公平退休收入tontines：混合队列

在图2中，在公平利率存在之前，离群投资w越高，联合投资的规模nof w=1美元必须越大。例如，如果w=20美元，我们需要≥ 5以实现公平。但w=100美元需要n≥ 23，w=500美元需求n≥ 114、请注意，不可能实现公平不仅仅是人口少的现象。一种精心设计的tontine也能产生这种效果。例如，假设我们有两个大小为n=n=100、年龄为x=65和x的特定队列。如果第二个队列的每个成员贡献w=1，那么对于足够大的WT值，tontine必须是不公平的。有了精心设计的tontine，它通常需要大量的wto破坏性权益。但是，如果我们采用的是一种不符合要求的色调，比如一种色调，其d（t）对于50岁的人口来说是自然的，那么相当适度的WW值将产生不平等，尤其是当队列年龄存在差异时。例如，如果x=80（分别为75/70/65），则根据定理4标准，即使w=7（分别为14/37/209），也可以实现这一点。效用、渐近性和最优性4.1。效用和负荷系数。对于任意tontine支付d（t）（满足（2）但不一定最优）和任意参与率πi（不一定公平），我们可以考虑个人从第i个队列收到的现金流的效用。纳梅利兹∞e-rttpxiEihU（wd（t）PwjπjNj（t）πiwi）idt。我们对订户群体的不均匀性的影响很感兴趣。特别是，我们想了解当添加的个体与其他个体不同（在同质群体中，添加个体总是增加效用）时，添加个体是否会提高或降低效用（以及降低多少）。

特别是，对于一个规模庞大的群体来说，这一切实际上意味着康普顿（1833）对tontine股票收取不同股价的计划可能并不适用于所有年龄段和投资金额。公平价格在投资金额上是最基本的，不是线性的，这与年龄同质的tontine计划形成对比。虽然人们当然不能指责康普顿（1833）没有意识到这一事实，但我们相信这是他相当聪明的提议中一个有趣的方面。公平退休收入TONTINES 15NI在支付d（t）的异质tontine中，自然比较将对比其与优化tontine^d（t）的可靠性，在优化tontine^d（t）中，只有那些非同质的个体才是公平的。因此，我们定义了一个荷载系数δi，该系数（应用于均质Tontine时）使两个效用相等。换句话说，Z∞e-rttpxiEihuwd（t）PwjπjNj（t）πiwiidt=Z∞e-rttpxiEihuni^d（t）ni（t）（1- δi）wiidt。如果δi>0，这意味着队列因向池中添加异质个体而失去效用。如果δi<0，则队列从添加这些个体中获得效用。有关tontines和年金之间的不同比较，请参见Milevsky和Salisbury（2015），其中使用了不同的加载因子。另请参见Hanewald et.al.（2015）的相关研究，该研究探讨了产品装载量可能如何影响在不同重要性或有权益之间的选择。在第5节中，我们将给出各种d（t）选择的荷载的数值计算，我们将看到，在设计良好的tontine中，增加参与者会增加效用（即荷载为负）。我们将使用γ=1 so U（c）=log c，并简化上述公式。根据Milevsky和Salisbury（2015）的研究结果，最佳的^d（t）是西科霍特年龄段的天然色调，换句话说，^d（t）=axitpxi。4.2。渐近性和比例音调。

我们假设K、xi和wi在用户总数n=Pni时考虑πi的限制→ ∞. 设αi>0，pki=1αi=1。假设ni→ ∞ 以这样的方式→ αi，soαi表示归属于第i组的初始投资份额。ThenFi（π）=Z∞e-rttpxiwd（t）EihπiPπjwjNj（t）idt。→Z∞e-rtd（t）πi·tpxiPKj=1πjαj·tpxjdt。这种特殊情况需要特别注意。设ax=R∞e-rttpxdt是x岁个人终身年金的标准价格，为1美元。考虑d（t）=Pjαjaxjtpxj（这清楚地满足了r∞e-rtd（t）=1）。在这种情况下，Fi（π）→ axiπi，因此等参和率渐近变为πi=axi。我们称d（t）=Pnjwjw×tpxjaxjandπi=轴的tontine为比例tontine，并强调它仅在极限n中是公平的→ ∞. 在同质人群（即K=1）的情况下，比例音调与我们之前所称的该队列的自然音调一致。16 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisburyon这种特殊设计的动机是，在时间T时，第i组存活个体的支付率是渐近的yd（T）Pπjαj·tpxjπi=πi=轴心单位。换言之，对幸存个人的支付率在一段时间内保持不变，只是每美元初始保费的标准年金系数。从这个意义上讲，按比例的托丁复制（在限额内）每个认购人的标准固定年金的支付结构和成本。我们很快就会看到进一步的动机，当我们证明它是渐近最优的。

