美式期权分割方法的数值研究

因此，每个ADI ITmethod的每个时间步的计算成本与空间网格点的数量M直接成比例，这是非常有利的。关于基本的ADI方案，它认为MCS和HV方案对于任何值θ都有一个等于2的类一致性顺序（即对于fixed nonsi ffode s系统）。我们提到θ=的MCS方案是所谓的Cra ig–Sneyd（CS）方案。对于theDo格式，如果Ais非零，则经典一致性阶仅等于1。这个较低的阶数是因为在这个方案中，分离是在一个简单的病房内处理的。4 IT方法和PR方法的解释在本节中，我们对IT拆分方法和PR方法进行了有启发性的解释。通过辅助变量λ（t）重写半离散PDCP（5），通常称为拉格朗日乘数：U′（t）=AU（t）+λ（t），（18a）U（t）≥ U、 λ（t）≥ 0，（U（t）- U） Tλ（T）=0。（18b）假设λ（t）已知，并以拆分形式asU′（t）=F（t，U（t））+G（t，U（t）），F（t，V）=AV和G（t，V）=λ（t）（0）写入ODE系统（18a）≤ t型≤ 电视∈ RM）。假设-1.≈ U（tn-1） 给出并考虑bun≈ 定义单位：U（tn）Y=尿素氮-1+t F（tn-1，小面包-1） +t G（tn-1，小面包-1） ，Y=Y+θt型F（tn，Y）- F（tn-1，小面包-（1）,Z=Y+θt型G（tn，Z）- G（tn-1，小面包-（1）,bUn=Z.（19）上述a可被视为（18a）的道格拉斯型分裂方案，涉及两个参数θ，θ，比较，例如[11]。请注意，此处的拆分不同于第3.2节中考虑的定向拆分。在方案（19）和θ-IT方法（8）之间有一个简单的关系：取θ=θ和θ=1时，写出Y=’unan，并用近似值bλqf代替λ（tq）来表示q∈ {n- 1，n}，很容易看出，（19）与（8b）的第一行一起变成（8a）。

（8b）的第二行是对θ-IT方法的补充，它形成了t=tn处互补条件（18b）的离散类比。我们提到，如果θ=1，则在[14]中给出了相关的算子理论推导，称为道格拉斯-拉赫福德方案。在嵌套到（19）由（14）引起的函数F的方向分裂后，θ-IT方法的上述解释直接扩展到所有ADI-IT方法（15）、（16）、（17）。考虑下一个（18a）的Peaceman-Rachford型分裂方案，Y=尿素氮-1个+t F（tn-1/2，Y）+t G（tn-1，小面包-1） ，Z=Y+t F（tn-1/2，Y）+t G（tn，Z），bUn=Z.（20）详细说明（20），然后用q的近似值bλqf替换λ（tq）∈ {n- 1，n}，givesbUn=（I+tA）’Un+tbλn，其中“未定义为（10a）”。t=tnreadsbUn时互补条件（18b）的具体类似物≥ U、 bλn≥ 0，（bUn- U） Tbλn=0。对于任何给定的ε>0，tobUn，这是等效的- U=最大值，bUn- U- εbλnoandbλn=最大值n0，bλn- （发髻- U） /εo.选择ε=t并插入上述BUNyiels（10b）表达式。因此，可将PRmethod（10）视为从Peaceman-Rachford型分裂方案中获得，并指出相关分裂不是定向的。这种解释与[14]中给出的操作员理论解释相对应。我们认为，通过在（19）中选择θ=θ=θ，可以获得θ-IT方法的自然变体。这导致（8），除了更新的第一行（8b）中的步长t由θ代替t、 因此，在（9）中发生相同的替换。事实证明，对于θ=θ的这个方差，它的方法与PR方法是等价的。5数值研究在下文中，我们对第3节中描述的时间离散化方法进行了广泛的数值实验。

