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英文标题：
《Model-free bounds on Value-at-Risk using extreme value information and
  statistical distances》
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作者：
Thibaut Lux, Antonis Papapantoleon
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We derive bounds on the distribution function, therefore also on the Value-at-Risk, of $\\varphi(\\mathbf X)$ where $\\varphi$ is an aggregation function and $\\mathbf X = (X_1,\\dots,X_d)$ is a random vector with known marginal distributions and partially known dependence structure. More specifically, we analyze three types of available information on the dependence structure: First, we consider the case where extreme value information, such as the distributions of partial minima and maxima of $\\mathbf X$, is available. In order to include this information in the computation of Value-at-Risk bounds, we utilize a reduction principle that relates this problem to an optimization problem over a standard Fr\\\'echet class, which can then be solved by means of the rearrangement algorithm or using analytical results. Second, we assume that the copula of $\\mathbf X$ is known on a subset of its domain, and finally we consider the case where the copula of $\\mathbf X$ lies in the vicinity of a reference copula as measured by a statistical distance. In order to derive Value-at-Risk bounds in the latter situations, we first improve the Fr\\\'echet--Hoeffding bounds on copulas so as to include this additional information on the dependence structure. Then, we translate the improved Fr\\\'echet--Hoeffding bounds to bounds on the Value-at-Risk using the so-called improved standard bounds. In numerical examples we illustrate that the additional information typically leads to a significant improvement of the bounds compared to the marginals-only case.
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中文摘要：
我们推导了$\\varphi（\\mathbf X）$的分布函数的界，因此也推导了风险值的界，其中$\\varphi$是一个聚合函数，$\\mathbf X=（X_1，dots，X_d）$是一个具有已知边缘分布和部分已知依赖结构的随机向量。更具体地说，我们分析了依赖结构上的三种可用信息：首先，我们考虑了极值信息的情况，例如$\\mathbf X$的部分最小值和最大值的分布。为了在计算风险值边界时包含此信息，我们利用了一个简化原则，将此问题与标准Fr趶echet类上的优化问题联系起来，然后可以通过重排算法或使用分析结果来解决该问题。其次，我们假设$\\mathbf X$的copula在其域的子集上是已知的，最后我们考虑$\\mathbf X$的copula位于由统计距离测量的参考copula附近的情况。为了推导出后一种情况下的风险值界限，我们首先改进了copulas上的Fr？echet-hoefffding界限，以便包含关于依赖结构的额外信息。然后，我们使用所谓的改进标准边界，将改进的Fr\\echet-hoeffing边界转换为风险值的边界。在数值例子中，我们说明了与仅边缘情况相比，附加信息通常会导致边界的显著改进。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Model-free_bounds_on_Value-at-Risk_using_extreme_value_information_and_statistic.pdf (258.52 KB)

2022-5-26 22:15:12 上传

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关键词：distribution Applications Quantitative Optimization Differential

使用极值信息和统计距离对风险价值的自由边界建模Hibaut Luxa，1，*, Antonis Papapantoleonb，2岁，*抽象我们推导出分布函数的界，因此也推导出风险值的界，其中φ是聚合函数，X=（X，…，Xd）是具有已知边缘分布和部分已知依赖结构的随机向量。更具体地说，我们分析了依赖结构的三种可用信息：首先，我们考虑极值信息可用的情况，例如X的部分极小值和极大值的分布。为了将这些信息包括在风险值边界的计算中，我们利用了一个简化原则，将这个问题与标准Fréchet类上的优化问题联系起来，然后可以通过重排算法或使用分析结果来解决这个问题。其次，我们假设Xis的copula在其域的子集上是已知的，最后我们考虑了X的copula位于参考copula附近的情况，通过统计距离测量。为了在后一种情况下得出风险价值边界，我们首先改进了Fréchet–Hoefffding-boundson连接函数，以便包含关于依赖结构的额外信息。然后，我们将改进的Fréchet–Hoeffdingbounds转换为使用所谓的改进标准边界的风险值边界。

