金融崩溃期间股票价值之间的相互依存关系

这张图片还对matricesI（Xi，Xj）在几个时间窗口内的缓慢演变进行了另一次检查。Pruintungjmatpsnspdmrwimtstjhmsoagkpsondgerbstscoexpnomlslwosstanlgenrbblndihghsbasminrritrkadnm/02 M/03 M/04 M/05 M/06 M/07 M/08 M/09 M/10 M/11 M/12 M/13 M/14 M/02 M/03 M/05 M/07 M/08 M/09 M/10 M/10 M/11 M/12 M/13 M/14图5：为了更清楚地识别市场主导的股票，为了清晰起见，每次通过平均三个连续时间窗口获得刻度时，我们都会提供信息。因此，我们有大约45个不同的刻度，而不是原来的140个时间窗口。讨论为了验证使用不同方法获得的结果，我们采用了另一种方法来调查数据。该方法基于提取所有对{X，Y}，其中X→i大于给定的阈值，然后使用相同的阈值，提取满足相同条件的时间序列代理数据集的所有对。最后，我们比较了两种情况下提取的链接数。按照上述协议获得的代理数据集在任何考虑的时间窗口都不包括其自由度之间的真实交互，我们不希望它再现图1中的模式。更具体地说，我们预计围绕危机的链接数量不会突然增加。我们计算在真实数据集和代理数据集中可检测到的定向链接数量的比率，并用1/rt表示该数量，以便与支持信息中使用的符号一致，请参见公式（11）。图6显示了真实数据集的显著增长。kwe还对较大的K值进行了分析。

计算矩阵→Xforlargerkvalues需要更多的时间；此外，我们未能成功地提取Ix，Ykby其他著作【39】通过改变参数k来研究TE度量（9），其中itkis是信噪比，它已经非常小了，fork=2，并且可能会丢失等式（9）中概率估计的质量降低的结果。最后，我们使用rowprices（而非收益率）重复了前一节中的分析，即使它们通常不在本文中研究。正如支持信息中所解释的，或多或少有一些保守的链接提取协议，粗略地说，第一个协议导致提取（可能太）少的可信链接，而最后一个协议导致提取（可能太）多链接，代价是考虑许多虚假链接。当考虑价格的时间序列时，我们采用了一种不太保守的协议，我们得到的结果与所呈现的结果相似，可以在任何窗口中提取信息，如图7所示。这与人们普遍认为的回报率通常比价格携带更多有用信息的观点是一致的。δ=1δ=2δ=3δ=4δ=5δ=101/rtM/02M/03M/04M/05M/06M/07M/08M/09M/10M/11M/12M/13M/14图6：我们用1/rtM表示实际中可检测到的定向链路数的比率，使用的阈值为0.03，但对于其他值可获得类似的定性结果。我们看到，随着δ的增加，该比率接近1，而在短时间尺度下，它将整理图1的结果。结论在这项工作中，我们开发了一种信息理论度量方法来计算时间序列之间的信息流。新方法改进了标准线性方法，如延迟相关性或格兰杰因果关系度量[29,38]，允许提取否则难以检测到的影响。

我们的分析描述了2000年至2015年这一长时期的市场结构，揭示了金融危机时的关键行为。该分析支持主流观点，即在正常的日常操作中，无法在长时间尺度（天）提取任何信息，但揭示了相互关联的信息时间序列的出现，可能与随机游走非常不同，并显示信息流SM/02 M/03 M/04 M/05 M/06 M/07 M/08 M/09 M/10 M/11 M/12 M/13 M/140246810214M/02 M/03 M/04 M/05 M/06 M/07 M/08 M/09 M/10 M/11 M/12 M/13 M/14 M/02 M/03 M/04 M/05 M/06 M/06 M/07 M/12 M/13 M/04 M/08 M/05 M/10 M/06 M/07 M/07 M/12 M/13 M/14I差异δ，计算为每日价格而非收益。每次窗口都有500天长。与每个窗口关联的日期是所考虑的时间窗口的中间部分。X轴刻度线对应每年三月一日的日期。与图1所示的结果相比，无法从该分析中获得有意义的信息。如【30】所述，以天为时间尺度。我们清楚地观察到，在非危机期间，股票之间的信息流对市场的影响是短暂的，而在危机期间，它们在更大范围的时间尺度上施加影响，产生更持久的影响。有趣的是，我们注意到，在危机全面爆发之前的几个月，市场上就已经可以检测到崩溃的早期信号。Lehman Brothers破产，可以说标志着2008年金融危机的开始，日期是2008年9月15日，虽然这一事件在图1中可以清楚地看到，但我们也注意到，当美国次级抵押贷款市场开始展开时，跨股信息流提前几个月开始增长。

