基于信息的模型中出现意外的默认值

另一方面，根据微积分的基本定理，对于每x 6=0，（3.9）limh↓0h^hp（u，x，0）du=0，limh↓0h^hpsus+u，x，0du=0。为此，我们注意到p（0，x，0）=0是函数u 7的连续扩展→ p（u，x，0），如果x 6=0。根据推论A.3，我们得到了集合{0≤ s≤ t型∧ τ：βs=0}的勒贝格测度为零。然后利用Inglebesgue关于支配收敛的定理，我们可以得出P-a.s.（3.10）limh↓0^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0- p（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=0。这完成了第一部分证明的第一步，即在（3.6）中，我们可以替换psus+u，βs，0通过p（u，βs，0）来确定极限。第一部分的第二步是证明LimH↓0^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=Kt- Kt，P-a.s.设置（3.11）q（h，x）：=h^hp（u，x，0）du，0<h≤ 1，x∈ R，应用占用时间公式（见推论A.3）得出^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=^t∧τt∧τq（h，βs）g（s，βs）f（s）ds=^+∞-∞^ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x）q（h，x）dx，P-a.s.（3.12）对于每一个h>0，q（h，·）是关于R上Lebesgue测度的概率密度函数。根据引理B.1，密度为q（h，·）的概率测度qhw弱收敛于0处的Dirac测度δ。另一方面，引理B.4表明函数x 7→基于信息的模型10'ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x）中的意外默认值是连续且有界的。因此，在（3.12）中，我们可以传递到极限并获得limH↓0^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）ds=^ttg（s，0）f（s）dLβ（s，0），P-a。s、 （3.13）在第一部分项目的第三步中，我们必须证明（3.5）是成立的。注意，函数f在[t，t+1]上是一致连续的。我们确定ε>0，并选择0<δ≤ 1使得| f（s+u）-f（s）|≤ε每0≤ u<δ。

按照上述步骤，我们获得了LIM suph↓0^t∧τt∧τh's+hsДs（r，βs）[f（r）- f（s）]dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！ds公司≤ lim suph公司↓0^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0f（s+u）- f（s）du g（s，βs）ds≤ εlim suph↓0^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0du g（s，βs）ds=εlim suph↓0^t∧τt∧τh^hp（u，βs，0）du g（s，βs）ds=ε^ttg（s，0）dLβ（s，0），P-a.s。由于ε>0是任意选择的，且上述积分是P-a.s.有限的，我们可以得出结论（3.5）成立。证明的第一部分已完成。证明的第二部分依赖于P.-A.Meyer所谓的拉普拉斯方法，为了便于参考，附录C中回顾了相关结果。让我们用Kw表示（3.1）中引入的默认过程H的补偿器：Ht：=I{τ≤t} ，t≥ 0.我们首先表明KHTC收敛于Kwtas h↓ 0在弱拓扑σ（L，L）的意义上∞) （见定义C.3），对于每个t≥ 然后，我们证明过程K实际上与Kw无法区分。为了简单起见，如果一个可积随机变量序列（ξn）n∈在弱拓扑σ（L，L）意义下，n收敛到一个可积随机变量ξ∞) 我们将写出ξnσ（L，L∞)-----→n→+∞ξ。基于信息的模型11中的意外违约此外，我们将用G表示（D）类的右连续电势（参见附录C开头），由（3.14）Gt=1给出- Ht=I{t<τ}，t≥ 0。通过推论C.5，我们知道存在一个唯一的积分可预测的增长过程Kw=（Kwt，t≥ 0）在定义C.1的意义上，产生（3.14）给出的电势l G，对于Fβ-停止时间T，我们有KHTσ（l，l∞)-----→h类↓0千克重量。过程Kw实际上是H的补偿器。事实上，众所周知，过程H允许一个唯一分解（3.15）H=M+a到一个右连续鞅M和一个自适应的、自然的、递增的、可积过程a的和。