在数值示例中，我们说明，与仅边缘情况相比，附加信息通常会导致边界的显著改善。关键词：风险值界、相关性不确定性、copulas、改进的Féchet–hoefffding界、极大值和极小值分布、约简原则、到参考copula的距离、重排算法。作者：布鲁塞尔普莱因兰布鲁赛尔Vrije大学金融系，邮编：2，1050，比利时数学系，雅典国家技术大学，佐格拉福校区，15780Athens，Greecetlux@consult-勒克斯。depapapan@math.ntua.gr*我们感谢Peter Bank、Carole Bernard、FabrizioDurante、Ludger Rüschendorf、Kirstin Strokorb、Steven Vanduffel和Ruodu Wang在这些主题的工作中进行了有益的讨论。TL非常感谢1845年FG研究培训小组“生物、金融和物理应用的随机分析”提供的财政支持。纸张INFOAMS分类：91B30、62H05、60E05、60E15。凝胶分类：G32、C52、C60。以前的版本名为“使用部分依赖信息的风险价值模型自由边界”。1、简介模型不确定性下的多元风险评估已成为从水文和工程到保险和金融等多个科学领域的核心问题。在保险和金融领域，这在一定程度上是由不断变化的法规推动的，这些法规要求在风险管理中量化模型的不确定性；例如，参见《瑞士偿付能力测试》中关于自然灾害模型主要和次要不确定性的概念和指南，或《偿付能力II内部模型批准指南》中关于模型不确定性的处理。测量不确定性下的风险通常与计算形式P（Д（X）的概率界限有关≤ ·),其中X=（X。

，Xd）是一个Rd值的随机向量，且Д：Rd→ R一个聚合函数。这里，X可以被认为是组合中d风险的向量建模，而聚合函数的典型示例是sum、m ax和min运算符。风险因素X的分布模型暴露于两种类型的模型风险，即单个成分X的一维分布，XD是错误的，另一方面，组件之间的依赖结构不合适的风险。后一种情况在文献中称为依赖不确定性。虽然在许多监管框架中，依赖性不确定性的测量扩展到了对不确定相关性的考虑，但当局意识到，选择基础依赖结构，即copula，可能会带来比特定相关性产生的风险更大的风险；例如，参见欧洲保险和职业养老金监管委员会【11】。然而，鉴于缺乏节约和可量化的方法来量化依赖不确定性带来的风险，这方面的标准框架目前似乎不切实际。在这种背景下，我们在本文中重点研究依赖不确定性下的风险度量，即我们假设组成部分的边际分布为Xi~ Fifor i=1，d是已知的，而X的分量之间的依赖结构未知或仅部分未知。首先，我们使用X分布的可用信息推导出分布函数的界限。然后，通过反演，分布函数的界限可以立即转换为风险值（VaR）的界限。文献中有很大一部分关注的是只有边缘的F。

，fd是已知的，没有关于X的依赖结构的信息。在这种情况下，两个随机变量之和的分布函数的明确边界，即ν（X）=X+X，是由马卡洛夫[25]推导出来的，而对于更一般的函数，则是由吕申多夫[34]在20世纪80年代早期推导出来的。这些结果后来被Denuit、Genest和Marceau[12]推广到两个以上随机变量的函数，以及Embrechts、H"oing、，Juri【16】和Embrechts以及Puccetti【14】提供了更一般的聚合功能；另见Cheung和Lo【10】。然而，这些界限可能不够清晰。因此，计算夏普分布界的数值格式变得越来越流行。Puccetti和Rüschendorf【28】以及Embrechts、Puccetti和Rüschendorf【17】介绍的重排算法代表了一种有效的方法，可以在对边际分布F、…、的额外要求下，近似求和X+····+xD的VaR的锐界，Fd。此外，在一定的边际分布假设下，文献中得到了纯边际情况下的尖锐分析变界；参见Rüschendorf【35】、e mbrechts和Puccetti【14】、Puccetti和Rüschendorf【29】、Wang、Peng和Yang【44】、Bernard、Jiang和Wang【5】以及其中的参考文献。然而，完全缺乏依赖结构的信息通常会导致非常广泛的范围，对于实际应用而言，这些范围的信息并不充分；参见例如Bernard和Vanduffel【3】。此外，完全缺乏关于X的依赖结构的信息通常是不现实的，因为某些点的X的相关性或分布函数的值等数量可以以足够的精度进行估计。

