使用极值信息和

[16] Embrechts和P uccetti【14】推导出了标准界的改进，该标准界解释了X的copula或其生存函数的下界。这种改进对于目前工作的结果至关重要，因为它将在存在额外依赖信息的情况下计算改进的VaR界限的问题与改进copulas上的Fréchet–Hoefffding界限的任务联系起来。最近，通过使用关于依赖结构的额外、部分信息来改进“经典”Fréchet–Hoeffdingbounds，这在文献中引起了一些关注，如Nelsen【27】、Tankov【43】、Lux和Papapantoleon【24】以及Also Rachev和Rüschendorf【32】。设X是一个边缘为F的随机向量，Fd和copula C，letИ：Rd→ R在每个坐标中不减少，并定义函数pC（Д（X）<s）：=ZRd{Д（X，…，xd）<s}dC（F（X），Fd（xd））。设C，Cbe copulas，并考虑以下数量mc，ν（s）：=infPC（Д（X）<s）：C∈ Cd，C C,MbC，Д（s）：=支持PC（Д（X）<s）：C∈ 公元前Cd卑诗省.文献中称mC、Д、MbC、Д的以下界限为改进标准界限，如下所示：mC、Д（s）≥ supV<Д（s）CF（x），Fd（xd）=: mC，Д（s），MbC，Д（s）≤ infV>Д（s）1-卑诗省F（x），Fd（xd）=:MbC，Д（s），（2.3），其中V<Д（s）={（x，…，xd）∈ Rd：Д（x）<s}和V>Д（s）={（x，…，xd）∈ Rd：Д（x）>s}；参见【14，16】。仔细检查Embrechts和Puccetti[14]中定理3.1的证明，发现当C，resp。不列颠哥伦比亚省，正在分别增加。递减，在每个坐标中。因此，当Cis是准copula函数和BCA是准生存函数时，它们尤其成立。上述界限以以下方式与ν（X）的VaR相关。备注2.3。Let^1：Rd→ R在每个分量中都是递增的，X的copula C是这样的 C和BQ对于拟copula qan和拟生存函数bq。

THNM公司-1bQ，Д（α）≤ VaRα（ν（X））≤ m级-1Q，Д（α）。除了聚合函数Д（x，…，xd）=x+···+xd外，操作Д（x，…，xd）=max{x，…，xd}和Д（x，…，xd）=min{x，…，xd}在风险管理中也特别重要，但处理这些操作依赖性不确定性的方法较少；参见Embrechts、Puccetti、Rüschendorf、Wang和Beleraj【18】。下面的结果（其证明推迟到附录B）使用简单的计算在copula上存在附加信息的情况下建立了最小和最大运算的界限，并进一步表明这些界限与改进的标准界限（2.3）一致。在没有关于copula C的额外信息的情况下，d=2的类似陈述可以在Frank等人的文献中找到。[19，定理5.1]。提案2.4。设X是带有copula C和marginals F的随机向量，设Q，Qbe拟copulas。然后，对于Д（x，…，xd）=max{x，…，xd}，我们得到了mq，max（s）=infPC（Д（X）<s）：Q C≥ Q（F（s），Fd（s））=：mQ，max（s）mQ，max（s）=supPC（Д（X）<s）：CQ≤ Q（F（s），Fd（s））。类似地，如果bq和bq是准生存函数，那么对于ν（x，…，xd）=min{x，…，xd}，我们得到了mbq，min（s）=infPC（Д（X）<s）：bCbQ公司≥ 1.-bQ（F（s），Fd（s））MbQ，min（s）=supPC（Д（X）<s）：bQ卑诗省≤ 1.-bQ（F（s），Fd（s））=：MbQ，min（s）。3、已知某些极小值或极大值分布的和的风险值的改进界在本节中，我们提供了关于和X+·····+xD的VaR的改进界，其中，除了边际分布外，还提供了风险X的某些子集的最小值和最大值的律，Xdare知道n。特别是，我们假设对于系统J，Jm公司 {1，…，d}maxj的分布∈JnXjor minj公司∈Jnxjn=1，给出了m。

