使用极值信息和

根据定义，D相对于正态下阶是单调的，因此它遵循α，α∈ [Wd（u），Md（u）]，α<αthatDQ{u}，α∧ C*, C*≤ DQ{u}，α∧ C*, C*,由于Q{u}，α Q{u}，α，这很容易暗示Q{u}，α∧ C*Q{u}，α∧ C* C*.因此，map[Wd（u），Md（u）] α7→ DQ{u}，α∧ C*, C*正在减少。此外，作为ArzeláAscoli定理的一个结果，对于每个频率（αn）n [Wd（u），Md（u）]，αn→ α，Q{u}，αn∧ C*---→n→∞Q{u}，α∧ C*一致且，由于D对于拟copula的逐点收敛是连续的，因此α7→ DQ{u}，α∧ C*, C*是连续的。此外，我们还有Q{u}，Md∧ C*, C*= DMd公司∧ C*, C*= DC*, C*= 0，（4.3），因为C* 我们现在区分两种情况：（i）让δ≤ DQ{u}，Wd∧ C*, C*. 然后，由于映射的单调性和连续性[Wd（u），Md（u）] α7→ DQ{u}，α∧ C*, C*（4.3）它认为setO：=nα：DQ{u}，α∧ C*, C*= δois非空且紧凑。定义α*:= 最小值{α：α∈ O} 。我们将显示minQ（u）：Q∈QD，δ= α*. 一方面，它认为Q（u）：Q∈ QD，δ≤ α*. 实际上，考虑q{u}，α*∧ C*这是一个拟copula，属于QD，δ，自α*∈ O、 那么，我们有了Q{u}，α*∧ C*（u） =最小值{α*, C*（u） }=α*,再次使用α*∈ O和（4.3）。因此，这种不平等仍然存在。另一方面，我们现在将表明，不等式不能用矛盾来严格。假设存在一个拟copula Q′∈ QD，δ，Q′（u）<α*. 然后它跟在d（Q′，C）后面*) ≥ DQ′∧ C*, C*≥ DQ{u}，Q′∧ C*, C*≥ DQ{u}，α*∧ C*, C*= δ、 （4.4）其中，第一个不等式源自D的最小稳定性，第二个和第三个不等式源自其单调性。然而，由于Q′（u）/∈ O以下是DQ{u}，Q′∧ C*, C*6=δ，因此（4.4）得出DQ{u}，Q′∧ C*, C*> δ。这与Q′的假设相矛盾∈QD，δ，表明确实最小Q（u）：Q∈ QD，δ= α*.

因此，δ的下限成立≤ DQ{u}，Wd∧ C*, C*.（ii）现在，让δ>DQ{u}，Wd∧ C*, C*, 然后是Minnα∈ [Wd（u），Md（u）]：DQ{u}，α∧ C*, C*≤ δo=Wd（u）。此外，自Q{u}，Wd∧ C*∈ QD，δ和QD，δ中的每个元素从byWd的下方开始有界，因此minQ（u）：Q∈ QD，δ= Wd（u）。因此，在这种情况下，下限也成立。最后，从[33，定理2.1]再次得出，边界是拟copulas，这完成了证明。备注4.5。让C*D如定理4.4所示，并考虑δ∈ R+。然后，界限QD，δ和QD，δ也适用于copulas集CD，δ：={C∈ Cd:D（C，C*) ≤ δ} ，假设CD，δ6=,也就是qd，δ CQD，δ，（4.5）对于所有C∈ CD，δ，由于CD，δ QD，δ。备注4.6。如果D不是对称的，则集合{Q∈ Qd:D（Q，C*) ≤ δ} 可能与集合{Q）不一致∈ Qd：D（C*, Q）≤ δ} 。在这种情况下{Q上的界∈ Qd：D（C*, Q）≤ δ} 由qd提供，δ（u）=minnα∈ [Wd（u），Md（u）]：DC*,Q{u}，α∧ C*≤ δo，QD，δ（u）=最大值α∈ [Wd（u），Md（u）]：DC*, Q{u}，α∨ C*≤ δo。许多众所周知的统计距离满足定理4.4的要求。典型的例子是Kolmogorov–Smirnov距离和Cramér–von Mises距离，其中dks（Q，Q′）：=supu∈Id | Q（u）- Q′（u）|和DCM（Q，Q′）：=ZId | Q（u）- Q′（u）| du。对于具有p的所有LPDistance，同样适用≥ 1，其中dlp（Q，Q′）：=齐德| Q（u）- Q′（u）| pdup、 具有这些特性的距离在最小距离和最小对比度估计理论中特别重要，与最大似然法相反，分布参数是基于经验分布和估计分布之间的统计距离估计的。

