公平退休收入tontines：混合队列

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英文标题：
《Equitable retirement income tontines: Mixing cohorts without
  discriminating》
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作者：
M.A. Milevsky and T.S. Salisbury
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  There is growing interest in the design of pension annuities that insure against idiosyncratic longevity risk while pooling and sharing systematic risk. This is partially motivated by the desire to reduce capital and reserve requirements while retaining the value of mortality credits; see for example Piggott, Valdez and Detzel (2005) or Donnelly, Guillen and Nielsen (2014). In this paper we generalize the natural retirement income tontine introduced by Milevsky and Salisbury (2015) by combining heterogeneous cohorts into one pool. We engineer this scheme by allocating tontine shares at either a premium or a discount to par based on both the age of the investor and the amount they invest. For example, a 55 year-old allocating $\\$10,000$ to the tontine might be told to pay $\\$$200 per share and receive 50 shares, while a 75 year-old allocating $\\$8,000$ might pay $\\$$40 per share and receive 200 shares. They would all be mixed together into the same tontine pool and each tontine share would have equal income rights. The current paper addresses existence and uniqueness issues and discusses the conditions under which this scheme can be constructed equitably -- which is distinct from fairly -- even though it isn\'t optimal for any cohort. As such, this also gives us the opportunity to compare and contrast various pooling schemes that have been proposed in the literature and to differentiate between arrangements that are socially equitable, vs. actuarially fair vs. economically optimal.
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中文摘要：
人们对养老金的设计越来越感兴趣，这种养老金能够在汇集和分担系统风险的同时，防范特殊的长寿风险。部分原因是希望降低资本和准备金要求，同时保留死亡率信贷的价值；例如，见Piggott、Valdez和Detzel（2005）或Donnelly、Guillen和Nielsen（2014）。在本文中，我们将Milevsky和Salisbury（2015）引入的自然退休收入tontine进行了概括，将异质队列组合到一个池中。我们通过根据投资者的年龄和投资金额，以面值溢价或折价的方式分配tontine股票来设计这一方案。例如，一个55岁的分配10000美元给tontine的人可能会被告知支付200美元每股，然后获得50股，而一个分配8000美元的75岁的人可能支付40美元每股，然后获得200股。他们将全部混合在同一个tontine池中，每个tontine股份将拥有平等的收入权。当前的论文讨论了存在性和唯一性问题，并讨论了该方案可以公平构建的条件，这与公平不同，即使它对于任何队列都不是最优的。因此，这也让我们有机会比较和对比文献中提出的各种集合计划，并区分社会公平、精算公平和经济最优的安排。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Equitable_retirement_income_tontines:_Mixing_cohorts_without_discriminating.pdf (1.2 MB)

2022-5-26 21:46:39 上传

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关键词：Tin Quantitative Mathematical economically Applications

公平的退休收入TONTINES：无歧视地混合同龄人。A、 MILEVSKY和T.S.SALISBURYAbstract。人们对养老金的设计越来越感兴趣，这种养老金能够在汇集和分担系统风险的同时，确保不受制度异质性长寿风险的影响。这部分是由于希望降低资本和准备金要求，同时保持死亡率信贷的价值；例如，见Piggott、Valdez和Detzel（2005）或Donnelly、Guillenand Nielsen（2014）。在本文中，我们通过将异质队列合并到一个池中，概括了米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）提出的自然退休收入Tontinei。我们通过根据投资者的年龄和投资金额以溢价或折价面值分配tontine股票来设计这一方案。例如，一个55岁的人向tontine分配10000美元，他可能被要求支付每股200美元，然后获得50股，而一个75岁的人分配8000美元，他可能支付每股40美元，然后获得200股。他们将全部混合在同一个tontine池中，每个tontine份额将拥有平等的收入权。当前的论文讨论了存在性和唯一性问题，并讨论了该方案可以公平构建的条件，这是与公平不同的，即使它对于任何队列都不是最优的。因此，这也让我们有机会比较和对比文献中提出的各种集合计划，区分社会公平、精算公平和经济最优的安排。日期：最终验收版本：2016年4月14日。米列夫斯基是约克大学Schulich商学院的金融学副教授，也是IFID中心的执行主任。索尔兹伯里是约克大学数学与统计系的教授。