此设置可以视为仅边缘情况和向量（Xj）j的低维边缘之间的插值∈Jn是完全特定的。后一种设置已在文献中进行了广泛研究，并获得了（X，…，Xd）聚合的风险边界，其中一些较低维度的边缘，例如，由Rüschendorf【36】、Embrechts和Pucceti【15】以及Pucceti和Rüschendorf【29】获得。这些界限基于一个简化原则，该原则利用子向量（Xj）j分布的额外信息，将涉及高维边缘的优化问题转化为标准的Fréchetproblem（即仅边缘问题∈Jn。然而，在实践中，通常很难确定低维向量（Xj）j的分布∈Jn。尤其是当子集J，Jmare需要高维、大量的数据来估计（Xj）j的分布∈jn具有相当的准确度。因此，拥有关于（X，…，Xd）的低维边缘的完整信息是一个相当有力的假设，而在这种情况和仅边缘情况之间插值的方法是实际的兴趣所在。基于[29]的约化原理，我们在本节中改进了X+···+Xdwhen之和VaR的界，而不是（Xj）j的分布∈Jn，仅其最大maxj的分布∈JnXjorminimum minj∈已知JnXjis。备注3.1。Rüschendorf和Witting[40]的另一项工作是本着仅边缘情况和完全了解低er维边缘情况之间插值的精神，其中假设（X，…，Xd）子群的依赖信息的知识。让我们用I：={1，…，d}和J：={1，…，m}表示。定理3.2。让（X，…）。

，Xd）是边缘为F，…，的随机向量，Fd，并考虑子集Jn的集合E={J，…，Jm} I代表n∈ J与N∈JJn=I。用Gnthedyn=maxj的分布表示∈JnXj。接下来就是INFP（X+···+Xd）≤ s） ：Xi~ Fi，i∈ 一、 maxj公司∈JnXj公司~ Gn，n∈ J≥ sup（α，…，αm）∈Ainf公司P（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n∈ J=: mE，max（s），式中=n（α，…，αm）∈ Rm+：mXn=1αnmaxj∈Jnxj公司≥dXi=1xi，适用于所有（x，…，xd）∈ Rdo6=.此外，如果（X，…，Xd）是Rd+-值，则SUPP（X+···+Xd）≤ s） ：Xi~ Fi，i∈ 一、 maxj公司∈JnXj公司~ Gn，n∈ J≤ inf（α，…，αm）∈Asup公司P（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n∈ J=: ME，max（s），式中=n（α，…，αm）∈ Rm+：mXn=1αnmaxj∈Jnxj公司≤dXi=1xi，适用于所有（x，…，xd）∈ Rd+o6=.证据我们首先证明了下界mE，maxis是有效的。从smn=1Jn={1，…，d}可以得出A6=. 事实上，例如选择αn=| Jn |我们得到了pj∈Jnxj公司≤ αnmaxj∈Jnxj，forall（x，…，xd）∈ Rd和n=1，m、 HencemXn=1αnmaxj∈Jnxj公司≥mXn=1Xj∈Jnxj公司≥dXi=1xi表示所有（x，…，xd）∈ Rd.然后，对于任意（α，…，αm）它如下所示∈ 阿萨特mXn=1αnmaxj∈JnXj公司≤ sdXi=1Xi≤ s,此后P（X+···+Xd）≤ s） ：Xi~ Fi，i∈ 一、 maxj公司∈JnXj公司~ Gn，n∈ J≥ inf公司PmXn=1αnmaxj∈JnXj公司≤ s: xi~ Fi，i∈ 一、 maxj公司∈JnXj公司~ Gn，n∈ J= inf公司P（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n∈ J.现在，因为（α，…，αm）∈ A是任意的，因此下界通过对A中的所有元素取上下限来保持不变。同样，对于上界，我们注意到，由于（X，…，Xd）是Rd+-值，向量（0，…，0）和（1，…，1）属于A，因此它不是空的。此外，对于任意（α，…，αm）∈ A、 因此mXn=1αnmaxj∈JnXj公司≤ sdXi=1Xi≤ s,因为（X，…，Xd）是非负的和pj∈Jnxj公司≥Pmn=1αnmaxj∈Jnxj。

