美式期权分割方法的数值研究

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Numerical study of splitting methods for American option valuation》
---
作者：
Karel in \'t Hout, Radoslav Valkov
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  This paper deals with the numerical approximation of American-style option values governed by partial differential complementarity problems. For a variety of one- and two-asset American options we investigate by ample numerical experiments the temporal convergence behaviour of three modern splitting methods: the explicit payoff approach, the Ikonen-Toivanen approach and the Peaceman-Rachford method. In addition, the temporal accuracy of these splitting methods is compared to that of the penalty approach.
---
中文摘要：
本文讨论了偏微分互补问题下美式期权价值的数值逼近问题。对于各种单资产和双资产美式期权，我们通过大量的数值实验研究了三种现代分裂方法的时间收敛行为：显式支付方法、Ikonen-Toivanen方法和Peaceman-Rachford方法。此外，将这些分割方法的时间精度与惩罚方法的时间精度进行了比较。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Numerical_study_of_splitting_methods_for_American_option_valuation.pdf (1.6 MB)

2022-5-26 22:10:13 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：美式期权 数值研究 Differential Applications Quantitative

美式期权估值分裂方法的数值研究k。J、 不需要了*和R.L.Valkov*2018年10月14日摘要本文研究由部分微分互补问题支配的美式期权价值的数值近似。对于各种一种和两种资产美国选择，我们通过大量的数值实验研究了三种现代分裂方法的时间收敛性：显式Payoff方法、Ikonen-Toivanen方法和Peaceman-Rachford方法。此外，还将这些分割方法的时间精度与惩罚方法的时间精度进行了比较。1简介美式期权是衍生品市场上最常见的工具之一，其估值对金融业至关重要。在本文中，我们通过amplenumerica l实验研究了一系列最新分裂方法的准确性和收敛性，这些方法用于一种和两种资产美式期权的数值计算。设u（s，s，t）表示Black–Scholes框架下双资产美式期权的公允价值，如果在给定到期时间t之前的t时间单位，标的资产价格为≥ 0和s≥ 设φ（s，s）表示期权的收益，并定义空间微分算子a=σss+ρσssss+σss+rss+rss- r、 （1）这里，常数r是无风险利率，正常数σide表示i=1，2时资产i价格的波动性和常数ρ∈ [-1，1]表示与两个基本资产定价过程相关的相关系数。众所周知，函数u满足部分微分互补问题（PDCP）u≥ φ，ut型≥ Au，（u- φ）ut型- 澳大利亚= 0，（2）s>0，s>0，0<t时（s，s，t）的有效逐点≤ T

初始条件由s的payoff，u（s，s，0）=φ（s，s）（3）来描述≥ 0，s≥ 对于s=0和s=0，分别通过施加（2）给出0和边界条件。（2）中的三个条件自然会导致（s，s，t）域的分解：早期运动区域是所有点（s，s，t）的集合，其中u=φ成立，连续区域是所有点（s，s，t）的集合u型/t=Au保持。这两个区域的jo int边界称为早期练习边界或自由边界。*安特卫普大学数学和计算机科学系，Middelheimlaan 1，B-2020安特卫普，比利时。电子邮件：{karel.inthout，radoslav.valkov}@uantwerpen。是对于大多数美式期权，期权价值函数和早期的行使边界在m的（半）封闭分析中都是未知的。因此，人们求助于数值方法进行近似。按照直线法，首先离散空间变量（s，s）中的PDCP（2），然后离散时间变量t。这会导致每个时间步中的线性完整性问题（LCP）。文献中提出了各种方法来处理这些LCP。在本文中，我们研究了三种现代分裂方法：显式支付（EP）方法、伊科宁-托瓦宁（IT）方法和和平人-拉赫福德（PR）方法。IT分裂方法在[12，13]中引入，最近在[5]中与交替方向隐式（ADI）格式结合用于时间离散化。文献[14]中提出了PR方法。目前，与IT拆分方法相关的收敛理论似乎在文献中受到限制。本文的主要目的是通过对时间离散误差的数值研究，更深入地了解其收敛特性。