这种方法是否能够预测灾难性事件尚不清楚，但它肯定能够衡量金融市场的敏感性及其对波动的鲁棒性，因为它揭示了长期相关性的增强，类似于接近相变的复杂系统。未来的工作将应用这种方法来探测短时间尺度上的信息流，这代表了每天的操作。观察更精细的时间尺度将提供有用的见解，以便描述市场的状态，即使远离全球变暖。支持信息转移entrop在本节中，我们介绍了等式（1）中定义的转移entropy度量的核心信息理论工具。让我们考虑两个时间序列，X（t）andY（t），并用X（k）t表示时间序列的最快时间步长X t timet：{xt-kxt公司-1} 。观测到的xtgivenx（k）的概率与观测到的xtgivenx（k）tandy（l）的概率之差可以通过使用Kullback-Leiblerdivergence:DY→十、x（k）t，y（l）t=Xxtpxt | x（k）t，y（l）t日志pxt | x（k）t，y（l）tpxt | x（k）t. （7） 此对象为零，ifY（t）不包含关于XT的信息，否则为正。y（t）toX（t）的转移熵，用ty表示→十、 是（7）过去观测值的平均值：T（T E）Y→X=E{X（k）t，y（l）t}hDY→十、x（k）t，y（l）ti、 （8）除了kPast value of x（t）外，它还考虑了时间序列y（t）的过去值，从而说明了获得的关于时间序列x（t）现值的信息。时间步长可以从1推广到一般值δ。在这种情况下，我们有x（k）t={xt-kδ，xt公司-δ} 。

通常，由于计算原因，TE的计算通过设置K=l=1来完成；此外，增量可能会破坏有意义的信息流，如[39]所示。根据观测到的时间序列计算TE需要估计等式（8）中的各种概率分布。在提出的估计方法中，STE【34】采用了符号化技术。Ak公司-时间序列x（t）在时间的尺寸符号通过对值x（k）t+δ={xt）排序来定义-（k）-1） δ，xt公司-δ、 xt}按升序排列。与时间序列这一部分相关的符号用^xkt+δ表示。下一节将提供有关此协议的更多详细信息。符号转移熵由t（ST E）Y定义→X=X^xkt+δ，^xkt，^yktp^xkt+δ，^xkt，^ykt日志文件^xkt+δ|^xkt，^yktp^xkt+δ|^xkt!, （9） 一旦显式值被符号替换，则直接遵循等式（8）。请注意，每个符号都是从过去的时间序列的时间步长值中提取的，因此单个符号包含来自k个历史时间步长的信息。我们在公式（1）中引入的度量与STE非常相似，但更像是KK维度量，但计算成本适中。引入此度量的主要原因是为了获得预测K+1文字符号的计算能力；由于分析的数据集类型需要较长的预处理时间，这一点尤为重要。原因是，对于每一对股票，必须有两个未交易的股票，这可能会产生问题，因为它们可能会将时间指数移动到其中一个，并干扰因果关系。为了解决这个问题，我们采用了一种实用的方法，即删除所考虑的每对时间序列中的所有非普通日。由于每对股票中的忽略天数不超过10天，这似乎是一个小困难。