这些估计量在效率和稳健性方面具有良好的性质；参见Spokoiny和Dickhaus【42，第2.8章】。定理4.4中边界QD，δ和QD，δ的计算涉及优化问题的解决，这可能在计算上很复杂，取决于距离D。因此，边界的显式表示对于应用非常有价值。以下结果表明，在Kolmogorov–Smirnov距离的特殊情况下，可以显式计算边界。引理4.7。让C*是d-copula，δ∈ R+，并考虑Kolmogorov–Smirnov距离DKS。ThenQDKS，δ（u）=最大值C*（u）- δ、 Wd（u）andQDKS，δ（u）=最小值C*（u） +δ，Md（u）.证据让我们从下界qdkδ开始。由于q{u}，α∧ C* C*对于所有α∈ [Wd（u），Md（u）]，它认为Q{u}，α∧ C*, C*= supx公司∈Id号Q{u}，α∧ C*（十）- C*（十）= supx公司∈IdnC公司*（十）-Q{u}，α（x）o.Since supx∈Id号C*（十）- Q{u}，α（x）= α>C时为0*（u） ，我们可以假设w.l.o.g.α达到最小值≤ C*（u） 。亨斯敏α∈ [Wd（u），Md（u）]：DKSQ{u}，α∧ C*, C*≤ δo=minnα∈ [Wd（u），C*（u） ]：supx∈IdnC公司*（十）-Q{u}，α（x）o≤ δo。然后，利用Q{u}，αin（4.1）的定义，我们得到了supx∈IdnC公司*（十）-Q{u}，α（x）o=supx∈IdnC公司*（十）- minnMd（x），α+dXi=1（xi- ui）+oo=supx∈IdnC公司*（十）- α-dXi=1（xi- ui）+o=supx∈IdnC公司*（十）-dXi=1（xi- ui）+o- α=C*（u）- α、 其中第二个等式成立，因为C*（十）- Md（x）≤ 0表示所有x∈ 因此，我们得出结论，qdks，δ（u）=minα∈ [Wd（u），C*（u） ]：C*（u）- α≤ δ= 最小值α∈ [Wd（u），C*（u） ]：C*（u）- δ≤ α= 最大值C*（u）- δ、 Wd（u）.上界qdksδ的证明类似，因此省略。与理论4.4类似，我们也可以考虑生存岛信息可用的情况。请注意，每个衡量拟种群之间差异的统计距离都可以很容易地转化为准生存函数上的距离，即。

如果D是Qd×Qd上的统计量，那么（bQ，bQ′）7→ DbQ（1- ·),bQ′（1- ·)定义生存连接函数集或准生存函数集上的距离。推论4.8。让C*是一个d-copula，d是一个统计距离，它对于拟copula的点态收敛是连续的，对于上正序是单调的，并且是最小/最大稳定的。考虑setbQD，δ=bQ公司∈青岛银行：D（bQ，bC*) ≤ δ对于δ∈ R+。然后，δ（u）：=minnα∈ S（u）：DbQ{u}，α∧ C*, C*≤ δo=最小值C（u）：C∈青岛银行，δ青岛，δ（u）：=最大值α∈ S（u）：DbQ{u}，α∨ C*, C*≤ δo=最大值C（u）：C∈青岛银行，δ.该证明类似于定理4.4的证明，因此省略。5、数值示例和说明在本节中，我们应用前几部分中推导的结果，以推导风险值的界限，从而解释依赖结构的额外信息。特别是，我们能够包含不同类型的部分依赖信息，这些信息既与实际应用相关，也没有在文献中考虑过。第一个示例说明了在计算VaR界限时包含极值信息所取得的改进。第3节描述了该设置，而一个有用的reductionargument被推迟到附录a中。示例5.1。我们考虑齐次投资组合X=（X，…，X），其中边际为帕累托-2分布，即X，十、~ 并分析当考虑依赖结构的附加信息时，VaR界限的改善情况。特别是，我们假设极大值的分布为∈JnXjare以J={1，2，3}和J={4，5，6}而闻名。在这种情况下，可以从定理3.2和方程式（A.4）得出，即SUP（α，…，α）∈ARA（αY，αY，αX，…，αX）≤ infnP（X+···+X≤ s） ：X，十、~ 巴雷托，Yn~ Gn，n=1，2o，（5.1）和类似的inf（α，…，α）∈ARA（αY，αY，αX。

