美式期权分割方法的数值研究

对于上述两种资产认沽期权，当临时误差（21）的兴趣区域与早期行使边界不相交时，可获得如此有利的结果。6结论本文对一系列当代时间离散化方法进行了充分的数值研究，这些方法用于PDCP建模一种和两种资产美国式期权的公允价值。为此，对时间离散误差（21）进行了详细的数值研究。这里考虑了最大范数，时间步数N与每个空间方向上网格点m的数量成正比。数值实验选择了五个美式选项：1-a资产出售、1-a资产出售、2-a资产出售最小值、2-a资产出售算术平均值和2-a资产出售最大值。对于时间离散，选择了后向Euler（BE）和Crank–Nicolson（CN）方法以及三种ADI方案：Douglas（Do）、Modified Craig–Sneyd（MCS）和Hundsdorfer–Verwer（HV）。对于每个时间步中发生的LCP的数值处理，考虑了显式Payoff（EP）方法、Ikonen–Toivanen（IT）分裂方法和惩罚（P）方法。此外，还选择了与CN-IT方法相关的Peaceman-Rachford（PR）方法。对于ADI格式，本文只研究了与IT分裂方法的结合。两种明确的支付方法，BE-EP和CN-EP，仅用于一种资产。

单资产认沽期权的时间收敛顺序为1.0，但单资产黄油期货期权的时间误差较大，收敛速度较慢。相反，对于上述所有五种方法，BE-IT和BE-P方法的时间收敛顺序总是接近1.0，CN-P方法的收敛顺序在1.0和1.3之间。通过采用合适的可变步长，确定临时网格点（26），CN-P方法显示，只要早期练习基础不包含在感兴趣的区域中，就有一个接近2.0的有利收敛顺序。不幸的是，对于正在考虑的所有其他方法，使用这些可变步长并不能改善其收敛性能。CN-IT和PR方法始终显示出大约1.0到1.3之间的收敛顺序，但两种资产的奶油价格期权除外，在这种情况下，它似乎减少到0.5。关于ADI-IT方法，θ=1/2的Do-IT方法对于两个a sset看跌期权的收敛顺序大约等于1.0。θ=1/3和θ=1/2的MCS-IT方法和θ=1/（2）的HV-IT方法+√2） 显示这两个选项的收敛阶分别约等于1.3和1.0。在双资产奶油期权的情况下，ADI-IT方法的收敛行为尚不清楚。上述关于采用利润分割法的方法的时间收敛行为的观察结果在文献中似乎是非常新的。只有对于BE-IT方法，我们才知道直接相关的理论结果，见[5]。本文的数值结果与理论结果一致。对于使用惩罚方法的方法，我们的观察结果与[3]中的（理论和实践）结果非常吻合。

显然，对于适用于适当可变步长的CN-P方法，本文的实验中仅观察到接近或等于2的时间收敛阶。将不同方法的时间误差大小与恒定步长进行比较，实验表明，对于两种方法BE-IT，BE-P-e总是非常相似，对于三种方法CN-IT、CN-P、PR也是如此。后一组被发现总是比前一组更精确。此外，PR方法被证明比CN-IT方法更准确。在两种资产认沽期权的情况下，基于ADI的方法MCS-IT和HV-IT与基于CN的方法具有相似的精度。Do-IT方法的准确度明显低于这些方法。对于相关的可变步长，CN-P方法被发现是所有欠考虑方法中最精确的方法。基于本文讨论的数值实验，并考虑到每个时间步的计算工作量，建议在（2）的数值解中使用MCS-IT和HV-IT方法，只要支付函数和财务参数是标准的，就可以使用这两种资产美式期权。如果Payoff函数更高级，例如（非凸）最大两个资产的butter fly，我们建议使用具有可变步长的CN-P方法。如果普遍适用性很重要，则提倡BE-IT和BE-P方法，这是以牺牲时间精度为代价的。