然后，过程A被称为H的补偿器。另一方面，从增加过程（见定义C.1）产生的电势的定义来看，过程（3.16）L：=G+Kw是一个马丁加值。通过将过程的定义（3.14）与（3.16）相结合，我们得到以下H分解：H=1- L+千瓦。然而，通过分解的唯一性（3.15），我们可以将鞅M识别为1- 我们得到A=千瓦，直到显示可分辨性。自次鞅H和鞅1- 上述证明中出现的L是右连续的，过程k也是右连续的。通过应用引理C.8，我们可以看到- KT是KWT的修改- Kwt，对于所有t，t，使得0<t<t.通过极限ast↓ 0，我们得到所有t的Kt=KwtP-a.s≥ 由于两个进程都有正确的连续采样路径，因此它们无法区分。证明了该定理。备注3.3。我们通过以下观察来结束本文的这一部分。（1） 请注意I{τ≤t} ，t≥ 0不允许与过滤Fβ相关的强度（因此不可能应用F或例如Aven\'sLemma来计算补偿（参见，例如[A]）。基于信息的模型中的意外违约12（2）假设3.1（ii）分布函数F（t）<1对于所有t≥ 0确保（3.2）右侧被积函数的分母始终严格为正。但是，它可以删除。事实上，如果τ的密度函数f是连续的（如假设3.1（i）所要求的），那么如上所述，我们可以证明关系式（3.2）对于所有t≤ t： =支持{t>0:F（t）<1}。另一方面，很明显τ≤ tP-a.s.（因此（3.2）的右侧对于t是恒定的∈ [t，∞)) 补偿功=（Kt，t≥ 0）个I{τ≤t} ，t≥ 0在[t]上为常数，∞).

总之，关系式（3.2）适用于所有t≥ 附录A。关于信息处理的本地时间在本节中，我们介绍并研究与信息处理相关的本地时间处理。对于任意连续半鞅X=（Xt，t≥ 0）对于任何实数x，可以通过田中公式（参见，例如，[RY]、定理VI.（1.2））定义（右）本地时间LX（t，x）与x级x到时间t的x相关，如下所示：（A.1）LX（t，x）：=| Xt-x个|-|十、-x个|-^tsign（Xs- x） dXs，t≥ 0，其中，如果x>0，则符号（x）：=1，并且符号（x）：=-1如果x≤ 0、进程lx（·，x）=LX（t，x），t≥ 0出现在关系式（A.1）中的称为X级X的（右）局部时间。现在我们回顾连续半鞅局部时间的占用时间公式，该公式以便于我们应用的形式给出。用hX，Xi表示连续半鞅X的平方变分过程。引理A.1。设X=（Xt，t≥ 0）是一个连续半鞅。存在一个P-可忽略集，其外部为^th（s，Xs）d hX，Xis=^+∞-∞^th（s，x）dLX（s，x）dx，每t≥ 0和R+×R证明上的每个非负Bo rel函数h。当h是定义在R上的非负Borel函数（即，它不依赖于时间）时，参见Revuz和Yor书的推论VI.（1.6）。然后，首先考虑h的形式h（t，x）=I[u，v]（t）γ（x）为0的情况，证明了引理的陈述≤ u<v<∞ 以及R上的非负Borel函数γ，以及基于信息的模型13中使用单调类参数的意外默认值（参见Revuz和Yor[RY]，练习VI（1.15），或Rogers和Williams[RW]，定理IV（45.4））。关于当地时间的连续性，有以下结果。引理A。2.