作者感谢IFID中心（Milevsky）和NSERC（索尔兹伯里）的资助，以及两位ASTIN评论员、编辑（DanielBauer）以及新南威尔士大学、麦格理大学、悉尼CFA协会的研讨会参与者，特别是Anthony Asher、David Blake、Steven Haberman、Geo Off Kingston、Sachi Purcal、，约翰·皮戈特和迈克尔·谢里斯。联系作者（Milevsky）的电话：milevsky@yorku.ca.2M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURY1。简介托丁年金（Lorenzodi Tonti于1653年首次将其作为退休收入工具推广）在过去三个半世纪中没有从最好的宣传中获益。尽管英国和法国ZF最初使用固定利率为战争融资（对抗对方），但传统的固定利率债券最终取代了它们，成为首选的融资方式。18世纪的私营保险公司提供类似托汀的产品，但它们也被更熟悉的有保障的终身年金和养老金所取代。事实上，19世纪初的美国监管机构。S、 英国禁止了（一种叫做tontine的衍生产品）tontine保险，尽管对于禁令是否真的适用于Tonti设想的tontine存在一些争议。撇开法律不谈，用著名金融作家爱德华·格伦的话说，托尼·蒂尼是“历史上最不可信的金融工具之一”我们请感兴趣的读者阅读米列夫斯基（2015）的书，书中讲述了托丁丰富多彩的历史。在本文中，我们的重点（和贡献）是精算，而不是政治或历史。在其最纯粹的财务形式中，托丁年金可以被视为永久年金（即。

由一群同意只在幸存者中分享定期息票的投资者从发行人处购买的债券。随着投资者死亡并离开tontine池，那些避免死亡的人所赚取的团队或现金流会随着时间的推移呈指数级增长。理论上，最后剩下的幸存者将收到所有优惠券，直到他或她最终去世，发行人的付款义务终止。人们也可以将tontine年金视为由零息债券（ZCB）组成的投资组合，其期限或票面价值为分期到期，最终的ZCB在池中投资者的最大可能期限到期，例如125岁。到期ZCB产生的现金流在幸存者中平均分配。从这个角度来看，只要现金流的现值等于集团投资的金额，现金流模式就可以调整到任何期望的利润。tontine池保留了长寿风险，因为如果人们活得比预期的长，那么他们的支付相对于他们在零时的预期会减少。与其他集合计划一样，我们将讨论-例如Piggottte中描述的那些计划。Stamos（2005）、Donnelly（2008）或Donnelly et al.（2014）——tontinethere有退休收入，因此没有实体担保终身固定付款，从而消除了资本要求。我们使用退休收入这一术语来区分我们的计划与“赢家通吃”的赌博，在这种赌博中，支付推迟到最后一个幸存者，并提醒读者类似于压力的结构。公平退休收入TONTINES 31.1。音调问题。在过去的几个世纪里，有相当多的大众和学者批评托汀计划。