在第6节中，我们将把这种设计与集团自我年金计划（GSA）联系起来。当n→ ∞ 如上所述？上面的方程式变成了hatz∞e-rttpxiu公司d（t）Pπjαj·tpxjπiwidt=Z∞e-rttpxiu公司^d（t）tpxi（1- δi）widt。取d（t）为比例tontine，so在极限中，soπj=axjis在极限中相等。如上所述，取u为对数，而^d（t）为xicohort年龄的自然值。我们得到了∞e-rttpxiu公司威西dt=Z∞e-rttpxiu公司wiaxi（1- δi）dt，从中我们立即得到以下结果：引理5。渐近地，比例tontine具有效用载荷δi=0.4.3。tontine是否适合多个队列？一个自然的问题是，是否有可能为多年龄组设计一种最佳的托汀。事实证明，这是不可能的，除非在n的极限范围内→ ∞. 为了表述这个问题，我们将equityas作为优化问题中的一组附加约束。特别是，我们希望选择d（t）和πjt，以最大化第i个cohortZ的效用∞e-rttpxiEihU（wd（t）PwjπjNj（t）πiwi）idtover d（t）≥ 0，受预算约束∞e-rtd（t）dt=1，股权约束z∞e-rttpxiwd（t）EihπiPKj=1πjwjNj（t）idt=Z∞e-rttpx ` nd（t）E ` hπ` Pkj=1KπjwjNj（t）idtfor ` 6=i.公平退休收入TONTINES 17，限制为n→ ∞ 我们希望最大化∞e-rttpsui（d（t）Pαjπj·tpxjπiwi）dtover d（t）≥ 0，受预算约束∞e-rtd（t）dt=1，股权约束z∞e-rttpxid（t）πiPKj=1αjπj·tpxjdt=Z∞e-rttpx\'d（t）π\'PKj=1αjπj·tpxjdtf或\'6=i。如果按照Γ（t）=d（t）PKj=1αjπj·tpxj重新表述，则此版本的问题可以简化。

现在我们寻求最大化∞e-rttpsui（πiwiΓ（t））dt overΓ（t）≥ 0，受预算约束∞e-rtΓ（t）Pαjπj tpxjdt=1和股权约束∞e-rtΓ（t）πi tpxidt=R∞e-rtΓ（t）π\'tpx\'dt为\'6=i。权益约束仅变为π`=πiR∞e-rtΓ（t）tpxidtR∞e-rtΓ（t）tpx\'dt。反过来，预算约束变成πiR∞e-rtΓ（t）tpxi=1。这让我们回到了优化定理1的简单年金的背景下，这意味着最优Γ（t）是常数。如果我们规范化soπi=axi，那么π`=ax，我们得到Γ（t）=1。特别是，在存在公平约束的情况下，优化第i个队列的效用，渐进地精确地给出了上一节中描述的比例音调，即d（t）=Pjαjaxjtpxj。因此，无论我选择为哪种类型进行优化，这种最佳托汀（在本例中，实际上是一种年金）都有相同的设计。我们已经证明了这一主张6。假设一个严格凹的效用函数。限值为n→ ∞, 比例托汀可以同时优化每个队列的效用。原始的优化问题（即在有限n的设置中）也可以解决，尽管没有那么干净。我们在这里不介绍这一点，只是要注意，当我们优化第i组的对数效用时，当我们改变i时，结果不再一致。换句话说，通常不可能让每个人同时快乐。这是我们认为首先确定音调结构d（t）（如上所述）是合理的一个原因，然后如果人们愿意，允许他们以公平的比率参与。当然，这意味着我们需要回答的一个问题是，这样做时，他们的效用损失有多大。18 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURY5。

我们建议的d（t）：在年龄为x的同质人群中，所有投资金额相等的自然和公平色调，Milevsky和Salisbury（2015）中提出的设计具有d（t）=axtpx，即年龄为x的自然色调。在这种情况下，设计在对数效用的情况下是最优的，否则接近最优。在本节中，我们希望在异构环境中提出一个合适的泛化。对于异类音调，我们已经看到，整体最优是不可行的（除了同情）。在这种情况下，我们建议采用以下设计，该设计在我们进行的数值实验中表现良好，在均匀总体的情况下简化为上述设计，并与极限中的比例tontine一致，即n→ ∞（因此是渐近最优的）。修复xi、wi和ni。我们说，如果d（t）始终与幸存tontine股份的平均数量成比例，则tontine是自然的。换句话说，d（t）=cPujnj·tpxj=cPπjwjnj·tpxj。积分，我们看到d（t）=XihπiniwiPjaxjπjwjnjitpxi。注意，一旦给出πi，自然色调完全由预算约束确定。但要构造一个既自然又公平的音调，我们必须同时计算πi和（t）。在实践中，这比（如上所述）简单地定义d（t）和计算公平π更复杂，但也不是过分复杂（至少当Kof类型的数量很小时）。以下两个表（表2针对K=2队列，表3针对K=3）在此插入表2和3。展示这些自然和公平的音调，并将其与如果人口同质（但参与率公平）就会选择的“自然”音调进行比较。我们还与相应的比例音调进行了比较，尽管这些音调并不公平。

