q（0）ξQ（0）ξξ（t，ξ）。（15） K"allblad和Zariphopoulou[10]在无约束情况下对该函数进行了很好的研究，Fouque等人最近将其用于研究随机波动环境中的经典Merton问题[8]。它满足了快速扩散型自主PDE：命题1。

风险容限函数R（t，ξ）满足非线性PDERt+λRRξ=0，在[0，t）×（α，1），（16）上，边界条件Sr（t，ξ）=-U（ξ）U（ξ），R（t，α）=0，R（t，1）=0。（17） 附录A.2给出了证明。正如我们稍后在第3.3节中所示，命题1对于计算最优策略π近似中的前导序项也是至关重要的*. 接下来，我们定义不同的运算符dk：=Rkkξk，k=1，2，（18） 这使得我们可以将方程（13）写成t+λD+λDQ（0）=0。（19） 接下来，我们收集展开式（10）中的一阶术语w.r.t.a。由于Q（0）不依赖于y，线性项起作用t+AQ（1），非线性项贡献λDQ（1）+λDQ（1）+λDQ（0）+βλρDyQ（1）+σλDxQ（1）。定义2。一阶修正项Q（1）满足以下PDEt+A+BQ（1）+S=0，在[0，T）×（α，1）×R，（20）上，线性算子Bgiven asB：=λD+λD+βλρDy+σλDx、 和源术语=λ（x，y）DQ（0）（t，ξ）。Qa的终端和边界条件（11）已经满足Q（0），因此我们得到Q（1）（T，ξ，x，y）=0，Q（1）ξ（T，1，x，y）=0，Q（1）（T，α，x，y）=0。（21）在第3.2.1节中，我们表明Q（1）可以用Q（0）的偏导数表示，R.3.2.1一阶修正项的显式表达式我们现在使用一种转换，使我们能够用Q（0）的偏导数找到Q（1）的显式表达式。为此，我们首先注意到Q（0）ξ是一个单调函数，从以下零阶项的结果可以看出。引理1。Q（0）（t，ξ）是ξ变量中的一个非递减凹函数。附录A.1中给出了证明。这一结果允许我们定义变量的变化，定义如下：定义3。

在[0，T]×α，1]上，定义z（T，ξ）：=-对数Q（0）ξ（t，ξ）+λ（t- t） ，ψ（t）：=-对数Q（0）ξ（t，α）+λ（t- t） ，Д（t）：=-对数Q（0）ξ（t，1）+λ（t- t） 和letq（0）（t，z（t，ξ））：=Q（0）（t，ξ）。从边界条件（14）可以清楚地看出，我们得到了ν（t）=∞ 对于所有0≤ 然后，我们得到q（0）（t，z）的以下偏微分方程问题。提案2。q（0）（t，z）满足以下线性偏微分方程t+λzq（0）=0，在[0，T）×上（ψ（T），∞),终端和边界条件为q（0）（T，z）=UU-1.e-z, 林茨→∞q（0）z（t，z）=0，q（0）（t，ψ（t））=UU-1.e-ψ（t）+λ（t-t）.附录A.3中给出了证明。引理2。表示qt、 z（t，ξ），x，y:=^Q（t，ξ，x，y）。然后，在[0，T）×（ψ（T），∞) ×R，我们有t+A+B^Q=t+A+Cq、 式中，C=λz+ρβλyz+σλx个z、 （22）上述结果来自命题2证明中进行的计算（alsosee[12，引理3.3]）。接下来，我们在引理2中设置^Q=Q（0）和Q=Q（0）。此外，我们知道q（0）不依赖于（x，y）和a，以及Chave导数w.r.t.（x，y）中的最后两项。然后，应用命题2中的Cas算子，我们得到了常系数热方程。在[0，T）×（ψ（T），∞), 我们有t+A+Cq（0）=0。最后，我们从q（1）asq（1）（t，z（t，ξ），x，y）中定义q（1）：=q（1）（t，ξ，x，y）。（23）提案3。一阶修正项的替代表示q（1）（t、z、x、y）t+A+Cq（1）+S=0，on[0，T）×（ψ（T），∞) ×R，（24），其中（t，z，x，y）=λ（x，y）q（0）z（t，z，x，y）。（25）边界条件为q（1）（T，z，x，y）=0，q（1）（T，ψ（T），x，y）=0，limz→∞q（1）z（t，z，x，y）=0。（26）上述结果源自定义2。在以下命题中，用q（0）的导数给出了具有边界条件（26）的（24）的解。提案4。