设X=（Xt，t≥ 0）是一个连续半鞅，其ca非正则分解由X=M+a给出，其中M是一个局部鞅和一个有限变分过程。然后存在对当地时间过程的修改LX（t，x），t≥ 0，x∈ R对于x，映射（t，x）7→ LX（t，x）在t和cádlág inx，P-a.s中是连续的。此外，（a.2）LX（t，x）- LX（t，x-) = 2^tI{x}（Xs）dAs，适用于所有t≥ 0，x∈ R、 P-a.s.证明。参见，例如，【RY】，定理VI.（1.7）。信息过程β是一个连续的半鞅（参见定理2.8），因此在x级β的局部时间Lβ（t，x）∈ R至timet≥ 0定义良好。占用时间公式采用以下形式。推论A.3。我们拥有∧τ^h（s，βs）ds=t^h（s，βs）d hβ，βis=+∞^-∞t^h（s，x）dLβ（s，x）dx，适用于所有t≥ 0和R+×R上的所有非负Borel函数h，P-a.s.证明。第一个等式来自关系式（2.8）a，第二个等式来自引理a.1的isan应用。局部时间Lβ的一个重要性质是无连续版本的存在。引理A.4。有一个Lβ的版本，使得映射（t，x）∈R+×R 7→ Lβ（t，x）是连续的，P-a.s.证明。我们根据Lemma选择当地时间Lβ的一个版本。2、利用（A.2），我们得到了Lβ（t，x）- Lβ（t，x-) = -2^t∧τI{x}（βs）u（s，βs）ds，基于信息的模型14中所有t≥ 0，x∈ R、 P-a.s.，其中u是（2.6）定义的函数。将推论A.3应用于上面最后一个等式的右侧，我们可以看到∧τ^I{x}（βs）u（s，βs）ds=2+∞^-∞I{x}（y）t^u（s，y）dLβ（s，y）dy=0，因此Lβ（t，x）-Lβ（t，x-) = 0，对于所有t≥ 0，x∈ R、 P-a.s.，因为{x}的勒贝格测度为零。这就完成了proo f。我们还利用了局部时间相对于空间变量的有界性。引理A.5。函数x 7→ Lβ（t，x）i对所有t有界∈ R+P-a.s.（界限可能取决于t和ω）。证据

根据占用时间公式（或Revuzand Yor[RY]，推论VI.（1.9）），当地时间Lβ（t，·）在紧致区间的外侧消失[-Mt（ω），Mt（ω）]，其中（A.3）Mt（ω）：=sups∈[0，t]|βs（ω）|，t≥ 0，ω∈ Ohm ,这与Lβ（t，·）的连续性（见引理A.4）一起，使得该函数的有界性P-A.s。在可忽略的集合之外，对于固定x∈ R、 局部时间Lβ（·，x）是一个正的连续增长函数，我们可以将其与R+：Lβ（B，x）：=^BdLβ（s，x），B上的arandom测度联系起来∈ B（R+）。引理A.6。对于任何序列ce（xn）n，在负集外部∈Nin R接近x∈ R、 序列Lβ（·，xn）n∈nConverge弱toLβ（·，x），即^R+g（s）Lβ（ds，xn）---→n→∞^R+g（s）Lβ（ds，x），对于所有有界和连续函数g:R+7→ R、 证明。我们定义了一个可忽略的集合，在该集合之外，Lβ是双连续的（参见引理a.4），我们现在将在该集合之外工作。措施Lβ（·，xn）n∈R上的定义，它们由[0，τ]支持。通过Lβ（t，·）的连续性，我们得到了Lβ（s，xn）---→n→∞Lβ（s，x），s≥ 0，由此得出（A.4）Lβ（[0，s]，xn）---→n→∞Lβ（[0，s]，x），s≥ 0。基于信息的模型15中的意外默认值我们也有整个空间的这种收敛：Lβ（R+，xn）=Lβ（[0，τ]，xn）---→n→∞Lβ（[0，τ]，x）=Lβ（R+，x）。由此我们可以得出结论，测度Lβ（·，xn）弱收敛于Lβ（·，x）。附录B.辅助结果在（3.11）中，我们引入了函数q byq（h，x）：=h^hp（u，x，0）du，0<h≤ 1，x∈ R，其中p（t，·，y）是方差和期望值为y的正态分布的密度（见（2.2））。引理B.1。函数q（h，·）是关于R上的Lebesgue测度的概率密度函数。与密度qh相关的概率测度qhon R弱收敛为h↓ 0至Dirac，测量0处的δ。证据引理的第一个陈述是显而易见的。