这将调用FormMethods来说明在计算风险边界时有关依赖结构的其他信息。最近开发了各种分析和数值方法来推导风险边界，包括额外的依赖信息。Embrechts、H"oing和Juri【16】以及Embrechts和Puccetti【14】推导出了X的copula上的下界。Rüschendorf【36】、Embrechts和Pucceti【15】以及Pucceti和Rüschendorf【29】在已知X的一些低维边缘法则时建立了边界。Embrechts、H"oing、Juri【16】和Rüschendorf【37】中给出了解释正相关性或负相关性假设的分析边界。Bernard、Rüschendorf和Vanduffel【6】在规定了Β（X）方差的上界时得出了风险界，并提出了有效计算这些界的数值模式。此外，Bernard、Rüschendorf、Vanduffel和Wang[7]提出了在因子模型中获得风险边界的数值和分析方法，而Bernard和Vanduffel[3]考虑了X的分布仅在其域的子集上已知的情况，并建立了一种重排算法来解释这种类型的依赖信息。吕申多夫（Rüschendorf）[39]中详细介绍了这一文献。在本文中，我们提出了在依赖不确定性存在的情况下计算多重风险集合VaR界的替代方法。

回顾了第2.1小节中的一些定义和有用结果后，在第2.2小节中，我们重新讨论了Var的标准和改进的标准界限，并提供了当Д=max或Д=min时改进的标准界限的直接推导。在第3节中，我们使用了一个简化原则来解释极值信息，例如风险向量X的部分最小值或最大值的分布，在计算X+···+Xd之和的风险边界时。术语部分极大值在此指X的低维边缘的最大值，即1的最大值{Xi，…，Xin}≤ 我≤ · · · ≤ 在里面≤ d、 和最小值类似。因此，我们在仅边缘的情况和完全指定X的低维边缘分布的情况之间进行插值；参见[15，29]。在第4节中，我们提出了一种计算一般聚合函数（包括两种不同类型的依赖信息）的VaR界限的方法。首先，我们考虑风险向量X的总体C与其域子集S上的参考模型重合的情况，即它认为C（X）=C*（x） 对于所有x∈ S和参考copula C*. 应用Luxand Papapantoleon[24]的结果以及Embrechts等人[16]和Embrechtsand Pucceti[14]的改进标准界限，我们使用子集S上的可用信息推导VaR的界限。这与Bernard和Vanduffel[3]中的可信区域有关，尽管方法不同。第二类依赖信息对应于位于参考copulaC附近的C*通过统计距离D测量。在这种情况下，我们在参考模型C的δ-邻域中的所有（准）copula C集合上建立了改进的Fréchet–Hoeffdingbounds*, i、 e.对于所有C，D（C，C*) ≤ δ。

我们的方法适用于一大类统计距离，如Kolmogorov–Smirnov距离或Cramér–von Mises距离。然后，我们使用改进的标准边界[14，16]，以便将改进的Fréchet–Hoefffing边界转换为风险值（X）的边界。最后，在第5节中，我们介绍了我们的结果在风险度量中的几个应用。计算结果表明，与仅边际情况相比，额外的依赖信息通常会导致VaR界限的显著改善。此外，与文献中的相关结果相比，使用部分极大值信息的变界随着置信水平的增加而变得更紧，这构成了该方法的优势。2、预备工作在本节中，我们介绍整个工作中使用的符号和一些基本结果。例如，在M cNeil、Frey和Embrechts【26】或Rüschendorf【38】中，可以找到在风险聚合背景下对copulas的全面介绍。让d≥ 2为整数。在下文中，I表示单位间隔[0，1]，而粗体字母，例如u、v或x，表示Idor Rd中的向量。此外，1表示等熵等于1的d维向量，即1=（1，…，1）。2.1。Copulas和Fréchet–Hoefffding边界定义2.1。A函数Q:Id→ 如果下列性质成立，则I是d-拟copula：（QC1）Q满足，对于所有I∈ {1，…，d}，边界条件sq（u，…，ui=0，…，ud）=0，Q（1，…，1，ui，1，…，1）=ui。（QC2）Q在每个参数中都是非递减的。（QC3）Q是Lipschitz连续的，即对于所有u，v∈ Id | Q（u，…，ud）- Q（v，…，vd）|≤dXi=1 | ui- 六|。此外，如果（QC4）Q是d-递增的，则Q是d-copula。我们用qd表示所有d-拟copula集，用Cd表示所有d-copula集。显然是CdQd。