我们的主要目标是研究它们在（5）数值解中的实际收敛行为，并评估它们的相对性能。为此，我们研究了t=t=N时的时间离散化误差t、 在自然利益区域，由BE定义(t；m） =最大{| Ul（T）-bUN，l |：0≤ i、 j≤ m、 K<s1，i，s2，j<K}。（21）这里，U（T）表示T=T的半离散PDCP（5）的精确解，l=l（i，j）表示指数，使得分量Ul（T）和bun，lcorres汇集到空间网格点（s1，i，s2，j）。在我们的实验中，两个空间方向上的网格点数量始终相同，m=m=m。对于每个给定的m，通过使用θ=和N=10m时间步长的θ-P方法计算U（T）的参考解。显然，（21）测量了最大范数的时间误差，这是金融实践中最相关的范数。注意，空间离散化误差不包含在（21）中。我们在此详细研究了由于时间离散化本身引起的误差。这将带来重要的新见解。我们采用与m成正比的时间步数N，这形成了应用程序中的常见情况。

考虑以下方法：oBE-EP：（7）θ=1oBE-IT：（8）θ=1oBE-P：（11）θ=1oCN-EP：（7）θ=1/2oCN-IT：（8）θ=1/2oCN-P：（11）θ=1/2oPR：（10）和oDo IT：（15）θ=1/2oCS-IT：（16）θ=1/3oHV-IT：（17）θ=1/（2）+√2） 方法（15）、（16）、（17）选择的θ值是由[8，9]中基础ADI方案获得的有利无条件稳定性结果决定的。众所周知，在金融应用中，支付函数φ通常在一个或多个给定点上是非光滑的，这对数值解方法的精度有不利影响。对于空间离散，可以通过构建空间网格来缓解这种影响，使这些非光滑点的坐标始终恰好位于两个连续网格点之间的中间。第2节考虑了这种结构。随后，对于温度或阻尼，常用的方法是应用后向Euler阻尼，也称为Rannachertime步进。在欧洲选项的情况下，这意味着前几个时间步全部被两个步长的子步所取代后向欧拉法的t/2。与此类似，我们总是将θ-EP、θ-IT和θ-P方法的前两个时间步中的每一个替换为两个步长为的子步使用θ=1的相同方法的t/2。接下来，为了阻尼PRmethod和所有ADI-IT方法，使用θ-IT方法，θ=1.5.1单资产美式期权。我们从Black-Scholes框架下单资产美式期权的特例开始。相关（一维）空间微分算子isA=σss+rss- r

（22）空间离散化如第2节所述，其中对于非均匀网格，取以下参数值，d=K/3，Sleft=0.8K，Sright=1.2K，Smax=5K。（23）作为第一个示例，我们考虑一种美式看跌期权，其payoffφ（s）=max（K-s、 0）（对于s≥ 0），然后选择财务参数值Sr=0.02，σ=0.40，T=0.5，K=100。（24）图1显示，除ADI-IT方法外，上述所有方法的时间离散化误差为(t；m） 对于N=m和20个介于10和1000之间的不同值m，由适当奇数ν的相等数量给出（见第2节）。我们观察到，BE-EP、B E-IT、BE-P三种方法得到的误差非常接近。正如预期的那样，它们表现出一种反向收敛行为。用EP、CN-IT、CN-P、PR四种方法得到的误差小得多。在这四种方法中，CN-EP方法的精确度最低。CN-IT、CN-P、P r方法的误差相对较近，其收敛阶约为1.3。很明显，这一顺序明显低于2，这是由于期权价值函数在早期行使边界附近的非光滑性，参见例[3]。接下来，我们将选择一个更具挑战性的美国黄油选项，参见【10】。它具有nonc onvex payoffφ（s）=max（s- K、 0）-最多2个-K、 0）+最大值- K、 0）罢工K<Kand K=（K+K）/2。与上述类似，图2显示了财务参数值Sr=0.02、σ=0.40、T=0.5、K=80、K=120的所有方法的时间离散化误差。（25）BE-IT、BE-P、CN-IT、CN-P、PR方法揭示了一个整洁的一阶收敛行为。显式Payoff方法BE-EP和CN-EP总是产生较大的误差，并且随着N=m的增加，收敛速度非常慢。