为了验证第二种说法，假设f是r上的一个边界连续函数。利用Fubini定理，我们得到了^Rf（x）Qh（dx）=^Rf（x）Qh（x）dx=^Rf（x）h^hp（u，x，0）dudx=h^h^Rf（x）p（u，x，0）dxdu=h^h^Rf（x）N（0，u）（dx）杜。自函数u起∈ [0，1]7→ 与everyu关联的N（0，u）∈ [0，1]中心高斯定律N（0，u）对于概率测度的弱收敛是连续的（注意，N（0，0）=δ），我们观察到函数u∈ [0，1]7→\'Rf（x）N（0，u）（dx）连续。右边收敛于'Rf（x）δ（dx）a s h的微积分基本定理的一个应用↓ 0和hencelimh↓0^Rf（x）Qh（dx）=f（0），证明引理的第二个陈述。基于信息的模型中出现意外的默认值16现在，我们考虑（3.7）中引入的函数g：g（s，x）：=^∞sИs（v，x）f（v）dv-1，s>0，x∈ R引理B.2。（1） 对于所有x∈ R和0<t<t，函数g（·，x）：[t，t]7→ R是有界的，即存在一个实常数C（t，t，x），如∈[t，t]g（s，x）≤ C（t，t，x）。（2） 对于所有x∈ R和0<t<t，函数g（·，x）：[t，t]7→ R是连续的，即对于所有序列号，s∈ [t，t]这样sn→ s、 limsn公司→sg（sn，x）=g（s，x）。（3） Let（xn）n∈Nbe单调收敛于x的序列∈ R、 然后，对于所有0<t<t，sups∈[t，t]| g（s，xn）- g（s，x）|---→n→∞0。证据

让我们定义，对于每个∈ [t，t]和x∈ R、 D（s，x）：=^∞srv2πs（v-s） 经验值-v x2s（v- s）f（v）dv，（B.1）并将g重写为（B.2）g（s，x）=D（s，x），s∈ [t，t]，x∈ R为了证明语句（1），必须验证存在常数C（t，t，x），使得（B.3）0<C（t，t，x）≤ D（s，x），s∈ [t，t]，x∈ R可以通过设置（B.4）~C（t，t，x）：=^来找到该常数∞tr2πtexp-v x2t（v- t）f（v）dv，证明引理的第一个陈述。为了证明引理的语句（2），必须验证函数s 7→ D（s，x），s∈ [t，t]是连续的，这一事实可以用Lebesgue的支配收敛定理来证明。的确，letsn，s∈ [t，t]这样sn→ s为n→ ∞. 重写（B.1）we g etD（sn，x）=^∞tI（sn+∞)（v） rv2πsn（v- 序号）exp-v x2sn（v-序号）f（v）dv。基于信息的模型17中的意外默认值首先，我们考虑从t到∞: 对于v≥ t、 我们可以用qv2πt（v）对被积函数进行更高的估计-t） f（v）可积于[t+∞). 对于t t的积分的第二部分，我们通过I（sn+∞)（v） qt2πt（v-sn）c，其中c是f在[t，t]上的n上界，通过积分，我们观察到limn→∞^ttI（sn+∞)（v） st2πt（v- sn）dv=^ttI（s+∞)（v） st2πt（v-s） dv。由于被积函数是非负的，我们在L（[t，t]）中得到收敛，从而得到一致可积性（参见定理C.7）。这意味着序列（sn+∞)（v） rv2πsn（v-序号）exp-v x2sn（v- 序号）f（v）在[t，t]上一致可积，我们可以应用Lebesgue定理（参见定理C.7）得出结论→∞^ttI（sn+∞)（v） rv2πsn（v- 序号）exp-v x2sn（v- 序号）f（v）dv=^ttI（s+∞)（v） rv2πs（v-s） 经验值-v x2s（v- s）f（v）dv。总结我们的收获→∞D（sn，x）=D（s，x），并完成引理陈述（2）的证明。我们转向引理语句（3）的证明。