顺便说一句，它需要更大的预处理工作，因为我们无法在计算矩阵文本之前一次性地将时间序列符号化。相反，我们必须对股票的时间序列进行预处理，使其大大降低。符号化在这里，我们提供了关于符号化技术的更多细节。Ak公司-时间t，^xk，δt+δ={j，…，jk时时间序列X（t）的维数符号-1，jk}，（10）x（k）t+δ{xt-（k）-1） δ，xt公司-δ、 xt}{xt-（j）-1） δ，xt公司-（jk-1.-1） δ，xt-（jk-1） δ}。如果有重复的值，则索引较小的值排在第一位[34]。这里我们将给出几个例子，使时间步长标度δ上的偏差显式化。让我们考虑一下表1中的时间序列。表2中提供了该时间序列的XTT。X（t）13 22 45 60 12 33 70 19 20 15 12 42 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12按照上述定义，以演示的方式，我们在表2中提供了从该时间序列构造的一些符号。前三个符号havek=2，后三个havek=3。对于每种情况，我们评估三种不同的时间尺度δ=1、2、3。符号化符号序列考虑符号值k=2^x2，1{15，12}{2，1}x2，2{70，20}{2，1}x2，3{60，70}{1，2}k=3^x3，1{20，15，12}{3，2，1}x3，2{12，70，20}{1，3，2}x3，3{13，60，70}{1，2，3}关于I（X，Y）评估的详细信息在本节中，我们提供了用于评估等式中使用的值si（X，Y）的方法的进一步详细信息。（4） ，（5）和（6）。这些数量反映了从时间序列x（t）到时间序列y（t）的真实信息流的数量，并通过处理等式（1）中引入的度量得到。

清除这些矩阵中的虚假值并非易事；构建空模型后，需要使用athresholding方法过滤掉随机效应。0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0701020304050607080901000 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06020460801020HS（x）hT（x）δ=2w=80w=45x0.010.020.030.040.050.060.070.020.040.06图8：传递熵值-真实数据和替代数据。图1所示数值的直方图。插图显示了在W=45时计算的相同数量，即9月。本节讨论的方案可以获得许多直接影响。该矩阵值表示δ=2，信息量最大化。对于每个窗口w，我们考虑21个窗口括号w中真实数据集和WesDataSet的设置，即{w-, . . . , ww+10}。另一方面，考虑到这两个窗口被移动了25天，相当于它们长度的5%。对集合的Historogramsht（x）和Hs（x）进行比较，并对为真实数据集计算的TEs的P值进行估算，即值x=TX的可能性→已随机获得真实数据集的Y。这可以通过计算每个x的比率（x）=R来完成∞xdxhS（x）R∞xdxhT（x）。（11） 它更有可能拥有真正的信息流。因此，我们将权重关联到每对{X→ Y}由i（X，Y）=e2a（r（X）给出-r*)+ 1（12）式中X=TX→Y、 a=100 andr*= 0.03。这两个柱状图可以在图8中看到两个特定的时间窗口。这种方法可能存在的一个缺陷是，INTA值与inS值相关。如果真是这样，我们就会低估检测到的影响的数量；然而，如图9中的散点图所示，情况并非如此。

使用R的此值*可以看作是一种软阈值方法，它大致为0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0700.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045xSxT0.010.020.030.040.050.060.070.030.040.020.01图9：tδ=2 inw=80中的值与当前数据集中相同和δ处的值的比较。这些值似乎没有显示两者之间的任何相关性。p、 通过考虑考虑多重比较效应的更小阈值获得。顺便说一句，在目前的情况下，采用这样一个严格的协议将提供较差的结果，因为可能的可检索信息非常小，并且使用讨论部分中描述的方法进行交叉验证，并且原始数据集中的事实验证了分析结果。感谢David Lowe的有趣讨论。这项工作由香港基金会资助。参考文献1。Mantegna RN，Stanley HE。经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性。英国剑桥：剑桥大学。2000.2。从统计物理学的角度看金融时间序列。物理A：统计力学及其应用。2000年；279（1）：443–456.3。Bouchaud JP，Potters M.《金融风险和衍生品定价理论：从统计物理学到风险管理》。剑桥大学出版社；2003年4月。金融时间序列中互相关的非通用性。PhysicalReview信函。1999年；83（7）：1471.5。Laloux L、Cizeau P、Potters M、Bouchaud JP。随机矩阵理论和2000；3（03）：391–397.6。Fenn DJ、Porter MA、Williams S、McDonald M、Johnson NF、Jones NS。金融市场相关性的时间演化。《物理评论》E.2011；84（2）：026109.7。Sornette D，Ouillon G.《龙王：机制、统计方法和经验证据》。欧洲物理杂志专题。