作为一般适用性和时间准确性之间的一个组成部分，PR方法是一个很好的候选者。致谢这项工作已得到欧盟在FP7-PEOPLE-2012-ITN计划中的支持，该计划根据赠款协议编号er 304617（FP7 Marie Curie Action，Project Multi-ITN STRIKE Novel Methods in Computative Finance）。0 20 40 60 80 100020406080100s1s2Figure 7：早期锻炼区域，如果t=t，则两项资产美国投入最小值和参数（27）。0 20 40 60 80 100020406080100S1S2图8：两项资产美国平均值和参数（27）的t=t时的早期锻炼区域。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图9:American put上的两个资产最小值和参数（27）。时间误差be(t；m） 相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色菱形。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图10：美国可投入的两项资产的最小值和参数（27）。时间误差BE(t；m） 相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 200.C恒定步长。Do-IT：黑色子弹，CS-IT：黑色方块，MCS-IT：黑色星星，HV-IT：黑色钻石。10-210-110-510-410-310-210-11/M图11：两项资产美国平均值和参数（27）。时间误差be(t；m） 相对于1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。BE-IT：浅色正方形，BE-P：浅色三角形，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色菱形。10-210-110-510-410-310-210-11/M图12：两项资产美国平均值和参数（27）。时间误差be(t；m） 与1/m相比，N=m为10≤ m级≤ 200、恒定步长。做吧：黑色子弹，CS-IT：黑色方块，MCS-IT：黑色星星，HV-IT：黑色钻石。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图13：两项资产美国黄油流量和参数（28）。

时间误差(t；m） versus1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。BE-IT：轻型正方形，BE-P：轻型三角形，CN-IT：深色正方形，CN-P：深色三角形，PR：深色钻石。10-210-110-510-410-310-210-11/MBE图14：两项资产美国黄油流量和参数（28）。时间误差(t；m） versus1/m，N=m，10≤ m级≤ 200、恒定步长。Do IT：暗黑子弹，C S-IT：dar ksquares，MCS-IT：暗星，HV-IT：dar k钻石。参考文献【1】G.Barles，Ch.Daher&M.Romano，《金融理论中抛物型方程数值格式的收敛性》，数学。摩登派青年冰毒。应用程序。Sc.5（1995）125–143。[2] A.Berman&R.J.Plemmons，《数学科学中的非负矩阵》，暹罗，1994年。[3] P.A.Forsyth和K.R.Vetzal，《使用apenalty方法评估美式期权的二次收敛》，SIAM J.Sci。公司。23（2002）2095–2122。[4] T.Haentjens&K.J.in’T Hout，《赫斯顿-赫尔-怀特偏微分方程的交替方向隐式有限差分格式》，J.Comp。芬南。16（2012）83–110。[5] T.Haentjens&K.J.in’T Hout，赫斯顿模型下美国期权定价的ADI计划，Appl。数学芬南。22（2015）207–237。[6] T.Haentjens，K.J.in’T Hout&K.Volders，采用Ikonen–Toivanen分割的ADI方案，用于Heston模型中美式看跌期权的定价，摘自：数值分析和应用数学，编辑：T.E.Simos et al.，AIP Conf.Proc。1281（2010）231–234。[7] K.J.in’t Hout&S.Foulon，Hestonl模型中期权定价的有限差异方案与相关性，Int.J.Numer。肛门。摩登派青年7（2010）303–320。[8] K.J.in’t Hout&B.D.Welfert，《应用于具有混合导数项的对流微分方程的ADI格式的稳定性》，应用。数字。数学57（2007）19–35。[9] K.J.in’t Hout&B.D。

Welfert，应用于含混合导数项的多维扩散方程的二阶ADI格式的无条件稳定性，Appl。数字。数学59（20 09）677–692。[10] S.D.Howison、C.Reisinger和J.H.Witte，《非光滑支付对美式期权惩罚近似的影响》，暹罗J.Finan。数学4（2013）539–574。[11] W.Hundsdorfer和J.G.Verwer，《含时平流-扩散反应方程的数值解》，Springer，2003年。[12] S.Ikonen和J.Toivanen，《美式期权定价的算子分割方法》，应用。数学利特。17（2004）809–814。[13] S.Ikonen和J.Toivanen，《股票波动率下美式期权定价的运营商分割方法》，数字。数学113（2009）299–324。[14] P.L.Lions和B.Mercier，《两个非线性算子之和的分裂算法》，SIAMJ。数字。肛门。16（1979）964–979。[15] D.W.Peaceman和H.H.Rachford，《抛物线和椭圆微分方程的数值解》，J.Soc。工业应用。数学3（1955）28–41。[16] C.Reisinger和A.Whitley，《自然时间变化对Crank-Nicolson格式收敛的影响》，IMA J.Numer。肛门。34（2014）1156–1192。[17] R.Zvan，P.A.Forsyth和K.R.Vetzal，《随机波动美式期权的惩罚方法》，J.Comp。应用程序。数学91（1998）199–218。[18] R.Zvan，P.A.Forsyth和K.R.Vetzal，《或有索赔评估的有限体积法》，IMA J.Numer。肛门。21（2001）703–731。