基于信息的模型中出现意外的默认值

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英文标题：
《Unexpected Default in an Information Based Model》
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作者：
Matteo Ludovico Bedini, Rainer Buckdahn, Hans-J\\\"urgen Engelbert
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper provides sufficient conditions for the time of bankruptcy (of a company or a state) for being a totally inaccessible stopping time and provides the explicit computation of its compensator in a framework where the flow of market information on the default is modelled explicitly with a Brownian bridge between 0 and 0 on a random time interval.
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中文摘要：
本文给出了破产时间（一家公司或一个国家）是完全不可接近的停止时间的充分条件，并在一个框架中提供了其补偿器的显式计算，其中违约的市场信息流是在随机时间间隔上用0和0之间的布朗桥显式建模的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-26 23:15:34 上传

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关键词：Mathematical Differential Applications Quantitative Probability

INFORMATIONBASED MODELM中未指定的默认值。五十、 BEDINI，R.BUCKDAHN，H.-J.ENGELBERTAbstract。本文为破产时间（一家公司或一个州）提供了充分的条件，使其成为完全不可接近的停止时间，并在一个框架中提供了其补偿的显式计算，其中市场信息在违约情况下的流动是在随机时间间隔上显式建模的，在0和0之间有一个布朗桥。1、简介信贷风险数学模型中最重要的对象之一是某公司（或州）破产的时间τ（称为违约时间）。对有关违约时间的市场信息流进行建模至关重要，在本文中，我们考虑一个过程，β=（βt，t≥ 0），其自然过滤Fβ描述了市场代理在违约发生时可用的信息流。因此，过程β将被称为信息过程。在本文中，我们将β定义为随机长度τ：βt=Wt的0和0之间的布朗桥-tτ∨ tWτ∨t、 t型≥ 0，其中W=（Wt，t≥ 0）是独立于τ的布朗运动。在本文中，重点是关于过滤Fβ的默认时间分类，我们的主要结果如下：如果默认时间τa的分布与Lebesgue测度有关，则τ是一个完全不可访问的映射时间，其补偿器K=（Kt，t≥ 0）由kt=^t给出∧τf（s）'∞sv（2πs（v- s） （）-f（v）dvdLβ（s，0）日期：2019年5月7日。关键词和短语。

默认时间、完全不可访问停止时间、随机区间上的布朗桥、本地时间、信用风险、补偿过程。基于信息的模型2中的意外违约，其中Lβ（t，0）是0级至时间t的信息流程β的本地时间。在mathematicalcredit风险模型中，了解默认时间是可预测的、可访问的还是完全不可访问的停止时间非常重要。可预测的违约时间是结构化信用风险模型的典型特征，而完全无法访问的违约时间是简化型信用风险模型的最重要特征之一。在第一个框架中，市场代理知道何时会发生违约，而在后一个框架中，违约会意外发生。金融市场无法预测公司违约的时间，这一事实使得简化模型得到了从业者的广泛接受。从这个意义上讲，完全无法接近的违约时间似乎是模拟破产时间的最佳人选。我们参考了Jarrow和Prott er【JP】以及G iesecke【G】关于财务信息与默认时间属性之间关系的论文，以及Jeanblanc和Le Cam【JLCa、JLCb、JLCc】的系列论文。值得注意的是，在我们的设置中，默认时间是一个完全不可访问的停止时间，前提是它与Lebesgue测度有关，具有连续密度。在数学信用风险模型中，违约时间允许连续密度的假设及其违约意外发生的后果都是标准的，但在基于信息的方法中，信息流动的显式模型还有一个额外的特征，它比标准方法更复杂。

在这里，有关默认设置的可用信息通过以下方式建模I{τ≤t} ，t≥ 0,在τ处发生的单跳过程，意味着人们只知道是否发生了违约。金融现实可能更为复杂，事实上，在某些时期，违约发生的可能性比其他时期更大。在基于信息的方法中，即将发生违约的时间段对应于信息过程接近0的情况，而投资者相对确信不会立即发生违约的时间段对应于β远离0的情况。本文的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了信息流程的定义和主要属性。在第3节中，证明定理3.2，这是本文的主要结果。在附录A中，我们提供了与信息处理相关的本地时间的属性。在附录B中，我们给出了一些辅助引理的证明。最后，在附录C中，为了便于参考，我们回顾了P.A.Meyer开发的所谓拉普拉斯方法（参见，例如，他的书[M]），用于计算（D）类右连续积分的算符。在本注释中采用的基于信息的模型3中，确定Fβ-子鞅的补偿器是一个重要的预测意外违约I{τ≤t} ，t≥ 0.论文[B]引入了利用随机区间上定义的布朗桥对默认时间信息进行建模的思想。