此外，所有拆分方法都与流行的惩罚（P）方法进行了比较，该方法于[3、17、18]年引入美国期权估值。我们的论文概要如下。在第2节中，对PDCP（2）进行了适当的空间离散化。第3节描述了考虑中的时间离散化方法：θ-EP方法、θ-IT方法、PR方法、θ-P方法和ADI-IT方法家族。第4节对IT方法和PR方法进行了有启发性的解释。随后，根据第5节的规定，对上述所有方法的时间离散化误差进行了一个示例数值研究，其中考虑了五种美式选项。结论见第6.2节空间离散。PDCP（2）的数值解从（1）定义的空间微分算子的离散开始。为此，首先将无界空间域截断为一个正方形（0，Smax）×（0，Smax），给定值Smaxhosen足够大。我们规定了远场边界s=Smax和s=Smax处的齐次Neumann条件，与考虑中的支付一致。对于空间离散化，采用合适的非均匀笛卡尔网格（s1，i，s2，j）表示0≤ 我≤ m、 0个≤ j≤ m、 其中0=sk，0<sk，1<…<sk，mk=s当k=1，2时，网格在第k个空间方向上的轴。使用非均匀网格而不是均匀网格可以显著提高效率。这里我们考虑的是[4，5]中使用的网格类型。让k∈ {1，2}，[Sleft，Sright]是[0，Smax]的任意给定子区间，该子区间在第k方向上具有实际意义。设参数d>0，设等距点ξmin=ξ<ξ<…<ξmk=ξmaxbe，ξmin=sinh-1.-Sleftd公司,ξint=右侧- Sleftd，ξmax=ξint+sinh-1.Smax公司- 右侧.注：tξmin<0<ξint<ξmax。

网格0=sk，0<sk，1<…<sk，mk=Smaxis，然后通过转换sk，l=Д（ξl）（0≤ l≤ mk），其中Д（ξ）=Sleft+d sinh（ξ）（用于ξmin≤ ξ≤ 0），Sleft+dξ（对于0<ξ≤ ξint），Sright+d sinh（ξ- ξint）（对于ξint<ξ≤ ξmax）。通过构造，该网格在间隔内是均匀的【Sleft，Sright】，而在间隔外是不均匀的，其中间隔外的网格宽度总是大于间隔内的网格宽度。参数d控制位于内部的网格点的分数。允许ξ=ξ- ξ。很容易看出，上述网格是光滑的，因为存在实常数C，C，C>0，因此网格宽度hk，l=sk，l- sk，l-1满意度Cξ≤ 香港，l≤ Cξ和| hk，l+1- 香港，l |≤ C类(ξ） 对于我们的应用，如果期权的给定执行价格K>0恰好位于两个连续网格点之间的中间位置，则对精度有利。这可以通过上述类型的网格实现，如下所示。确定一个间隔【Sleft，Sright】，使K位于中间。然后K=Д（ξint/2）。让我们≥ 1是任意给定的整数，取ξ=ξint- 2ξminν，因此ξmin=ξ<ξ<…<ξν=ξint-ξmin。它认为sk，ν=Д（ξint-ξmin）=Sleft+SRRIGHT。点ξint/2是间隔[ξmin，ξint]的中间- ξmin]和正好位于两个连续ξ-网格点的中间，无论何时ν为o dd。这意味着，无论何时ν为奇数，K正好位于两个连续sk网格点的中间。然后让mk=mk（ν）是最小的整数，如mkξ≥ ξ最大值- ξminand res tξmaxtoξmin+mkξ。使用有限差分对运算符A进行离散化。让f：R→ R beany给出了光滑函数。设{xl}l∈Zbe任意给定的网格点递增序列和xl=xl-xl码-1对于所有l。