利用关系式（B.2），我们可以看到| g（s，xn）- g（s，x）|=| D（s，xn）- D（s，x）| D（s，xn）D（s，x）并从不等式（B.3）中得到∈[t，t]| g（s，xn）- g（s，x）|≤小吃∈[t，t]| D（s，xn）- D（s，x）| C（t，t，xn）~C（t，t，x），其中C（t，t，x）由（B.4）定义。很容易看出这一点→∞~C（t，t，xn）~C（t，t，x）=~C（t，t，x）<+∞.基于信息的模型中出现意外的默认18因此仍需证明∈[0，t]| D（s，xn）- D（s，x）|---→n→∞通过假设，序列xn与x呈单调收敛。在这种情况下，很容易看出f函数D（·，xn）的序列是单调的。此外，利用Lebesgue的支配收敛定理，我们证明了对于所有s∈ [t，t]。自函数s 7→ D（s，x）在[t，t]上也是连续的，根据托迪尼定理，D（·，xn）一致收敛于[t，t]上的D（·，x）。这意味着引理的第三个陈述，证明已经完成。引理B.3。设度量空间E上的h，hnbe有界连续函数和（E，B（E））上的u，unbe有限测度。支持满足以下两个条件：（1）函数序列hn一致收敛于h。（2）测度序列un弱收敛于u。然后limn↑+∞\'Ehndun=\'Eh du。证据可以立即验证^Ehndun-^Eh du≤ supx公司∈Eh（x）- hn（x）^Edun+^Eh dun-^Eh du,收敛到0为n↑ +∞. 引理B.4。设0<t<t。函数k:R→ R+由k（x）给出：=^ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x），x∈ R是有界连续的，其中函数g由（3.7）给出n。证据让我们首先限制为R的紧子集E。

首先，我们证明了函数k的左右连续性，从而证明了函数k的连续性。让xnbe是一个从m E单调收敛到x的序列∈ E、 从m引理B.2我们知道有界连续函数G（·，xn）：[t，t]→ R一致收敛于有界连续函数g（·，x）：[t，t]→ R作为n→ ∞. 从L emma A.6中，我们发现在基于信息的模型19as n中，测度序列Lβ（·，xn）弱收敛于Lβ（·，x）意外违约→ ∞ . 应用引理B.3，我们得到了thatlimn→∞k（xn）=limn→∞^ttg（s，xn）f（s）dLβ（s，xn）=^ttg（s，x）f（s）dLβ（s，x）=k（x）。因此，函数k在E上是连续的。k的有界性现在来自于E的紧性。为了证明该陈述也适用于R，让我们选择E=[-Mt公司- 1，Mt+1]（符号见（A.3）。当Lβ（s，x）=0，s时∈ [0，t]，x/∈ [-Mt，Mt]（见引理A.5的顶部），声明如下。附录C.补偿器的Meyer方法下面我们简要回顾P.-A.Meyer[M]开发的用于计算（D）类右连续电位器补偿器的方法。在本节中，F=（Ft）t≥0表示满足正常连续性和完整性要求的过滤。我们从定义（D）类的右连续势开始。设X=（Xt，t≥ 0）是一个右连续F-超鞅，T是相对于此族的所有有限F-停止时间的集合。如果随机变量XT，T的集合∈ T是一致可积的。如果随机变量X为非负且iflimt→+∞E[文本]=0。定义C.1。