关于信息过程β的定义、对其基本性质的研究以及对违约掉期（信贷市场上交易量最大的衍生品之一）定价问题的应用，最近也出现在论文[BBE]中。另一篇论文[BH]将考虑使默认时间成为可预测停止时间的非平凡和充分条件。与随机区间上的布朗桥相关的其他主题（本说明将不考虑）涉及研究信息过程产生的过滤Fβ对参考过滤F的逐步扩大以及在数学金融中的进一步应用的问题。2、信息过程及其基本性质我们首先回顾了随机长度介于0和0之间的布朗桥的定义和基本性质。本节的材料恢复了论文【BBE】中获得的一些结果，我们将参考其中的证据和关于该过程基本性能的更多细节。如果A R（其中R表示实数集），则集A+定义为A+：=A∩ {x∈ R:x≥ 0}。如果E是拓扑空间，那么B（E）表示E上的Borelσ-代数。集a的指示函数将用IA表示。A函数f:R→ 如果R是从左到右连续的极限，则称R为cádlág。让(Ohm, F、 P）是一个完全概率空间。我们用F的P-null集的集合NPthecollection表示。如果L是随机变量ξ的定律，我们应该写ξ~ L

除非另有规定，以下所有过滤均应满足权利连续性和完整性的一般条件。设τ：Ohm → （0+∞) 是严格正随机时间，其分布函数用F:F（t）：=P（τ）表示≤ t） ，t∈ R+。时间τ对发生违约的随机时间进行建模，以下称为违约时间。设W=（Wt，t≥ 0）定义为布朗运动(Ohm, F、 P）和从0开始。我们将始终使用以下假设：假设2.1。随机时间τ和布朗运动是独立的。基于信息的模型中的意外默认值4Given W和严格正实数r，标准布朗桥βr=（βrt，t≥ 0）长度r的0到0之间由βrt=Wt定义-tr公司∨ tWr公司∨t、 t型≥ 0。有关布朗桥的更多参考，请参见第5.6节。卡拉扎斯和史莱夫的书中的B。现在，我们将介绍随机长度布朗桥的定义（见[BBE]，定义3.1）。定义2.2。过程β=（βt，t≥ 0）由（2.1）βt得出：=Wt-tτ∨ tWτ∨t、 t型≥ 0，称为随机长度τ的布朗桥。我们通常会说β=（βt，t≥ 0）是信息过程（对于基于W的随机时间τ）。β的自然过滤用Fβ=（Fβt）t表示≥0：Fβt：=σ（βs，0≤ s≤ t）∨ NP请注意，根据[BBE]，推论6.1，过滤Fβ（此处用FP表示）满足右连续性和完整性的通常条件。备注2.3。以τ=r为条件的β定律与长度为r的0和0之间的标准布朗桥定律相同（见[BBE]，引理2.4和推论2.2）。

特别是，如果0<t<r，则以τ=r为条件的βt定律为高斯定律，期望值为零，方差为（r-t） r:Pβt∈ ·τ=r= N0，t（r- t） r,其中，N（u，σ）表示均值u和方差σ的高斯定律。通过p（t，·，y），我们用平均值y表示高斯随机变量的密度∈ R和方差t>0：（2.2）p（t，x，y）：=√2πtexp“-（十）- y） 2t#，x∈ R、 为了以后使用，我们还介绍了函数Дt（t>0）：（2.3）Дt（R，x）：=（pt（r-t） r、x、0, 0<t<r，x∈ R、 0，R≤ t、 x个∈ R、 在基于信息的模型5中，我们注意到，对于0<t<R，βt的条件密度conditionalonτ=R，正好等于时间t时长度R的标准布朗桥βrtof的密度νt（R，·）。我们继续讨论默认时间τ与过滤Fβ和信息过程β的马尔可夫性质无关的性质。引理2.4。对于所有t>0，{βt=0}={τ≤ t} ，P-a.s.特别是，τ是Fβ-停止时间。证据参见【BBE】，命题3.1和推论3.1。定理2.5。信息过程β是关于过滤Fβ的马尔可夫过程：对于所有0≤ t<u和可测实函数g，使得g（βu）是可积的，E[g（βu）| Fβt]=E[g（βu）|βt]，P-a.s.证明。参见【BBE】中的定理6.1。如以下定理和定理2.5所示，函数φtde由（2.4）φt（r，x）定义：=φt（r，x）^（t+∞)Дt（v，x）dF（v），（r，t）∈ （0+∞) ×R+，x∈ R、 对于t<R，是τ在{τ>t}上的密度函数，条件是βt=x。定理2.6。设t>0，g:R+→ R是一个钻孔，使得E[| g（τ）|]<+∞. 那么，P-a.s.Ehg（τ）| Fβti=g（τ）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。（2.5）证明。参见【BBE】中的定理4.1、推论4.1和推论6.1。