（24）中带边界条件（26）的偏微分方程的解由q（1）（t，z，x，y）=（t）给出- t） λA（t，x，y）q（0）z（t，z）+（t- t） λBq（0）zz（t，z），（27）式中（t，x，y）=λ1,0（十）- \'\'x）+（T- t） b类+ λ0,1（y）- y）+（T- t） c类,B=λ1,0σλ+λ0,1ρβλ。在原始变量Q（1）中，具有终端和边界条件（21）的（20）的解由Q（1）（t，ξ，x，y）=（t）给出- t） λA（t，x，y）DQ（0）+（t- t） λB（D- 2D）Q（0）。（28）附录A.4.3.2.2一阶值函数近似结果摘要中给出了证明。然后，通过设置A=1:Q来确定值函数Q的系数多项式近似，PDE问题（6）-（7）的解决方案≈ Q（0）+Q（1），其中o零阶项：Q（0）（t，ξ）通过数值求解（13）和边界条件（14）来估计一阶项：Q（1）（t，ξ，x，y）来自命题4，由（28）给出。3.3最优策略近似值在值函数Q的近似展开式（8）中，我们有Q（0）和Q（1）的估计值，我们可以找到最优策略π的一阶近似值*来自公式（1）。对于Q（t，ξ，x，y），最优策略由π给出*（t，l，m，x，y）=-m级（u（x）-r） Qξ（σ（x，y））Qξξ+ρβ（y）Qyξσ（x，y）Qξξ+QxξQξξ, ξ=lm。表示π的近似值*根据R、Q（0）及其空间导数，我们在上述公式中用Q（0）+Q（1）代替Q，使用（28）中的结果和以下引理。引理3。根据R的定义（15），我们有以下等式：（i）（D+D）DQ（0）=RRξDQ（0），（ii）(-2D+D）Q（0）=DDQ（0），（iii）D+DDDQ（0）=RRξξ（3Rξ- 2） +RRξξDQ（0）。证据我们使用基本操作显示以下内容。从（15）和（18）中，回想R=-Q（0）ξQ（0）ξξ，Dk=Rkkξk，k=1，2。

。（i） 我们得到，DDQ（0）=D（RQ（0）ξ）=RRξQ（0）ξ+RQ（0）ξ=（Rξ- 1） DQ（0）和ddq（0）=RRξDQ（0）- （Rξ）- 1） DQ（0）。上述结果和dk算子的分布性质完成了证明。（ii）我们有，DQ（0）=Rξ-Q（0）ξR= R-Q（0）ξR+Q（0）ξRξR= （Rξ+1）DQ（0）。这给了，-2DQ（0）+DQ（0）=-2DQ（0）+（Rξ+1）DQ（0）=（Rξ- 1） DQ（0）。最终结论如下（i）。（iii）使用之前的计算，我们得到（Rξ- 1） DQ（0）= RRξQ（0）ξ+（Rξ- 1） DDQ（0）=RRξξDQ（0）+（Rξ- 1） DQ（0），D（Rξ- 1） DQ（0）= 研发部RRξQ（0）ξ+（Rξ- 1） Q（0）ξ= RRRξξ+Rξξ（Rξ- （1）DQ（0）+RD（Rξ- 1） Q（0）ξ= RRRξξ+3Rξξ（Rξ- （1）DQ（0）- （Rξ- 1） DQ（0）。以上两个结果的总和即为证明。因此，我们得到的最优策略近似值为π*≈ m级（u（x，y）-r） （σ（x，y））r+（T- t） λA（t，x，y）（u（x，y）-r） （σ（x，y））RRξ+（T- t） λB（u（x，y）-r） （σ（x，y））rRξξ（3Rξ- 2） +RRξξ（29）+（T- t） λλ0,1ρβ（y）σ（x，y）+λ1,0R（Rξ- （1）.4示例和数值实现在本节中，我们考虑了Chacko和Viceira[1]中的随机波动率模型及其校准参数集，并详细讨论了我们在第3节中获得的结果的数值实现。我们讨论了随机波动性对价值函数的影响，并针对幂效用函数和两个幂效用函数的混合情况讨论了最优策略，如[8]所述。

