基于信息的模型中出现意外的默认值

设C=（Ct，t≥ 0）是一个可积的F-自适应右连续递增过程，设L=（Lt，t≥ 0）是鞅（E[C]的右连续修正∞|Ft]，t≥ 0）；过程Y=（Yt，t≥ 0）由YT给出：=Lt-CTI称为C产生的电势。以下结果建立了递增过程产生的电势与（D）类电势之间的联系。设h为严格正实数，X=（Xt，t≥ 0）是（D）类的势，用（phXt，t）表示≥ 0）上鞅的右连续修改（E[Xt+h | Ft]，t≥ 0）。基于信息的模型20定理C.2中的意外默认值。设X=（Xt，t≥ 0）为（D）级电势，leth>0且Ah=Aht，t≥ 0由（C.1）定义的过程Aht：=ht^（Xs-phXs）ds。那么ahi是一个可积的递增过程，它产生一个（D）类的势Xh=Xht，t≥ 0由X控制，即过程s X-xH是一种潜力。它保持着SXHT=hEh^hXt+sds | Fti，P-a.s.，t≥ 0。证据参见，例如，【M】，VII。T28。递增过程A=（At，t≥ 如果对于每个有界右连续F鞅=（Mt，t≥ 0），我们有Eh^（0，t）MsdAsi=Eh^（0，t）Ms-dAsi，t>0。众所周知，递增过程A相对于F是自然的当且仅当它是F-可预测的。对于以下从弱拓扑意义上的收敛定义σ（L，L∞), 见【M】，II。定义C.3。Let（ξn）n∈Nbe可积实值随机变量序列。序列（ξn）n∈Nis在弱拓扑σ（L，L）中收敛到一个可积随机变量ξ∞) iflimn公司→+∞对于所有η，E[ξnη]=E[ξη]∈ L∞（P） 。定理C.4。设X=（Xt，t≥ 0）是（D）类的右连续po ten tialof。然后存在一个可积的自然增长过程sA=（At，t≥ 0）哪个基因对X进行评级，这个过程是独特的。

对于每个停止时间T，我们有σ（L，L∞)-----→h类↓0AT。证据参见，例如，【M】，VII。T29。在基于信息的方法框架内，过程H=（Ht，t≥ （3.1）给出的g是一个基础的增长过程，它是Fβ适应的。它是一个子鞅，可以立即看到过程G=（Gt，t≥ （3.14）给出的0）是（D）类基于信息的模型21中的一个右连续潜在意外默认值。根据定理C.2，由（3.3）定义的过程Kh，h>0，产生了一系列由G支配的电势。推论C.5。存在唯一的可积自然增量过程Kw=（Kwt，t≥ 0）其中g生成（3.14）定义的过程g，对于每个Fβ-停止时间T，我们有thatKhTσ（L，L∞)-----→h类↓0KwT，其中kh是（3.3）定义的过程。证据见定理C.4。定理C.6（Dunford-Pettis的紧性准则）。设A为空间L（P）的asubset。以下两个性质a是等价的：（1）a是一致可积的；（2） A在弱拓扑σ（L，L）中是相对紧的∞).证据见【M】，II。T23。定理C.7。Let（ξn）n∈Nbe可积随机变量序列，其概率共同收敛于一个随机变量ξ。nξn收敛于L（P）中的ξ当且仅当（ξn）n∈Nis唯一可积。如果随机om变量ξn，n≥ 1是非负的，当且仅当iflimn→+∞E[ξn]=E[ξ]<+∞.证据见【M】，II。T21。引理C.8。Let（ξn）n∈Nbe随机变量序列和ξ，η∈L（P）使得：（1）ξnσ（L，L∞)------→n→+∞η；（2） ξn→ ξ、 P-a.s.然后η=ξ，P-a.s.证明。从条件（1）可以看出（ξn）n∈Nis在弱拓扑yσ（L，L）中相对紧∞). 根据定理C.6，可以得出（ξn）n族∈Nis一致可积。我们也知道ξn→ ξPa.s.因此，根据定理C.7，我们可以看到ξn→ ξ，因此，ξnσ（L，L∞)------→n→+∞ξ。

引理的陈述之后是极限的唯一性。基于信息的模型22Acknow ledgment中出现意外默认值。这项工作得到了欧洲社区FP 7项目的财政支持，合同为PITN-GA-2008213841，Marie Curie ITN《受控系统》。参考文献[A]Aven T.一个确定计数过程补偿器的定理。《斯堪的纳维亚统计杂志》，12，62-721985年。[B] 贝迪尼M.L.《关于默认时间的信息：随机区间上的布朗桥和过滤的扩大》。2012年，耶拿弗里德里希·席勒大学（德国）博士论文。M.L.Bedini，R.Buckdahn，H.-J.Engelbert。随机区间上的布朗桥。Teor公司。Veroyatnost公司。i Primenen。，61:1（2016），129–157。M.L.Bedini，M.Hinz。信用违约预测与抛物线势理论。2016年预印本，可在https://arxiv.org/a bs/1608.08999（已提交）。[BR]Bielecki T.R.，Rutkowski M.信用风险：建模、估价和对冲。施普林格·维拉格，柏林，2001年。[G] Giesecke K.默认值和信息。《经济动力与控制杂志》，30:2281-23032006。Jarrow R.，Protter P.Structural versu s Reduced Form Models：一种新的基于信息的视角。《投资管理杂志》，2004年。【JLCa】Jeanblanc M.，Le Cam Y.浸没财产和信用风险建模。最优化与风险——数学金融的现代趋势，第99-132页。斯普林格·伯林，海德堡，2010年。【JLCb】Jeanblanc M.，Le Cam Y.随着初始时间的逐渐扩大过滤。斯托赫。专业应用程序。，2009年，第119卷，第8号，第2 523-2543页。【JLCc】Jeanblanc M.，Le Cam Y.信贷风险简化模型。Preprint2007，可在http://ssrn.com/abstract=1021545.Jeanblanc M.、Yor M.、Chesney M.《金融市场的数学方法》。Springer，第一版，2009年。[K] 《现代概率的基础》。

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