因此，我们得到了P（X+···+Xd）≤ s） ：Xi~ Fi，i∈ 一、 maxj公司∈JnXj公司~ Gn，n∈ J≤ sup公司PmXn=1αnmaxj∈JnXj公司≤ s: xi~ Fi，i∈ 一、 maxj公司∈JnXj公司~ Gn，n∈ J= sup公司P（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n∈ J.自（α，…，αm）∈A是任意的，因此上界确实成立。备注3.3。通过向E中添加单件，始终可以满足假设smn=1Jn={1，…，d}，即对于in，Jn={in}∈ {1，…，d}，因为（X，…，Xd）的边际分布已知。然而，即使边际分布未知，边界也是有效的。同样，当一些极小值的分布已知时，下面的结果建立了X元素和分布的界。该证明遵循与定理3.2证明相同的论证路线，因此省略。定理3.4。考虑定理3.2的设置，用Hn表示Zn=minj的分布∈JnXj。接下来就是SUPP（X+···+Xd）≤ s） ：Xi~ Fi，i∈ 一、 minj公司∈JnXj公司~ Hn，n∈ J≤ inf（α，…，αm）∈Bsup公司P（αZ+···+αmZm≤ s） ：Zn~ Hn，n∈ J=: ME，min（s），其中b=n（α，…，αm）∈ Rm+：mXn=1αnminj∈Jnxj公司≤dXi=1xi，适用于所有（x，…，xd）∈ Rdo6=.此外，如果（X，…，Xd）是Rd--有值，然后为INFP（X+···+Xd）≤ s） ：Xi~ Fi，i∈ 一、 minj公司∈JnXj公司~ Hn，n∈ J≥ sup（α，…，αm）∈Binf公司P（αZ+···+αmZm≤ s） ：Zn~ Hn，n∈ J=: mE，min（s），其中b=n（α，…，αm）∈ Rm+：mXn=1αnminj∈Jnxj公司≥dXi=1xi，适用于所有（x，…，xd）∈ 研发部-o6=.理论3.2和3.4中给出的边界计算可能很麻烦，原因有二。首先，对于固定（α，…，αm），不存在计算集合上尖锐分析边界的方法P（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n=1，m} ，m=2时除外。这个问题可以通过使用（2.2）中的标准边界来解决，也可以通过应用Embrechts等人的重排算法在数值上解决。

[17] ；详见附录A。使用重排算法，我们能够有效地近似集合上的上下限。在第5节中，我们证明了定理3.2和3.4中的边界比文献中的锐利边界有了显著的改进，而锐利边界假设只知道边缘。4、使用子集或引用copula改进的Fréchet–hoeffing界对于一般聚合函数，推导风险值φ（X）更精确界的一般方法是，首先假设有其他依赖信息可用，推导X的copula改进的Fréchet–hoeffing界，然后使用改进的标准界限（2.3）将其转换为VaR界限；另见备注2.3。在本节中，我们将重点讨论该策略的第一部分，并使用两种类型的额外依赖信息讨论改进的Fréchet–Hoefffding界限。首先，我们考虑风险向量X的copula C与其域的紧子集S上的参考模型重合的情况，即它认为C（X）=C*（x） 对于所有x∈ S和a引用copula C*. 实际上，集合S可能对应于ID中的一个区域，该区域包含足够多的观测值，能够以足够的精度估计copula C，因此我们可以假设C是knownon S。B ernard和Vanduffel【3】称之为子集可信区域，并提出了几种技术和标准，以在估计copula时选择此类区域。如果S不等于copula的整个域，那么依赖不确定性源于C在Id\\S上仍然未知的事实。