如果上下文中的维度是明确的，我们将把d（准）copula称为（准）copula。设C为d-copula，考虑d个单变量概率分布函数F，Fd。ThenF（x，…，xd）：=C（F（x），Fd（xd）），适用于所有x∈ 定义了一个d维分布函数，具有一元边距F，Fd。Sklar定理也支持相反的观点，即对于每个d维分布函数F，都有一元边值F，Fd，存在一个copula C，使得F（x，…，xd）=C（F（x），Fd（xd））适用于所有x∈ Rd；见Sklar【41】。在这种情况下，如果边缘是连续的，那么copula C是唯一的。d-copula C的生存函数定义如下：bC（u，…，ud）：=VC（[u，1]×······×[ud，1]），u∈ Id，其中VC（H）表示集合H的C体积。函数bc（1- u） ，对于u∈ Id，又是acopula，即C的生存copula；参见Georges、Lamy、Nicolas、Quibel和Roncalli【20】。注意，对于边缘为F，…，的随机向量（X，…，Xd）的分布函数F，Fd和相应的copula C，使得F（x，…，xd）=C（F（x），Fd（xd））它认为p（X>X，…，xd>xd）=bC（F（X），Fd（xd））。（2.1）mapbQ可以类似地定义为准copulas Q，但函数Bq（1-u） 也不一定是准copula。因此，我们引入拟生存函数一词来指代函数bq:Id→ 我希望你7→bQ（1-u） 又是一个准copula。d-拟生存函数集由青岛银行表示。定义2.2。设Q，Q′为d-拟copulas。Q′在下正序中大于Q，用Q表示 Q′，如果Q（u）≤ Q′（u）表示所有u∈ 著名的Fréchet–Hoefffding定理在低阶拟Copula集上建立了最小和最大界。

特别是对于每个Q∈ Qd，它保持wd（u）：=maxn0，dXi=1ui- d+1 O≤ Q（u）≤ min{u，…，ud}=：Md（u），对于所有u∈ Id，即Wd Q Md，其中wd和Md分别是上、下Fréchet–Hoeffdingbounds。Fréchet–Hoefffding界的性质以一种简单的方式传递到生存集，因此对于任何C∈ CD以下界限：Wd（1- u）≤不列颠哥伦比亚大学≤ Md（1- u） ，适用于所有u∈ Id.2.2。风险值的界在存在依赖不确定性的情况下，计算随机变量函数的概率界或等效于其风险值的概率界的问题由来已久，已经出现了许多解决方法。在完全依赖不确定性的情况下，只有边缘F，FD是已知的，没有关于X的copula的信息，X+···+xD和X+··+xD的分位数的边界是在一系列的论文中推导出来的，首先是马卡洛夫[25]和吕申多夫[35]对d=2的结果，以及Frank、Nelsen和Schweizer[19]、Denuit等人[12]和Embrechts等人[16]对d>2的扩展。这些界限在文献中称为标准界限，由MaxnSupu给出F-（u） +dXi=2Fi（ui）- d+1，0≤ P（X+···+Xd<s）≤ minninfU（s）dXi=1F-i（ui），1o，（2.2），其中U（s）={（U，…，ud）∈ Rd:u+···+ud=s}和F-IDE注意到Fi的左侧连续版本。这些界限适用于所有随机变量X，边缘为F，Fd和X+···+xd之和的VaR的相应边界由相应的逆函数给出。在[25]和[35]中，n独立地表明，d=2的界限是尖锐的，因为X存在一个分布，因此其成分之和达到上限和下限。然而，在更高的维度上，标准边界可能不清晰。Embrechts等人。