总的来说，这些问题可分为三大类。第一个担忧是托尼人本身是不道德的，因为一个人从某人的死亡中立即受益。这种担忧的一个更明确的版本是，它们会激发欺诈、谋杀和其他犯罪活动。这些批评者认为，随着托尼池的规模缩小，幸存的成员被激励互相残杀，以获得托尼池更大的份额。这种对音调的丰富多彩的理解渗透到文学作品中，是许多小说的主题，但在现实中没有依据。大多数历史上的tontineschemes在一小部分（比如说5到10名成员）留在池中时会限制或限制支出。尽管有所有的电影小说，但没有任何文件证明，一个国家托丁岛的最后几个幸存者曾经相互残杀。事实上，由于tontine池中有数百人，恶意减少池规模的经济效益微乎其微。精算界对投资者将从死亡中直接受益的伦理担忧可能会彻底动摇，因为这是所有养老金和年金定价的基础。至于对欺诈的担忧，这在17世纪和18世纪确实是一个问题，当时记录生死是不可靠的，但在21世纪，现代记录保存系统也可以消除这一问题。tontine年金的第二个问题涉及经济最优和现金流模式。在Lorenzo的tontine方案中，支付给该集团的现金保持相对稳定（即分子），但幸存者的数量（即分母）随着时间的推移以指数级以上的速度下降，导致向幸存成员支付的款项迅速增加。这种爆炸式的收入增长与（稳定的）消费平滑的经济愿望不符。

据推测，退休的老年投资者希望随着时间的推移，实际现金流保持稳定甚至下降，尽管他们担心医疗费用和老年人的通货膨胀。根据这些批评者的说法，托丁年金并不是一种最佳的经济契约。但这种担忧也可以通过适当的产品设计来解决。没有理由认为流向该集团的现金流应在结构上始终保持不变。如上所述，ZCBs对该池的付款可能以与（预期）死亡率相同的速度呈指数级下降（快于）。事实上，这就是米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）的精髓所在。总而言之，我们认为第二个反对意见是可以轻易克服的。威廉·夏普教授最近在法国金融协会（French FinanceAssociation）的一次演讲中提出了这一观点，米列夫斯基（Milevsky，2015，第164页）引用了这一观点。4 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisburyth第三个问题是一个更微妙的问题，与队列的集合和tontine的年龄比例有关。这是本文的核心重点。如果允许任何年龄较小的人平等参与同一托丁年金池（我们不这样做），那么预期早逝的成员（即老年人）的财富将立即转移到预期寿命最长的成员（即年轻人）。历史音调（Historicaltontines）——如17世纪末英国ZF首次发布的音调——歧视老年人而青睐年轻人。因此，例如，在早期的英国tontine计划中，tontine的寿命取决于被提名人的年龄，从几个月到50岁以上不等。在平衡状态下，每个人都应该指定最健康的年龄（女性大约10岁），但如果被提名人和年金受益人不是同一个人，这会导致设计问题。

如果确实需要同质死亡率池来运行非歧视性tontine方案，那么这就限制了池的可能大小和大量差异的有效性。18世纪的托丁计划将投资者分为小型定制类别，根据年龄进行不同的支付，减少了资金池和风险分散。一个现代养老金基金试图实施一个具有可预测现金流的托尼特支付结构，除非它有一个非常大的自愿退休人员池，他们的年龄和健康状况都相同，否则它将面临同样的担忧。从某种意义上说，我们认为这是对在现代养老金计划背景下恢复退休收入的最严厉批评。一种是要求数百名年龄完全相同的人在同一天退休，以减少支付的可变性。事实上，这也是Piggot、Valdez和Detzel（2005）orDonnelly、Guillen和Nielsen（2014）等作者提出集合年金计划或覆盖计划的原因之一，这些计划允许在多代人中混合不同的队列。请注意，我们不会卷入一场关于在众多联营计划中哪一个更好的辩论。事实上，正如我们将很快演示的那样，它们之间有相当多的重叠。此外，还将有atradeo off。一个为团队挤出最大可能效用的方案也可能更复杂，更难分析和解释。综上所述，我们选择分析tontines，它提供了“良好”的实用性，同时保持足够简单，我们可以建立一系列定性结果。我们理解并承认其他设计有其自身的吸引力和作用。1.2。使异质音调公平。如上所述，这是我们在本论文中针对（退休收入）tontines提出的第三个批评。