为了获得这种情况下的VaR界，我们使用Lux和Papapantoleon【24】的结果，他们在紧集上规定了值的Copula集上建立了改进的Fréchet–Hoefffding界。其次，当copula-Cis假设位于由统计距离测量的参考模型附近时，我们对Fréchet–hoefffding边界提出了一种新的改进。更正式地，我们在参考copula C的δ-邻域中建立了所有（拟）copula C集的界*, i、 e.使得D（C，C*) ≤ δ表示距离D。我们的方法适用于一大类统计距离，如Cramér–von Mises或Lpdistances。在实践中，当人们试图根据经验数据估计或校准copula时，这种情况就自然而然地出现了。该估计通常涉及在一个参数化的连接函数族上，将到经验连接函数的距离最小化，即D（Cθ，C）*) → 最小θ，其中C*是一个经验copula，（Cθ）θ是一个参数copula族。这在文献中通常被称为最小距离或最小对比度估计。例如，Kole、Koedijk和Verbeek【23】提出了几种基于距离的技术，用于在风险管理中选择copula。这些估算程序直接适用于我们提出的方法，因为通常会得出δ：=minθD（Cθ，C*) > 0，由于模型族（Cθ）θ无法与经验观测值精确匹配，因此相关性不确定性仍然存在。在这种情况下，由于选择了参数族（Cθ）θ，δ可以被视为不可避免的模型风险。然后，我们的方法可以用来解释VaR计算中的此类依赖性不确定性。文献中早些时候已经提出了在一类与参考模型接近的模型上计算稳健风险估计的方法。

Glasserman和Xu【21】在参考模型的相对熵距离内，推导了一类模型的投资组合方差、条件VaR和CVA的鲁棒界。Barrieu和Scandolo[1]建立了一元随机变量的VaR界限，因为其分布接近Kolmogorov–Smirnov或Lévy距离意义上的参考分布。在多变量环境中，Blanchet和Murthy[9]使用最优运输方法，推导出风险估计的稳健界限，例如在瓦瑟斯坦距离参考模型附近的模型上的毁灭概率。当然，这个简短的概述是不完整的，我们建议读者参考上述每一篇文章中的参考资料，以更详细地回顾相关文献。4.1。使用子集改进的Fréchet–Hoefffding边界让我们考虑这样的设置，即除了边缘分布之外，随机向量X的依赖结构的部分信息是可用的。特别地，假设copula在[0，1]d的一些子集S上是已知的。在[24]中的定理3.1建立了setQS，Q上的锐界*:=Q∈ Qd:Q（x）=Q*（x） 对于所有x∈ S,其中S Idis compact和Q*是一个d-拟copula。边界由qs、Q提供*（u） ：=最小值Q（u）：Q（x）=Q*（x） 对于所有x∈ S= 最大值0，dXi=1ui- d+1，最大值∈SnQ公司*（十）-dXi=1（xi- ui）+o,QS，Q*（u） ：=最大值Q（u）：Q（x）=Q*（u） 对于所有x∈ S= 最小值uud，minx∈SnQ公司*（x） +dXi=1（ui- xi）+o,（4.1）对于所有u∈ Id，它们是拟copula，也属于QS，Q*. 让我们指出，Puccetti、Rüschendorf和Manko最近提出了这些边界的类似版本【31】。它们是在第三位NAMED作者的硕士论文中独立得出的。备注4.1。