为了近似f的一阶和二阶导数，我们考虑以下著名的有限差分公式：f′（xl）≈ αf（xl）+αf（xl+1），（4a）f′（xl）≈ β-1f（xl-1） +βf（xl）+βf（xl+1），（4b）f′（xl）≈ δ-1f（xl-1） +δf（xl）+δf（xl+1）（4c），带α=-1.xl+1，α=xl+1，β-1个=-xl+1xl码(xl码+xl+1），β=xl+1-xl码xl码xl+1，β=xl码xl+1(xl码+xl+1），δ-1个=xl码(xl码+xl+1），δ=-2.xl码xl+1，δ=xl+1(xl码+xl+1）。近似值（4a）是一阶正向公式。近似值（4b）、（4c）都是二阶中心公式，只要网格是光滑的。用于条款的离散化u型/sk（k=1，2）在Au中，取公式（4c）。对于术语u型/sk（k=1，2）公式（4b）应用于每个网格点sk，lsuch，相应的系数sk，lβ-1+σksk，lδ-1为非负，否则使用公式（4a）。文献中经常使用这种矢量项的混合中心/前向离散化。对于交叉导数项u型/s用于u型/su型/sare相继应用。关于空间域的边界，在sk=0时，所有涉及第k方向的空间导数项都消失，因此边界的这一部分可以简单地处理（k=1，2）。在sk=SmaxtheNeumann条件下，直接产生u型/斯坎德u型/使用虚拟点sk，mk+1>Smax近似滑雪板，其中该点的值通过直线ar外推确定（k=1，2）。给定的空间离散化导致半离散PDCP系统U（t）≥ U、 U′（t）≥ AU（t），（U（t）- U） T（U′（T）- AU（t））=0（5），表示0<t≤ T，其中U（0）=U。这里U（T）表示表示空间网格上期权价值函数U（·，·，T）的半离散近似的M×1向量，其中M=（M+1）（M+1）。给出了M×M矩阵A和初始M×1向量UAR，其中后者在空间网格上重新表示了支付函数φ。

向量不等式应作复合解释，符号表示转置。考虑到有限差分公式的选择和边界条件，很容易得出以下结论：-每当相关性ρ=0时，A始终是M矩阵。这一特性在计算金融学中被广泛使用，以证明数值方法的良好性能。如果ρ6=0，则-当应用混合导数的标准有限差分公式时，A通常不再是M矩阵。有先进的技术可以克服这一问题，但目前我们将坚持上述标准离散化。3时间离散化对于所获得的半离散PDCP系统的时间离散化（5），我们在第n3.1节中使用了著名的θ-方法族。这方面的特殊实例是θ=的Crank–Nicolson（CN）方法和θ=1的向后Euler（BE）方法。接下来，在第3.2节中，考虑了三个重要的交替方向隐式（ADI）格式族。3.1θ-方法let参数θ>0。让我表示M×M单位矩阵。允许t=带整数N的t/N≥ 1be给定的时间步长，并让时间gr id点tn=nt表示整数0≤ n≤ N、 θ-方法适用于（5）定义近似值Un≈ n=1，2，…，依次为U（tn），N拜恩≥ U、 （6a）（I）- θtA）Un≥ （I+（1- θ）tA）Un-1，（6b）（联合国- U） T（（I- θtA）Un- （I+（1- θ）tA）Un-1） =0。（6c）完全离散的PDCP（6）形成了向量Un的线性互补问题（LCP）。文献中对LCP的解决方案给予了很大的关注。我们将在以下几个近似方法中考虑，这些方法在当前的时间依赖环境中很流行。明确的支付（EP）方法可以说是最常用于金融实践的方法。它产生了简单方法（7），生成n=1，2。

，N近似值Bun≈ U（tn）。θ-EP法：（I）- θtA）(R)Un=（I+（1- θ）tA）尿素氮-1，（7a）bUn=max{Un，U}（7b），其中bu=U，其中任意两个向量的最大值应为componentwise。方法（7）可以被视为一种分步分裂技术，其中一种先通过忽略美式约束来执行时间步，然后明确应用该约束，比较[1]。更准确地说，后者意味着将“Uno”投影到向量V的闭凸子空间∈ RMV满意V≥ U、 θ-EP方法的每个时间步的计算成本基本上与期权的欧洲对应方相同，这是非常有利的。Ikonen–Toivanen（IT）操作符拆分方法【12，13】具有相同的计算成本。它产生θ-It方法：（I- θtA）(R)Un=（I+（1- θ）tA）尿素氮-1+tbλn-1，（8a）小面包-“”联合国- t（bλn-bλn-1） =0，bUn≥ U、 bλn≥ 0，（bUn- U） Tbλn=0（8b），其中bλ=0。矢量b和辅助矢量bλnare分两个阶段计算。在第一阶段，由线性s系统（8a）定义的中间近似值。在第二阶段，\'Unandbλn-1更新为UNADBλnby（8b）。很容易看出，对于这些更新，有一个简单的公式bUn=最大值- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（9） 狮子与梅西尔（Lions&Mercier）[14]考虑了一种相关的方法，其灵感来自于原始的和平人-拉赫福德（PR）分裂计划[15]。它可以表示为PR方法：（I-tA）(R)Un=bUn-1个+tbλn-1，（10a）（bUn=最大值（一）+tA）’Un，U,bλn=最大值0，U- （一）+tA）’Un/(t） 。（10b）第4节应给出IT分割方法和PR方法的有用解释。设Large>0为任意固定的大ge数和整数κ≥ 1、【3、17、18】中提出了美式期权估值的惩罚方法。它产生θ-P方法：我- θtA+P（k）n\'U（k+1）n=（I+（1- θ）tA）尿素氮-1+P（k）Nu，对于k=0，1。