在说明与信息过程的半鞅分解有关的下一个结果之前，让我们给出以下定义：定义2.7。设B为连续过程，F为过滤，T为停止时间。然后，B被称为F-布朗运动，停在Tif，B是具有平方变化过程hB的F-鞅，位=t∧ T，T≥ 现在，我们介绍由（2.6）u（s，x）定义的实值函数u：=Ehβsτ- sI{s<τ}βs=xi，s∈ R+，x∈ R、 基于信息的模型6Theorem 2.8中出现意外默认值。BT定义的过程：=βt+^tu（s，βs）ds，t≥ 0，是在τ处停止的Fβ-布朗运动。因此，信息过程β是一个分解为（2.7）βt=bt的Fβ-半鞅-^t∧τu（s，βs）ds，t≥ 0。证据参见【BBE】中的定理7.1。备注2.9。信息过程β的二次变化由（2.8）hβ给出，βit=hb，bit=t∧τ、 t型≥ 0。3、缺省时间的补偿器在本节中，我们显式地计算单跳过程的补偿器，其中跳变发生在τ处，用h=（Ht，t）表示≥ 0）：（3.1）Ht：=I{τ≤t} ，t≥ 过程H称为缺省过程，是一个Fβ-子鞅，其补偿器也称为Fβ-停止时间τ的补偿器。我们的主要目标是提供H的补偿器的表示。如下文所示，该表示涉及信息过程β的局部时间Lβ（t，0）（连续半鞅的局部时间的性质，尤其是β的局部时间的性质，请参见附录a）。根据它的表示，我们立即得到缺省过程H的补偿是连续的。因此，从H的补偿器的连续性来看，默认时间τ是完全不可访问的Fβ-停止时间。在本节中，以下假设将始终有效。假设3.1。

（i） τ的分布函数F允许关于勒贝格测度λ+onR+的连续密度函数F。（ii）对于所有t，F（t）<1≥ 以下定理是本文的主要结果：定理3.2。假设满足假设3.1。（i）过程K=（Kt，t≥ 0）定义为（3.2）Kt：=^t∧τf（s）'∞sИs（v，0）f（v）dvdLβ（s，0），t≥ 0，基于信息的模型7中的意外默认值是默认过程H的补偿器。这里，Lβ（t，x）表示信息过程β在level x上的局部时间t。（ii）默认时间τ是相对于Fβ的完全不可访问的停止时间。证据首先，我们在假设（i）是真的情况下验证（ii）陈述。显然，由于Lβ（s，0）在s中是连续的（见引理A.4），由（3.2）给出的过程K是连续的。因此，由于后一个特性和补偿器的连续性之间的众所周知的等效性（参见，例如，[K]，推论25.18），我们可以得出默认时间τ是相对于Fβ的完全不可接近的停止时间。现在我们证明定理的陈述（i）。对于每个h>0，我们确定过程Kh=Kht，t≥ 0byKht：=h^tI{s<τ}- EI{s+h<τ}| Fβsds=^thPs<τ<s+h | Fβsds，P-a.s.（3.3）证明分为两部分。在第一部分中，我们证明了kt- Kt是Kht的P-a.s.限值- Khtas h公司↓ 0，每t，t≥ 0使得0<t<t。在证明的第二部分中，我们表明过程K与H的补偿器无法区分。整个证明中使用的辅助结果推迟到附录B。对于证明的第一部分，我们确定t，t使得0<t<t，并注意到-Kht=^tthPs<τ<s+h | Fβsds=^t∧τt∧τh's+hsИs（r，βs）f（r）dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！ds（3.4），其中最后一个等式是定理2.6和定义（2.4）τ的后验密度函数的结果。

稍后我们将验证（3.5）limh↓0^t∧τt∧τh's+hsДs（r，βs）[f（r）- f（s）]dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！ds=0 P-a.s.在基于信息的模型中出现意外违约8因此，我们必须将极限行为处理为h↓ 第0页，共页∧τt∧τh's+hsИs（r，βs）dr'∞sДs（v，βs）f（v）dv！f（s）ds=^t∧τt∧τh'hИs（s+u，βs）du'∞sДs（v，βs）f（v）dv！f（s）ds=^t∧τt∧τh^hpsus+u，βs，0du g（s，βs）f（s）ds（3.6），其中我们引入了函数g：（0+∞) ×R→ R+乘以（3.7）g（s，x）：=^∞sИs（v，x）f（v）dv-1，s>0，x∈ R在（3.6）中，我们要替换psus+u，βs，0p（u，βs，0）。为此，我们估计psus+u，x，0- p（u，x，0）= p（u，x，0）s+美国经验值-x2s- 1.≤ p（u，x，0）”s+美国经验值-x2s- 1.+s+美国-1.#≤（2π）| x|-1exp-s+1秒x2s+ （2πu）-u2s≤ c | x |+cu，（3.8），带有一些常数c，对于0≤ u≤ h类≤ 1和s∈ [t，t]，其中，对于第一次求和的估计，我们使用了函数u 7→ p（u，x，0）在u=x时有其唯一的最大值，标准估计值1-e-z≤ z代表所有z≥ 0和（s+1）s-1.≤ 1+t-1a以及第二个和的估计和不等式p（u，x，0）≤（2πu）-和| qs+美国- 1 |≤u2s。将x=β砂从0积分到h，除以h，取0≤ u≤ h类≤ 1和s∈ [t，t]，来自（3.8）weobtainh^hpsus+u，βs，0- p（u，βs，0）du g（s，βs）f（s）≤c |βs |+chg（s，βs）f（s）≤c |βs |+ccC（t，t，βs）基于信息的模型9中的意外默认值，其中C（t，t，x）是[t，t]连续inx上g（s，x）的上界（见引理B.2）和[t，t]上连续密度函数f的cis a n上界。右手边可积于[t，t]上，与勒贝格测度λ+。