我们提到，对于后一种方法，时间误差s在走向K附近最大（这始终是黄油fly选项的早期练习点）。对于单一资产美国认沽期权和黄油期权的大量额外实验支持了我们的上述结论。可以预见，基于CN的方法通常比基于be的方法更精确。此外，发现PR方法通常比CN-it方法更准确。研究拉格朗日乘子向量bλn提供了进一步有用的见解。图3和图4分别显示了美式看跌期权和黄油期权的拉格朗日乘数bλn，域[0，K]×中的iversus（s1，i，tn）（0，T）对于BE-IT方法，m=100。乘数不为零的子域代表早期锻炼区域。很明显，对于黄油选项，该区域形成了走向K的一个新邻域。用CN-ITmethod或PR-method替代BE-IT方法，其结果与图3和图4中的结果基本相同。增加m后，美式看跌期权的结果与图3和图4中的结果相同主要因素大致相同，但对于美国黄油期货，最大值以l与m成正比的方式增长。后一种现象可以从精确的黄油期货期权价值函数在所有时间的走向K处的非光滑性（扭结）来解释，这使得美国黄油期货的数值估值比美国看跌期权的数值估值更具挑战性。文献[3]表明，通过采用合适的自适应可变步长，而不是恒定步长s，可以恢复CN-P方法的二阶收敛性。第3节中的所有临时分离方法都直接扩展到可变步长。在此，我们考虑预先确定的时间网格点（也可与[13，16]进行比较）tn=nN型T表示n=0，1，2，N

（26）在t=0附近，相应的步长最小（这是选项值和早期锻炼边界变化最强的地方），并且它们与n呈线性增长。图5和图6分别是在这些可变步长的情况下得到的图1和图2的类似物。实际上，对于CN-P方法，观察到了有利的s二阶收敛行为。我们注意到，在PUT选项的情况下，在早期练习边界附近可能会出现相对较大的时间误差，导致图5中出现“pe aks”，参见als o【3】。然而，在步长可变的情况下，CN-P方法通常比欠考虑的所有其他方法准确得多。对于其他方法，与恒定步长相比，采用可变步长不会导致精度的显著提高。由于CN-P方法基本上精确求解了每个时间步的惯性LCP，因此我们得出结论，对于其他基于CN的方法（包括PR），每个时间步的LCP近似解产生的误差主导了CN时间步产生的误差；注意，时间离散化误差（21）可以看作这两个误差的总和，sinc e U（T）-bUN=（U（T）-UN）+（UN-bUN）未定义（6）。10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图1：美式看跌期权和参数（2 4）。时间误差be(t；m） 相对于1/m，n=m，10≤ m级≤ 固定步长。BE-EP：浅色项目符号，BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-EP：深色项目符号，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图2：美国黄油FLY选项和参数（25）。时间误差be(t；m） 相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 固定步长。