2012年；205（1）：1–26.8。Gualdi S、Tarzia M、Zamponi F、Bouchaud JP。宏观经济的转折点9。Mantegna注册护士。金融市场的等级结构。欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统。1999年；11（1）：193–197.10。Tumminello M、Aste T、Di Matteo T、Mantegna RN。在复杂系统中过滤信息的工具。美国国家科学院学报。2005年；102（30）：10421–10426.11。工作文件；2008年12月。霍尔丹公司。重新思考金融网络。In：脆性稳定–stabilefragilit–at。斯普林格；2013年，第243–278.13页。Strogatz SH.探索复杂网络。自然界2001年；410（6825）：268–276.14。Elton EJ，Gruber MJ。通过设计同质组改进预测。《商业杂志》。1971年；44（4）：432–450.15。组和Kadanoff缩放图片。《物理评论B》，1971年；4（9）：3174.16。Sornette D.离散尺度不变性和复维数。物理报告。1998年；297（5）：239–270.17。崩溃。量化金融。2001年；1（4）：452–471.18。达科斯五世、谢弗五世、范内斯五世、布罗夫金五世、佩图霍夫五世将H.Slowingdown作为气候突变的早期预警信号。国家科学院学报。2008年；105（38）：14308–14312.19。关键过渡的预警信号。自然界2009年；461（7260）：53–59.20。Scheffer M、Carpenter SR、Lenton TM、Bascompte J、Brock W、Dakos V等，《预测关键过渡》。科学2012年；338（6105）：344–348.21。Bonanno G、Caldarelli G、Lillo F、Mantegna RN。真实市场和模型市场中基于相关性的最小生成树的拓扑结构。《物理评论》E.2003；68（4）：046130.22。Onnela JP、Chakraborti A、Kaski K、Kertesz J、Kanto A.市场相关性动力学：分类学和投资组合分析。物理审查E。

2003年；68（5）：056110.23。Bonanno G、Caldarelli G、Lillo F、Michich e S、Vandewalle N、Mantegna RN。金融市场中的股票网络。欧洲物理杂志《凝聚物质与复杂系统》。2004年；38（2）：363–371.24。Tumminello M，Di Matteo T，Aste T，Mantegna R.在不同时间段采样的基于相关性的权益回报网络。欧洲物理杂志b。2007年；55（2）：209–217.25。格兰杰CW。因果关系概念的一些最新发展。经济计量学杂志。1988年；39（1）：199–211.26。Curme C、Tumminello M、Mantegna RN、Stanley HE、Kenett DY.经统计验证的金融日内超前-滞后关系的出现。量化金融。2015年；15（8）：1375–1386.27。Huth N，Abergel F.高频超前/滞后关系经验事实。经验金融杂志。2014年；26:41–58.28。Schreiber T.测量信息传输。物理审查函。2000年；85（2）：461.29。金融市场超前滞后效应的信息理论方法。《欧洲物理杂志B》，2014年；87（8）：1–9.30。Fiedor P.Granger因果非线性金融网络。金融网络理论杂志。2015年；1（2）：53–82.31。Fama EF公司。股票市场价格的行为。商业杂志。1965年；38（1）：34–105.32。Bossomaier T，Barnett L，Harr\'e M.社会经济系统中的信息和相变。复杂自适应系统建模。2013年；1（1）：1.33。Fiedor P.频率对股票收益可预测性的影响。2014年：IEEEConference on Computative Intelligence for Financial Engineering&Economics（CIFEr）会议。IEEE；2014年，第247-254.34页。Staniek M，Lehnertz K。符号传递熵。物理审查函。2008年；100（15）：158101.35。Rubinov M，Sporns O.大脑连通性的复杂网络测量：使用和解释。神经图像。2010年；52（3）：1059–1069.36。Vicente R、Wibral M、Lindner M、Pipa G。