，αX）≥ supnP（X+···+X≤ s） ：X，十、~ 巴雷托，Yn~ Gn，n=1，2o，（5.2），其中RA（X，Y）和RA（X，Y）表示P（X+Y）的上下限≤ ·) 使用重排算法（RA）计算。我们已选择包含边线X，Xin（5.1）和（5.2）左侧的优化问题，以避免丢失有关边际分布的有用信息，尽管条件∪nJn={1，…，6}的定理3.2已经满足。请注意，每个变量的最大值的分布是众所周知的，并且等于各自的边际分布；i、 e.max{Xi}=Xi~ Fifor i=1，d、 当考虑到部分极大值的分布时，（5.1）和（5.2）中优化问题的解产生了sumX+···+x的VaR的界。表1显示了第一列中的置信水平α和第二列中无附加信息的VaR界限，即无约束界限。第三列和第四列包含用于解释极值信息的改进VaR界限，以及在百分比方面对无约束界限的改进，即改进VaR界限下限和上限之间的间隔相对于无约束界限之间的相同间隔要窄多少。为了说明我们的方法，我们需要知道部分极大值的分布。为此，我们假设向量（X，X，X）和（X，X，X）具有相同的等相关矩阵和两个自由度的Student-tcopula，并从数值上确定max{X，X，X}和max{X，X，X}的分布。

在第三列中，假设（X，X，X）和（X，X，X）的成对相关性等于0.9，在第四列中，成对相关性分别为0.7。本表中的界限（无附加信息和有附加信息）是使用RA计算的，因为RA在没有附加信息的情况下会产生本质上尖锐的VaR界限。计算无约束边界的另一种可能性是使用可用的分析结果，例如Jakobsons、Han和Wang【22】、Puccetti和Rüschendorf【30】以及Wang等人【44】。我们没有这样做，因为使用samealgorithm计算所有边界会使结果的比较更加可信，因为数字伪影已经消除。α下部上部下部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部下部下部下部下部下部下部下部下部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部下部下部下部下部下部下部下部下部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部下部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部上部lowerimprovedupperimprovedimpr。%95%3.8 47.8 3.8 39.5 19.7 4.9 44.8 9.199%4.9 114.0 11.0 96.1 22.0 12.4 107.8 12.599.5%5.2 163.7 16.1 138.5 22.7 18.0 155.1 13.5表1：X+·+X和的无约束和改进VaR界限，不同置信水平的部分最大值分布已知。从这个例子中可以得出以下观察结果：（i）添加部分依赖信息可以显著减少上界和下界之间的扩散。事实上，包含额外信息的边界比重排算法产生的无约束边界更精确，在这种设置下，无约束边界本质上是尖锐的。然而，模型风险仍然不容忽视。（ii）改善水平随着α级置信度的增加而增加。这与文献中的相关结果形成对比，例如[3，8]，在文献中，随着置信水平的增加，改善通常会增加，这是目前方法的一个优势。

（iii）在高相关性情景和低er界中，改善更为明显。这两个观察结果与相关文献一致；e、 g.[31]还报告了在存在强正相关性（尤其是尾部）的情况下，VaR界限的改善更为显著，而[3]报告了较低的VaR界限相对于较高的VaR界限的改善更为显著。在下一个示例中，我们将第4节的结果与命题2.4相结合，以得出参考copula附近一类copula上风险最大值VaR的改进界。示例5.2。让我们考虑一个由三个风险（X，X，X）组成的同质投资组合，其中边缘再次是帕累托-2分布的，即X，X，X~ 帕累托。我们假设参考copula C*是一个具有等相关矩阵和两个自由度的Student-t copula，并且对计算δ邻域ofC中一类模型的VaR的界感兴趣*按科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫距离测量。换句话说，我们考虑类别Cdk，δ：=C∈ Cd:DKS（C，C*) ≤ δ,利用定理4.4和引理4.7，我们得到了CDKS中copula的界，δ。然后，我们应用命题2.4，使用上面得到的界QDKS，δ和QDKS，δ，来计算C附近一类模型上最大max{X，X，X}的VaR的界*. 表2显示了前两列中的置信水平和无约束（即仅边际）风险值界限。第三、第四和第五列包含VaR上限和下限，使用与C的距离信息*, 对于不同级别的阈值δ，以及在百分比方面对无约束边界的改进，即改进的VaR下限和上限之间的间隔相对于无约束边界之间的相同间隔要窄多少。

在这个计算中，我们假设t-copula C的成对相关*等于0.9。为了便于阅读，结果四舍五入为一个十进制数字。α（下：上）δ=0.001（下：上）改进%δ=0.005（下：上）改进%δ=0.01（下：上）改进%95%（1.4:6.8）（3.6:4.6）81（2.5:4.7）59（2.3:5.0）5097%（2.0:9.1）（4.8:6.2）78（3.5:6.7）55（3.2:7.7）3799%（3.0:16.4）（9.0:11.8）79（6.4:15.5）32（5.2:16.2）18表2：最大{X，X，X}的无约束和改进VaR界限给定了与参考的距离阈值t-连接词C*成对相关等于0.9。下一个表类似于表2，但这一次由referencemodel引起的依赖性较弱，假设t-copula C中的成对相关性*等于0.6。α（下：上）δ=0.001（下：上）改进%δ=0.005（下：上）改进%δ=0.01（下：上）改进%95%（1.4:6.8）（3.5:5.3）67（1.5:5.6）24（1.4:5.8）1997%（2.0:9.1）（4.8:7.2）66（2.3:7.8）23（2.0:8.8）499%（3.0:16.4）（9:14）62（4.2:16.4）9（3.4:16.4）3表3：最大{X，X，X}的无约束和改进的VaR界限给定了与参考t-copula C的距离阈值*成对相关等于0.6。让我们指出，命题2.4中的界限，因此也在表2和表3的第二列中，在没有可用的依赖信息时，即当Q=Wand Q=M时，界限是尖锐的。这是因为Mis是一个copula，Wis是逐点最好的。前一个例子的观察结果在很大程度上也适用于本例，即：（i）部分信息的添加显著减少了上下两个货币之间的价差。随着阈值δ的降低，这种降低更加明显；换句话说，参考模型越可靠，模型风险的降低就越明显。