BE-EP：浅色项目符号，BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-EP：深色项目符号，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。05010015000.10.20.30.40.500.511.522.5tsλ图3：美式看跌期权和参数（24）。对于BE-IT方法，拉格朗日乘数bλn，iversus（s1，i，tn）in[0，K]×（0，T）]，m=100.0501015000.10.20.30.40.502004006008001000tsλ图4：美国黄油fly选项和参数（25）。对于BE-IT方法，在[0，K]×（0，T]中的Lagra-nge乘数bλn，iversus（s1，i，tn），m=100.10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图5：美式看跌期权和参数（2 4）。时间误差be(t；m） 相对于1/m，n=m，10≤ m级≤ 1000、可变步长s、BE-EP：浅色项目符号、BE-IT：浅色正方形、BE-P：浅色三角形、CN-EP：深色项目符号、CN-IT：深色正方形、CN-P：深色三角形、PR：深色钻石。10-310-210-110-610-510-410-310-210-11001/MBE图6：美国黄油FLY选项和参数（25）。时间误差be(t；m） 与1/m相比，N=m为1 0≤ m级≤ 可变步长。BE-EP：浅色项目符号，BE-IT：浅色正方形s，BE-P：浅色三角形，CN-EP：深色项目符号，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。5.2双资产美式期权我们接下来考虑几个双资产美式期权的数值实验。PDCP（2）的空间离散化在第2节中描述的非均匀网格上进行，参数值为（23）。对于时间离散化，除使用显式Payoff方法外，我们采用本节开头列出的所有方法。作为第一个示例，采用了至少两种资产价格的美式看跌期权。Ithas payoffφ（s，s）=最大值（K- s、 0），s=最小值（s，s）。我们从[18]中选择财务参数值，r=0.05，σ=0.30，σ=0.30，ρ=0.50，T=0.5，K=40。（27）图7显示了t=t的数值近似早期练习区域。

我们计算出时间离散化误差为(t；m） 对于N=m的恒定步长和10到200之间的15个不同值，对应于相等数量的奇数ν。图9显示了基于θ的方法得到的结果。与单ass e t美式看跌期权的情况类似，BE-IT和B e-P方法的误差非常接近，并显示出近似的一阶收敛行为。此外，与之前一样，基于CN的方法的误差非常小，并且彼此相对接近，并且显示出近似等于1.3的收敛阶。图10显示了正在考虑的四种ADI-IT方法的结果。CS-IT、MCS-IT和HV-IT方法获得的精度与基于CN的方法大致相同，接近。因此，这三种ADI IT方法的观测收敛阶也大约等于1.3。与更先进的ADI-IT方法相比，Do-IT方法的准确度要低得多，但它比BE-IT和BE-P方法更准确。观察到的Do-IT方法的收敛速度比1稍小。作为第二个例子，我们考虑两种资产价格算术平均值上的美式看跌期权，其payofffφ（s，s）=max（K-s、 0），s=（s+s）/2。图8显示了t=t时的数字近似早期运动区域。对于该选项，图11和图12分别为图9和图10的类似物。比较不同方法获得的精度，在最小看跌期权的情况下，得出了相同的结论，但PR方法除外，PR方法通常比其他方法更精确。

CN-P和PR方法观测到的收敛阶分别约为1.1和1.3，而对于所有其他方法，它们的收敛阶略小于其中一种方法。作为第三个示例，我们选择了一个美式黄油期货期权，其最大资产价格为两个，付款φ（s，s）=max（s- K、 0）-最多2个-K、 0）+最大值- K、 0），s=最大值（s，s），K=（K+K）/2。对于该选项，早期练习区域包含所有点（s，K）和（K，s），0≤ s、 s≤ K、 我们选择初始参数值Sr=0.05，σ=σ=0.30，ρ=0.50，T=0.5，K=32，K=48。（28）基于θ的方法和ADI-IT方法获得的时间误差分别显示在图13和14中。其结果与上述所有（一种和两种资产）美式期权示例中的结果截然不同，且不如前者有利。对于BE-IT、BE-P和CN-P方法，观察到整洁的t阶收敛。其中，CN-P法最为准确。对于所有其他方法，收敛行为尚不清楚。我们注意到，设置相关性ρ=0，或用PR方法而不是CN-P方法计算参考溶液，不会改变这一结论。对于m=500的双资产Americ anbutter fly期权的后续实验表明，对于CN-IT和PR方法，m=N的收敛性为0.5级。在本例中，ADI-IT方法的收敛行为很难理解，需要进一步研究。采用与可变s步大小相对应的时间网格点（2-6），可以大大提高CN-P方法的精度。在双资产流动选项的情况下，观察到平滑的二阶收敛行为。