虽然比例音调的理论基础不如自然音调那么吸引人，但它们更容易计算，而且在实践中确实表现得合理。如果计算资源无法计算出公平的πi和自然的d（t），我们将其视为可接受的替代方案。请注意，由于这些表对π进行规范化，使某些i的πi=1，这意味着比例tontine具有πj=axi/axj。首先考虑表2。标有“A”和“D”的行使用的是色调设计，这对于年龄分别为65岁和75岁的同质人群来说是自然的。公平合理的π是计算得出的公平合理的退休收入。在A行中，δ和δ均为负值（n=1=n），这意味着额外参与者的利益大于异质性的影响。随着n=nRIES的共同值，δibecome正值与设计中的缺陷变得更加相关。特别是，载荷保持严格的正渐近-虽然乘积本质上是一个年轮，但它不是一个最优值。请注意，载荷实际上不是单调的。增加参与者对年龄较大（75岁）的参与者比年龄较小（65岁）的参与者更有利。令人惊讶的是，在65岁的参与者面前，即使是75岁的参与者也会从65岁的设计中获得比75岁的设计更多的好处。标有“B”的行对应于真正自然和公平的设计。标有“C”的行为比例设计。在大多数情况下，两个队列中的任何一个都比同质设计表现更好。现在，设计的问题已经很清楚了——公平地说，它要求更高的参与率π，这会稀释向tontine添加个人的好处，并产生效用损失。相反，B行和C行通常显示负加载（即。

效用增益），尽管参数选择不同（未显示），但事实上有时并非如此。比较B组和C组，通常情况下，老年组倾向于自然设计，而年轻组倾向于比例设计。比例设计更接近于均衡队列之间的效用收益。这两种设计的性能相似。导致其差异最大的因素是π的公平性，而不是d（t）的选择——使用比例d（t），但公平的π将产生与完全自然设计非常相似的效用。表3处理了三个队列病例，将自然和比例设计与仅65岁队列的自然设计进行了比较。现在，这三种设计对效用的影响非常相似。否则，该表与madeabove的经验观察结果一致：向tontine中添加人员通常是有利的（尽管存在异质性）；年龄越大，效用改善越大。请注意，这些设计的良好表现可能部分是由于60岁和70岁之间的平衡——不对称设计（未显示）不太一致。图3显示了一个2队列自然公平设计的支出模拟，其中n=200个成员，n=50个成员。请注意，在中等年龄阶段，几乎可以实现对每个幸存者的持续和稳定的支付。一旦池中的幸存者人数较少，老年人的支付波动性更大。缓解这种波动性将是一种实用的音调设计的要求。事实上，我们认为这并不难实现，原因如下：当个人没有外生收入时，我们的音调设计为20 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury。在现实中，通常会有一些外源性的收入（例如。

社会保障）。Ashraf（2015）未发表的研究表明，在存在外生收入的情况下，应设计最佳音调，以在高龄（如到100岁）时减少影响和停止支付。如果这样做了，那么当survivorpool非常小时，其大小的任何变化都将不再重要。在此处插入图3。自然和公平的音调似乎存在于广泛的参数值范围内（虽然并非普遍存在，但第3节中提出的障碍仍然有效）。但我们尚未成功地找到存在的必要和充分条件，或无法建立唯一性，如定理4所示。因此，解决以下问题仍然是进一步研究的主题。猜想7。修复xi、ni和wi，i=1，K、 在广泛的条件下，将存在π=（π，…，πK）的选择，从而相应的天然音调是公平的。对于任意的乘法常数，至多有一个这样的π。6、其他产品设计如前所述，精算文献中有许多其他产品设计对冲长寿风险的特殊成分，但不对冲系统成分。在本节中，我们将讨论其中一些备选方案。6.1。集合年金基金（PAF）。在同质情况下，Stamos（2008）得出了最佳PAF，Donnelly等人（2013）研究了其效用（或我们术语中的负荷）与（可变）终身年金的比较。我们不知道在异质环境下如何实现这样的最优PAF，但类似本文的方法（即确定支付机制，然后公平分配股份）可能会在这种情况下实现。PAF通常允许多元化投资组合，但我们只考虑无风险投资组合。

换言之，本节将PAF纯粹投资于具有同质认购人池的债券（利率r）。PAF允许每个人的支付率e（t，k，w）随t而变化，但也随幸存者数量k=N而变化，且随个人份额w=管理下的总资产w=w=w（因此Wt=NTWT，w=kw）。对于给定的风险规避系数γ6=1，Stamos（2008）获得了效用优化支付率e，并表明对于某些函数η（t，k），它们的形式为e（t，k，w）=η（t，k）w。额外流动性意味着这提供了比tontine更高的效用（其中对k和w的依赖是不可忽视的退休收入tontine 21，而不是通过初始用户数n间接获得）。表1确实显示了适度的改善。这是以处理更复杂的产品为代价的。例如，招股说明书必须提供η（t，k）的完整表格，这种复杂性可能使认购者更难理解（然后管理）与产品相关的风险。就目前的生存者数量而言，对个人的支付将不再是可预测的，即它将取决于路径。一般PAF还将要求基金经理根据观察到的池死亡经验调整投资组合，而不是依赖静态债券投资组合。因此，每种设计都有优点和缺点。为了与tontines的支付d（t）进行比较，我们让e（t，k，w）表示每初始投资美元的总支付率。