后者允许相对厌恶情绪随着财富的减少而下降，而前者则在财富水平上保持不变。根据所考虑的随机波动率模型【1，第1节】，第2节中的系数（u，σ，c，β）与x无关，并表示为u（y）=u，σ（y）=√y、 c（y）=κ（θ- y） ，β（y）=δ√y、 常数的市场校准值为u- rκθδρ0.0811 0.3374 27.9345 0.6503 0.5241我们通过显式有限差分Euler格式数值求解Q（0）。我们用给定asM的均匀网格近似域[0，T]×[α，1]=（tn，ξj）：n=0，1，N、 j=0，1，J,式中，tn=T- nt、 ξj=α+jξ。设qnj表示Q（0）（tn，ξj）的数值近似。然后将内部Q（0）的离散化方程写成qn+1j=Qnj-λt（Qnj+1- 景儿峪组-1） （Qnj+1- 2Qnj+Qnj-1） 。（30）我们从猜测Qj=U（ξj）开始，对于所有j=0，1，J、 边界条件为Qn+1J=Qn+1J-1，和，Qn+1=U（ξ）。在图1（a）和2（a）中，我们绘制了前导阶展开项0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1的数值解-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.5财富与最大财富的比率价值函数q0（a）0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5-1.-0.500.511.52x 10-3财富与最大财富之比相对效用修正Q1/Q0（b）图1：（a）零阶值函数Q（0）（b）相对效用修正Q（1）/Q（0）的数值解。使用的效用函数U（ξ）=ξ1-γ1-γ、 γ=3.00.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3.2-3.-2.8-2.6-2.4-2.2-2.-1.8-1.6-1.4-1.2财富与最大财富的比率价值函数q0（a）0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8.-6.-4.-202468x 10-4财富与最大财富之比相对效用修正Q1/Q0（b）图2：（a）零阶值函数Q（0）（b）相对效用修正Q（1）/Q（0）的数值解。使用的效用函数U（ξ）=ξ1-γ1-γ+ξ1-γ1-γ、 γ=3.0，γ=1.5。Q（0）从（30）中获得。

我们可以看到，零阶项是凹的，并且不递减，正如引理1所期望的那样。为了确定一阶修正项，我们参考公式（28）。我们可以直接使用公式中命题1中的R，而不是取Q（0）的导数。我们注意到，为了获得Q（1），我们需要设置参考水平y的值。我们设置y=y，即随机波动率因子的当前值。这给出了usQ（1）=λ0,1（T- t） cRQ（0）ξ+λ0,1（T- t） λρβ-2RQ（0）ξ+RξQ（0）=（u-r） （T- t） hκ（θ- y） RQ（0）ξ+ρδ（u- r） y型-2RQ（0）ξ+RξQ（0）i、 我们使用R和Q（0）的正则性来计算上述表达式。我们通过显式有限差分Euler格式数值求解（16）和边界条件（17），得到R的估计。内部的离散化方程写为RN+1j=Rnj+λt（Rnj）（Rnj+1- 2Rnj+Rnj-（1）(ξ） ，边界条件Rn+1J=0，且Rn+1=0。当我们在时间内反向求解方案时，我们从猜测Rj=-U（ξj）U（ξj），对于所有j=0，1，J、 在我们的市场校准随机波动率模型中，我们设置y=θ，并在图1（b）和图2（b）中绘制相对效用修正。我们观察到，由于随机波动性的引入，价值函数的变化可以忽略不计。接下来，我们计算最优策略的近似值，其不同项由（29）给出为π*m=（u-r） 年，π*m=（u-r） y（T- t） hκ（θ- y）RQ（0）ξξ+ ρδRRξξ（3Rξ- 2） +RRξξi+（u-r） （T- t） ρδ年Rξ- 1..我们假设最大财富的初始值是统一的，即我们设置m=1.0，并绘制前导项π和一阶近似值π+π的数值解，取0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.100.10.20.30.40.50.6财富与最大财富之比金额与投资政策近似值π0π0+π1（a）0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.100.10.20.30.40.50.60.7财富与最大财富的比率。