我们对这一问题的补救措施是，允许不同年龄（和死亡率）的队列通过根据购买时的年龄分配不同的参与率或份额，将公平的退休收入混合到同一个池中。例如，一个55岁的人向tontine分配10000美元，可能会被要求支付每股200美元，然后获得50股，而一个75岁的人分配8000美元，可能会支付每股40美元，然后获得200股。他们将全部混合在同一个tontine池中，每个tontine份额将拥有平等的收入权。现在，根据投资者的年龄和投资规模来分配tontine的股票似乎相当琐碎（精算）。毕竟，有了即时年金，45岁和75岁的人将分别花费一生收入的1美元和1美元。在精算文献中，死亡率未定权益的相对价格是很好理解的。但可能不明显的是，事实上，有些情况（例如反例）无法以公平（甚至公平）的方式实现，尤其是当群体规模较小时。换言之，在某些情况下，任何映射或股价都不允许群体无歧视地混合。我们的目标是了解何时（或何时）可能做到这一点。大型资金池分散风险的必要性与本文所述问题有关，也是Donnelly（2015）最近强调的一个问题。

我们稍后再讨论这个问题。就术语而言，在本文中，我们仔细区分公平的方案和公平的方案，这是一个较弱的要求。在Donnelly（2015）的观点中，退休收入托尼汀计划中，池中的每个人都有可能在最大年龄之前死亡，从而留下剩余的人，除非它包含某种形式的遗产付款，否则永远不可能是公平的。“公平”一词的意思是，收入的预期现值将始终低于投入或投资于托丁的金额。然而，通过确保计划所有参与者的收入现值（尽管低于出资额）相同，异质tontine计划通常（尽管并非总是）是公平的。历史上，Charles Compton先生（1833）在近200年前提出了“fix”tontine的建议，他是英国皇家邮政的总会计师。他写道：“国王陛下政府应创建一种年利率一定的托尼汀股票，并允许一定年龄的人按面值购买此类股票，年轻人或老年人根据其年龄购买高于或低于面值的同一股票。”他认为，这比将贡献者分成班级更可取，因为班级最终会创建非常小的群体，而共享的收益很少。他质问道：“年轻的购买者会比老年人花更多的钱购买100英镑的股票，并会放弃部分收入以换取老年人的福利，而老年人则会将养老金作为补偿遗赠给年轻人。”康普顿（1833）接着列出了一个将年龄映射到股价的价值表，这与我们的数字非常相似（至少在精神上是如此），我们稍后将在论文中介绍这些数字。6 M.A.米列夫斯基和T.S。

SALISBURYregardless的年龄。这项计划不会歧视任何一个群体，尽管它不公平。所有这些都将得到详细解决，包括对不可能实现公平的场景的分析。综上所述，在本文中，我们研究了如何构建一个多年龄托汀方案，并确定向参与者收取费用的适当股价，以使其公平且不歧视任何年龄或任何群体。我们建议的tontine是一个封闭的池，不允许任何人在初始设置后进入（或明显退出）。这是我们与Piggott et al.（2005）、Donnelly et al.（2014）或（在tontine背景下）Sabin（2010）的设计不同的另一个地方。也就是说，我们主张对新加入者关闭集团，但允许在封闭的人才库中有多个年龄和贡献水平。同样，我们避免争辩这比任何其他设计更好或更差。这就是说，随着时间的推移，我们的模型要求并假设精算师很少（如果有的话）酌情决定权。规则在时间零点设置，现金分配算法非常清晰。我们相信这个设计有优点。1.3。概述本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们总结了米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）的研究结果，以及tontines在单一同质用户群背景下的经济最优性。事实上，有许多可能的支付函数d（t）可以用来构建托丁方案——历史上，d（t）曲线是恒定的，例如每年8%——而最优函数（至少）取决于代表投资者的风险规避系数。作为优化对数效用偏好的d（t），一个特别自然的支付函数出现了。在本节中，我们还将与其他联营方案进行简要比较。