，κ- 1和bun=(R)U（κ）n.（11）这在每个时间步中形成一个迭代。此处“U（0）n=bUn”-1和P（k）n（对于0≤ k<κ）定义为当U（k）n，l<U0，land zero时，第l个对角线条目等于大的对角线矩阵。在每个时间步中，必须求解κ线性系统，涉及不同的矩阵。因此，从计算上讲，惩罚方法的每一时间步成本要高于上述三种方法。一个自然收敛准则ismaxl |'U（k+1）n，l-\'U（k）n，l | max{1，| U（k+1）n，l |}<tol或P（k+1）n=P（k）n，（12），给定的公差tol>0。让我们注意一下计算机的机器精度。选择惩罚因子的经验法则是thenLarge≈ α=10的αtol-（13）我们有≈ 10-16并选择tol=10-7和大=10。在我们的应用程序中，每个时间步的平均迭代次数κ介于1到2之间。P.A.Forsyth向作者建议。3.2 ADI模式ADI模式对于半离散多维偏微分方程的时间离散化很有吸引力，因为其每一时间步的计算成本与半圆盘重定时的空间网格点数量M成正比，这是最优的。对于e格式，矩阵A被拆分为A=A+A+A。（14）这里，A的A部分对应于混合导数项的半离散化。只要相关ρ不为零，该矩阵就不为零。接下来，A和A分别对应于s方向和s方向上所有空间导数项的半离散化，并且还包含-国际扶轮社。

这两个矩阵本质上是三对角的（也就是说，直到可能的置换）。在有关欧式期权数值估值的文献中，考虑了三个主要的ADI方案家族：道格拉斯（Douglas）方案、修改后的克雷格-斯奈德（Craig–Sneyd）（MCS）方案和亨多弗-维沃（Hundsdorfer–Verwer）（HV）方案，例如【7】。在[5，6]中，通过将这些模式与IT拆分方法相结合，这些模式已被用于美式期权的数值估值，从而产生了所谓的ADI-IT方法：Do-IT方法：Y=（I+tA）尿素氮-1+tbλn-1，Yj=Yj-1+θ泰姬陵Yj公司-小面包-1.（j=1，2），\'Un=Y，bUn=最大值\'Un- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（15） MCS-IT方法：Y=（I+tA）尿素氮-1+tbλn-1，Yj=Yj-1+θ泰姬陵Yj公司-小面包-1.（j=1，2），eY=Y+θt A+(- θ）助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+θ泰姬陵eYj公司-小面包-1.（j=1，2），\'Un=eY，bUn=maxn\'Un- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（16） HV-IT方法：Y=（I+tA）尿素氮-1+tbλn-1，Yj=Yj-1+θ泰姬陵Yj公司-小面包-1.（j=1，2），eY=Y+助教Y-小面包-1.,eYj=eYj-1+θ泰姬陵eYj公司- Y（j=1，2），\'Un=eY，bUn=maxn\'Un- tbλn-1，Uo，bλn=最大值n0，bλn-1+（U-联合国）/到（17） Do-IT方法构成了基本的ADI-IT方法。MCS-IT和HV-IT方法对该方法进行了不同的扩展，每个时间步需要大约两倍的计算工作量。在上述ADI-IT方法中，分隔始终以显式方式处理，而A和A部分则以隐式方式处理。在每个时间步中，线性系统必须用两个矩阵I来求解- θTajj=1，2。由于这些矩阵都是三对角矩阵，可以通过预先计算一次它们的LU分解，然后在所有时间步中使用这些分解，来非常高效地解决问题。