这些结果应该与[3]中“可信区域”的类似结果进行定性比较。（ii）在这种情况下，随着α级置信度的增加，改善水平下降，有时会急剧下降。尤其是α=99%时，改善很小，尤其是δ值较大时。（iii）在高度依赖场景中，改善更为明显，对快速无约束边界的改善高达81%。备注5.3。如示例5.2所示，计算参考模型附近copulas上VaR界限的方法适用于定义4.3中的统计距离。运输距离，例如Wasserstein距离，通常不是单调的w.r.t.theorthant顺序，因此，我们的方法不适用于它们。最近，Eckstein、Kupper和Pohl提出了一种不同的方法，即使用神经网络获得信息w.r.t.运输距离可用时的风险边界。A、 关于已知最小值或最大值分布的边界计算，我们首先回顾第3节的设置，其中我们显示了最大值≤ P（X+···+Xd）≤ s）≤ME，最大值；参见定理3.2。为了计算mE，max（s）和mE，max（s）的界限，我们首先需要选择一种方法来估计概率P（αY+····+αmYm≤ s） 对于固定的（α，…，αm）inA和Yi~ Gi，i=1，m、 这对应于一类具有固定边缘的分布上的标准弗里切特问题。因此，有两种方法可以自然地完成这项任务：根据（2.2）中给出的标准界限进行近似化，或通过重排算法进行近似化。实际上，我们可以使用（2.2）中的标准边界来估计Maxn0，supU（s）mXi=1G-我uiαi- m+1 O≤ P（αY+···+αmYm≤ s）≤ minn1，infU（s）mXi=1G-我uiαio、 其中U（s）={（U，…，um）∈ Rm:u+···+um=s}和G-IDE注意到Gi的左侧连续版本。

然后，边界mE，maxandME，maxare由mE，max（s）估计≥ sup（α，…，αm）∈Amaxn0，supU mXi=1G-我uiαi- m+1o，ME，最大值（s）≤ inf（α，…，αm）∈Amin1，infU（s）mXi=1G-我uiαio、 （A.1）同样，对于固定（α，…，αm）∈ A、 重排算法允许我们近似于边界infP（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n∈ J, （A.2）而对于（α，…，αm）∈A我们可以估计到P（αY+···+αmYm≤ s） ：Yn~ Gn，n∈ J. （A.3）为此，我们需要适当地离散变量αY、·····、αmYmand，并将重排算法应用于所得矩阵；有关更多详细信息，请参见【17】。表示（A.2）中的下界由RA（αY，…，αmYm）通过重排算法计算，类似于（A.3）中的上界由RA（αY，…，αmYm）计算，因此我们得到以下估计：mE，max（s）≥ sup（α，…，αm）∈ARA（αY，…，αmYm），ME，max（s）≤ inf（α，…，αm）∈ARA（αY，…，αmYm）。（A.4）让我们强调，与改进的标准边界相比，RA具有良好的数值特性。特别是，可以非常快速地计算边界RA（αY，…，αmYm）和RA（αY，…，αmYm），以便进行合理的精确离散化，从而可以更快地对setA和A进行后续优化。B、 命题2.4证明。设ν（x，…，xd）=max{x，…，xd}，那么对于任何copula C，我们有PC（max{x，…，xd}<s）=PC（x<s，…，xd<s）=C（F（s），Fd（s）），使用s klar定理表示最后一个等式。因此，紧接着是MQ，max（s）=infC（F（s），Fd（s））：Q C≥ Q（F（s），Fd（s））MQ，max（s）=supC（F（s），Fd（s））：CQ≤ Q（F（s），Fd（s））。此外，sinceV<max（s）={（x，…，xd）∈ Rd：最大{x，…，xd}<s}={（x，…，xd）∈ Rd:x<s，xd<s}，我们从改进的标准界限（2.3）得到mq，max（s）=supV<max（s）QF（x），Fd（xd）= Q（F（s）。