通过稍微滥用符号，我们有时会写出Q{u}，α和Q{u}，α和α∈[Wd（u），Md（u）]，而不是准copula函数Q*, 意味着Q*（u） =α。（4.1）中的界限也适用于copula集合，即对于每个copula C inCS，Q*:=C∈ Cd:C（x）=Q*（x） 对于所有x∈ S它认为QS，Q* CQS，Q*, 假设CS，Q*不为空。此外，【24】中的命题A.1提供了生存函数的类似边界，即参考copula C*和任何copulaC inbCS，C*:=C∈ Cd:bC（x）=bC*（x） 对于所有x∈ S它认为Bqs，C*卑诗省bQS，C*, 其中Bqs，C*（u） ：=QbS，bC*（1）- u） andbQS，C*（u） ：=QbS，bC*（1）- u） ，（4.2）whilebS={（1- x、 ，1.- xd）：（x，…，xd）∈ S} 。在d=2的情况下，上述边界对应于Tankov推导的改进的Fréchet–Hoefffding边界【43】。他指出，在集合S上的某些约束条件下，这些边界本身就是copula，而这些约束条件很容易被B ernard、Jiang和Vanduffel放宽[4]。相反，Luxand Papapantoleon【24】表明，对于d>2，边界QS，Q*andQS，Q*copulas是否仅在不可生成的情况下，而准copulas是否仅在不可生成的情况下。此外，Bartl、Kupper、Lux和Papapantoleon【2】最近表明，一旦违反了【4，43】中的约束条件，那么改进后的Fréchet–Hoefffding界限甚至无法达到逐点锐化，仍然在维度d=2.4.2。使用参考模型改进的Fréchet–Hoeffing界限在下面，我们将使用不同类型的附加依赖信息建立改进的Fréchet–Hoeffing界限。也就是说，我们考虑在统计距离意义上接近参考copula的copula集，如下所述。让我们首先定义两个拟copula Q之间的最小和最大卷积，Q′是它们之间的逐点最小和最大卷积，即（Q∧ Q′（u）=Q（u）∧ Q′（u）和（Q∨ Q′（u）=Q（u）∨ Q′（u）。定义4.2。

A函数D:Qd×Qd→ 对于Q，Q′，R＋称为统计距离∈ QdD（Q，Q′）=0<==> Q（u）=所有u的Q′（u）∈ Id.definition 4.3。统计距离D对于阶是单调的 关于Qd，如果为Q，Q′，Q′∈ Qdit控股公司 Q′ Q′\'==> D（Q′，Q′）≤ D（Q，Q′）和D（Q′，Q′）≤ D（Q′，Q）。统计距离D为最小值。Q，Q′的最大稳定if∈ Qdit holdsD（Q，Q′）≥ 最大{D（Q∧ Q′，Q），D（Q，Q∧ Q′）}D（Q，Q′）≥ 最大{D（Q∨ Q′，Q），D（Q，Q∨ Q′）}。下面的定理在参考copula Cδ附近的拟copula集上建立了点态界*通过统计距离D来衡量。这一结果延续了尼尔森（Nelsen）[27]和坦科夫（Tankov）[43]以及勒克斯（Lux）和帕帕潘托伦（Papapantoleon）[24]在已知某种依赖函数的情况下对改进的弗雷切特-霍夫丁界限的研究路线。定理4.4。让C*是一个d-copula，d是一个统计距离，它对于拟copula的点态收敛是连续的，对于下正态序是单调的，并且是最小/最大稳定的。考虑setQD，δ：=Q∈ Qd:D（Q，C*) ≤ δ对于δ∈ R+。ThenQD，δ（u）：=minnα∈ S（u）：DQ{u}，α∧ C*, C*≤ δo=最小值Q（u）：Q∈ QD，δ,QD，δ（u）：=最大值α∈ S（u）：DQ{u}，α∨ C*, C*≤ δo=最大值Q（u）：Q∈ QD，δ,其中S（u）：=[Wd（u），Md（u）]，并且两个边界都是准copula。证据我们证明了该语句适用于下界，而上界的证明遵循相同的思路。固定α∈ 【Wd（u）、Md（u）】和a u∈ Id，然后是地图v 7→Q{u}，α∧ C*（v） 是一个准copula；随后使用最小卷积的定义进行了简单的计算，参见Rodríguez Lallena和'Ubeda Flores【33，Theorem2.1】。